专题02 全等三角形6考点（期中真题汇编，新疆专用）八年级数学上学期人教版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02全等三角形 ☆6大高频考点概览 考点01全等三角形的判定 考点02角平分线性质 考点03全等三角形中的结论问题 考点04动点问题 考点05全等综合—添加辅助线（压轴） 考点06全等作图 目目 考点01 全等三角形的判定与性质 1.(24-25八上·新疆和田墨玉县期中)已知aABC≌△DCB,若BC=10,AB=6,AC=7,则CD=() A.10 B.7 C.6 D.6或7 2.(24-25八上新疆克孜勒苏柯尔克孜期中)工人师傅常借助“角尺这个工具来平分一个角，其背后的依据 就是全等三角形的性质.如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OC=OD,适当摆放角尺（图中的 ∠CED),使其两边分别经过点C、D,且点C、D处的刻度相同，这时经过角尺顶点E的射线OE就是 ∠AOB的平分线.这里判定两个三角形全等的依据是() D A.SAS B.SSS C.AAS D.ASA 3.(24-25八上新疆和田墨玉县期中)如图，∠C=∠D=90°，请你再添加一个条件，使△ABD≌△BAC, 你添加的条件是 D B 1/16 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 4.(23-24八上·湖南株洲天元区长沙一中株洲实验学校·月考)如图，△ABC≌△DEF,BC=7,EC=4, 则CF的长为 B E 5.(24-25八上·新疆昌吉回族奇台县·期中)如图，直角三角形ABC≌直角三角形DEF,已知 ∠ABC=∠DEF=90°，若BE=6,EF=7,CG=2,则图中阴影部分的面积为 A D B 6.(24-25八上新疆克孜勒苏柯尔克孜期中)如图，点B,F,C,E在一条直线上，AB=DE,BF=CE ,∠A=∠D=90°，求证：△ABC≌△DEF. 7.(24-25八上新疆昌吉回族奇台县·期中)如图，己知点B、E、G、D在同一条直线上，AC∥EF, ∠A=∠F,AB=DC. E (1)求证：AB∥CD; (2)求证：△ABG≌△CDG; (3)若BD=16,GE=3,求BE的长是多少？ 8.(24-25八上新疆和田墨玉县期中)如图，AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于点O,AC=BD. 2/16 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (1)求证：△ADB≌△BCA; (2)已知：∠CAB=30°，求证：A0=2C0. 9.(24-25八上新疆和田墨玉县期中)已知：如图，点B、F、E、C在同一条直线上，AB∥CD,且 AB=CD,BF=CE. B F 求证：∠AEB=∠DFC. 证明：：AB∥CD(已知)， :ZB=ZC ) :BF=CE(已知)， :.BF+=CE+, 即BE=CF, 在△ABE和aDCF中， △ABE≌△DCF(), .∠AEB=∠DFC. 10.(24-25八上·新疆阿克苏拜城县期中)荡秋千一直以来都是深受小朋友们喜爱的娱乐项目，周六，丽丽 与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，丽丽坐在秋千的起始位置点A处，OA与地面垂直并交于点M,两脚 在地面上用力一蹬，妈妈在点B处接住她后用力一推，爸爸在点C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距 离BD,CE分别为l.4m和1.8m,∠B0C=90°，求DE的长. 3/16 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B----D T 11.(24-25八上新疆乌鲁木齐第七十中学·期中)(1)如图1，ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,AE是 过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,求证：BD=DE+CE; (2)若直线AE绕点A旋转到图2的位置时(BD<CE),其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请 予以证明. E A 2 图1 图2 12.(24-25八上新疆阿克苏拜城县·期中)(1)如图1，在ABC与ADE中，AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE=90°，求证：△AEC≌△ADB; (2)如图2，在ABC与ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°，点B,D,E在一条直 线上，AC与BE交于点F,F为AC中点，求∠BEC的度数. 图1 图2 13.(24-25八上新疆吐鲁番期中)如图，在A0B和△C0D中，0A=0B,0C=0D,若 LAOB=∠COD=60°，连接AC、BD交于点P; ☒ 图2 (I)求证：△A0C≌△B0D. (2)求∠APB的度数。 4/16 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (3)如图(2)，ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC,AB=14cm,点D是射线AB上的一点， 连接CD,在直线AB上方作以点C为直角顶点的等腰直角aCDE,连接BE,若BD=4cm,求BE的值. 目目 考点02 角平分线性质与判定 1.(2425八上新疆阿克苏拜城县期中如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,交BC于点D, DE⊥AB垂足为E.若DE=4,BC=9,则BD的长为() B E D A.4 B.5 C.6 D.7 2.(24-25八上新疆和田墨玉县·期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,交BC于点 D,AB=10,DE⊥AB,S.4BD=15,则CD的长为() B A.3 B.4 C.5 D.6 3.(24-25八上新疆乌鲁木齐第十二中学期中)如图，ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P,若点P 到AC的距离为3，则点P到AB的距离为() A.4 B.3 C.2 D.1 4.(24-25八上新疆乌鲁木齐第六十八中学期中)如图，ABC中，AB=8,AC=6,BC=5,∠ABC与 ∠ACB的平分线相交于点O,过O点作DE∥BC,则ADE的周长为() 5/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B A.11 B.14 C.13 D.19 5.