专题01 集合（期中专项训练）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题01 集合 题型1 判断元素与集合的关系 题型9 空集及其应用 题型2 利用集合元素的互异性求参数（常考点）（重点） 题型10 并、交、补集运算（常考点） 题型3 根据集合元素的个数求参数（重点） 题型11 根据集合并、交、补集运算结果求参数（常考点）（重点） 题型4 判断集合的包含关系 题型12 Venn图的应用（难点） 题型5 求集合子集，真子集的个数（常考点） 题型13 容斥原理（难点） 题型6 根据集合的包含关系求参数（重点） 题型14 集合新定义题（难点） 题型7 判断两个集合相等 题型8 根据两个集合相等求参数（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判断元素与集合的关系（共5小题） 1．已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 2．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 4．若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 5．（多选）已知集合，则下列判断正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二 利用集合元素的互异性求参数（共5小题） 6．已知集合，若，则实数a的值为（    ） A．或4 B．2 C．-2 D．4 7．已知集合，若，则 ． 8．设集合，集合，若，则 . 9．已知集合，且，则实数的值为 . 10．若，求的取值范围． 题型三 根据集合元素的个数求参数（共5小题） 11．若集合恰有两个子集，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C． D．或 12．已知集合，若中至多有一个元素，则实数的取值范围是 . 13．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合 中恰有3个整数，求实数的取值范围. 14．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合中仅有一个整数元素，求. 15．已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 题型四 判断集合的包含关系（共5小题） 16．已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 17．设集合P={m|-1<m≤0}，Q={m|mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立}，则P与Q的关系（    ） A． B． C． D． 18．已知集合，集合，集合，则集合，，的关系为（    ） A． B． C． D． 19．若集合，中为有理数集.则集合之间存在的关系为 （填“”或“”或“”）. 20．给出下列关系式，其中正确的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 题型五 求集合子集，真子集的个数（共5小题） 21．已知集合，则的非空真子集个数为（    ） A．6 B．7 C．14 D．15 22．已知集合，则集合中的子集个数为（   ） A．18 B．16 C．32 D．64 23．集合，那么的真子集个数有（    ） A． B． C． D． 24．对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 25．定义集合的运算：已知集合，则．若集合，则集合的真子集个数的可能取值是 ． 题型六 根据集合的包含关系求参数（共5小题） 26．若集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．已知集合，，，则的取值范围是 28．已知集合，集合． (1)若，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围． 29．已知全集，集合，，． (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围． 30．已知集合，. (1)当时，求及； (2)若，求实数的取值范围. 题型七 判断两个集合相等（共5小题） 31．下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 32．下列表示同一个集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 33．（多选）设是有理数集，集合，在下列集合中，与相同的集合有（    ） A． B． C． D． 34．（多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 35．已知集合，则下列与相等的集合为 ．（填序号） ①    ；②； ③    ；④． 题型八 根据两个集合相等求参数（共5小题） 36．已知集合或，若，则 ． 37．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知非空集合，.若，则的值 . 38．已知集合，． (1)当，时，求和； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 39．已知集合，，，为实数且． (1)当，时，判断集合，间的关系； (2)若，求实数和的值． 40．已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 题型九 空集及其应用（共5小题） 41．设集合，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 43．（多选）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B． C． D． 44．若，则m的取值范围为 ． 45．