专题06 期中真题百练通关（57题11大易错题型）（期中专项训练）高一数学上学期沪教版必修第一册

专题06 期中真题百练通关（57题11大易错题型） 题型1 集合间的基本关系 题型7 分式不等式与绝对值不等式 题型2 集合的运算 题型8 根据一元二次不等式的解集求参 题型3 根据集合的运算结果求参 题型9 一元二次不等式的恒成立问题 题型4 命题的真假判断与充分、必要条件 题型10 一元二次方程的根的分布与系数的关系 题型5 不等式的性质及基本不等式的应用 题型11 指对幂运算 题型6 解一元二次不等式 题型一 集合间的基本关系 1．（2024秋•徐汇区校级期中）设满足，2，，2，3，4，5，，则集合的个数为　　 A．8 B．7 C．6 D．5 2．（2024秋•上海校级期中）已知集合，，，则集合的子集个数为　　 A．5个 B．8个 C．3个 D．2个 3．（2024秋•上海校级期中）已知，，，2，6，7，，且，满足这样的集合的个数 　　． 4．（2024秋•普陀区校级期中）设，是实数，集合，，且，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 题型二 集合的运算 5．（2024秋•枣强县校级期中）已知集合，，，则　　 A．，2， B．，1， C． D． 6．（2024秋•浦东新区期中）设全集，，，，，集合，，，集合，，则　　 ． 7．（2023秋•普陀区校级期中）若全集，，，则用列举法表示集合　　． 8．（2025•上海）已知全集，，集合，，则　　 ． 9．（2024秋•嘉定区校级期中）定义集合运算且；将△称为集合与集合的对称差， 命题甲：△△； 命题乙：△△． 则下列说法正确的是　　 A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 10．（2024秋•徐汇区校级期中）如图，是全集，、、是它的子集，则阴影部分表示对集合是　　 A． B． C． D． 题型三 根据集合的运算结果求参 11．（2024秋•宝山区校级期中）已知集合，集合，若，则实数的取值范围是 ． 12．（2024秋•黄浦区校级期中）已知全集，集合，，若，则实数的取值范围为　　 A．， B．， C． D．， 13．（2024秋•黄浦区校级期中）已知集合，集合，且，则实数的取值范围是 　　． 题型四 命题的真假与充分、必要条件 14．（2024秋•杨浦区校级期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合为“完美集合”．给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合，，为“完美集合”； ④若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”． 其中真命题是 　　（写出所有正确命题的序号） 15.（24-25高二下·上海·期中）“x是有理数”是“是整数”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 16.（24-25高一上·上海普陀·期中）已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 题型五 不等式的性质及基本不等式的应用 17．（2024秋•闵行区校级期中）如果，，满足且，那么下列选项中不一定成立的是　　 A． B． C． D． 18．（2023春•宝山区校级期中）函数的最小值是　　． 19．（2024秋•静安区校级期中）已知，则的最大值为 　　． 20．（2024秋•上海校级期中）设，若，则实数的最大值为　　 A． B．4 C． D． 21．（2024秋•上海校级期中）已知正实数，满足，则的最小值为 　　． 22．（2024秋•长宁区校级期中）已知，，．求的最大值　　 A． B． C．5 D．2 23．（2024秋•徐汇区校级期中）已知实数，满足，且，则的最小值为 　　． 题型六 解一元二次不等式 24．（2023秋•长宁区校级期中）不等式的解集为 　　． 25．（2024秋•杨浦区校级期中）已知关于的不等式：． （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，求关于的方程的解集； （3）当时，求不等式的解集． 26．（2023秋•普陀区校级期中）解关于的不等式． 27．（2023秋•浦东新区校级期中）解关于的不等式． 题型七 分式不等式与绝对值不等式 28．（2023秋•金山区期中）不等式的解集为　　． 29．（2024秋•杨浦区校级期中）不等式的解集是　　． 30．（2023秋•普陀区校级期中）关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为　　． 31．（2023秋•浦东新区校级期中）设关于的不等式的解集为，且，，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D．不能确定 32．（2024秋•浦东新区期中）若不等式的解集是． （1）试求、的值； （2）求不等式的解集． 33．（2023秋•静安区期中）不等式的解集是 　　． 题型八 根据一元二次不等式的解集求参 34．（2024秋•上海校级期中）已知不等式的解集为，则　　． 35．（2023秋•普陀区校级期中）不等式的解集是，则的值是　　 A．10 B． C．14 D． 36．