(2425八上新疆和田墨玉县期中)如图，AD是ABC的角平分线，DE1AB,垂足为E,S△4Bc=8, DE=2,AB=5,则AC长是 D 6.(24-25八上新疆克孜勒苏柯尔克孜·期中)如图，在ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC ,若AD=6,则点D到直线AB的距离=一 A 7.(24-25八上·新疆克孜勒苏柯尔克孜期中)如图，△ABC中BD是∠ABC的平分线，E是边AB上一点，且 DEI∥BC,若AB=11,DE=6,那么AE= E D 8.(24-25八上新疆克孜勒苏柯尔克孜期中)己知，在ABC中，AH⊥BC于点H,∠HAB=∠HAC· 6/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B 图1 图2 (1)如图1，求证：△ABH≌△ACH; (2)如图2，点D为ABC外一点，AD⊥BD,若BC平分∠ABD,求证：AD⊥AC; 9.(24-25八上新疆昌吉回族奇台县期中)如图，在ABC中，D是BC中点，DE1AB,DF⊥AC垂足分 别是E、F,BE=CF,求证：AD是ABC的角平分线 A E B D 10.(24-25八上新疆阿克苏拜城县·期中)如图，BE=CF,DE1AB,交AB的延长线于点E,DF1AC于 点F,且DB=DC,求证：AD是∠BAC的平分线 E D F 11.(24-25八上·新疆期中)如图1，△ABE是等腰三角形，AB=AE,∠BAE=45°，过点B作BC⊥AE于点 C,在BC上截取CD=CE,连接AD、DE并延长AD交BE于点P; (1)求证：AD=BE; (2)试说明AD平分∠BAE. (3)如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，AD与BE交于点P,那么AD与BE的位置关系是否发 生变化，说明理由， 7/16 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B D 图1 (图2) 目目 考点03 全等三角形中的结论问题 1.(24-25八上·新疆克孜勒苏柯尔克孜·期中)在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图， ∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC,则下列说法正确的有() D B ①AB∥CD;②AE平分∠DAB;③△EBA≌△DCE;④AB+CD=AD;⑤AE⊥DE. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.(24-25八上·新疆库尔勒第四中学期中)如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E=∠F=90°，BE=CF,BE 与AC相交于点M,与CF相交于点D,AB与CF相交于点N,∠EAC=∠FAB.有下列结论：①∠B=∠C; ②CD=DN;③CM=BN;④△ACN≌△ABM.其中正确结论的个数是() D B ◇ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(24-25八上河北衡水第四中学月考)如图，△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则对于结论①AC=AF, 8/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②∠FAB=∠EAB,③EF=BC,④LEAB=LFAC,其中正确结论的个数是() B∠ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(24-25八上·新疆阿克苏阿克苏期中)如图，点A,B,C在同一条直线上，△ABD,△BCE均为等边三 角形，连接AE和CD,AE分别交CD、BD于点M,P,CD交BE于点Q,连接PO,BM,下面结论：① △ABE≌△DBC;②LDMA=60°；③△PBQ为等边三角形；④MB平分∠AMC;⑤∠PEQ=30°；其中结 论正确的有() D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(24-25八新疆乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学期中)如图，在直角三角形ABC中， ∠BAC=90°，AC=2AB,点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板 斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC,下列判断正确的有() ①△ABE≌△DCE;②BE=EC;③BE⊥EC;④SMAEC=SAAEB· E A D C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(24-25八上新疆乌鲁木齐第八中学，期中)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点0，过 点O作EF‖BC交AB于点E,交AC于点F,过点O作OD⊥AC于点D.OD=m下列四个结论：① EF=8E+CF:②∠B0C=0-A:@若8,0D三点共线时，4B=BC:④4E+4P=n, 1 S.-2mm:其中正确结论的序号为 9/16 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B 7.(24-25八上新疆乌鲁木齐第六十八中学期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是斜 边BC上两点，且∠DAE=45°，过点A作AF⊥AD,垂足是A,过点C作CF⊥BC,垂足是C,交AF于点 F,连接EF,下列结论：①△ABD≌△ACF;②DE=EF;③若S△ADE=10,S△cEF=4,则S4Bc=24;④ BD+CE=DE,其中正确的是() B D A.①② B.②③ C.①②③ D.①③④ 目目 考点04 动点间问题 1.(2425八上新疆乌鲁木齐第十二中学期中)如图，CA⊥AB,垂足为点A,射线BM⊥AB,垂足为点B ,AB=15cm,AC=6cm.动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着 E点运动而运动，始终保持ED=CB,若点E的运动时间为(t>O),则当以B、E、D为顶点的三角形与 △ACB全等时，t=」 S. M E B 2.