关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 题型十 并、交、补集运算（共5小题） 46．设全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 47．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 48．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 49．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 50．设集合，则可用列举法表示为 ． 题型十一 根据集合并、交、补集运算结果求参数（共5小题） 51．已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 52．设，， (1)，求的值； (2)若非空，且，求的值； (3)，求的值． 53．已知集合，. (1)求，； (2)设集合，且，求实数的取值范围. 54．已知集合．．若，求实数m的取值范围． 55．已知集合． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 题型十二 Venn图的应用（共5小题） 56．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 人． 57．某社团有122名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项，得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，其余数据如图，则图中a=    58．设全集，，， (1)求；；；. (2)能否根据（1）的结论，猜想与，与的关系？尝试用Venn图进行分析说明. 59．某校举行运动会，集合是该校参加运动会的学生，是参加跳远项目的学生}，是参加短跑项目的学生，是既参加跳远项目又参加短跑项目的学生． (1)试用Venn图表示这些集合之间的关系． (2)若参加跳远项目的学生数为20人，参加短跑项目的学生数为15人，两个项目都参加学生数为5人．求至少参加了其中一个项目的学生人数． (3)有限集中元素的个数可以一一数出来，若M是有限集，常用来表示M中元素的个数．如，则．用表示出． 60．设全集为，集合，．    (1)当时，求图中阴影部分表示的集合C； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 题型十三 容斥原理（共4小题） 61．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（    ） A．100人 B．人 C．人 D．178人 62．某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 63．为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 64．某班学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社.已知参加机器人社的有30人，参加编程社的有25人，参加航模社的有20人；同时参加机器人社和编程社的有12人，同时参加机器人社和航模社的有10人，同时参加编程社和航模社的有8人；三个社团都参加的有5人.则至少参加一个社团的学生有 人. 题型十四 集合新定义题（共4小题） 65．对于集合A，B，我们把集合记作．例如，，；则有，，，， 据此，试回答下列问题． (1)已知，，求； (2)已知，求集合A，B； (3)A有3个元素，B有4个元素，试确定有几个元素． 66．已知集合，定义：且. (1)求和； (2)求和. 67．设是由直线上所有点构成的集合,即,在点集上定义运算“”：对任意则． (1)若是直线上所有点的集合,计算的值． (2)对（1）中的点集,能否确定（其中）的值？ (3)对（1）中的点集,若,请你写出实数,,可能的值． 68．给定自然数i．称非空集合A为减i集，若A满足： （i），； （ii）对任意x，，只要，就有．问： (1)直接判断是否为减0集，是否为减1集； (2)是否存在减2集?若存在，求出所有的减2集；若不存在，请说明理由； (3)是否存在减1集?若存在，求出所有的减1集；若不存在，请说明理由． $专题01 集合 题型1 判断元素与集合的关系 题型9 空集及其应用 题型2 利用集合元素的互异性求参数（常考点）（重点） 题型10 并、交、补集运算（常考点） 题型3 根据集合元素的个数求参数（重点） 题型11 根据集合并、交、补集运算结果求参数（常考点）（重点） 题型4 判断集合的包含关系 题型12 Venn图的应用（难点） 题型5 求集合子集，真子集的个数（常考点） 题型13 容斥原理（难点） 题型6 根据集合的包含关系求参数（重点） 题型14 集合新定义题（难点） 题型7 判断两个集合相等 题型8 根据两个集合相等求参数（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判断元素与集合的关系（共5小题） 1．已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【答案】A 【分析】根据条件可得到集合中元素的特征，分析的特征后即可得到答案． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 2．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 3．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】（1）根据题目条件得到，，故；（2），故；（3）分，和且三种情况进行求解，当且时，得到，进而，得到. 【详解】因为，，由②得，即， 故，即，由③得，（1）正确； ，，由②得，故，（2）正确； 若，则，若，则， 若且，因为，，由②得， 由③得，，又， 由②得，由③得， 由②得，（3）正确. 故选：D 4．若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断. 