专题06 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性（期中专项训练）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题06 函数单调性、奇偶性、周期性、对称性 题型1 用定义法证明函数的单调性（重点） 题型9 函数奇偶性判断（常考点） 题型2 求函数单调区间（常考点） 题型10 由函数奇偶性求解析式（重点） 题型3 根据函数的单调性求参数（重点） 题型11 函数奇偶性应用（常考点） 题型4根据函数的单调性解不等式（常考点） 题型12 抽象函数的奇偶性（常考点） 题型5 根据函数单调性求值域（常考点） 题型13 由函数的奇偶性求参数（重点） 题型6 根据函数的值域（最值）求参数（常考点） 题型14 函数奇偶性+单调性求解析式（常考点） 题型7 函数不等式恒成立问题（重点）（难点） 题型15 函数奇偶性、单调性、奇偶性、对称性综合应用（重点）（难点） 题型8函数不等式能成立 （重点）（难点） 题型16 函数综合应用（大题）（重点）（难点） 题型17 抽象函数综合问题（大题）（重点）（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 用定义法证明函数的单调性（共5小题） 1．已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 2．已知函数，图象经过点，且. (1)求a，b的值； (2)判断并证明函数在区间上的单调性. 3．已知函数，其中. (1)当时，若，求函数的最小值； (2)当时，若，判断并证明函数的单调性. 4．已知函数 (1)求的值； (2)若，试判断函数在上的单调性，并说明理由． 5．已知函数 (1)求的值； (2)若，用单调性定义证明：函数在上是减函数． 题型二 求函数单调区间（共5小题） 6．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 7．函数的单调递减区间为 . 8．函数的单调递增区间为 . 9．已知函数，则的单调递增区间为 . 10．已知函数，．求函数的单调区间． 题型三 根据函数的单调性求参数 （共5小题） 11．已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．设函数在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为 ． 题型四 根据函数的单调性解不等式 （共5小题） 16．，其中，若，则得取值范围是（ ） A． B． C． D． 17．已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 18．已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 19．已知函数，若，则实数的取值范围 . 20．已知函数，，求实数的取值范围． 题型五 根据函数单调性求值域（共5小题） 21．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 22．函数在区间上的值域为 ． 23．求函数的值域. 24．已知函数，且 (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 25．求函数的最大值和最小值． 题型六 根据函数的值域（最值）求参数（共5小题） 26．已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 27．函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．函数在上的最大值为，则 . 30．已知函数的最小值、最大值分别为1，3，求的值． 题型七 函数不等式恒成立问题 （共5小题） 31．已知不等式的解集为，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 32．已知定义在上的函数，．当时，的最小值为． (1)若，求的值； (2)求的解析式； (3)若对于，总有成立，求实数的取值范围. 33．已知函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求a，b的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数t的取值范围. 34．已知函数． (1)若的解集为，求，的值； (2)若，求不等式的解集； (3)在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 35．已知函数（） (1)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (2)对（1）中的，当，时，恒有成立，求实数m的取值范围． 题型八 函数不等式能成立 （共5小题） 36．已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．已知，若，对均有成立，则实数m的取值范围为 . 38．设函数，函数. (1)若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的最大值. 39．已知函数，，（） (1)当时，求的值； (2)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 40．已知函数在区间上有最大值4和最小值1． (1)求，的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数的取值范围． 题型九 函数奇偶性判断（共5小题） 41．函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既非奇函数也非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 42．若定义在上的函数满足：对于任意，有，则下列说法一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 43．已知函数，，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 44．（多选）已知函数的定义域为，则下列说法正确的是（    ） A．可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和 B．若是奇函数，则是偶函数 C．若是偶函数，则是偶函数 D．若是奇函数，则是奇函数 45．（多选）已知函数下列命题正确的是（    ） A．若是奇函数，则 B．若是奇函数，则 C．若是减函数，则的取值范围为 D．若是减函数，则的取值范围为 题型十 由函数奇偶性求解析式（共5小题） 46．已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 47．（多选）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 48．已知是奇函数，当时，，则当时， . 49．已知为偶函数，若当时， ，则的解析式是 . 50．设是定义在上的函数，时，，当为奇函数时，函数 ． 题型十一 函数奇偶性应用（共5小题） 51．