(24-25八新疆乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学期中)如图，AE,BD相交于点C,AC=EC, BC=DC,AB=4cm,点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cms的速度匀速运动，点Q从点D出发， 沿D→E方向以1cm/s的速度匀速运动.P,Q两点同时出发，当点P回到点A时，P,Q两点同时停止运 10/16 专题02 全等三角形 6大高频考点概览 考点01 全等三角形的判定 考点02 角平分线性质 考点03 全等三角形中的结论问题 考点04 动点问题 考点05 全等综合——添加辅助线（压轴） 考点06 全等作图 地 城 考点01 全等三角形的判定与性质 1．(24-25八上·新疆和田墨玉县·期中)已知，若，，，则（   ） A．10 B．7 C．6 D．6或7 【答案】C 【分析】本题考查了全等，了解全等图形中对应边相等是解决本题的关键．根据全等图形中的对应边相等即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 2．(24-25八上·新疆克孜勒苏柯尔克孜·期中)工人师傅常借助“角尺这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质．如图，在的两边、上分别取，适当摆放角尺图中的，使其两边分别经过点、，且点、处的刻度相同，这时经过角尺顶点的射线就是的平分线．这里判定两个三角形全等的依据是(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得出，即可证明，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 3．(24-25八上·新疆和田墨玉县·期中)如图，，请你再添加一个条件，使，你添加的条件是 ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可. 【详解】解：由题意得，，， ∴添加条件，可以利用证明， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有. 4．(23-24八上·湖南株洲天元区长沙一中株洲实验学校·月考)如图，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，再根据线段之间的关系可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．(24-25八上·新疆昌吉回族奇台县·期中)如图，直角三角形直角三角形，已知，若，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由得，则阴影部分的面积梯形的面积，再根据梯形的面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：36． 6．(24-25八上·新疆克孜勒苏柯尔克孜·期中)如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，． 利用证明，即可． 【详解】证明：， ， ， 和均为直角三角形． 在和中， ， ． 7．(24-25八上·新疆昌吉回族奇台县·期中)如图，已知点在同一条直线上，，，．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长是多少？ 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)5 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、对顶角等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先根据“两直线平行，同位角相等”可得，结合易得，利用三角形内角和定理证明，利用“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）利用“”证明即可； （3）由全等三角形的性质可得，进而可得，然后利用求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴； （2）在和中， ， ∴； （3）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．(24-25八上·新疆和田墨玉县·期中)如图，，，与交于点，．    (1)求证：； (2)已知：，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）利用定理得出； （2）即可得出，再利用含30度角的直角三角形得出即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，根据已知得出是解题关键． 9．(24-25八上·新疆和田墨玉县·期中)已知：如图，点B、F、E、C在同一条直线上，，且，．    求证：． 证明：(已知)， (    )， (已知)， ____________， 即， 在和中， ， (    )， ． 【答案】见详解 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，可证，再根据判定，即可求证． 【详解】(已知)， (两直线平行，内错角相等)， (已知)， ， 即， 在和中， ， ()， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键． 10．(24-25八上·新疆阿克苏拜城县·期中)荡秋千一直以来都是深受小朋友们喜爱的娱乐项目，周六，丽丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千．如图，丽丽坐在秋千的起始位置点处，与地面垂直并交于点，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在点处接住她后用力一推，爸爸在点处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由直角三角形的两个锐角互余可得，由可推出，于是可得，进而可证得，由全等三角形的性质可得，，最后根据即可求出的长． 【详解】解：依据题意可得：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， （）， 的长为． 11．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中)（1）如图1，中，，，是过点的一条直线，且、在的异侧，于，于，求证：； （2）若直线绕点旋转到图2的位置时，其余条件不变，问与、的关系如何？请予以证明．    【答案】（1）见解析；（2）；证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质； （1）先证明，得出，，从而得出； （2）再次证明，得出，，从而得出． 