专题02 常用逻辑用语（期中专项训练）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题02 常用逻辑用语 题型1 判断命题的真假 题型2 根据命题的真假求参数（常考点） 题型3 判断充分性，必要性（重点） 题型4 根据充分性，必要性求参数（重点）（难点） 题型5 探索命题为真的充要条件（常考点） 题型6 命题的否定（常考点） 题型7 判断全称量词命题，存在量词命题的真假（重点） 题型8根据全称量词命题，存在量词命题的真假求参数（重点）（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判断命题的真假（共5小题） 1．判断下列命题的真假： （1）集合是集合的真子集；( ) （2）是集合的元素；( ) （3）2是集合的子集；( ) （4）满足的集合A的个数是个．( ) 【答案】 假 假 假 真 【分析】（1）利用真子集的定义即可判断； （2）由集合与集合的关系即可判断真假； （3）由元素与集合的关系即可判断真假； （4）由真子集的定义即可找到满足条件集合A的个数． 【详解】（1）如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集， 显然集合不是集合的真子集，命题为假命题； （2）是集合，不是集合的元素，命题为假命题； （3）因为2是元素，不是集合的子集，命题为假命题； （4）若，所以集合A中至少含有两个元素且其中一个必须为0， 又因为，所以集合A可以从集合中再选取一个元素或者两个元素， 集合的子集有个，把和去掉，所以满足条件集合A的个数为个，命题为真命题． 故答案为：假；假；假；真. 2．下列四个命题中，是假命题的是（    ） A．，且 B．，使得 C．若x＞0，y＞0，则 D．若，则的最小值为1 【答案】A 【分析】A举反例，B找一个满足条件的，C基本不等式的应用，D分离常数结合基本不等式. 【详解】解析：选A.对于A，，且对x＜0时不成立； 对于B，当x＝1时，x2＋1＝2，2x＝2，成立，正确； 对于C，若x＞0，y＞0，则，化为，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号.故y的最小值为1，D正确. 故选：A 3．（多选）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】判断每个选项的命题的真假即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，若，则，都为无理数，故C错误； 对于D，取，则，满足条件，故D正确； 故选：AD 4．关于的方程，有下列四个命题： 甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是 . 【答案】甲 【分析】根据韦达定理再结合题意即可判断. 【详解】解：若甲、乙两命题均正确，且，， 则丙、丁均为假命题，与题意不符，故甲、乙必有一个是假命题. 若甲为真命题，由丙命题可知，方程的另一根为1，这样方程两根同号，与丁命题矛盾. 故甲命题为假命题； 若乙为真命题，可知方程的另一根为，此时丁命题也为真命题，符合题意. 故答案为：甲 5．判断下列命题的真假，并说明理由. (1)所有偶数都不是素数； (2)是的真子集； (3)0是的真子集； (4)如果集合A是集合B的子集，那么B不是A的子集. 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)真命题，理由见解析 (3)假命题，理由见解析 (4)真命题，理由见解析 【分析】（1）利用偶数与素数的定义，举反例判断即可得解； （2）（3）（4）利用集合子集的定义逐一分析判断即可得解. 【详解】（1）因为是偶数，同时也是素数，所以该命题为假命题； （2）因为，且， 所以是的真子集，所以该命题为真命题； （3）因为是中的一个元素， 所以0不是的真子集，所以该命题为假命题； （4）当时，互为子集，所以该命题为假命题. 题型二 根据命题的真假求参数（共3小题） 6．若“，”是真命题，则实数的取值范围是 ； 【答案】 【分析】由题意将不等式恒成立问题转化为最值问题，求出的最大值，从而得到实数的取值范围. 【详解】由题意“，”是真命题，则恒成立， 设，的最大值为，. 实数的取值范围是. 故答案为： 7．设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据题意得到判别式大于0，解之即可得解； （2）先求得命题为真时的取值范围，再结合（1）中结论即可得解. 【详解】（1）若命题为真命题，即方程有两个不相等的实数根， 则，解得或， 所以实数的取值范围为或. （2）若命题为真命题，即，解得， 因为真假，则，得或； 所以实数的取值范围为或. 8．命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据条件，利用集合的运算结果得到，即可求解； （2）利用，将问题转化成或集合中元素是非正数，从而通过方程的解，求得，即可求解； （3）利用（1）和（2）中结果，分命题甲是真命题，命题乙是假命题和命题甲是假命题，命题乙是真假命题两种情况，即可求解. 【详解】（1）因为，又， 所以，解得， 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为. （2）因为，且，则或集合中元素是非正数， 又，所以中元素是方程的解， 当时，，解得， 当集合中元素是非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得， 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为. （3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或. 题型三 判断充分性，必要性 （共5小题） 9．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的概念进行判断. 【详解】由，得或， 由，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 10．设a，b是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可． 【详解】由，可得，所以“”是“”的充分条件， 当时，符合，但不符合， 所以“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 11．“”是 “关于的方程有且仅有整数解”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合一元二次方程根的情况判断即可. 【详解】由“”，取，，则关于的方程为，，方程无实数解， 即“”不是“关于的方程有且仅有整数解”的充分条件； 再由“关于的方程有且仅有整数解”，可设方程的两个整数解分别为，， 根据韦达定理，，则得，故， 即“”不是“关于的方程有且仅有整数解”的必要条件. 综上，“”是 “关于的方程有且仅有整数解”的必要不充分条件. 故选：C 12．已知实数，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用分离参数法求出的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可. 【详解】对，则，而， 当且仅当时取等号，因此； 当时, ，当且仅当时取等号， 所以是的充要条件. 故选：C. 13．设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】化简和，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】化简可得或， 化简可得， 因为是或的子集， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 题型四 根据充分性，必要性求参数（共5小题） 14．（多选）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由可得，再由充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】因为集合，集合， 所以等价于即， 对比选项，、均为的充分不必要条件. 故选：AD. 15．已知集合，集合，若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】 【分析】依题意可得真包含于，分与两种情况讨论，分别求出参数的取值范围. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以真包含于， 当，即，此时，符合题意； 当，即，即， 此时要使真包含于，则，解得， 当时，符合题意； 当时，符合题意； 综上可得的取值范围为. 16．设集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，从而可求出实数的取值范围； （2）可知集合B是集合A的真子集，然后根据两集合的包含关系列不等式组可求得答案. 【详解】（1）因为， 则，解得， 即实数的取值范围为. （2）若“”是“”的充分不必要条件，则集合B是集合A的真子集， 因为，， 若，由（1）可知：； 若，则且（等号不同时成立），无解； 综上所述：实数的取值范围为. 17．已知集合或. (1)当时，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据集合间的运算可得； （2）根据题意⫋，根据和分类可得. 【详解】（1）当时，. 因为或， 所以或. （2）因为或，所以. 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以⫋. 当时，符合题意，此时有，解得. 当时，要使⫋，只需解得. 综上可得， 即实数的取值范围是 18．已知非空集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合的运算可求解； （2）利用充分不必要条件的定义，转化为P是Q的真子集，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【详解】（1）已知集合，. 当时，，或， 又， . （2）因为“”是“”充分不必要条件，所以P是Q的真子集， 又，， 所以，解得， 当时，是Q的真子集； 当时，也满足是Q的真子集， 综上所述：实数的取值范围为. 题型五 探索命题为真的充要条件（共5小题） 19．已知非空集合，则的充要条件是（   ） A．， B．， C．，且， D．， 【答案】D 【分析】根据充要条件的定义判断． 【详解】由，可得集合中存在元素不在集合中，结合各选项可得，的充要条件是，． 故选：D． 20．一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【答案】 【分析】首先写成充要条件，再证明即可. 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 21．已知关于的方程，则该方程有两个正根的充要条件是 ． 【答案】或 【分析】根据方程有两个正根的充要条件是列出不等式组求解即可． 【详解】关于的方程，即， 则该方程有两个正根的充要条件是，且， 解得：或， 因此该方程有两个正根的充要条件是：或． 故答案为：或， 22．不等式恒成立的充要条件是 ; 【答案】 【解析】先根据一元二次不等式恒成立得，再根据充要条件概念即可得答案. 【详解】当时，即，当时，，不等式恒成立，满足条件,时，不满足条件； 当时，由一元二次不等式恒成立得：， 解得：或. 综上：. 所以,不等式恒成立的充要条件是 【点睛】本题考查充要条件的求解，一元二次不等式恒成立问题，属于中档题. 23．已知两个关于x的一元二次方程和，两方程的根都是整数的充要条件为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的概念、一元二次方程由实数根，求得，根据两方程的根是整数，则其根的和与积也为整数列式，由此求得的值. 【详解】因为是一元二次方程，所以． 又另一方程为，且两方程都要有实根， 所以，解得． 因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数， 所以，所以m为4的约数．又，所以或． 当时，第一个方程的根为非整数； 而当时，两方程的根均为整数，所以两方程的根都是整数的充要条件是． 故答案为： 【点睛】本小题主要考查充要条件的求法，属于中档题. 题型六 命题的否定（共5小题） 24．命题“”的否定是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全称命题的否定：“任意”改“存在”，并否定原结论，即可得答案. 【详解】全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为：. 故选：C. 25．已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由存在量词命题的否定形式可得出结论. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知： 命题的否定：. 故选：B. 26．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全称命题的否定概念可得答案. 【详解】由题可得原命题的否定为“”. 故选：C 27．全称量词命题，它的否定： 【答案】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题直接求解即可. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知： 命题的否定：. 故答案为： 28．命题“”的否定是 . 【答案】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在在量词命题易知. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在在量词命题可知： 命题“”的否定是. 故答案为： 题型七 判断全称量词命题，存在量词命题的真假（共5小题） 29．已知命题p：，，命题q：，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】结合存在量词和全称量词判断的真假，再判断各选项.. 【详解】当时，，所以为真命题， 当时，，所以为假命题， 所以为假命题，为真命题， 所以只有C正确， 故选：C. 30．若命题p：，；命题q：，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】利用举例子说明存在性命题为真命题；再利用基本不等式求得的范围判断命题q为假命题，即可确定选项. 【详解】对于命题p：，，可取，则有，故命题为真命题； 对于命题q：，，因时，， 当且仅当时，等号成立，故命题q为假命题，则是真命题. 故选：C. 31．已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】举出反例证明为假命题，所以为真；找出实例证明为真命题，所以为假；由此即可求解. 【详解】对于命题，时，， 所以，为假命题，为真命题， 对于命题，，解得，或， 所以，，为真命题，为假命题， 所以和都是真命题. 故选：C 32．已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】A 【分析】利用判断命题的真假，举出实例，得到为真命题. 【详解】 由，得是真命题，是假命题； 命题，时，，， 故满足，为真命题. 故选：A. 33．下列命题中真命题的个数是（    ） ①，； ②存在四边形不是菱形； ③存在一对整数，，使得． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据特称命题判断各个小题的真假即可判断. 【详解】因为，且，所以①是真命题； 四边形可以为梯形，所以②是真命题； 取时，，所以③是真命题． 故真命题的个数是3个． 故选：D. 题型八 根据全称量词命题，存在量词命题的真假求参数（共5小题） 34．已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别根据已知命题的真假求出相应参数的取值范围，即可求得答案. 【详解】由题意知命题：“”为全称量词命题，是真命题， 故，可得； 结合题意知命题：“”为假命题， 则，即无实数解， 则，解得， 综合上述a需满足， 可知实数的取值范围是， 故选：A 35．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题； 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A 36．若命题“,”是假命题，则不能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为命题的否定“,”为真命题.用关于的一次函数来考虑，即可解. 【详解】根据题意，知原命题的否定“,”为真命题. 令,,解得. 故选:C. 37．已知命题，是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由命题p的否定“，”为真命题，分离参数可得对恒成立，由基本不等式求出的最小值即可得出答案． 【详解】解：由题意，命题p的否定“，”为真命题． 即对恒成立， 因为，， 当且仅当，即时取等， 所以. 故选：C． 38．已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】先求出命题、分别为真命题时实数的取值范围，然后分真假，或假真两种情况可求得结果. 【详解】由命题为真命题，得，解得， 由命题为真命题，得，解得， 因为命题、一真一假，所以真假，或假真， 当真假时，，得， 当假真时，，得， 综上，或. 故答案为：或. $专题02 常用逻辑用语 题型1 判断命题的真假 题型2 根据命题的真假求参数（常考点） 题型3 判断充分性，必要性（重点） 题型4 根据充分性，必要性求参数（重点）（难点） 题型5 探索命题为真的充要条件（常考点） 题型6 命题的否定（常考点） 题型7 判断全称量词命题，存在量词命题的真假（重点） 题型8根据全称量词命题，存在量词命题的真假求参数（重点）（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判断命题的真假（共5小题） 1．判断下列命题的真假： （1）集合是集合的真子集；( ) （2）是集合的元素；( ) （3）2是集合的子集；( ) （4）满足的集合A的个数是个．( ) 2．下列四个命题中，是假命题的是（    ） A．，且 B．，使得 C．若x＞0，y＞0，则 D．若，则的最小值为1 3．（多选）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．关于的方程，有下列四个命题： 甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是 . 5．判断下列命题的真假，并说明理由. (1)所有偶数都不是素数； (2)是的真子集； (3)0是的真子集； (4)如果集合A是集合B的子集，那么B不是A的子集. 题型二 根据命题的真假求参数（共3小题） 6．若“，”是真命题，则实数的取值范围是 ； 7．设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 8．命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 题型三 判断充分性，必要性 （共5小题） 9．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．设a，b是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．“”是 “关于的方程有且仅有整数解”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知实数，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四 根据充分性，必要性求参数（共5小题） 14．（多选）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 15．已知集合，集合，若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 16．设集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17．已知集合或. (1)当时，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18．已知非空集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 题型五 探索命题为真的充要条件（共5小题） 19．已知非空集合，则的充要条件是（   ） A．， B．， C．，且， D．， 20．一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 21．已知关于的方程，则该方程有两个正根的充要条件是 ． 22．不等式恒成立的充要条件是 ; 23．已知两个关于x的一元二次方程和，两方程的根都是整数的充要条件为 ． 题型六 命题的否定（共5小题） 24．命题“”的否定是（　　） A． B． C． D． 25．已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 26．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 27．全称量词命题，它的否定： 28．命题“”的否定是 . 题型七 判断全称量词命题，存在量词命题的真假（共5小题） 29．已知命题p：，，命题q：，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 30．若命题p：，；命题q：，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 31．已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 32．已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 33．下列命题中真命题的个数是（    ） ①，； ②存在四边形不是菱形； ③存在一对整数，，使得． A．0 B．1 C．2 D．3 题型八 根据全称量词命题，存在量词命题的真假求参数（共5小题） 34．已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 36．若命题“,”是假命题，则不能等于（    ） A． B． C． D． 37．已知命题，是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 38．已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． $