（2024秋•浦东新区校级期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为 　　． 37．（2024秋•宝山区期中）已知关于的不等式的解集为，，则的最大值是　　 A． B． C． D． 38．（2023秋•浦东新区校级期中）已知、是非零常数，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 39．（2023秋•普陀区校级期中）设，为常数，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 40．（2023秋•徐汇区校级期中）设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则　　 A． B． C． D． 41．（2023秋•上海期中）定义区间、，、，、，的长度均为，其中．若不等式组的解集中各区间长度和等于8，则实数的取值范围是 　　． 题型九 一元二次不等式的恒成立问题 42．（2024秋•上海校级期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是　　． 43．（2023秋•金山区校级期中）已知关于的不等式的解集为． （1）若，求的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，满足：“对于任意正整数，都有；对于任意负整数，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 44．（2023秋•闵行区校级期中）已知关于的不等式：． （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，求不等式的解集； （3）命题：若二次不等式的解集为空集，命题对任意实数都成立，若，中至少有一个真命题，求实数的取值范围． 45．（2023秋•普陀区校级期中）关于的不等式的解集为． （1）若，求正整数的取值范围； （2）若为全体实数，求实数的取值范围． 46．（2024秋•浦东新区校级期中）已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围． 47．（2024秋•上海期中）已知二次函数． （1）若关于的方程的两个实数根，满足，求实数的值； （2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程在区间，上有且仅有一个实数根，求实数的取值范围． 题型十 一元二次方程的根的分布与系数的关系 48．（2024秋•徐汇区校级期中）若，是方程的两相异实根，则有　　 A．， B．， C． D． 49．（2023秋•浦东新区校级期中）设集合，，求集合中所有元素之和． 题型十一 指对幂运算 50．（2024秋•徐汇区校级期中）已知，那么等于 　　． 51．（2023秋•普陀区校级期中）已知函数方程的两根为、 （1）求的值． （2）求的值． 52．（2024秋•宝山区校级期中）下列结果正确的是 A． B． C． D． 53．（2023秋•金山区校级期中）对于，，下列结论正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 54．（2024秋•徐汇区校级期中）若，则　　 ． 55．（2024秋•长宁区校级期中）已知，则　　． 56．（2023秋•徐汇区校级期中）甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根，；乙写错了常数，得两根，64．求这个方程的真正根． 57．（2024秋•宝山区校级期中）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则　　 A．3 B．6 C．9 D．12 1．计算 ． 2．设，，用a，b表示的结果为 . 3．已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 4．已知，，，则的最小值为 . 5．已知方程的两个根满足，则m的值是 . 6．已知全集，集合．若，则实数a的取值范围是 ． 7．已知集合，则 ．（用列举法表示） 8．已知，，则 9．当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 10．集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有 个元素. 11．已知且，记． (1)解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集为，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 期中真题百练通关（57题11大易错题型） 题型1 集合间的基本关系 题型7 分式不等式与绝对值不等式 题型2 集合的运算 题型8 根据一元二次不等式的解集求参 题型3 根据集合的运算结果求参 题型9 一元二次不等式的恒成立问题 题型4 命题的真假判断与充分、必要条件 题型10 一元二次方程的根的分布与系数的关系 题型5 不等式的性质及基本不等式的应用 题型11 指对幂运算 题型6 解一元二次不等式 题型一 集合间的基本关系 1．（2024秋•徐汇区校级期中）设满足，2，，2，3，4，5，，则集合的个数为　　 A．8 B．