掌握全等三角形的判定和性质、旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：（1），，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2）； ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 12．(24-25八上·新疆阿克苏拜城县·期中)（1）如图，在与中，，，，求证：； （2）如图，在与中，，，，点，，在一条直线上，与交于点，为中点，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）由可推出，于是可得，进而可证得； （2）由等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得，利用邻补角互补求角度可得，由可推出，于是可得，进而可证得，于是可得，再根据即可求得的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 13．(24-25八上·新疆吐鲁番·期中)如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 地 城 考点02 角平分线性质与判定 1．(24-25八上·新疆阿克苏拜城县·期中)如图，在中，，平分，交于点D，垂足为E．若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．由题意得，即可求解； 【详解】解：∵，平分，， ∴ ∵， ∴， 故选：B 2．(24-25八上·新疆和田墨玉县·期中)如图，在中，平分，交于点，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，利用三角形面积求出的长，再根据角平分线性质得出即可得出结果． 【详解】解：， ， ， 在中，平分，， ， 故选：A． 3．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第十二中学·期中)如图，的外角的平分线与相交于点P，若点P到的距离为3，则点P到的距离为（      ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质．如图，过作于，于，于，则，由的外角的平分线与相交于点P，可得，然后作答即可． 【详解】解：如图，过作于，于，于，则，    ∵的外角的平分线与相交于点P， ∴， ∴点P到的距离为3， 故选：B． 4．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中)如图，中，与的平分线相交于点，过点作，则的周长为（   ） A．11 B．14 C．13 D．19 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的定义以及等腰三角形的判定．熟练掌握两直线平行，内错角相等，以及等角对等边，是解题的关键．注意题目中既有角平分线又有平行线，往往会有等腰三角形．根据角平分线的定义，以及平行线的性质，得到均为等腰三角形即可得解． 【详解】分别是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 故选择：B． 5．(24-25八上·新疆和田墨玉县·期中)如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长是 ． 【答案】3 【分析】过点D作于点F，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式可求出的面积，即可求出的面积，即可求出答案． 【详解】解：过D作于F， 是的角平分线，，， ， ， 的面积为8， 的面积为， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出长和的面积． 6．(24-25八上·新疆克孜勒苏柯尔克孜·期中)如图，在中，，平分，若，则点D到直线的距离 ．      【答案】3 【分析】过点作于点，先根据直角三角形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，   在中，，， ， 在中，， ， 即点到直线的距离为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题关键． 7．(24-25八上·新疆克孜勒苏柯尔克孜·期中)如图，中是的平分线，是边上一点，且，若，，那么 . 【答案】5； 【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，根据平行线的性质得到∠EDB=∠DBC，等量代换得到∠EDB=∠EBD，求得DE=BE，于是得到结论． 【详解】解：∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD， ∵DE∥BC， ∴∠EDB=∠DBC， ∴∠EDB=∠EBD， ∴DE=BE， ∴AE=AB-BE=AB-DE=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 8．(24-25八上·新疆克孜勒苏柯尔克孜·期中)已知，在中，于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为外一点，，若平分，求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质和角平分线定义得， 根据平行线的性质可证得，再根据平行线的性质得，即可证得结论； 本题考查全等三角形判定与性质、垂直定义、角平分线的定义、平行线的判定与性质、等角的余角相等，熟练掌握三角形的判定与性质是解答的关键. 【详解】（1）证明：， ，          又，， ； （2）证明：， ， ，         ， 平分， ， ， ， ，           ． 9．(24-25八上·新疆昌吉回族奇台县·期中)如图，在中，是中点，，垂足分别是、，，求证：是的角平分线 【答案】见解析 【分析】本题主要考查学生对角平分线的判定，全等三角形的判定与性质等知识点的灵活运用，关键是证明．先证明，再根据全等三角形的性质可得，证明，得到，最后根据角平分线的判定即可求解． 【详解】证明：是中点， ， ， ， 在和中 ， ， 即是的角平分线． 10．(24-25八上·新疆阿克苏拜城县·期中)如图，，，交的延长线于点，于点，且，求证：是的平分线． 【答案】证明见解析 【分析】先根据全等三角形的判定定理得出，进而得出，由角平分线的判定即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴与都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【点睛】本题考查角平分线的判定及全等三角形的判定与性质，掌握到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 11．(24-25八上·新疆·期中)如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P； （1）求证：AD＝BE； （2）试说明AD平分∠BAE． （3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，AD与BE交于点P，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AD与BE的位置关系不发生变化． 【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BE； （2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由∠BDP=∠ADC，得到∠BPD=∠DCA=90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分∠BAE； （3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP=∠AFC，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF=∠ACF=90°，即AD⊥BE． 【详解】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE=45°， ∴∠CBA=∠CAB， ∴BC=CA， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD=BE； （2）∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBC=∠DAC， ∵∠BDP=∠ADC， ∴∠BPD=∠DCA=90°，即AP⊥BE， ∵AB=AE， ∴AD平分∠BAE； （3）AD⊥BE．AD与BE的位置关系不发生变化． 如图2， ∵∠BCA=∠DCE=90°， ∴∠BCA+∠BCD=∠DCE+∠BCD， ∴∠BCE=∠ACD， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴∠EBC=∠DAC， ∵∠BFP=∠AFC， ∴∠BPF=∠ACF=90°， ∴AD⊥BE．即AD⊥BE． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△BCE≌△ACD． 地 城 考点03 全等三角形中的结论问题 1．(24-25八上·新疆克孜勒苏柯尔克孜·期中)在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，，E是的中点，平分，则下列说法正确的有（    ）    ①；②平分；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，角平分线性质等，构造全等三角形是解题的关键，延长交的延长线于点M，易证，，，根据角平分线的性质进一步可得是等腰三角形，然后进行判断即可． 【详解】解：延长交的延长线于点M，   ， ， ， 故①选项符合题意； ， 是的中点， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故④选项符合题意， ， ， 平分， 故②、⑤选项符合题意； 和的大小关系不确定， 故③选项不符合题意， 综上可知，正确的有①②④⑤， 故选：C． 2．(24-25八上·新疆库尔勒第四中学·期中)如图，在RtAEB和RtAFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④ACN≌ABM．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】只要证明△ABE≌△ACF，△ACN≌△ABM即可判断． 【详解】解：∵∠EAC＝∠FAB， ∴∠EAB＝∠CAF， 在△ABE和△ACF， ， ∴△ABE≌△ACF（AAS）， ∴∠B＝∠C．AE＝AF， 故①正确； 由△AEB≌△AFC知：∠B＝∠C，AC＝AB； 在△ACN和△ABM， ， ∴△ACN≌△ABM（ASA）， 故④正确； ∴AN＝AM． ∵AC＝AB， ∴CM＝BN， 故③正确； 由于条件不足，无法证得②CD＝DN； 综上所述，正确的结论是①③④，共有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等． 3．(24-25八上·河北衡水第四中学·月考)如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，，，故①③正确； ∴， ∴，故④正确； 不能判断，故②错误； 故选：C． 4．(24-25八上·新疆阿克苏阿克苏·期中)如图，点A，B，C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论：①；②；③为等边三角形；④平分；⑤；其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由等边三角形的性质得出，，，得出，由即可证出，即可判断①；由，得出，根据三角形外角的性质得出，即可判断②；由证明，得出对应边相等，即可得出为等边三角形，即可判断③过点B作于点F，作于点G，由得到，，从而，根据角平分线的判定定理即可得到平分，即可判断④；由得到，要使，则需要，题中没有条件，故无法证得，即可判断⑤． 【详解】解：、为等边三角形， ，，， ∴， 即， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ∵， 为等边三角形，故③正确； 过点B作于点F，作于点G， ， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴平分，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴当时，，则， 题中没有条件，故无法证得，故⑤错误． 综上，结论正确的有①②③④，共4个． 故选：D 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定定理，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 5．(24-25八·新疆乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中)如图，在直角三角形中，，，点是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、重合，连接、．下列判断正确的有（    ） ①；②；③；④．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由是锐角为的直角三角板、等腰三角形的性质及角的和差，即可得出，从而得到，由确定的性质判断其它三个选项是否正确． 【详解】解：，点是的中点， ， 是等腰直角三角形， ，，， ， ， 在和中， ，故①正确； （全等三角形的对应边相等），故②正确； （全等三角形的对应角相等）， ， ，故③正确； ， ， ， ，故④错误． 综上分析，正确的有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质和判断，熟练运用全等三角形的性质和判断是解题的关键． 6．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第八中学·期中)如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点．过点作于点．下列四个结论：①；②；③若三点共线时，；④，；其中正确结论的序号为 ． 【答案】①③④ 【分析】根据题意，在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②错误；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故①正确；由角平分线的性质得出点到各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设，，则，故④正确． 【详解】解：在中，和的平分线相交于点， ∴，，， ∴， ∴，故②错误； 在中，和的平分线相交于点， ∴，∠， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 过点作于，作于，连接， 在中，和的平分线相交于点， ∴， ∴，故④正确； 在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴点到各边的距离相等，故③正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义及性质定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握角平分线的定义及性质定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 7．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中)如图，在中，是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等角的余角相等等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明是解答的关键． 先根据垂直定义和等角的余角相等证得，再利用可判断①正确；再证明可判断②正确；利用全等三角形的面积相等可判断③正确；根据全等三角形的性质和三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】在中，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 故③正确； 中， ， 故④错误， 综上，正确的是①②③， 故选：C． 地 城 考点04 动点问题 1．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第十二中学·期中)如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当以、、为顶点的三角形与全等时， s． 【答案】3或7或10 【分析】本题考查三角形全等的性质，根据题意分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分成两种情况，求解即可，分情况讨论是解题关键． 【详解】解：①当在线段上，时，   ， ， ， 点的运动时间为 秒． ②当在上，时，如图所示：， ， ， ， 点的运动时间为 秒． ③当在上，时，如图所示： 此时， ， 点的运动时间为 秒； ④当在线段上，时，这时在点未动，因此时间为秒不符合题意． 故答案为：3或7或10． 2．(24-25八·新疆乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第二中学·期中)如图，，相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度匀速运动，点从点出发，沿方向以的速度匀速运动．，两点同时出发，当点回到点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)当时，______，当时，______； (2)连接，当线段经过点时，求的长． 【答案】(1)，； (2)的长为或． 【分析】（1）根据点的运动速度、运动时间、运动方向即可求解； （2）先根据证明，得出，，当线段经过点时，根据可证，推出，用含的代数式表示，，分情况列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：当时．， 当时．， 故答案为：，； （2）解：在和中， ， ， ∴，， 当线段经过点时，如下所示： 在和中， ， ， ， ，点从点出发，沿方向以的速度匀速运动， 时，点到达点，时，点返回点， ， 当时，， 解得， 的长为； 当时，， 解得， 的长为； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及一元一次方程的应用，解题的关键是注意不同时间段内点的运动方向不同，需要分情况讨论． 3．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中)如图，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． （1）求证：AF＝AM； （2）当t取何值时，△DFE与△DMG全等； （3）求证：在运动过程中，不管t取何值，都有． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）由角平分线的性质可知DF=DM，根据HL可证明Rt△AFD≌Rt△AMD； （2）分两种情况进行讨论：①当0＜t＜4时，②当4≤t＜5时，分别根据△DFE≌△DMG，得出EF=GM，据此列出关于t的方程，进行求解即可． （3）由角平分线的性质可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程=速度×时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC． 【详解】解：（1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC， ∴DF=DM， 在Rt△AFD和Rt△AMD中， ， ∴Rt△AFD≌Rt△AMD（HL）； （2）解：①当0＜t＜4时，点G在线段CM上，点E在线段AF上． EF=10-2t，MG=4-t ∴10-2t=4-t， ∴t=6（不合题意，舍去）； ②当4≤t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上． EF=10-2t，MG=t-4， ∴10-2t=t-4， ∴t=， 综上：当t=时，△DFE与△DMG全等； （3）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC， ∴DF=DM， ∵S△AED=AE•DF，S△DGC=CG•DM， ∴， ∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动， ∴AE=2tcm，CG=tcm， ∴=2， 即， ∴在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积公式以及动点问题，解题的难点在于第二问中求运动的时间，此题容易漏解和错解． 地 城 考点05 全等综合——添加辅助线（压轴） 1．(24-25八上·北京回民中学·期中)如图，是的角平分线，于点，，，，则长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积公式．首先过点作，根据角平分线的性质可知，根据三角形的面积公式可得，已知，从而可得，利用三角形的面积公式可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作， 平分， ， ，， ， 又， ， ， ， ． 故选：A． 2．(24-25八上·新疆乌鲁木齐三中·期中)如图，在平面直角坐标系中，有一个，已知，，，，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形．过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，    ∵，轴， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 3．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期中)如图所示，在平面直角坐标系中，，点分别在轴正半轴和轴正半轴上，，则 ． 【答案】140 【分析】此题重点考查坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作轴于点，轴于点，因为，所以，，则，可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作轴于点，轴于点，则， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：140． 4．(24-25八·新疆伊犁哈萨克巩留县第二中学·期中)如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，CB=8，则点M到AD的距离 ． 【答案】4 【分析】过点M作ME⊥AD于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BM=ME，CM=EM，然后求出BM=CM，再求解即可． 【详解】如图，过点M作ME⊥AD于E， ∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，∠B=∠C=90°， ∴BM=ME，CM=EM， ∴BM=CM， ∵BC=8， ∴， ∴ME=4， 即点M到AD的距离为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键． 5．(24-25八·新疆伊犁哈萨克巩留县第二中学·期中)如图，已知P(3，3)，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠APB＝90°，则OA＋OB＝ ． 【答案】6 【详解】过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N， ∵P（3，3）， ∴PN=PM=3， ∵， ∴∠MPN=360°-90°-90°-90°=90°， 则四边形MONP是正方形， ∴ ， ∵∠APB=90°， ∴∠APB=∠MON， ∴ ， ∴∠APM=∠BPN， 在△APM和△BPN中 ， ∴△APM≌△BPN（ASA）， ∴OA+OB=OA+ON+BN =OA+ON+AM=ON+OM =3+3=6 故答案是：6． 6．(24-25八·第02讲全等三角形的判定（SSS和SAS）（3个知识点4类热点题型讲练习题巩固）-·)如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】2.4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长至，使，连接，可证明，则，，根据，得，可证出，即得出，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2.4． 7．(24-25八上·新疆昌吉回族奇台县·期中)在中，，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由 【答案】，理由见解析 【分析】此题重点考查同角的余角相等、等腰三角形的“三线合一”、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点，由，根据等腰三角形的“三线合一”得，再证明，得，则． 【详解】解：， 理由：过点B作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 8．(24-25八上·新疆昌吉回族奇台县·期中)【问题背景】 如图1，在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____． 【探索延伸】 如图2，若在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】【问题背景】；【探索延伸】仍然成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 问题背景：先利用“”判断得到，，再证明，接着根据“”判断，所以，从而得到； 探索延伸：结论仍然成立，证明方法与（1）相同． 【详解】问题背景：，证明如下： 如下图，延长到点，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 探索延伸：结论仍然成立，理由如下： 如下图，延长到点，使得，连接，    ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．(24-25八上·新疆和田墨玉县·期中)如图，中，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，过点分别作，，垂足分别为、，求的长度．    【答案】 【分析】连接，，由角平分线定理得到，，，由是的垂直平分线得到，由此证明，推出，再根据，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接，，    ∵是的平分线，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，等角的余角相等，角平分线性质定理的运用，此题辅助线的连接是解题的关键． 10．(23-24七下·陕西西安西安高新第一中学·期末)数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．    【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是___________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；理由见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，得出，得出，即可证明结论． （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论． 【详解】解：如图1，延长到点，使，    ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）证明：如图，延长到点F，使得，连接．    ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：；理由如下： 如图，延长，使，连接，    ∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 地 城 考点06 全等作图 1．(24-25八上·青海海东平安区第二中学·月考)如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，作一个角等于已知角的尺规作图，根据作图方法可得，则可依据证明，由全等三角形对应角相等可得，据此可得答案． 【详解】解：解：由作图知， ∴， ∴， ∴说明的依据是， 故选：A． 2．(24-25八上·江西宜春高安·期末)如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，尺规作角平分线的方法，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据尺规作图可得，由此可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴， ∴依据是， 故选：B ． 3．(24-25八上·新疆吐鲁番·期中)如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，则的面积为（   ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】本题考查作图基本作图、角平分线的性质．过点作于点，由题意得，为的平分线，即可得，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，为的平分线， ， ， 的面积为． 故选：B． 4．(246．(24-25八上·新疆阿克苏阿克苏·期中)已知，求作射线，使平分，那么作法的合理顺序是（    ） ①作射线； ②在射线和上分别截取，使； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 【答案】C 【分析】本题考查基本作图—角平分线．根据角平分线的作图方法，进行排序判断即可． 【详解】解：作法的合理顺序是： ②在射线和上分别截取，使； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C． ①作射线； 故选：C． 5．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第十二中学·期中)如图，用尺规作图：作的平分线的依据是 (“”“”“”或“”)． 【答案】 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，证明，可得结论． 【详解】解：由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ， 是的平分线． 故答案为：“”． 6. (24-25八上·新疆库尔勒第四中学·期中)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 尺规作图是起源于古希腊的数学课题．只使用圆规和直尺，并且只准使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． (1)如图，下列操作中，作的平分线的正确顺序是___________（将序号按正确的顺序写在横线上） ①分别以，为圆心，大于为半径画弧，在内，两弧交于点． ②以点为圆心，适当长为半径画弧．交于点，交于点． ③画射线，交于点． ④线段即为的一条角平分线． (2)上述作法，其运用的数学知识是全等三角形判定方法中的___________（判定方法）； (3)如图，在中，，的平分线与的平分线交于点，图中与相等的角是___________；请你猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)②①③④ (2) (3)；，理由见解析 【分析】（1）利用尺规作图作角平分线的步骤解答即可； （2）连接，然后根据全等三角形的判定定理解答即可； （3）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可找到与相等的角；在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：作的平分线的正确顺序是②①③④； 故答案为：②①③④； （2）如图：连接， 由作图可知：， 又， ∴ 故答案为； （3）∵， ∴， ∵的平分线与平分线交于点， ∴， ∴， ∴； 故答案为： ，理由如下： 在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、与角平分线有关的三角形的内角和定理，以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $