2.2.2双曲线的简单几何性质（第1课时）（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质及标准方程求解，课堂导入先回顾双曲线定义与标准方程，通过问题链引导观察图像、方程推导，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于问题驱动探究，通过观察图像猜范围、方程验证培养数学眼光，推导性质训练数学思维，结合冷却塔实例用数学语言表达现实问题。分层训练助学生掌握，教师使用可提升教学效率。

第二章 圆锥曲线 北师大版2019·选择性必修第一册 2 双曲线 2.2 双曲线的简单 几何性质 学 习 目 标 2 3 掌握双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点）. 能用双曲线的几何性质解决问题. 了解双曲线的简单应用. 1 读教材 阅读课本P61-P63，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“双曲线的简单几何性质”吧！ 1.双曲线的范围是什么？ 2.双曲线关于什么对称？ 3.双曲线有哪些顶点？ 新课引入 一、双曲线的定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于︱F1F2︱）的点的集合（或轨迹）叫作双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 注：这个常数一般用焦距一般. 新课引入 二、双曲线的标准方程 、 、 学习过程 01 03 02 目录 1 双曲线的简单几何性质 3 题型训练 2 求解双曲线的标准方程 新知探究 知识点一、双曲线的简单几何性质 探究一：双曲线的范围 问题1：观察图像,你能从图上看出双曲线上点的横纵坐标的取值范围是什么吗? 问题2：如何用双曲线的标准方程解释该范围？ 通过方程进行研究： 双曲线的方程变形为，可得，得到双曲线位于与所表示的平面区域内． 即位于两条直线与外侧的区域 新知探究 问题1：观察双曲线的形状,双曲线是关于什么对称的？ 探究二：双曲线的对称性 问题2：如何利用方程说明双曲线的对称性？ 知识点一、双曲线的简单几何性质 在标准方程中,把换成,或把换成, 或把同时换成,时,方程都不变, 所以图形关于轴、轴和原点都是对称的． 这个中心称为双曲线的中心. 新知探究 知识点一、双曲线的简单几何性质 问题1：双曲线上哪些点比较特殊？ 探究三：双曲线的顶点 问题2：如何求它们的坐标呢？ 在双曲线的标准方程中， 令得；令，则无解． 这说明双曲线有两个顶点， 新知探究 知识点一、双曲线的简单几何性质 问题1：双曲线上哪些点比较特殊？ 探究三：双曲线的顶点 问题2：如何求它们的坐标呢？ 如图,对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴,其长度为． 尽管此双曲线与轴无公共点,但轴上有两个特殊的点．我们称线段为双曲线的虚轴，其长度为． 典例分析 例1：求双曲线x2 4y2=1的焦点、中心、顶点坐标、实轴和虚轴的长,并画出该双曲线． 解： 将x2 4y2=1化为标准方程为=1， 由此可得实半轴长a=１，虚半轴长b=，半焦距． 所以双曲线的焦点坐标为(0)，(0)，中心坐标为(0)， 顶点坐标为(0)，(0) ，实轴长为2，虚轴长为1. 画双曲线x2 4y2=1． 1、根据双曲线的对称性，先画双曲线位于第一象限的部分，为此，由双曲线的方程解得． 2、计算出一些点，如下表： x 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 y 0 0.56 0.87 1.15 1.41 1.94 2.45 2.96 3.46 3.97 典例分析 例1：求双曲线x2 4y2=1的焦点、中心、顶点坐标、实轴和虚轴的长，并画出该双曲线． 解： 画双曲线x2 4y2=1． 3、在平面直角坐标系中描出上述对应点,并用光滑曲线连起来. 根据对称性,画出双曲线在其他三个象限的部分（如图）. 典例分析 例1：求双曲线x2 4y2=1的焦点、中心、顶点坐标、实轴和虚轴的长，并画出该双曲线． 解： 学习过程 01 03 02 目录 1 双曲线的简单几何性质 3 题型训练 2 求解双曲线的标准方程 新知探究 典例1：求适合下列条件的双曲线的标准方程： 解：(1)根据题意,双曲线经过点，,则双曲线的焦点在轴上,且, 知识点二、求双曲线的标准方程 (1)经过点，； (2)，经过点； 双曲线经过，则有，解可得， 则双曲线的标准方程为：； 设双曲线的标准方程为：， 新知探究 典例1：求适合下列条件的双曲线的标准方程： 解： (2)根据题意，双曲线中，设双曲线的方程为：， 知识点二、求双曲线的标准方程 (1)经过点，； (2)，经过点； 则双曲线的标准方程为：； 又由双曲线经过点，则有 ， 则双曲线的方程为， 提分笔记 利用双曲线的简单几何性质求标准方程的思路 (3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数. (2)设出相应双曲线的标准方程. (1)确定焦点的位置. (焦点位置不确定的双曲线可能有两个标准方程); 典例2 ：如图,火力发电厂的冷却塔的外形是由双曲线绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面,已知塔的总高度为150m,塔顶直径为70m,塔的最小直径(喉部直径)为67m,喉部标高(标高是地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离)为112.5m,试建立适当的坐标系,求出此双曲线的标准方程(精确到0.01),并画出该双曲线． 新知探究 解: 图（2）是冷却塔的轴截面,为了得到双曲线的标准方程, 以最小直径处所在直线为x轴,最小直径的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标为（33.5，0）. 典例2 ：如图,火力发电厂的冷却塔的外形是由双曲线绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面,已知塔的总高度为150m,塔顶直径为70m,塔的最小直径(喉部直径)为67m,喉部标高(标高是地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离)为112.5m,试建立适当的坐标系,求出此双曲线的标准方程(精确到0.01),并画出该双曲线． 新知探究 解: 设双曲线的标准方程为， 故所求双曲线的标准方程为． 则,由已知可得点C的坐标为（35,37.5）,代入双曲线的标准方程有,所以． 学习过程 01 03 02 目录 1 双曲线的定义 3 题型训练 2 双曲线的标准方程 题型探究 例1： 双曲线的简单几何性质范围 题型1 解： C 已知点在双曲线上，则（  ） A．点不在双曲线上 B．点不在双曲线上 C．点在双曲线上 D．以上均无法确定 因为双曲线关于横轴、纵轴、原点对称， 而点关于横轴、纵轴、原点对称的点分别为、、， 所以只有选项C正确， 故选：C 题型探究 例2： 双曲线的简单几何性质范围 题型1 解： B 双曲线的顶点坐标为（   ） A．， B．， C．， D．， 由双曲线方程可知双曲线焦点在轴上，，所以双曲线的顶点坐标为，. 故选：B. 题型探究 例1： 解： 求解双曲线的标准方程 题型2 由椭圆，则左右顶点分别为与， 由，则左右焦点分别为与， 设双曲线方程为，则，，解得， 所以可得.故选：B. 以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． B 已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为（   ）. A． B． C． D． 解：由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， 题型探究 求解双曲线的标准方程 题型2 例2： D 一、双曲线的几何性质 课堂小结 1、双曲线的范围 双曲线位于两条直线与外侧的区域 双曲线既是关于轴和轴的轴对称图形,也是关于原点的中心对称图形,这个中心称为双曲线的中心. 2、双曲线的对称性 一、双曲线的几何性质 课堂小结 3、双曲线的顶点 双曲线有两个顶点， 注：对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴,其长度为．线段为双曲线的虚轴,其长度为． 感谢聆听! $