已知函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 52．已知函数．若的最小值为，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 53．函数，若．则（   ） A． B． C．0 D．3 54．函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 . 55．如果奇函数在区间上单调递减且最大值为5，那么函数在区间上最小值 . 题型十二 抽象函数的奇偶性（共5小题） 56．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 57．已知，且是定义在R上的奇函数，，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 58．已知f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x，y都成立，则函数f（x）是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数，也是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数 59．（多选）已知定义在上的函数满足，定义在上的函数满足，则（    ） A．不是奇函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．是奇函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 60．（多选）定义域为R的函数满足，且当时，.以下结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为增函数 D．为减函数 题型十三 由函数的奇偶性求参数（共5小题） 61．已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 62．已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . 63．已知、为实数，且函数是偶函数，则 . 64．已知．若为偶函数，则 ． 65．设且是奇函数，则实数的值为 . 题型十四 函数奇偶性+单调性求解析式（共5小题） 66．已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)探究的奇偶性； (3)求不等式的解集． 67．已知函数是定义在 R 上的奇函数，且 (1)确定函数f(x)的解析式； (2)用定义证明f(x)在上单调递减； (3)若都有 ，求m的取值范围. 68．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 69．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 70．函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式； (2)判断并证明的单调性； (3)解不等式． 题型十五 函数奇偶性、单调性、奇偶性、对称性综合应用（共5小题） 71．（多选）已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为奇函数 C．是周期为4的函数 D． 72．（多选）已知函数是定义在上的奇函数，且，则（    ） A．的一个周期为3 B．的图象关于直线对称 C． D． 73．（多选）定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上是增函数 C．在上是减函数 D． 74．（多选）若函数是奇函数，是奇函数，则下列选项一定正确的是（    ） A．函数图象关于点对称 B．函数的周期为1 C． D． 75．（多选）定义在上的奇函数满足，且在上是增函数，下面判断正确的是（    ） A．的周期是 B．是函数的最大值 C．的图象关于点对称 D．在上是减函数 题型十六 函数综合应用（大题）（共5小题） 76．已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 77．若函数对于定义域中的任意实数x，都存在实常数a，b满足，则称关于点对称． (1)已知函数的图像关于对称，求实数m的值； (2)在（1）的结论下，已知，若对于任意的正实数t和负实数x，恒有成立，求实数k的取值范围． 78．已知函数. (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断并证明函数在区间上的单调性； (3)解关于的不等式：. 79．定义：对于关于的函数，函数在范围内的最大值，记作.如函数，在范围内，该函数的最大值是，即.请根据以上信息，完成以下问题：已知函数（为常数）. (1)若. ①直接写出该函数的表达式，并求的值； ②已知，求的值. (2)若该函数的图象经过点，且，求的值. 80．已知函数. (1)用函数单调性的定义证明：在上单调递增. (2)若，函数. （i）证明：的图象关于直线对称； （ii）求在上的值域（用含的式子表示）. 题型十七 抽象函数综合问题（大题）（共5小题） 81．已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 82．已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 83．定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明： (1)； (2)对任意的恒有； (3)是增函数． 84．已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递减； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 85．定义在上的函数满足，，且时，． (1)判断并证明的奇偶性； (2)求关于t的不等式的解集． $专题06 函数单调性、奇偶性、周期性、对称性 题型1 用定义法证明函数的单调性（重点） 题型9 函数奇偶性判断（常考点） 题型2 求函数单调区间（常考点） 题型10 由函数奇偶性求解析式（重点） 题型3 根据函数的单调性求参数（重点） 题型11 函数奇偶性应用（常考点） 题型4根据函数的单调性解不等式（常考点） 题型12 抽象函数的奇偶性（常考点） 题型5 根据函数单调性求值域（常考点） 题型13 由函数的奇偶性求参数（重点） 题型6 根据函数的值域（最值）求参数（常考点） 题型14 函数奇偶性+单调性求解析式（常考点） 题型7 函数不等式恒成立问题（重点）（难点） 题型15 函数奇偶性、单调性、奇偶性、对称性综合应用（重点）（难点） 题型8函数不等式能成立 （重点）（难点） 题型16 函数综合应用（大题）（重点）（难点） 题型17 抽象函数综合问题（大题）（重点）（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 用定义法证明函数的单调性（共5小题） 1．已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 【答案】(1) (2)在区间和和上分别单调递减 【分析】（1）直接根据题意代入求值即可； （2）根据定义法判断函数的单调性即可. 【详解】（1）因为，所以，则， 故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即， 故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即， 故在区间单调递减， ③当时，， 则，即， 故在区间单调递减， 综上，在区间和和和上分别单调递减． 2．已知函数，图象经过点，且. (1)求a，b的值； (2)判断并证明函数在区间上的单调性. 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，建立方程组并求解即得. （2）判断单调性，再利用函数单调性定义推理论证. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）由（1）知，，函数在上单调递增. 任意，则， 由，得，即，因此， 所以函数在上单调递增. 3．已知函数，其中. (1)当时，若，求函数的最小值； (2)当时，若，判断并证明函数的单调性. 【答案】(1) (2)单调递减；证明见详解. 【分析】（1）根据基本不等式即可得结果； （2）利用定义证明单调性即可. 【详解】（1）因为，则， ∵，∴， 当且仅当，即时，等号成立. 故函数的最小值为. （2）函数在区间上单调递减，证明如下： 因为，则 ，且，则 由，得，， 于是，即. 所以，函数在区间上单调递减. 4．已知函数 (1)求的值； (2)若，试判断函数在上的单调性，并说明理由． 【答案】(1) (2)减函数；答案见解析 【分析】（1）由函数解析式计算即可； （2）由单调性的定义证明即可； 【详解】（1）， 所以， （2）， 函数在上单调递减，证明如下： 设， 则， 由于，，则， 故，即 所以在上为减函数. 5．已知函数 (1)求的值； (2)若，用单调性定义证明：函数在上是减函数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据函数解析式求出的值，代入即可求解； （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以. （2）由题意可得， 且， ， 因为，所以，，， 所以，即， 因此函数在上是减函数． 题型二 求函数单调区间（共5小题） 6．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】应用分段函数性质结合二次函数的单调性即可判断. 【详解】函数， 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 7．函数的单调递减区间为 . 【答案】、 【分析】作出函数的图象，可得出该函数的单调递减区间. 【详解】因为， 由此画出函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递减区间为、.    故答案为：、. 8．函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】利用分离常数法，得，结合的范围可得答案. 【详解】， 由，得， 当时，单调递减，单调递增； 当时，单调递减，单调递增， 所以的单调增区间为． 故答案为：． 9．已知函数，则的单调递增区间为 . 【答案】， 【分析】根据绝对值的符号分类讨论，利用二次函数的单调性判断即可. 【详解】当时，， 函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为； 当时，， 函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为. 综上，的单调递增区间为，. 故答案为：， 10．已知函数，．求函数的单调区间． 【答案】单调递增区间为和，单调递减区间为 【分析】由，利用二次函数的性质求解. 【详解】由题意得 当时，， 此时函数的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，， 此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 题型三 根据函数的单调性求参数 （共5小题） 11．已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 12．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，和讨论函数在上的单调性，即可得出答案. 【详解】当时，在上单调递增，满足题意， 当时，，满足题意， 当时，，由对勾函数的性质知， 若满足题意则，解得． 综上，. 故选：B． 13．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 14．设函数在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在本题中先求出函数的对称轴，再根据函数在区间上具有单调性，分类讨论，确定对称轴与区间的位置关系来求解的取值范围. 【详解】对于函数，可得对称轴为. 因为函数在区间上具有单调性，所以对称轴不在区间内. 当时，即，函数在区间上单调递增. 当时，即，函数在区间上单调递减. 所以的取值范围是或. 故选：D. 15．已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围． 【详解】对任意的实数，都有，即成立， 可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数； 可得：， 解得， 故答案为：． 题型四 根据函数的单调性解不等式 （共5小题） 16．，其中，若，则得取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数图像，结合对称性构造不等式即可求解； 【详解】    画出函数的图像， 当时，， , 即， 同理：当时，也可得， 所以的图像的图像关于对称； 所以等价于， 即， 解得：或， 又， 所以得取值范围是， 故选：B 17．已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意根据函数单调性定义可得在上单调递增，原不等式等价于，即可解出. 【详解】由，得， 令，则，因此函数在上单调递增， 由，得， 由，得， 即，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C 18．已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，分析该函数的单调性，结合所求不等式可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】作出函数的图象如下图所示：    由图可知，在上是减函数． 因为，所以，即， 即，解得，所以实数的取值范围为． 故答案为：． 19．已知函数，若，则实数的取值范围 . 【答案】或 【分析】求出函数的单调区间及单调性，再利用单调性解不等式. 【详解】函数的定义域为，函数在上都递增， 因此函数在上单调递增，由， 则，解得或， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：或 20．已知函数，，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由一元二次函数的图象和性质可得，两边平方取绝对值解不等式即可. 【详解】因为一元二次函数的对称轴为，开口向上， 根据单调性可知距离对称轴越远，函数值越大， 所以由，得，即， 所以，即， 所以，即， 所以， 等价于或， 解得. 题型五 根据函数单调性求值域（共5小题） 21．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】化简可得：， 设,则. 由对勾函数的性值可知： 函数是奇函数，在上单调递减，上单调递增， 当时，在处取得最小值，当或时，， 所以的值域为， 所以函数值域为， 故选：C. 22．函数在区间上的值域为 ． 【答案】 【分析】根据函数在上的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上恒正且单调递增，则在上单调递减， 所以，故的值域为． 故答案为：. 23．求函数的值域. 【答案】 【分析】当时，得，当时，得，令，通过换元进行求解． 【详解】当时，得， 当时，得， 令，得， 因为且，函数在和上单调递增， 得或， 则或， 综上知，函数的值域为： 24．已知函数，且 (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）法一：根据求出的值，利用换元法求的解析式即可； 法二：根据配凑法得到，根据求出的值，即得到解析式. （2）利用函数单调性的定义求函数在上的单调性，进而求得最值. 【详解】（1）方法一：因为，，令，即， 所以，则，解得， 所以， 令，，则， 则，， 所以函数的解析式为. 方法二：由题意，所以， 又，所以，解得， 所以，即函数的解析式为. （2）由（1）知，任取，，且， 则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递增， 同理，任取，且，则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递减， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的最小值为，最大值为. 25．求函数的最大值和最小值． 【答案】， 【分析】将函数变形换元，然后利用函数单调性求解即可. 【详解】因为，则， 令，因为，所以， 令， 取，且， 由 ， 因为，且， 所以， 所以且， 所以， 所以在上为减函数， 则，， 所以，又在上单调递减 所以，． 题型六 根据函数的值域（最值）求参数（共5小题） 26．已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 【答案】B 【分析】先将函数进行分离常数的变形，然后根据反比例函数的性质分析其单调性，再结合函数在给定区间上的最大值列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】．因为，所以函数在上单调递减，所以函数在区间上的最大值为，解得． 故选：B. 27．函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由具体函数的定义可得且，再分和，结合条件，当时，，从而可知A，B和C均错误，选项D，令，且，则，当时，，可求得，又时，，即可求解. 【详解】由题知且，解得且， 又，则当时，恒成立，此时，不满足函数的值域为，所以选项A，B和C均错误， 对于选项D，当时，令，且，则， 当时，， 令，易知在区间上单调递减，则当时，， 在区间上单调递减，则当时，， 所以当时，，又当时，，所以满足题意， 故选：D. 28．设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质结合基本不等式求解即可. 【详解】，当时，， 当且仅当即时，等号成立； 当时，，要使是的最小值， 只需在上递减，且， 即，解得. 故选：B 29．函数在上的最大值为，则 . 【答案】 【分析】按照和分类判断出函数在上的单调性，即可得出函数的最值，利用最值列式求解即可. 【详解】易知，是由向左平移1个单位得到， 当时，即在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，解得，与矛盾； 当时，即在上单调递增， 所以在上单调递增，所以，解得. 故答案为：. 30．已知函数的最小值、最大值分别为1，3，求的值． 【答案】或 【分析】转化为关于的方程有解，进而根据判别式列不等式，由不等式的解集求解系数的值即可. 【详解】由题意定义域为，则在上有解， 当时，， 由题意知的解集为， 故1和3为关于y的二次方程的两个根 则，解得或. 当时，方程为， 此时，使得方程有解，且使得方程有解， 综上所述，或. 题型七 函数不等式恒成立问题 （共5小题） 31．已知不等式的解集为，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题可得，则不等式等价于对恒成立，设，分析函数的值域，再结合恒成立问题列出不等式组求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 由可得，所以且，即， 或根据图象可得， 不等式对恒成立， 等价于不等式对恒成立. 设， 当时，在上是增函数，， 当时，. 因此函数的值域为， 又不等式对恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 32．已知定义在上的函数，．当时，的最小值为． (1)若，求的值； (2)求的解析式； (3)若对于，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)由对称性以及二次函数的对称轴可求； (2)讨论对称轴的范围，分三种情况：当时，；当时，，当时，. (3)首先讨论的单调性，得到单调性后可转化为与的不等式. 【详解】（1）因为，所以关于对称， 又因为的对称轴为， 所以，即. （2）函数，是一个开口向上的二次函数，对称轴为， 所以当，即时， 当，即时， 当，即时， 综上所述 ， . （3）当时,且单调递减； 当时，的对称轴为,在单调递减； 当时，单调递减， 所以单调递减， 因此，总有成立可转化为，总有， 即 ， 因为，当且仅当时取等号，所以， 故实数的取值范围为. 33．已知函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求a，b的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数的性质列方程组即可求解； （2）原题条件等价于对任意的都成立，进一步列不等式组即可求解. 【详解】（1）因为，且， 可知的图象开口向上，对称轴为，可知在上单调递增， 则，解得. （2）由（Ⅰ）得， 因为存在，使对任意的都成立， 由（Ⅰ）可知：在内单调递增，则， 可得，即对任意的都成立， 因为可得，解得， 故实数的取值范围为. 34．已知函数． (1)若的解集为，求，的值； (2)若，求不等式的解集； (3)在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据不等式解集得到方程的两根为1，2，代入后得到方程组，求出答案； （2）变形为，分，，，和五种情况，得到不等式的解集； （3）只需，换元后，由基本不等式求出函数最小值，进而得到，求出答案. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为1，2， 所以解得 （2）因为，所以． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，不等式可化为，解集为或； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为； ⑤当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. （3）由（1）知不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，，故实数的取值范围为． 35．已知函数（） (1)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (2)对（1）中的，当，时，恒有成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数的图象是开口向上抛物线，且对称轴为，分类讨论，求得函数的最大值，进而求得的表达式； （2）当时，求得，转化为当，恒有，令，得到，分类讨论，求得的取值范围，即可求解. 【详解】（1）解：函数的图象是开口向上抛物线，且对称轴为， 当时，函数在区间上单调递增，所以； 当时，函数在区间上单调递减，所以； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 所以的表达式为. （2）解：当时，可得，可得， 因为当，恒有成立， 所以当，恒有， 令，则， 当时，即时，，解得，所以； 当时，即时，，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围是. 题型八 函数不等式能成立 （共5小题） 36．已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两个函数的值域，再根据题意判断两值域间的包含关系解得. 【详解】因为，对，有. 同理，对，有. 由，，使得，得 ，得. 故选：B. 37．已知，若，对均有成立，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，由题设得，先由一元二次函数性质直接求出，接着分、和三种情况求出即可求解. 【详解】令， 因为，对均有成立， 所以， 因为，所以函数在上单调递增， 所以当时，， 当时，在上单调递增，所以， 所以，所以； 当时，在上恒成立，所以， 所以，符合题意； 当时，在上单调递减，所以， 所以，所以. 综上，满足题意的实数m的取值范围为. 故答案为：. 38．设函数，函数. (1)若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）转化为，由基本不等式得到，由函数单调性得到，从而得到不等式，求出答案； （2）参变分离得到，变形后，由基本不等式求出的最大值，从而求出答案. 【详解】（1）对于任意的，总存在，使得， 即， 其中，， 当且仅当，即时，等号成立， 故， 因为是减函数，所以当时，， 所以，解得. （2）时，可得，， 即， 因为，分离参数可得 ， 由题意，不等式在存在解集，则 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以，解得， 所以的最大值为1. 39．已知函数，，（） (1)当时，求的值； (2)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）将自变量代入求函数值即可； （2）由题设恒成立，结合求参数范围； （3）问题化为在，，有成立，求出，讨论对称轴与区间位置关系列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，则； （2）由题设恒成立，即恒成立， 所以，只需，可得； （3）由题设，在，，有成立， 对于，，易知， 对于，， 当，时，，显然，满足； 当，时，，只需，可得； 当，时，，只需，无解； 综上，. 40．已知函数在区间上有最大值4和最小值1． (1)求，的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次函数单调性和最值列式求解即可； （2）根据存在性问题结合二次函数最值可得对任意的都成立，结合一次函数性质分析求解. 【详解】（1）因为，且， 可知的图象开口向上，对称轴为，可知在上单调递增， 则，解得. （2）由（1）得， 因为存在，使对任意的都成立， 由（1）可知：在内单调递增，则， 可得，即对任意的都成立， 可得，解得或， 故实数的取值范围为． 题型九 函数奇偶性判断（共5小题） 41．函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既非奇函数也非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】函数的定义域为， 当时，，有，； 当时，，有，； 当，，， 综上所述，对任意的，成立，所以函数为偶函数， 故选：B． 42．若定义在上的函数满足：对于任意，有，则下列说法一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】A 【分析】利用赋值法结合奇偶性定义判断即可. 【详解】令得，所以， 令得，所以， 令得， 令得， 所以是奇函数， 故选：A 43．已知函数，，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】根据奇偶性的概念分别判断函数的奇偶性，再利用奇偶性的概念与性质逐项判断即可得结论. 【详解】函数的定义域为，则，所以函数是奇函数， 函数的定义域为，所以，则是偶函数， 所以，不能确定奇偶性，A错误； ，不能确定奇偶性，B错误； ，则是奇函数，C正确； ，则是偶函数，D错误． 故选：C. 44．（多选）已知函数的定义域为，则下列说法正确的是（    ） A．可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和 B．若是奇函数，则是偶函数 C．若是偶函数，则是偶函数 D．若是奇函数，则是奇函数 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性定义逐项分析判断. 【详解】对于A，，令， 则，即是偶函数，是奇函数， 而，因此可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，A正确； 对于B，是奇函数，则，，是偶函数，B正确； 对于C，是偶函数，则，，是奇函数，C错误； 对于D，是奇函数，则，，是奇函数，D正确. 故选：ABD 45．（多选）已知函数下列命题正确的是（    ） A．若是奇函数，则 B．若是奇函数，则 C．若是减函数，则的取值范围为 D．若是减函数，则的取值范围为 【答案】AC 【分析】根据奇函数的性质即可求解，根据单调性的性质即可求解CD. 【详解】当时，. 若是奇函数，则，解得， 当时，时，， 也满足奇函数，故A正确. 若是减函数，则，解得，C正确. 故选：AC 题型十 由函数奇偶性求解析式（共5小题） 46．已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质求函数解析式即得. 【详解】当时，，则， ∵函数是定义域为的偶函数，∴， ∴. 故选：A. 47．（多选）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 【答案】AD 【分析】AB选项，由奇函数得到，，进而得到，得到为偶函数，B错误；C选项，；D选项，由函数的奇偶性结合时的解析式，求出答案. 【详解】AB选项，因为是定义在R上的奇函数， 根据奇函数性质可知，，A正确； 的定义域为R，由于， 则， 即为偶函数，B错误； C选项，当时，，则， 故，C错误； D选项，当时，，则， 所以，D正确． 故选：AD． 48．已知是奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】利用函数奇偶性以及时的解析式代入计算可得结果. 【详解】当时，可得, 所以， 又是奇函数，因此，可得. 故答案为： 49．已知为偶函数，若当时， ，则的解析式是 . 【答案】 【分析】由偶函数的定义求时的解析式，两式结合即可得函数的解析式. 【详解】若，则， 则当时，， 又为偶函数，则， 即当时，， 因此可得. 故答案为：. 50．设是定义在上的函数，时，，当为奇函数时，函数 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用奇偶性求另一半区间解析式即可. 【详解】当时，，． 因为是奇函数，则，则. 故答案为： 题型十一 函数奇偶性应用（共5小题） 51．已知函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由题意可得，可求的值. 【详解】由，得，函数的定义域为， 令，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以， 则的图象关于点对称，所以. 故选：C. 52．已知函数．若的最小值为，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】构造一个函数，通过证明函数为奇函数，说明函数的最大值，进而求出原函数的最大值. 【详解】令函数，所以最小值为， 已知，所以在上为奇函数， 则在上的最大值为，所以的最大值为； 故选：B. 53．函数，若．则（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【分析】应用已知结合奇偶性计算求值. 【详解】函数， 若，则， 则. 故选：D. 54．函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数的性质，可证明函数关于点成中心对称图形，即可求得. 【详解】由函数， 因为函数是定义在上的奇函数，所以有， 则， 所以可得函数关于点成中心对称图形， 因为函数的最大值为，最小值为， 所以最大值点与最小值点关于点成中心对称图形， 即， 故答案为：. 55．如果奇函数在区间上单调递减且最大值为5，那么函数在区间上最小值 . 【答案】 【分析】直接利用奇函数的对称性与单调性即可得出所求的答案. 【详解】因为奇函数在区间上单调递减且最大值为5， 根据奇函数关于原点对称， 所以在区间上单调递减且最小值为. 故答案为：. 题型十二 抽象函数的奇偶性（共5小题） 56．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【分析】用赋值法，先令求得，再令求解后即可判断． 【详解】在中， 令，则，又，所以， 令得，所以， 所以是偶函数， 故选：B． 57．已知，且是定义在R上的奇函数，，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的定义，判断与的关系即可求解. 【详解】由已知的定义域为R， 因为是定义在R上的奇函数，所以， 所以， 所以为偶函数， 又，，又， 所以，所以不为奇函数， 故选：B． 58．已知f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x，y都成立，则函数f（x）是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数，也是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】A 【分析】首先求，再通过赋值，结合奇函数的定义，证明函数是奇函数. 【详解】令x＝y＝0，所以f（0）＝f（0）＋f（0）， 所以f（0）＝0. 又因为f（x－x）＝f（x）＋f（－x）＝0， 所以f（－x）＝－f（x）， 所以f（x）是奇函数. 故选：A 59．（多选）已知定义在上的函数满足，定义在上的函数满足，则（    ） A．不是奇函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．是奇函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】BC 【分析】根据，对取特殊值，分别根据奇函数与偶函数的定义可判断的奇偶性，根据可得，进而可得奇偶性. 【详解】令，得，令，得，则， 所以既是奇函数又是偶函数． 由，得， 因为，所以是奇函数． 故选：BC 60．（多选）定义域为R的函数满足，且当时，.以下结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为增函数 D．为减函数 【答案】AC 【解析】由题意，令x=y=0，可求得，令y=-x，代入条件，可求得的奇偶性，任取，且，利用定义法，结合题意，即可证明的单调性 【详解】因为对于任意x，y都有， 令x=y=0，则，即， 令y=-x，则，所以， 所以为奇函数，故A正确， 任取，且， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以在R上为单调递增函数，故C正确， 故答案为：AC 题型十三 由函数的奇偶性求参数（共5小题） 61．已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据奇函数定义结合函数定义域计算求解. 【详解】函数是奇函数，且，都在定义域内， 所以且， 所以且， 所以，所以. 故选：A. 62．已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . 【答案】 1 0 【分析】由题知区间需对称，则，结合，即可求解，注意需检验. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，. 此时，是定义在上的奇函数. 故答案为：1；0 63．已知、为实数，且函数是偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质，结合二次函数的对称性，即可列式求解. 【详解】函数是偶函数， 则且，得， 所以. 故答案为：4 64．已知．若为偶函数，则 ． 【答案】 【分析】利用偶函数的定义求出参数值. 【详解】函数的定义域为R，由为偶函数，得， 即，而不恒为0， 所以. 故答案为：0. 65．设且是奇函数，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据计算可得. 【详解】函数为奇函数， 则，即， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为： 题型十四 函数奇偶性+单调性求解析式（共5小题） 66．已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)探究的奇偶性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)偶函数 (3) 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可； （3）利用函数的单调性，结合偶函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）把点的坐标分别代入中， 得； （2）显然函数的定义域为全体实数， 因为， 所以函数是偶函数； （3）当时，函数单调递增，且， 所以此时函数单调递减， 因为函数是偶函数， 所以由 ，或， 因此原不等式的解集为. 67．已知函数是定义在 R 上的奇函数，且 (1)确定函数f(x)的解析式； (2)用定义证明f(x)在上单调递减； (3)若都有 ，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据函数为R上的奇函数，则，再根据已知条件即可求解；（2）根据函数单调性的定义即可证明；（3）利用函数的单调性和定义域即可解不等式. 【详解】（1）因为函数 是定义在 R 上的奇函数，且 ，则 由，解得，经检验符合题意， 所以函数解析式为. （2）证明：任取，， 所以，所以f(x)在上单调递减. （3）由（2）可知，函数在上单调递减，且为奇函数，又 ， 则，解得. 所以m的取值范围. 68．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据奇函数性质求得，结合对应函数值求得，即得解析式； （2）应用单调性定义，作差法证明函数单调性； （3）根据函数的奇偶性、单调性解不等式即可. 【详解】（1）由题设，即，故， 由，故； （2）函数在上的单调递增，证明如下： 令，则， 而，故， 故函数在上的单调递增. （3）由题设得，则， 故解集为. 69．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【答案】(1)， (2)在上为减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性和单调性列方程来求得，从而求得的解析式. （2）根据单调性的定义，计算来判断的单调性. （3）利用函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 所以，而，所以，解得， 所以，． （2）函数在上为减函数， 证明如下：任取，且， 则， 因为，所以，，，， 所以， 即，所以函数在上为减函数． （3）因为是奇函数， 所以不等式可化为， 因为函数在上为减函数，所以． 解得，所以不等式的解集为． 70．函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式； (2)判断并证明的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1)， (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由已知得，求出，的值，即可求得函数的解析式，再检验即可； （2）根据函数单调性的定义可证明； （3）根据函数的单调性和奇偶性建立不等式组，求解即可. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得，解得， 经检验，时，， 所以是上的奇函数，满足题意， 又，解得， 故，； （2）函数在上单调递增，证明如下： 任取且， 则， 因为且，所以，， ，，， 所以，所以，即， 所以在上单调递增. （3）因为为奇函数， 所以， 由（2）可知在上单调递增 所以，解得， 即不等式的解集为. 题型十五 函数奇偶性、单调性、奇偶性、对称性综合应用（共5小题） 71．（多选）已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为奇函数 C．是周期为4的函数 D． 【答案】ACD 【分析】运用奇函数性质和对称性得到原函数的周期性，借助赋值可解. 【详解】为奇函数，得到，向右平移1个单位得到，则的图象关于点中心对称,则A正确. 则，的图象关于直线对称, 则，则, 则，则是周期为4的函数.则C正确. 令，则由，知，则..故D正确. 前面式子推不出，故B错误. 故选：ACD. 72．（多选）已知函数是定义在上的奇函数，且，则（    ） A．的一个周期为3 B．的图象关于直线对称 C． D． 【答案】AD 【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性一一判定即可. 【详解】由题意可知， 所以，即的一个周期为3，故A正确； 因为函数是定义在上的奇函数， 故有， 即的图象关于对称，故B错误； 由上，但不能确定的大小， 故C错误； 由上有，故D正确； 故选：AD. 73．（多选）定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上是增函数 C．在上是减函数 D． 【答案】AD 【分析】由题可得分析可得，进而可判断AD，利用函数的对称性结合条件可判断BC. 【详解】因为，是偶函数， 所以，即， 所以函数的图象关于直线对称，故A正确； 由偶函数在对称区间上的单调性相反，得在上是减函数，故B错误； 因为函数的图象关于直线对称，且在上是减函数， 所以在上是增函数，故C错误； 由，可得，故D正确. 故选：AD. 74．（多选）若函数是奇函数，是奇函数，则下列选项一定正确的是（    ） A．函数图象关于点对称 B．函数的周期为1 C． D． 【答案】AC 【分析】函数是奇函数，由奇函数的性质，知，图象关于对称，即；由是奇函数，利用奇函数的定义，得，结合得，即函数的周期为，所以，，即可求解. 【详解】是奇函数，则，即，所以函数图象关于点对称，故A选项正确； 又是奇函数，时，；时，，得， 又，令得，，即，所以函数的周期为，故B选项错误； 因为，无法判断，故C选项正确，D选项错误； 故选：AC. 75．（多选）定义在上的奇函数满足，且在上是增函数，下面判断正确的是（    ） A．的周期是 B．是函数的最大值 C．的图象关于点对称 D．在上是减函数 【答案】BD 【分析】先证明函数的周期为8，再画出函数的图象得解. 【详解】解：定义在上的奇函数满足， 所以函数的图象关于直线对称， 得，即， 则. 的周期为. 所以函数的图象如下： 由图可得，正确答案为：，. 故选：. 题型十六 函数综合应用（大题）（共5小题） 76．已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可； （2）借助定义法证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【详解】（1）由题意可得， 即，，故， 即，此时有， 故关于原点对称，故， 即的解析式为； （2）在上单调递增；证明如下： 令，则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增； （3）由题意可得为奇函数，则有， 又因为在上单调递增，则有，解得， 所以原不等式的解集为． 77．若函数对于定义域中的任意实数x，都存在实常数a，b满足，则称关于点对称． (1)已知函数的图像关于对称，求实数m的值； (2)在（1）的结论下，已知，若对于任意的正实数t和负实数x，恒有成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件对函数对称点的定义进行求解即可. （2）先根据基本不等式的性质求出的最小值，然后结合抛物线的性质求出的范围. 【详解】（1）由题意知，若的图像关于点对称，则． ∵的图像关于点对称，∴， ∴，∴，∴． （2）由题意知恒成立． ∵，∴， ∴要使得不等式恒成立，则在上恒成立， 即在上恒成立． 设，． ①当即时，，∴，∴． ②当即时，． 综上可知，． 78．已知函数. (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断并证明函数在区间上的单调性； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)是定义在上的奇函数 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的判定方法即可； （2）根据函数的单调性的判断方法即可判断证明； （3）利用（2）的结论，可将不等式转化为不等式组，求解即得. 【详解】（1）是定义在上的奇函数，证明如下： 依题意，函数的定义域关于原点对称， 又， 是定义在上的奇函数. （2）在上单调递增，理由如下： 任取，且， 则， ，， ，且，， ， ，即， 在上单调递增. （3）由（2）知，在上单调递增， 由可得，，解得： 故不等式的解集为. 79．定义：对于关于的函数，函数在范围内的最大值，记作.如函数，在范围内，该函数的最大值是，即.请根据以上信息，完成以下问题：已知函数（为常数）. (1)若. ①直接写出该函数的表达式，并求的值； ②已知，求的值. (2)若该函数的图象经过点，且，求的值. 【答案】(1)①；②. (2)时，或；当时，. 【分析】（1）①当时，可得出，分析二次函数在的增减性，即可求出的值； ②对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的增减性，结合可求得实数的值； （2）根据已知条件求出的值，然后对实数的取值进行分类讨论，并对的取值进行分类讨论，分析函数在时的增减性，结合可求得实数的值. 【详解】（1）①若，则， 当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而增大. 当时，；当时，，故； ②若，且当时，随着的增大而减大， 此时，不合乎题意； 若，且时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而增大. 若，则，不合乎题意， 若，则，因为，解得，合乎题意； 综上所述，. （2）因为函数（为常数），则，解得. 若，则，当时，，则，合乎题意； 若，则， 若，且当时，随着的增大而增大， 此时，即，因为，解得； 若，且当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小，此时，合乎题意； 综上所述，当时，或；当时，. 80．已知函数. (1)用函数单调性的定义证明：在上单调递增. (2)若，函数. （i）证明：的图象关于直线对称； （ii）求在上的值域（用含的式子表示）. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）见解析 【分析】（1）由单调性的定义证明即可； （2）（i）只需证明成立即可；（ii）根据对称性可知，只需研究在区间上的值域即可，结合函数的单调性即可得解. 【详解】（1），任取，且， 则 因为，且，所以，，， 所以，即，故在上单调递增. （2）（i）由题意得， ， 故，故的图象关于直线对称. （ii）由于的图象关于直线对称，所以只需研究区间， 由（1）知在上单调递增，令，则，整理得 ，又，解得. 当时，在单调递增，的值域为； 当时，， 所以在单调递减，在单调递增，的值域为； 当时，，在单调递减，又， 的值域为. 题型十七 抽象函数综合问题（大题）（共5小题） 81．已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）令、，结合奇偶性定义即可证； （2）设有，结合已知和单调性定义即可证； （3）利用奇偶性、单调性，化不等式为，即可求解集. 【详解】（1）令，则，所以， 令，则， 所以且定义域为R，故为奇函数； （2）设，因为， 所以， 所以， 因为，所以，所以，故在上单调递减； （3）因为为奇函数，且，所以， 不等式化为， 因为在上单调递减，所以，即，解得， 即不等式的解集是. 82．已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析 (2)函数在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函的奇偶性和单调性求解即可. 【详解】（1）函数是奇函数， 证明：令，则，解得， 令，则，令，则． 为定义在上的奇函数． （2）函数在上单调递减， 证明：，设，则， ， ，，． 又，， 又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数． 则当时，，， ，即，即， 在上单调递减； （3）因为， 由（1）知为定义在上的奇函数， 则， 的定义域为且在上是单调递减的， 解得， 不等式的解集为． 83．定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明： (1)； (2)对任意的恒有； (3)是增函数． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）令代入关系式，结合已知求值，即可证； （2）令得到，再由已知得，则，结合（1）结论，即可证； （3）法一：应用作商法，法二：应用作差法，结合函数单调性定义判断证明. 【详解】（1）令，则，又，故； （2）令，则，即， 由题意，当时，则，有， 所以，又， 所以； （3）法一：，且，令， 则，则， 因为，所以，， 所以，是增函数； 法二：，且， 所以， 由，得，又， 所以，即， 所以是增函数. 84．已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递减； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对进行赋值，计算即可求得答案； （2）利用函数的单调性定义结合题设条件推理证明即得； （3）利用（1）已得将不等式等价变形得到，再利用函数的单调性得到，求出函数的最小值，代入求解关于的一元二次不等式即可. 【详解】（1）由，取，可得：， 又当时，，则， 再取，可得：； （2）， ，且，则，依题， 则， 即在上单调递减； （3）由已知， 又由（1）得，则有， 因在上单调递减，则恒成立， 即恒成立，又， 则，解得， 故实数的取值范围为. 85．定义在上的函数满足，，且时，． (1)判断并证明的奇偶性； (2)求关于t的不等式的解集． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用赋值法整理化简等式，根据奇偶函数的定义，可得答案； （2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性，根据单调性以及题意化简不等式，可得答案. 【详解】（1）令，可得，所以． 令，可得，所以． 又的定义域为，图象关于原点对称，故为奇函数． （2）任取，，且，则， 于是， 因为，所以，由题意， 又为奇函数，所以， 所以，即，在上单调递减． 因为为奇函数，所以在单调递减，所以在上单调递减． 由，可知． 所以不等式， 等价于， 所以，解得．所以，原不等式的解集为． $