7 C．6 D．5 【解析】，2，，2，3，4，5，， 中至少含有三个元素且必有1，2，3， 而为集合，2，3，4，5，的子集，故最多六个元素， ，2，或，2，3，或，2，3，或，2，3，或，2，3，4，， 或，2，3，4，，或，2，3，5，或，2，3，4，5， 一共8个， 故选：． 2．（2024秋•上海校级期中）已知集合，，，则集合的子集个数为　　 A．5个 B．8个 C．3个 D．2个 【解析】，0，1，， ，，2，， 故集合中有3个元素， 故集合的子集个数为， 故选：． 3．（2024秋•上海校级期中）已知，，，2，6，7，，且，满足这样的集合的个数 　　． 【解析】因为，，，2，6，7，，且， 所以满足这样的集合的个数等于集合，7，的非空子集个数， 所以满足这样的集合的个数为． 故答案为：7． 4．（2024秋•普陀区校级期中）设，是实数，集合，，且，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】由题意得，，或， 因为， 所以或， 即或，即． 故选：． 题型二 集合的运算 5．（2024秋•枣强县校级期中）已知集合，，，则　　 A．，2， B．，1， C． D． 【解析】集合，，1，，， 则，1，． 故选：． 6．（2024秋•浦东新区期中）设全集，，，，，集合，，，集合，，则　　 ． 【解析】因为集，，，，，集合，，，集合，， 所以，，，， 则． 故答案为：． 7．（2023秋•普陀区校级期中）若全集，，，则用列举法表示集合　　． 【解析】因为，， 所以， 所以， 故答案为：，1，． 8．（2025•上海）已知全集，，集合，，则　　 ． 【解析】因为全集，，集合，， 所以． 故答案为：． 9．（2024秋•嘉定区校级期中）定义集合运算且；将△称为集合与集合的对称差， 命题甲：△△； 命题乙：△△． 则下列说法正确的是　　 A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 【解析】对于命题甲，△ △，命题甲正确； 对于命题乙，如图所示： 所以，△△，命题乙错误． 故选：． 10．（2024秋•徐汇区校级期中）如图，是全集，、、是它的子集，则阴影部分表示对集合是　　 A． B． C． D． 【解析】根据题图可知阴影部分中的元素属于，不属于，属于 则阴影部分所表示的集合是 故选：． 题型三 根据集合的运算结果求参 11．（2024秋•宝山区校级期中）已知集合，集合，若，则实数的取值范围是 ． 【解析】若，集合，， 则． 故答案为：． 12．（2024秋•黄浦区校级期中）已知全集，集合，，若，则实数的取值范围为　　 A．， B．， C． D．， 【解析】由已知可得或，又， 当时，，解得，此时满足题意； 当时，要满足题意，只需，解得， 综上，实数的范围为，． 故选：． 13．（2024秋•黄浦区校级期中）已知集合，集合，且，则实数的取值范围是 　　． 【解析】因为集合， 所以，， 又因为，所以， 所以， 即实数的取值范围是． 故答案为：． 题型四 命题的真假与充分、必要条件 14．（2024秋•杨浦区校级期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合为“完美集合”．给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合，，为“完美集合”； ④若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”． 其中真命题是 　　（写出所有正确命题的序号） 【解析】对于①，当时，有，故一定有，故①对； 对于②，例如为“完美集合”，为有限集，故②错； 对于③，设，，，，，显然，，而，故③对； 对于④，取，，，显然不是“完美集合”，故④错误． 故答案为：①③． 15.（24-25高二下·上海·期中）“x是有理数”是“是整数”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【分析】利用充分、必要条件的概念即得. 【详解】若是有理数，如，则不是整数，所以是有理数不能推出为整数， 若为整数，则是有理数，所以为整数能够推出是有理数， 所以是有理数是为整数的必要非充分条件. 故选：B. 16.（24-25高一上·上海普陀·期中）已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据充分不必要条件列不等式来求得的取值范围. 【详解】由于是的一个充分不必要条件， 所以， 所以. 故答案为： 题型五 不等式的性质及基本不等式的应用 17．（2024秋•闵行区校级期中）如果，，满足且，那么下列选项中不一定成立的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于，且， 则，， 必有， 故一定成立， 对于，， ， 又由，则有，故一定成立， 对于，当时，不成立， 当时，成立， 故不一定成立， 对于，且， ， ，故一定成立， 故选：． 18．（2023春•宝山区校级期中）函数的最小值是　　． 【解析】函数 ． 当且仅当，即有，取得等号． 则函数的最小值为． 故答案为：． 19．（2024秋•静安区校级期中）已知，则的最大值为 　　． 【解析】由题意，在中， ， 当且仅当时取等号，即． 故答案为：1． 20．（2024秋•上海校级期中）设，若，则实数的最大值为　　 A． B．4 C． D． 