【详解】若， 对于①，，①正确； 对于②，当中时，，所以，②正确； 对于③，若，不妨设， 则，，所以，③正确； 对于④，若且，不正确， 例如，，④不正确； 对于⑤，存在且，满足， 例如，， 若， 则，故，⑤正确. 综上，①②③⑤正确. 故选：C. 5．（多选）已知集合，则下列判断正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合和中元素的定义，对不同情况下元素的运算结果进行分析，判断其是否属于相应集合. 【详解】当时，，则，正确. 设，，则未必属于错误. ，因为， 所以，所以，D正确. 同理可得C正确. 故选：ACD 题型二 利用集合元素的互异性求参数（共5小题） 6．已知集合，若，则实数a的值为（    ） A．或4 B．2 C．-2 D．4 【答案】C 【解析】由集合元素的特性和2属于集合A，直接计算判断求解即可得出答案. 【详解】由集合，可得，则得，，又因为可得，解得，即C选项正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了集合元素特性的利用，考查了由元素属于集合求参数的问题，属于一般难度的题. 7．已知集合，若，则 ． 【答案】 【分析】已知，则或，结合集合中元素的互异性分情况讨论即可. 【详解】因为， 所以或， 当时，，此时，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（同上，舍去）， 此时． 综上． 故答案为：. 8．设集合，集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据交集的概念，结合集合中元素的互异性可得. 【详解】因为，，， 所以，，，，， 当时，，集合满足题意， 当时，或（舍去）， 此时，不满足题意， 综上， 故答案为：2 9．已知集合，且，则实数的值为 . 【答案】或0. 【分析】根据题意，考虑到各种可能性，分别解方程，并注意检验集合元素的互异性，即可得到答案. 【详解】若，则或 当时，，符合元素的互异性； 当时，，不符合元素的互异性，舍去 若，则或 当时，，符合元素的互异性； 当时，，不符合元素的互异性，舍去； 故答案为：或0. 【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系，检验集合元素的互异性排除不符合答案是解题的关键，属基础题. 10．若，求的取值范围． 【答案】 【分析】由集合的特性列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】 ，得 综上，且 即的取值范围为 题型三 根据集合元素的个数求参数（共5小题） 11．若集合恰有两个子集，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分析可知，集合只有一个元素，即关于的方程只有一个实数根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出.综合可得出实数的值. 【详解】因为集合恰有两个子集，则集合只有一个元素， 即关于的方程只有一个实数根，分以下两种情况讨论： 当，即当时，原方程为，解得，合乎题意； 当，即当时，则， 解得或. 综上所述，或. 故选：D. 12．已知集合，若中至多有一个元素，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，根据一元二次方程解的个数求得实数的取值范围. 【详解】当时，，只有一个元素，符合题意； 当时，若中至多有一个元素，则关于的一元二次方程有两个相等的实数根或无实数根， 则，解得， 所以实数的取值范围是或， 故答案为：或. 13．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合 中恰有3个整数，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）确定，由包含关系构造不等式求解即可； （2）由和两种情况讨论即可； 【详解】（1）由，可得或， 即集合或： 由，得或， 解得或. （2）易知集合的区间长度为6，故中最少有5个整数，而集合中端点“”与“7”相距8个单位，故要使集合中恰有3个整数，则有两种情形： ①当即，要使集合中恰有3个整数，三个整数应为，，， 则，可知 ②当即时，要使集合中恰有3个整数，三个整数应为7，8，9， 则，可知 综上可知 14．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合中仅有一个整数元素，求. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，根据题意列出不等式组，即可求得答案； （2）根据题意讨论整数元素可能是和，列出相应的不等式求出m的范围，结合集合的并集运算，即可求得答案. 【详解】（1）由题意， 知或，, 因为，故，解得； （2）中的整数元素为， 而集合中仅有一个整数元素， 当该整数元素为时，， 此时，则； 当该整数元素为时，， 此时，则. 15．已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 题型四 判断集合的包含关系（共5小题） 16．已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将集合中元素化为统一形式，然后进行判断即可. 【详解】， , ， 故 故选：B. 17．设集合P={m|-1<m≤0}，Q={m|mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立}，则P与Q的关系（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由时，不等式恒成立，分类讨论求得集合，再结合集合间的包含关系，即可求解. 【详解】解：由题意，当时，不等式恒成立， 当时，不等式恒成立； 当时，则不等式恒成立， 满足，解得， 综上可得，即集合， 又因为集合，所以. 故选：C. 18．已知集合，集合，集合，则集合，，的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法可求出集合，根据绝对值不等式的解法可求出集合，根据分式不等式的解法可求出集合，从而可得出集合，，间的关系. 