专题04 指数与对数（期中专项训练）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题04 指数与对数 题型1 根式的化简求值（常考点） 题型2 指数幂的运算 题型3 分数指数幂与根式的互化 （重点） 题型4 指数幂的化简、求值 （常考点） 题型5 对数的概念判断与求值（常考点） 题型6 指数式与对数式的互化（常考点） 题型7 对数运算（重点） 题型8换底公式的应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根式的化简求值（共5小题） 1．化简的结果是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶次根式有意义可求得，根据根式运算法则可化简求得结果. 【详解】有意义    ，即 故选 【点睛】本题考查根式的运算，关键是能够明确根式有意义的条件： 根指数为奇数，被开方数正负均可，结果的符号与被开方数的符号相同； 根指数为偶数，被开方数非负，结果非负. 2．若则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知等式化简为，可得，从而求得结果. 【详解】    ，解得： 即的取值范围为 故选 【点睛】本题考查根式的化简求值问题，属于基础题. 3．化简：（    ） A．3 B． C． D．或3 【答案】C 【分析】根据根式的性质化简即可. 【详解】解： 故选： 【点睛】本题考查根式的性质，属于基础题. 4．设，求的值. 【答案】原式 【解析】先化简集合，再对所求式子化简成含绝对值的式，进而对进行讨论去绝对值. 【详解】原式. ， 当时，原式； 当时，原式. ∴原式 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、配方法、去绝对值的方法，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 5．已知，化简. 【答案】. 【解析】把二次根式中被开方的式子进行配方，根据二次根式的性质，结合，化简即可. 【详解】解：原式.，∴， 所以. 【点睛】本题考查了利用指数函数的单调性对二次根式进行化简，考查了数学运算能力. 题型二 指数幂的运算（共5小题） 6． 【答案】/0.5 【分析】根据分数指数幂的运算法则计算可得. 【详解】. 故答案为：. 7．计算下列各式的值. (1)； (2)已知，求的值. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据分数指数幂和根式运算法则得到答案； （2）两边平方求出，两边平方求出，从而得到的值. 【详解】（1）原式. （2）因为， 所以， ， 所以. 8．（1）化简求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）194 【分析】（1）根据指数幂的运算性质可求出结果； （2）结合完全平方公式对条件多次平方即可求解. 【详解】（1） . （2）由，得，即， 则，即. 9．化简求值（需要写出计算过程）． (1)已知，求的值； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两边同时平方即求解即可； （2）由指数幂的运算性质求解即可. 【详解】（1）由题意，得  则． 所以. （2）原式． 10．计算下列各式的值 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】利用指数幂的运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）. 题型三 分数指数幂与根式的互化（共5小题） 11．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据根式与分数指数幂的互化及指数幂的运算法则逐项判断. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：CD. 12．将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）将根式化为分数指数幂，结合指数幂运算求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式. （4）原式. 13．（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】将根式化为分数指数幂，根据分数指数幂的运算法则进行计算； 【详解】（1） ； （2） ； （3）. 14．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)4608 (2)1 (3) 【分析】（1）将根式化简为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算化简； （2）利用分数指数幂的运算化简； （3）将根式化简为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算化简； 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 15．计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)1 (2)0 (3) 【分析】（1）（2）（3）运用指数幂的性质公式求解计算即可． 【详解】（1）原式. （2）原式 （3）（3）原式 题型四 指数幂的化简、求值 （共5小题） 16． ． 【答案】/0.5 【分析】根据分数指数幂运算公式计算. 【详解】原式. 故答案为：. 17．（1）化简； （2）已知，求的值. 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）根据根式与指数幂运算直接求得结果； （2）将原式平方即可求得结果. 【详解】（1）原式 . （2）∵， ∴，即， ∴. 18．（1）________. （2）化简：. 【答案】（1）2；（2） 【分析】利用指数幂的运算规则化简求值. 【详解】（1）； （2） . 19．（1）计算 （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2）194 【分析】（1）根据指数的运算性质即可求得答案； （2）将两边平方即可求得，再将两边平方即可求得答案. 【详解】（1）原式， （2）由两边平方得， 再由两边平方得. 所以. 20．化简、计算 (1)计算：. (2)化简：； 【答案】(1) (2) 【分析】由指数幂的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）原式. （2）原式. 题型五 对数的概念判断与求值（共5小题） 21．若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的真数大于0列式即可求. 【详解】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D 22．对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可. 【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C 23．在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】由对数的定义，真数大于，底数大于且不等于，得到关于的不等式组，求解不等式即可. 【详解】由对数的定义可知， 解得，且， 故选：B． 24．若，则x的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数概念转化对数方程，结合限制条件列不等式组，解得结果. 【详解】且 故选：B 【点睛】本题考查对数方程、对数概念，考查基本分析化简求解能力，属基础题. 25．（多选）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用对数函数的定义列出关于a的不等式组，求解即可. 【详解】要使有意义，则，解得或， 所以a的取值范围是. 故选：BC. 题型六 指数式与对数式的互化（共5小题） 26．已知，，，，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将，，，转化为再利用对数函数性质比较. 【详解】因为，，， 所以， 又因为， 所以， 所以. 故选：D 【点睛】本题主要考查指数与对数互化，以及对数比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 27．若均为正数，且，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，设，根据指对数互化，求得的值，根据对数运算得出 与之间的关系式. 【详解】解：由题可知，均为正数，设， 则，，， 则，，， 所以， 即：. 故选：D． 【点睛】本题考查指数和对数的互化以及对数的运算性质的应用，考查化简能力. 28．若、、均为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先设，转化为对数形式，有，，，再根据选项通过对数运算求解. 【详解】设，， 则，，， 所以. 故选：D． 【点睛】本题主要考查指数与对数的转化以及对数的运算法则，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 29．已知，，则m= . 【答案】196 【分析】将指数式化成对数式，再根据对数的运算及对数的性质计算可得； 【详解】解：∵，∴，，， ∵，∴，∴，解得 故答案为： 【点睛】本题考查指数与对数的关系，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题. 30．设，满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】令，将用表示，转化为求关于函数的最值. 【详解】，令， 则 ， ， 当且仅当时等号成立. 故答案为:. 【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题. 题型七 对数运算（共5小题） 31．（1）已知，求的值． （2）计算： 【答案】（1）1∶2或3∶1；（2）． 【分析】（1）根据给定条件，利用对数运算法则求解. （2）根据题意，利用对数的运算法则、对数恒等式，进行化简求值即可． 【详解】（1）由，得， 则，整理得， 因此或，所以或. （2） . 32．化简求值 (1)； (2) 【答案】(1)12 (2)2 【分析】（1）根据指数运算法则和根式的性质直接计算可得答案； （2）根据对数运算的运算律和性质直接计算可得答案. 【详解】（1）. （2） . 33．化简求值： (1) (2)． 【答案】(1)4 (2)8 【分析】（1）根据分数指数幂的性质和对数的运算性质求解； （2）根据对数的运算求解即可. 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 34．（1）化简： （2）计算：. 【答案】（1）9；（2）. 【分析】（1）利用根式及指数运算计算即得. （2）利用对数运算及换底公式计算即得. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 35．（1）； （2）； （3）； （4）已知，，试用，表示. 【答案】（1）；（2）0；（3）1；（4） 【分析】（1）（2）（3）由对数的运算、换底公式等即可得到结果. 【详解】（1）原式 ； （2）原式； （3）原式 ； （4）因为， 所以. 题型八 换底公式的应用 （共5小题） 36．求值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)10. 【分析】（1）由根式与指数幂关系及有理数指数幂的运算性质化简求值； （2）由指对数关系及指数运算、换底公式化简求值. 【详解】（1）原式； （2）原式. 37．（1）计算：（式中字母均为正数）； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算可得结果. （2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得结果. 【详解】（1）. （2） . 38．（1）求值：； （2）设，，用m，n来表示． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由对数的运算性质化简求解即可； （2）利用对数的换底公式进行化简求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）， 因为，所以，即， 所以，即，所以， 故. 39．（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）9；（2）1 【分析】（1）根据对数的运算性质和分数指数幂的运算性质求解； （2）由求出，然后代入中化简计算即可. 【详解】（1） ； （2）∵， ∴，， ∴ ． 40．（1）若，求x的值； （2）计算. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据给定条件，利用换底公式及指数式与对数式互化求解即得. （2）利用指数、对数运算法则计算即得. 【详解】（1）由，得，整理得， 所以. （2） . $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04指数与对数 题型归纳·内容导航白 题型1根式的化简求值（常考点） 题型2指数幂的运算 题型3分数指数幂与根式的互化（重点） 题型4指数幂的化简、求值（常考点） 题型5对数的概念判断与求值（常考点） 题型6指数式与对数式的互化（常考点） 题型7对数运算（重点） 题型B换底公式的应用（难点） 题型通关·靶向提分 题型一根式的化简求值（共5小题） 1.化简a-+V1-a+1-a的结果是 A.1-a B.21-a C.a-1 D.2(a-1 2.若9a2-6a+1=1-3a则实数a的取值范围是 1 A.（-0,3) C. D信 3.化简：V3-π)2+π=() A.3 B.3-2π C.2π-3 D.2π-3或3 4.设x∈A={x|y=V+x)3-x)},求Vx2-2x+1-Vx2+6x+9的值. 5.已知0<a<1化简Va-2a+0 题型二指数幂的运算（共5小题） 6图(--+ 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.计算下列各式的值， a-8×5+27-{: QE加，+r3号的点 8。)化简课位：100i-(智+2-5+ (2)已知a2+a2=4,求a2+a2的值， 9.化简求值（需要写出计算过程）· (1)已知x2-x2=2,求x+x的值： a--8xn+2-目°. 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.计算下列各式的值 as-{台-： aoow) 题型三分数指数幂与根式的互化（共5小题） 11.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是() A.-√F=(-x)2 B.=y3y<0) c.0 D.-=x2(x>0) 12.将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)VaNa(a>0): 1 三(x>0) (42 (3)Vb3 (b>0): (4)alaa. 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(1)求值： 目r]a (2)求值： （*22-0om: a2汤a (3)化简： 6.a6a>0,b>0. 14.计算下列各式的值： 25 85x3: π7π4 (2)aa6a3(a>0: 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.计算： 9 (1)a2√a÷Vaa(a>0): cafooci) -a>0,b>0 a.b5 题型四指数幂的化简、求值（共5小题） 6历{)-+4 17.(1)化简V元-4--2°+2024°： (2)已知-左-2，求+的值， 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8a)(+- 9.a计第4-+025 (2)已知a2+a2=4,求a2+a2的值 20.化简、计算 a第：否-()-x-5得月 光简：2〔a,,0 题型五对数的概念判断与求值（共5小题） 21.若代数式l1ogx2-2x-3列有意义，则实数x的取值范围为() 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.（-o,-l B.（-1,3 C.(3,+o D.（-0,-1U(3,+0j 22.对数loga+3(5-a)中实数a的取值范围是() A.（-0,5)B.-3,5) c.（-3,-2U(-2,5)D.(-3,+0) 23.在b=log(5-a中，实数a的取值范围是() A.a>5或a<0 B.0<a<1或1<a<5 c.0<a<1 D.1<a<5 24.若logx+(x+1)=1,则x的取值范围是 A.(-1,+o) B.(-1,0)U(0,+o) C.（-0,-1)U(-1,+o) D.(-0,0)U(0,+0) 25.(多选)下列选项中，使log3a-,(4-a)有意义的a的取值范围是() A得4 c. D.（-0,4 题型六指数式与对数式的互化（共5小题） 26.已知a,b,c∈R,3=2,4=5,5=4,则下列不等关系中正确的是() A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 27.若a、bc均为正数，且3=5=45，则 :@日 c.iu 11-2 D.cb a 28.若a、b、c均为正数，且2=7=28，则（) a6足e8 A.ab c c2a 112 D.cb a 1,11 29.己知2=7中=m’a+方2，则m=一 一十 30.设x以2eR,满足2==6，则2x+} +:的最小值为 题型七对数运算（共5小题） 31.(1)已知lg(x+月+g2x+3y)-lg3=g4+lgx+lgy,求x:y的值. 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)计算： og64-0e5-le2lg50 1og33 32.化简求值 -.0 2 (2)lg225+lg25×lg16-(1og32+log,2)(1log23+logg3+lg24 33.化简求值： 国2x5+ 2logx16+1log,35-log,l14-lg50+lg,64-log.6. 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.a化：-（治+(+85+2 491 7 (2)计算：1og,3 +1g5+78,2+log23.log,4+1lg2. 5.a号+g5, (2) lg2+lg5-lg8 log 2 1g50-lg40 3yg5e8+le100+e2+e2e06: (4)已知log,3=a,log,7=b,试用a,b表示l0g456. 题型八换底公式的应用（共5小题） 36.求值： 户 aa aa 9/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)log325×log57×log,3+e2n3-(π-2)°. 37.(1)计算： 如o6fo6 (式中字母均为正数)： (2)化简：lg4+2lg5-log4og169-2,3 38.(1)求值：lg5+lg22+g2lg5+log25log2s4+75: (2)设log.63=m,l0g63=n,用m,n来表示lg18. 39.(1)计算：g25+1g2lg50+0lg2y2+0.125+e时： 32 (2)已知3=4r=12,求+的值. 10/11