【解析】因为，若，可得， 设，只需要小于等于右边的最小值， 则， 令，可得， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 即的最大值为． 故选：． 21．（2024秋•上海校级期中）已知正实数，满足，则的最小值为 　　． 【解析】因为正实数，满足， ， 当且仅当且时，即，时取等号． 故答案为：． 22．（2024秋•长宁区校级期中）已知，，．求的最大值　　 A． B． C．5 D．2 【解析】已知，，， 则， 则， 令，则，则， 则， 则．当且仅当时，即，时取等号． 则的最大值为． 故选：． 23．（2024秋•徐汇区校级期中）已知实数，满足，且，则的最小值为 　　． 【解析】，， ， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故答案为：． 题型六 解一元二次不等式 24．（2023秋•长宁区校级期中）不等式的解集为 　　． 【解析】当时，不等式化为， 即，解得； 当时，不等式化为， 即，解得或． 综上，不等式的解集为或． 故答案为：或． 25．（2024秋•杨浦区校级期中）已知关于的不等式：． （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，求关于的方程的解集； （3）当时，求不等式的解集． 【解析】（1）时，不等式为，即， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）时，方程为，即， 当时，方程的解不存在，解集为； 当时，方程的解为，解集为； （3）当时，不等式可化为，即， 若，则不等式为，不等式的解集为； 若，则，解不等式得，不等式的解集为； 若，则，解不等式得，不等式的解集为． 26．（2023秋•普陀区校级期中）解关于的不等式． 【解析】不等式可化为， 即， 当，即时，不等式化为，解得； 当，即时，，解不等式得； 当，即时，，解不等式得； 综上知，时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为． 27．（2023秋•浦东新区校级期中）解关于的不等式． 【解析】原不等式变形为． ①时，； ②时，不等式即为， 当时，或； 由于，于是 当时，； 当时，； 当时，． 综上，当时，；当时，或；当时，； 当时，；当时，． 题型七 分式不等式与绝对值不等式 28．（2023秋•金山区期中）不等式的解集为　　． 【解析】原不等式等价于，即， 所以不等式的解集为，，； 故答案为：，， 29．（2024秋•杨浦区校级期中）不等式的解集是　　． 【解析】不等式可化为 解得 故答案为：， 30．（2023秋•普陀区校级期中）关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为　　． 【解析】由的不等式的解集为， 可得， 即， 关于的不等式即为 ， 即有， 即为， 解得或． 则解集为，，． 故答案为：，，． 31．（2023秋•浦东新区校级期中）设关于的不等式的解集为，且，，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D．不能确定 【解析】关于的不等式的解集为， 若，则，解得，， 若，则，或，解得， ，，，， 故实数的取值范围为 故选：． 32．（2024秋•浦东新区期中）若不等式的解集是． （1）试求、的值； （2）求不等式的解集． 【解析】（1）不等式的解集是． ，且1和2是方程的两根， 由韦达定理可得，于是得；（5分） （2）由（1）得不等式得， 即为， 且， 因此且， 解得； 即原不等式的解集是． 33．（2023秋•静安区期中）不等式的解集是 　　． 【解析】不等式可化为 或 解得：或 故答案为：，， 题型八 根据一元二次不等式的解集求参 34．（2024秋•上海校级期中）已知不等式的解集为，则　　． 【解析】由题意，由于不等式的解集为， 所以，解得，所以； 故答案为：0． 35．（2023秋•普陀区校级期中）不等式的解集是，则的值是　　 A．10 B． C．14 D． 【解析】不等式的解集是， 即方程的解为， 故， 则，， ． 故选：． 36．（2024秋•浦东新区校级期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为 　　． 【解析】因为不等式的解集为， 所以和2是方程的两解，且； 由根与系数的关系得，解得，； 所以可化为， 因为，所以可化为， 即，解得或， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 37．（2024秋•宝山区期中）已知关于的不等式的解集为，，则的最大值是　　 A． B． C． D． 【解析】已知关于的不等式的解集为，， 则，， 则， 当且仅当，即时取等号， 故的最大值是． 故选：． 38．（2023秋•浦东新区校级期中）已知、是非零常数，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】①当时，若，则，此时，，，，，所以； 当，时，此时，，，，所以， 所以“”是“”的充分条件； ②当时，若，此时，， 当时，，不满足题意， 当时，，，，符合题意，此时； 若，此时，，， 当时，，，，不符合题意； 当时，，满足题意，此时； 所以“”是“”的必要条件． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 39．（2023秋•普陀区校级期中）设，为常数，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】关于 的不等式， 等价于， 转化为， 不等式的解集中的整数恰有3个，， 又， 不等式的解集为， 解集里的整数是，，0 三个， ， ，即； 又， ， 解得， 综上，的取值范围是． 故选：． 40．（2023秋•徐汇区校级期中）设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则　　 A． B． C． D． 【解析】关于 的不等式即，， 的解集中的整数恰有3个，， 不等式的解集为 ，所以解集里的整数是，，0 三个． ， ，， ， ， ， 综上，， 故选：． 41．（2023秋•上海期中）定义区间、，、，、，的长度均为，其中．若不等式组的解集中各区间长度和等于8，则实数的取值范围是 　　． 【解析】由，可得， 即，解得， 所以不等式的解集为，， 此不等式解集长度为8； 又因为不等式可化为， 当时，此不等式无解，舍去； 当时，此不等式解集为， 要满足题意，则； 同理，当时，可得此不等式解集为， 此时需满足，可得； 综上可得，实数的取值范围是，，． 故答案为：，，． 题型九 一元二次不等式的恒成立问题 42．（2024秋•上海校级期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是　　． 【解析】若，则不等式等价为，满足条件， 若，要使不等式恒成立，则满足 ， 即， 则，即， 综上， 故答案为： 43．（2023秋•金山区校级期中）已知关于的不等式的解集为． （1）若，求的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，满足：“对于任意正整数，都有；对于任意负整数，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【解析】（1）当时，不等式为，即，解得， 所以的取值范围是． （2）当时，解得，或， ①当时，不等式化为，所以时，不等式的解集为； ②当时，不等式化为，对任意实数不等式不成立； ③当时，解得， 所以的取值范围是，，； 综上所述，实数的取值范围是，． （3）根据题意，得出解集，，， 当时，解得，或， 时，不等式的解集为，满足条件， 时，恒成立，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件， 综上，存在满足条件的值为5． 44．（2023秋•闵行区校级期中）已知关于的不等式：． （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，求不等式的解集； （3）命题：若二次不等式的解集为空集，命题对任意实数都成立，若，中至少有一个真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）时，不等式为，即， 解得或，所以不等式的解集为或； （2）不等式可化为， 当时，不等式为，解得， 当时，不等式为， 若，则，不等式为，无解； 若，则，解不等式，得； 若，则，解不等式，得； 综上，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为，时，不等式的解集为； （3）命题：若二次不等式的解集为空集，则，解得； 命题对任意实数都成立，则△，解得， 所以，中至少有一个真命题时，实数的取值范围是． 45．（2023秋•普陀区校级期中）关于的不等式的解集为． （1）若，求正整数的取值范围； （2）若为全体实数，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，不等式化为， 即，解得， 正整数的取值范围是，2，3，． （2）①当时，解得或， 当时，原不等式化为，对任意实数恒成立； 当时，原不等式化为，解集不是全体实数，舍去． ②当时，若，则， 解得， 综上，实数的取值范围是． 46．（2024秋•浦东新区校级期中）已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 不等式即为， 解得或， 该不等式的解集为；（5分） （2）由题意得的解集为， 当时，该不等式的解集为，不符合题意，舍去； 当时，不符合题意，舍去； 当时，△，解得； 综上所述，实数的取值范围是． 47．（2024秋•上海期中）已知二次函数． （1）若关于的方程的两个实数根，满足，求实数的值； （2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程在区间，上有且仅有一个实数根，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为方程，即， 且方程的两根为和，所以， 解得或， 又因为，所以， 化简得，解得或4（舍去），所以． （2）由题意得对，恒成立， 则对，恒成立， 即对，恒成立， 设，则． 当且仅当，即时等号成立， 所以，即， 所以的取值范围是． （3）当△，即时，经检验满足题意； 当△，即或时， 由（2），得，解得， 经检验不合题意； 综上知，的取值范围是或． 题型十 一元二次方程的根的分布与系数的关系 48．（2024秋•徐汇区校级期中）若，是方程的两相异实根，则有　　 A．， B．