【详解】解：由于， ， ， 可知，. 故选：D. 【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式和分式不等式的解法，以及集合间的关系，考查计算能力. 19．若集合，中为有理数集.则集合之间存在的关系为 （填“”或“”或“”）. 【答案】 【分析】根据集合间关系的定义，判断集合中的元素是否都在集合中，以及集合中是否存在元素不在集合中，进而确定集合与的关系. 【详解】对于任意的，可以令，，因为， 此时，满足集合的形式，所以. 由的任意性可知，集合中的所有元素都在集合中，即. 取，，则，因为是无理数，即， 而满足集合中元素的形式，所以. 这表明集合中存在元素不在集合中. 由且集合中存在元素不在集合中，根据真子集的定义可知 故答案为：. 20．给出下列关系式，其中正确的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】①③⑤ 【分析】利用空集的性质判断①，⑤，利用元素和集合的关系判断②，利用集合和集合的关系判断④，利用子集的性质判断③即可. 【详解】因为空集是任何集合的子集，所以①，⑤正确， 由元素和集合的关系得，故②错误， 一个集合是自身的子集，故③正确， 由集合和集合的关系得，故④错误. 故答案为：①③⑤ 题型五 求集合子集，真子集的个数（共5小题） 21．已知集合，则的非空真子集个数为（    ） A．6 B．7 C．14 D．15 【答案】C 【分析】先化简分式解一元二次不等式，再得出集合A，最后应用非空真子集个数公式计算求解. 【详解】由可得，即， 即解得. 于是，共4个元素，故其非空真子集个数为个. 故选：C. 22．已知集合，则集合中的子集个数为（   ） A．18 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【分析】由题意得，进一步即可得解. 【详解】由题意，则， 所以集合中的子集个数为. 故选：C. 23．集合，那么的真子集个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到，即可求解. 【详解】当时，，又，易知， 当时，，当时，，当时，，当时，， 当时，， 所以，所以的真子集个数为， 故选：D. 24．对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由新定义，列举计算即可； 【详解】当都是偶数或都是奇数时， 则或或或或或或或或； 当是偶数，是奇数时，，或； 当是奇数，是偶数时，，或； 集合中含有个元素，它的子集个数为， 故选：B 25．定义集合的运算：已知集合，则．若集合，则集合的真子集个数的可能取值是 ． 【答案】3或7 【分析】根据题中定义和元素的性质，结合集合真子集个数公式进行求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性可得且. 当时，，所以， 因为集合中有个元素，则集合有个子集，有个真子集， 此时集合中有两个元素，其真子集个数为. 当且时，，此时集合的真子集个数为. 故答案为：或 题型六 根据集合的包含关系求参数（共5小题） 26．若集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再分类讨论求出集合，利用求出的取值范围即可得到结果． 【详解】依题意，或， 当时，显然不成立，即，满足，因此； 当时，，由，得，解得； 当时，，由，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 27．已知集合，，，则的取值范围是 【答案】 【分析】求出集合，进而可得出集合，对分、两种情况讨论，利用集合的包含关系可得出关于实数的等式或不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为，， 当时，，即，合乎题意； 当时，由于，所以有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 28．已知集合，集合． (1)若，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合交集的结果，建立不等式组，解得答案； （2）先求出集合的补集，根据包含关系，可得答案. 【详解】（1）因为，所以，解得. （2）因为或，且， 所以或，解得或， 则实数m的取值范围为：或. 29．已知全集，集合，，． (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）解分式不等式求集合A，解绝对值不等式求集合B，再由集合的交补运算求； （2）首先得，再由包含关系列不等式求参数范围. 【详解】（1）由集合，或， 集合 所以． （2）由（1）知，因为， 所以，解得，即， 故实数的取值范围为. 30．已知集合，. (1)当时，求及； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）解不等式可化简集合A，B，然后由并集及补集知识可得答案； （2）由题分，，三种情况结合题意可得答案. 【详解】（1）由， 即所以 当时，由，即. 所以； （2）因为， 若，则，由得：； 若，则，成立； 若，则，由得：. 综上，实数的取值范围是：. 题型七 判断两个集合相等（共5小题） 31．下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐项分析判定，即可求解. 【详解】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确； 对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于C中，集合表示由两个元素构成的数集； 集合表示由点作为元素，构成的单元素数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集， 集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 故选：A. 32．下列表示同一个集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合相等的定义逐项判断即可． 【详解】对A：与不同，，不是同一个集合，故A错误； 对B：根据集合元素的无序性知，故B正确； 对C：，，，不是同一个集合，故C错误； 对D：且，， 故，不是同一个集合，故D错误． 故选：B. 33．（多选）设是有理数集，集合，在下列集合中，与相同的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用集合相等的含义求解即可. 【详解】对于A，由，得，一一对应， 则； 对于B，由，得，一一对应，则； 对于C，由，得，一一对应，则； 对于D，，但方程无解，则与不相同 故选：ABC. 34．（多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据相同集合的概念和集合中元素的意义可直接得出结果. 【详解】对A：集合中有两个元素，是数；集合中只有一个元素，是点，所以两个集合不同，故选项A符合题意； 对B：两个集合中都只有一个元素，是点，但点的坐标不一样，所以两个集合不同，故选项B符合题意； 对C：两个集合都是表示所有奇数构成的集合，所以两个集合相同，选项C不合题意； 对D：集合表示函数的值域，元素是数；集合表示的是图形，元素是点，所以两个集合不同，故选项D符合题意. 故选：ABD 35．已知集合，则下列与相等的集合为 ．（填序号） ①    ；②； ③    ；④． 【答案】①② 【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究为奇数、为偶数可计算③，由N的定义可得④，依次判断即可求得结果． 【详解】对于①，； 对于②，中解得， 故； 对于③，当为奇数时，；当为偶数时，， 所以； 对于④，． 故答案为：①②. 题型八 根据两个集合相等求参数（共5小题） 36．已知集合或，若，则 ． 【答案】0 【分析】由题意可得和2是方程的两根，利用根与系数的关系求得，可求的值. 【详解】由得，，因为或， 所以，所以和2是方程的两根， 所以，解得，所以． 故答案为：. 37．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知非空集合，.若，则的值 . 【答案】 【分析】根据可得是的两个不相等的实数根， 即可利用韦达定理求解. 【详解】由为非空集合可知， 故， 由于，故即， 是的两个不相等的实数根， 故且，解得或（舍去）， 故， 故答案为： 38．已知集合，． (1)当，时，求和； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，或． (2)存在， 【分析】(1)代入，，根据集合的运算律求解; (2)假设存在实数，使得集合，列方程求实数，由此可得结果. 【详解】（1）当，时，． 又， 所以， ，或． （2）假设存在实数满足条件． 因为，所以由，得． 由，得解得  故存在，，使得． 39．已知集合，，，为实数且． (1)当，时，判断集合，间的关系； (2)若，求实数和的值． 【答案】(1)B A (2)或． 【分析】（1）解出集合，再判断结果即可； （2）分和两种情况分别在时求出对应的即可； 【详解】（1）当时，集合，故B A． （2）①当时，集合，由得，解得； ②当时，集合，此时，解得． 综上所述，或． 40．已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分，，得到集合A，再利用求解； （2）分，，得到集合A，再利用求解； 【详解】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2； 题型九 空集及其应用（共5小题） 41．设集合，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为无解，利用根的判别式进行求解. 【详解】依题意可得无解，所以，解得． 故选：A 42．关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【详解】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 43．（多选）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】ABD由空集定义可判断选项正误；C由集合间关系可判断选项正误. 【详解】对于A，空集中不含元素，则，故A错 对于B，空集是任意集合的子集，则，故B对； 对于C，集合间有包含关系，不能用属于符号连接，故C错； 对于D，对于方程，， 故方程无解，即，故D对. 故选：BD 44．若，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用空集的定义，结合一元二次不等式的解集情况，分类列式求出范围. 【详解】当时，不成立，，符合题意，； 当时，由，得，解得， 所以m的取值范围为. 故答案为： 45．关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【答案】1 【分析】不等式化为，然后对系数进行分类讨论可得． 【详解】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. 题型十 并、交、补集运算（共5小题） 46．设全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合的基本运算即可求解. 【详解】全集，，故． 故选：A． 47．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式求出集合，进而求出其补集，再求交集即得. 【详解】因集合， 则或 ，因， 故. 故选：C． 48．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式不等式及绝对值不等式的解法，分别求得集合A、B，根据并集运算的定义，即可得答案. 【详解】由，可得，解得， 所以集合， 由，可得，解得， 所以集合， 所以. 故选：D 49．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用补集的运算进行求解. 【详解】因为，集合， 则集合或. 故选：B 50．设集合，则可用列举法表示为 ． 【答案】 【分析】解不等式得到集合，然后由集合的运算得到结果. 【详解】∵，∴，∴，∴， ∴， 故答案为： 题型十一 根据集合并、交、补集运算结果求参数（共5小题） 51．已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补集、并集的定义求解即可； （2）根据推出，再求的范围即可. 【详解】（1）因为集合 ， 所以 ， 解得 ， 所以集合 ， 可得当时，集合 ， 又因为全集 ， 所以 ， 又因为集合 ， 所以. （2）因为 ， 所以 ， 又因为集合 ， 所以 ， 即实数的取值范围为 ． 52．设，， (1)，求的值； (2)若非空，且，求的值； (3)，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先通过解二次方程化简集合． （1）根据，利用二次方程根与系数的关系列出方程求出的值． （2）根据非空，且，，将3代入二次方程求出，注意要验证是否满足题意． （3）由，将2代入二次方程求出，注意要验证是否满足题意． 【详解】（1）∵，， ∴． ∴2和3是方程的两个根， ∴，∴． （2），∵非空且， ∴与有公共元素而与无公共元素， ∴，∴，解得，或． 当时，满足题意； 当时，此时不满足题意， ∴. （3）∵，∴， ∴，解得． 当时，满足题意； 当时，不满足题意，故． 53．已知集合，. (1)求，； (2)设集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据交集、补集、并集的定义求解即可； （2）由得，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）依题意得：， 或， 所以. 而或，故或. （2）因为集合，且，所以. ①若，则，解得； ②若，则需使，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 54．已知集合．．若，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】由条件知，讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. 【详解】因为，所以，所以， 当时，得； 当时，解得； 综上可得，即m的取值范围是. 55．已知集合． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再由并集的定义求解即可； （2）先求出，分和，由子集的定义列出不等式组，解方程即可得出答案 【详解】（1）由可得：， 由可得：或， 所以或， . （2），因为, ①，则，解得：， ②，则或，解得：. 故实数的取值范围为：． 题型十二 Venn图的应用（共5小题） 56．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 人． 【答案】21和8 【分析】设对事件A、B都赞成的学生人数为x，利用Venn图列方程求解x即可． 【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为， 记50名学生组成的集合为，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合， 设对事件、都赞成的学生人数为，则对、都不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，作出Venn图如下所示， 依题意可得，解得， 所以对、都赞成的学生有21人，都不赞成的有人． 故答案为：21和8 57．某社团有122名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项，得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，其余数据如图，则图中a=    【答案】9 【分析】根据题意，利用韦恩图得到关于的方程组，解出的a值即可. 【详解】由题意得，则，解得. 故答案为：9. 58．设全集，，， (1)求；；；. (2)能否根据（1）的结论，猜想与，与的关系？尝试用Venn图进行分析说明. 【答案】(1)或；；；或. (2)，，分析见解析 【分析】（1）根据交集、并集、补集的概念计算；（2）猜想①，②，并结合韦恩图中与表示的区域进行说明. 【详解】（1）因为，所以或； 因为，所以； 因为，，所以，， 所以；或. （2）根据（1）的结论，猜想①，②， 在韦恩图中，表示集合之外的部分，表示集合之外的部分， 所以表示之外的部分，也就是①图黑色阴影部分，即； 表示既在之外，又在之外的部分，也就是②图中红色阴影部分，即. ①图；②图. 59．某校举行运动会，集合是该校参加运动会的学生，是参加跳远项目的学生}，是参加短跑项目的学生，是既参加跳远项目又参加短跑项目的学生． (1)试用Venn图表示这些集合之间的关系． (2)若参加跳远项目的学生数为20人，参加短跑项目的学生数为15人，两个项目都参加学生数为5人．求至少参加了其中一个项目的学生人数． (3)有限集中元素的个数可以一一数出来，若M是有限集，常用来表示M中元素的个数．如，则．用表示出． 【答案】(1)答案见解析 (2)30人 (3) 【分析】（1）根据题意作出Venn图即可； （2）根据题意结合Venn图运算即可； （3）根据题意结合Venn图即可得结果. 【详解】（1）由题意可得：    （2）如图可知，    “至少参加了其中一个项目的学生人数”即为“参加跳远或参加短跑项目的人数”， 所以该人数为人. （3）由题意可得：. 60．设全集为，集合，．    (1)当时，求图中阴影部分表示的集合C； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解对数不等式求集合A，根据韦恩图及集合的交、补运算求集合C； （2）根据所选的条件均可得，讨论是否为空集列不等式组求参数范围即可. 【详解】（1）由集合A知，即，解得或， 所以，当时， ∴. （2）选择①②③，均可得. 当时，，解得； 当时，或，解得或，即． 综上所述，实数a的取值范围是． 题型十三 容斥原理（共4小题） 61．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（    ） A．100人 B．人 C．人 D．178人 【答案】B 【分析】根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式计算得到答案. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合表示， 则，，，． 不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为， 观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为， 观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得 ， 解得，故接受调查的市民共有人． 故选：B． 62．某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后结合题意列方程求解即可. 【详解】设集合参加足球队的学生， 集合参加排球队的学生， 集合参加游泳队的学生， 则， ， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得， 三项都参加的有4人， 故选：C. 63．为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】利用venn图，结合集合的运算求解. 【详解】设擅长语文的同学构成集合，擅长英语的同学构成集合，20人代表队构成全集， 则，，，， ， ， 所以语文和英语均不擅长的同学人数为人. 故选：C. 64．某班学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社.已知参加机器人社的有30人，参加编程社的有25人，参加航模社的有20人；同时参加机器人社和编程社的有12人，同时参加机器人社和航模社的有10人，同时参加编程社和航模社的有8人；三个社团都参加的有5人.则至少参加一个社团的学生有 人. 【答案】50 【分析】根据题意，利用容斥原理结合集合的运算概念和运算方法，即可求解 【详解】由题意，用分别表示参加机器人社的学生、参加编程社的学生和参加航模社的学生形成的集合，则， ， 因此 . 所以至少参加一个社团的学生有50人. 故答案为：50. 题型十四 集合新定义题（共4小题） 65．对于集合A，B，我们把集合记作．例如，，；则有，，，， 据此，试回答下列问题． (1)已知，，求； (2)已知，求集合A，B； (3)A有3个元素，B有4个元素，试确定有几个元素． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】根据的定义求解即可. 【详解】（1）因为，，根据已知有：. （2）因为，所以. （3）从以上解题过程中可以看出，中元素的个数与集合和集合中的元素个数有关， 即集合中的任何一个元素与集合中的一个元素对应后，得到中的一个新元素. 若集合中有个元素，集合中有个元素，则中有个元素， 故有个元素，B有个元素，中有个元素. 66．已知集合，定义：且. (1)求和； (2)求和. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）解不等式得到，利用交集和并集概念得到答案； （2）根据定义得到，从而求出，进一步求出. 【详解】（1）由题， 所以， （2）因为且，即， 因为，， 所以， 又， . 67．设是由直线上所有点构成的集合,即,在点集上定义运算“”：对任意则． (1)若是直线上所有点的集合,计算的值． (2)对（1）中的点集,能否确定（其中）的值？ (3)对（1）中的点集,若,请你写出实数,,可能的值． 【答案】(1) (2)可以,48 (3)(答案不唯一) 【分析】(1)根据运算“”的定义代入运算即可. (2)由题知点在直线上,代入直线方程,解得,的值,再根据运算“”的定义代入运算即可. (3)根据点在直线是上,求得,,的值与关系,再根据运算“”的定义代入运算,即可求得的范围,在相关范围内取值均可. 【详解】（1）由运算“”的定义知,. （2）∵,即点在直线上,∴,得． 同理由,得． 由运算“”的定义知,． 所以可以确定，值为48. （3）由,知,即,且,即. 由运算“”的定义知,,解得． 取,知,此时,即符合题意． 取,知,即也符合题意． 68．给定自然数i．称非空集合A为减i集，若A满足： （i），； （ii）对任意x，，只要，就有．问： (1)直接判断是否为减0集，是否为减1集； (2)是否存在减2集?若存在，求出所有的减2集；若不存在，请说明理由； (3)是否存在减1集?若存在，求出所有的减1集；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)P是“减0集”，不是“减1集” (2)不存在，理由见解析 (3)存在“减1集”； 【分析】（1）根据所给定义判断即可； （2）利用反证法证明即可； （3）根据所给定义，假设,即可得到,即可得到1个“减1集”，依次类推即可. 【详解】（1）因为，，， 所以是“减0集”， 同理因为，，， 所以不是“减1集”. （2）假设存在“减2集”， 则，那么， 分以下两种情形来讨论： 情形一：当时，有， 注意到，所以中有一个是2，有一个是4， 所以集合中除1以外的最小元素为6， 但是，， 而这与集合是“减2集”矛盾. 情形二：当时，则或， （因为若为负整数，则，即此时）， 若，有， 注意到，所以中有一个是2，有一个是3， 所以集合中除1以外的最小元素为5， 但是，， 而这与集合是“减2集”矛盾； 若，有， 不妨设，， 且此时集合中除1以外的最小元素为， 但是，所以, 而这与集合是“减2集”矛盾. 综上所述：不存在集合是“减2集”. （3）假设存在是“减1集”，. 假设，则中除了元素1以外，必然还含有其他元素. 假设，则，但，因此， 假设，则，且，因此， 因此可以有, 假设，则，但，因此， 假设，则，且，因此， 可得奇数可能属于减一集，偶数不属于减一集， 又当时，，但， 所以A中元素应该小于7， 因此减1集可以有. 【点睛】关键点睛：第一问比较常规，第二问的关键是利用“减2集”的性质分两种情况和证出矛盾，第三问的关键也是一样的，假设存在然后根据“减1集”的性质即可求解. $