， C． D． 【解析】当，方程为， 解得，，选项、都错误； 由题意知，判别式△，解得， 由根与系数的关系知，， 所以与 的大小关系不确定，选项错误； ， 所以，选项正确． 故选：． 49．（2023秋•浦东新区校级期中）设集合，，求集合中所有元素之和． 【解析】当时，方程有两个相等的实根 集合， 此时，； 当时，方程有两个不等的实根，， 集合， 由韦达定理可得 ． 题型十一 指对幂运算 50．（2024秋•徐汇区校级期中）已知，那么等于 　　． 【解析】已知， 则， 因为，所以， 故，即得． 故答案为：． 51．（2023秋•普陀区校级期中）已知函数方程的两根为、 （1）求的值． （2）求的值． 【解析】，， （1） ； （2）的 ． 52．（2024秋•宝山区校级期中）下列结果正确的是 A． B． C． D． 【解析】对：当为偶数且时，，故不正确； 对：只有，时，才成立，故不正确； 对，故不正确； 对 ，故正确． 故选：． 53．（2023秋•金山区校级期中）对于，，下列结论正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解析】、当时，对数无意义，故不对； 、因为对数的底数和真数分别相等，所以对应的对数相等，故正确； 、比如当，时，有，但是，故不对； 、当时，对数无意义，故不对． 故选：． 54．（2024秋•徐汇区校级期中）若，则　　 ． 【解析】因为， 所以． 故答案为：． 55．（2024秋•长宁区校级期中）已知，则　　． 【解析】， ， ， ， ， （舍去），或， 故答案为 4． 56．（2023秋•徐汇区校级期中）甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根，；乙写错了常数，得两根，64．求这个方程的真正根． 【解析】由对数的换底公式可得 整理可得， 令，则 甲写错了常数， 正确 乙写错了常数， 正确 代入可得， 57．（2024秋•宝山区校级期中）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则　　 A．3 B．6 C．9 D．12 【解析】根据题意可得： ，， 两式相减得， ， ， ． 故选：． 1．计算 ． 【答案】 【分析】利用指数运算及对数运算计算得解. 【详解】. 故答案为： 2．设，，用a，b表示的结果为 . 【答案】 【分析】由对数的运算性质即可得解. 【详解】. 故答案为：. 3．已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据绝对值不等式求解最值即可求解. 【详解】恒成立，等价于， 又，. 故答案为： 4．已知，，，则的最小值为 . 【答案】6 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 当且仅当时等号成立，故的最小值为6. 故答案为：6 5．已知方程的两个根满足，则m的值是 . 【答案】5 【分析】利用根与系数的关系可得，结合已知可得，求解即可. 【详解】因为的两根为，所以， 又因为，所以， 所以，解得，检验可得， 所以. 故答案为：. 6．已知全集，集合．若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意有，由得即可求解. 【详解】由，即， 全集， 由，即， ，，，即． 故答案为：. 7．已知集合，则 ．（用列举法表示） 【答案】 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】，， . 故答案为：. 8．已知，，则 【答案】 【分析】由指对数的关系得，再有，即可求值. 【详解】由题设，， 根据换底公式，则. 故答案为： 9．当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 10．集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有 个元素. 【答案】9 【分析】先根据数据计算集合至少有八个数，再应用反证法证明恰好有八个元素不成立，即可求出元素的最小值. 【详解】设A中的数从小到大排列为 则；；；；； 于是A至少有八个数； 假设A恰好有八个元素，由于； 故必须有，， 又，同理， 但此时，，矛盾， 故A不可能恰好有八个元素， 因此A至少有九个元素. 其九个数可以为：1，2，3，6，12，13，25，50，100. 故答案为：9. 11．已知且，记． (1)解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集为，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)9 【分析】（1）根据分类讨论思想，解二次不等式即可； （2）根据不等式的解集，确定开口方向即对于方程的根，再利用韦达定理可得，再由基本不等式可求的最小值. 【详解】（1）因为，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （2）由题意知，分别是方程的两根，且， 由韦达定理可知， 所以，且， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为9． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $