专题03 二次函数 8大高频考点（期中真题汇编，河南专用人教版）九年级数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03二次函数 ☆8大高频考点概览 考点01二次函数的图象与性质 考点02把二次函数化成顶点式 考点03二次函数的最值 考点04待定系数法求二次函数解析式 考点05二次函数综合 考点06抛物线与×轴的交点问题 考点07根据二次函数图象确定相应方程根的情况 考点O8根据交点确定不等式的解集 考点01 二次函数的图象与性质 1.(24-25九上河南濮阳油田第十八中学·期中)抛物线y=-2(x+1)2-3的顶点坐标为 2.(24-25九上河南洛阳涧西区期中)已知点A(-2,y1),B(3,y2),C(5,y3)都是抛物线y=3(x-1)2-m(m为 常数)上的点，则y1,y2,y3的大小关系为() A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2 C.y2<y1<y3 D.y3<y1<y2 3.(24-25九上·河南洛阳涧西区·期中)抛物线y=-(x-1)2-2的顶点坐标是(） A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,-2) D.(-1,2) 4.(24-25九·河南周口川汇区期中)已知二次函数y=4(x-2)2-1,则下列说法：①其图象的开口向上；② 其图象的对称轴为直线x=2;③其图象顶点坐标为(2,1)；④当x>2时，y随x的增大而增大；⑤图象与y 轴的交点为(0，-1)，其中说法正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(24-25九上河南许昌禹州期中)抛物线y=-(x+1)2+m经过(-5y),(0,y2),(1y3),则y1,y2,y3 的大小关系正确的是() A,y1>y2>y3B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2 1/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25九上·河南驻马店汝南县期中)对于二次函数y=-(x+3)2-2的图象，下列说法正确的是（) A.开口向上 B.当x=-3时，y有最小值是-2 C.当x>-3时，y随x的增大而减小D.顶点坐标是(-2，-3) 7.(24-25九上·河南商丘民权县求实学校·期中)已知抛物线y=(x+m)2+(m-1),经推断知其顶点不会出 现在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D,第四象限 8.(24-25九上河南安阳·期中)下列抛物线中，与抛物线y=-3x2+1的形状、开口方向完全相同，且顶点 坐标为(-1,2)的是() A.y=-3(x+1)2+2 B.y=-3(x-1)2+2 C.y=-(3x+1)2+2 D.y=-(3x-1)2+2 9.(24-25九上河南信阳潢川县·期中)对于二次函数y=-(x+2)2+3的图象，下列说法正确的是() A.开口向上 B.当x=2时，y有最小值是3 C.对称轴是直线x=2 D.顶点坐标是(-2,3) 10.(24-25九上河南漯河临颖县期中)抛物线y=x+1)2-4的顶点坐标是， 考点02 把二次函数化成顶点式 11.(24-25九上河南洛阳西工区)将抛物线y=x2+2x化为顶点式为() A.y=(x+1)2+1 B.y=(x+1)2-1 C.y=(x+1)2-2 D.y=(x-1)2+1 12.24-25九上河南商丘虞城县期中)已知二次函数y=一x2+x+4, (1)求函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)把这个函数的图像先向左平移2个单位、再向下平移2个单位，得到的图像对应的函数关系式是什么？ 13.二次函数y=x2-2x+5图象的顶点坐标为 14.(24-25九上·河南濮阳濮阳县实验中学.期中)已知二次函数y=x2-2x+3,解决以下问题： (I)将其化成y=a(x-h)2+k的形式： (2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图； 3 2/16 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 … 6 5-4-3-2-112.345x (3)增减性：当x 时，y随x增大而增大；当x时，y随x增大而减小. 0 6 3 3 6 15.(24-25九上河南安阳安阳县等3地期中)已知抛物线y=x2-2x有两点P(2,y1),Q(3,y2),则y1y2( 填“>“<”或“=”)， 考点03 二次函数的最值 16.(24-25九上河南洛阳西工区)在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A(x,y)是函数图象上 任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y-x”称为点A的“纵横值”，函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值 称为函数的“最优纵横值” 例如：点A(1,3)在函数y=2x+1图象上，点A的纵横值”为3-1=2，函数y=2x+1图象上所有点的“纵 横值”可表示为y-x=2x+1-x=x+1,当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1=7，所以函数y=2x+1 (3≤x≤6)的“最优纵横值”为7. 根据定义，解答下列问题： (1)点B(-6,2)的“纵横值”为： (2)若二次函数y=-x2+bx+c的顶点在直线x=上，且最优纵横值为5，求c的值： (3)若二次函数y=-(x-h)2+3的顶点在直线y=x+2上，当-1≤x≤3时，求该二次函数的纵横值的范 围 17.(24-25九上·河南濮阳外国语初中.期中)如图，抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数)关于直线x=1 对称.下列结论：①点(2，c)在抛物线上；②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④am2+bm>a+b;⑤ 3/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3a+c>0.其中结论正确的有() x÷1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 18.(24-25九上河南商丘虞城县期中)如图，二次函数y=ax2-6ax+8a(a<0)的图象与x轴交于A,B两 点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,且OB=OC. B (1)求二次函数的解析式； (2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为(m,m2+2)(m≥0)，若当-1≤x≤2时 函数的最大值为6，求m的值 19.(24-25九上河南周口鹿邑县·期中)二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3)，(3,0)， (1)求b、c的值； (②)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴： (3)若自变量x的范围为-1<x<3,求函数值y的取值范围. 20.(24-25九上·河南商丘柘城县·期中)已知二次函数y=x2-2ax+2a,其中a为实数，对称轴为直线 x=3,将二次函数的图象向上平移6个单位，当m-1≤x≤m+2时，函数有最小值为12，则m的值 为 21.(24-25九上·河南濮阳·期中)某种设备的销售利润y(万元)与销售数量x(万件)之间满足函数解析式 y=-2x2+4x+5,则利润的() A.最大值为5万元 B,最大值为7万元 C.最小值为5万元 D.最小值为7万元 4/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22.(24-25九上河南新乡英才学校期中)已知二次函数y=x2+bx+c经过(0,2)和(1,2). ()求该二次函数的表达式和对称轴， (2)当-1≤x≤3时，求该二次函数的最大值和最小值， 23.(24-25九上·河南信阳光山县第六初级中学.期中)已知二次函数y=-x2+6x-5 (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？ (3)若点M(x1y1),N(5,y2)均在该抛物线上，且y1<y2,求点M横坐标x1的取值范围. 考点04 待定系数法求二次函数解析式 24.(24-25九上河南濮阳濮阳县实验中学期中)已知抛物线y=-x2+2bx+1-2b(b为常数)， (1)若点(2,5)在该抛物线上，求b的值； (2)若该抛物线的顶点坐标是(m,n),求n关于m的函数解析式. 25.(24-25九上河南信阳平桥区·期中)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx-3(a<0). (1)若抛物线过点(4，-3)，求该抛物线的对称轴； (2)若，A(-4,y1),B(-2,y2),C(-1,y3)在抛物线上，且满足y3<y1<y2,当抛物线对称轴为直线x=t时，求t 的取值范围 26.(24-25九上·河南安阳安阳县等3地·期中)如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(-1,0)和B(3,0) 两点，且交y轴于点C (1)求抛物线解析式； (2)连接A,C,将线段AC向右平移m个单位，若线段AC与抛物线有唯一交点，求m的取值范围， 27.(24-25九上·河南许昌禹州期中)如图，已知抛物线y=ax2-4x+c与x轴交于点A(-1,0),B(5,0),与y 轴交于点C 5/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求抛物线的解析式： (2)求点C的坐标和抛物线的对称轴； (3)若点P为抛物线上一动点，当抛物线上点P,C之间的部分（含P,C)的高度（最高点和最低点的纵坐标 之差)为8时，请直接写出点P的坐标 28.(24-25九上河南驻马店平舆县期中)已知关于x的函数y=(m2-1)xm2-m为二次函数. (1)求m的值； (2)求二次函数的表达式， 29.(24-25九上河南商丘民权县求实学校·期中)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x(a≠0)过点A (1,3). (1)求抛物线解析式： (2)已知B(3,y1)和点C(m,y2)在该抛物线上，若y1<y2,求m的取值范围 30.Q425九上河南商丘虞城县期中)如图，抛物线划y=ax2-x-与x轴正半轴交于点4(3,0.以0A为边在x 轴上方作正方形OABC,延长CB交抛物线于点D,再以BD为边向上作正方形BDEF,则这两个正方形的面积 之和是 31.(24-25九上·河南商丘虞城县期中)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可 以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数 关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函效模型和数据， 可知常数a的值等于() 6/16 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Ay/m 57.9 54.0i 46.2 20 40 x/m A.-0.0195 B.0.0195 C.-0.585 D.0.585 32.(24-25九上河南周口扶沟县·期中)(1)解一元二次方程：3x2+6x-4=0: (2)抛物线y=ax2+bx+c与轴的两交点的横坐标分别是-，与)轴交点的纵坐标是-5，求这个二次函 数的解析式 33.(24-25九上河南新乡英才学校·期中)已知抛物线的顶点坐标为(-2，-5)，与y轴交于(0，-9)，则抛物线 解析式为() A,y=(x+2)2-5 B.y=(x-2)2-5 C.y=-(x-2)2-5 D.y=-(x+2)2-5 34.(24-25九上·河南漯河第三初级中学·期中)抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应 值如表所示： 2 0 y 0 6 6 下列结论①抛物线的开口向下②抛物线的对称轴为直线x=;③抛物线与x轴的另一个交点坐标为(2,0)： ④函数y=ar2+bx+c的最大值为票其中正确的是 (填序号)， 目目 考点05 二次函数综合 35.(24-25九上河南驻马店平舆县期中)如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交 于点C,OA=OC=3,顶点为D 7/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D ()求抛物线的解析式， (2)在对称轴上找一点P,使△BCP的周长最小，求出此时点P的坐标及△BCP的周长. (3)抛物线上是否存在一点W,使得S△ABN=S△ABc？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 36.(24-25九上河南商丘柘城县期中)如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的 直线1与抛物线交于点C,其中点A的坐标是(1,0)，点C坐标是(4,3)， (1)求抛物线的解析式； (2)求直线AC的解析式： (3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标；若不存 在，请说明理由， 37.(24-25九上·河南漯河第三初级中学期中)如图，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A,B两点(A在B 的左侧)，与y轴交于点C,顶点为D D B 6 备用图 (1)请直接写出点A,C,D的坐标； 8/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作PE⊥x轴交AC于点E,求线段PE长度 的最大值； (3)若F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点O,使得△AFQ为等腰直角三角形？若存在，求出Q 坐标；若不存在，请说明理由， 38.(24-25九上河南驻马店西平县第五初级中学.期中)如图，抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-2,0),B(4,0) 两点，与y轴交于点C,点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m(1<m<4). y (1)求抛物线的函数表达式： (2)点E是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACE的周长最小时，求点E的坐标； (③)当△BCD的面积等于△A0C的面积的时，求m的值； (4)在(3)的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以 点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理 由 39,(24-25九上河南洛阳西工区)如图，在平面直角坐标系x0y中，点A在抛物线y=x2-4x+6上运动， 过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作正方形ABCD,当正方形的面积为18时，点A的坐标 为 40.(24-25九上·河南新乡长垣期中)如图，正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y=-x2+4上，点D在y 轴上，若A,C两点的横坐标分别为m,n(m>n>0),下列结论正确的是() 9/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.m+n=1 B.m-n=1 C.m=1 D.=1 41,(24-25九上河南商丘柘城县·期中)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2-b的图象经过正方形 ABCO的顶点A,B,C.且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解 析式为() B A.y=(x-1)2-1 B.y=(x+1)2-1 C.y=(x-1)2+1 D.y=(x+1)2+1 42.(24-25九上·河南洛阳涧西区·期中)在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已有经验， 对抛物线的阶梯n点”进行研究， 定义：若抛物线上存在一点P,且点P的横、纵坐标之和为，则称点P为此抛物线的阶梯n点”. 例如：点P(0,1)在抛物线y=x2+3x+1上，且点P的横、纵坐标之和为1，则点P就叫做此抛物线的阶梯 1点” 根据以上定义，解决以下问题： (1)若点P是抛物线y=x2+3x+1的阶梯6点”，求点P的坐标. 设点P的坐标为(x,y),由定义可知：y=x2+3x+1,且x+y=6, 所以x+x2+3x+1=6,解得x1=1,x2=-5. 所以点P的坐标为 或(-5,11)（请直接写出点P的另一个坐标）. (2)若点P是抛物线y=x2-3x-2的阶梯1点”，求点P的坐标； (3)若抛物线y=x2+x+c上存在“阶梯3点”P,请直接写出c的取值范围. 43.(24-25九上·河南许昌建安区第三初级中学.模拟)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴，y轴分别交于 10/16 专题03 二次函数 8大高频考点概览 考点01 二次函数的图象与性质 考点02 把二次函数化成顶点式 考点03 二次函数的最值 考点04 待定系数法求二次函数解析式 考点05 二次函数综合 考点06 抛物线与x轴的交点问题 考点07 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 考点08 根据交点确定不等式的解集 地 城 考点01 二次函数的图象与性质 1．(24-25九上·河南濮阳油田第十八中学·期中)抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，直接根据抛物线顶点式得到顶点坐标即可． 【详解】解：由顶点式特征可知：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 2．(24-25九上·河南洛阳涧西区·期中)已知点，，都是抛物线（为常数）上的点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由抛物线解析式可得对称轴为直线，又由可得抛物线开口向上，抛物线的点离对称轴的距离越近，函数值越小，据此解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上，抛物线的点离对称轴的距离越近，函数值越小， ∵， ∴， 故选：． 3．(24-25九上·河南洛阳涧西区·期中)抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标“若二次函数的顶点式为，则它的顶点坐标为”，熟练掌握求二次函数的顶点坐标的方法是解题关键．直接根据二次函数的顶点式求解即可得． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 4．(24-25九·河南周口川汇区·期中)已知二次函数，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线；③其图象顶点坐标为；④当时，随的增大而增大；⑤图象与轴的交点为，其中说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用抛物线的顶点式和二次函数的性质分别进行判断即可得；掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴此抛物线的图象的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而增大； 故②正确，③错误，④正确； ∵， ∴此抛物线图象的开口向上，故①正确； 当时，， ∴图象与y轴的交点为， 故⑤错误； 综上，①②④正确，正确的个数有3个， 故选：C． 5．(24-25九上·河南许昌禹州·期中)抛物线经过，，，则，，的大小关系正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，牢记“当时，抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大；当时，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小”是解题的关键．由抛物线的解析式为，可得出抛物线的开口方向及对称轴，结合二次函数的性质，可得出抛物线上离对称轴越近的点，函数值越大，再结合各点的横坐标，即可得出． 【详解】解：抛物线的解析式为，， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 抛物线上离对称轴越近的点，函数值越大． 又，，，， ． 故选：B． 6．(24-25九上·河南驻马店汝南县·期中)对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，y有最小值是 C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标是 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的性质．根据二次函数的性质进行逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象开口向下，故A选项错误； ∵二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，故D选项错误； ∴当时，y有最大值是，当时，y随x的增大而减小，故B选项错误；故C选项正确； 故选：C 7．(24-25九上·河南商丘民权县求实学校·期中)已知抛物线，经推断知其顶点不会出现在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握顶点坐标与解析式的关系是解题关键．根据三种情况分析，结合顶点坐标求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 当时，则，，抛物线的顶点坐标在第二象限； 当时，则，，抛物线的顶点坐标在第三象限； 当时，则，，抛物线的顶点坐标在第四象限； 顶点不会出现在第一象限， 故选：A． 8．(24-25九上·河南安阳·期中)下列抛物线中，与抛物线的形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；首先根据顶点坐标可设抛物线解析式为，再由形状和开口方向完全相同得出，然后可得答案． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为， ∴可设抛物线解析式为， ∵与抛物线的形状、开口方向完全相同， ∴， ∴所求抛物线解析式为． 故选：A． 9．(24-25九上·河南信阳潢川县·期中)对于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．开口向上 B．当时，有最小值是3 C．对称轴是直线 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】解：， 抛物线开口向下， 对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，有最大值3， 故A、B、C说法错误，说法正确， 故选：． 10．(24-25九上·河南漯河临颍县·期中)抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数顶点式，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键． 根据二次函数顶点式的顶点坐标为，由此即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为： ． 地 城 考点02 把二次函数化成顶点式 11．(24-25九上·河南洛阳西工区·)将抛物线化为顶点式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数由一般式化为顶点式的方法，利用完全平方公式进行配方，利用配方法，即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 12．(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)已知二次函数， (1)求函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)把这个函数的图像先向左平移2个单位、再向下平移2个单位，得到的图像对应的函数关系式是什么？ 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查了抛物线的顶点式求对称轴，顶点坐标，抛物线的平移，熟练掌握顶点式，平移规律是解题的关键． （1）把解析式化成顶点式，求函数图像的对称轴和顶点坐标即可； （2）根据左加下减的平移原理解答即可． 【详解】（1）解：， 故抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：∵，且图像先向左平移2个单位、再向下平移2个单位， ∴， ∴． 13．二次函数图象的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查二次函数的顶点坐标，熟练掌握把二次函数的一般式整理成顶点式是解题关键．直接把二次函数的解析式整理为顶点式即可解答． 【详解】解：， 顶点坐标为， 故答案为：． 14．(24-25九上·河南濮阳濮阳县实验中学·期中)已知二次函数，解决以下问题： (1)将其化成的形式：______； (2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图； 0 1 2 3 6 (3)增减性：当______时，随增大而增大；当______时，随增大而减小． 【答案】(1) (2)填表见解析；画图见解析 (3)； 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）用配方法将二次函数解析式化为顶点式即可； （2）将x对应的值代入函数解析式求出y的值，然后描点，画出函数图象即可； （3）根据函数的增减性，得出答案即可． 【详解】（1）解：； （2）解：填表如下： 0 1 2 3 6 3 2 3 6 描点，连线，画出函数图象，如图所示： （3）解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大；当时，随增大而减小． 15．(24-25九上·河南安阳安阳县等3地·期中)已知抛物线有两点，则 填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线顶点式，给出两点的横坐标比较纵坐标的大小，理解二次函数的性质是解题的关键．将抛物线化成顶点式，根据函数的增减性来比较大小即可． 【详解】解：， 抛物线的开口向上，对称轴为：， 当时，随之的增大而增大， ，且 ， 故答案为：． 地 城 考点03 二次函数的最值 16．(24-25九上·河南洛阳西工区·)在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数的顶点在直线上，当时，求该二次函数的纵横值的范围． 【答案】(1)8 (2) (3)函数纵横值 【分析】本题考查了二次函数的性质，涉及顶点坐标以及最值，正确理解题意，掌握二次函数的相关性质是解题的关键． （1）点的“纵横值”为，即可求解； （2）由题意得，解得，，进而得，即可求解； （3）由题意得，解得，，进而得，即可求解． 【详解】（1）解：点的“纵横值”为， 故答案为：8； （2）二次函数的顶点在直线上， ， 解得， ， ， 最优纵横值为5， ， 解得； （3）二次函数的顶点在直线上， ， 解得， ， ， 当时可知， 当时，， 当时，， 函数纵横值． 17．(24-25九上·河南濮阳外国语初中·期中)如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列结论：①点在抛物线上；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键． 易得抛物线过点，对称性得到抛物线过点，①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤正确． 【详解】解：①∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， ∵抛物线的对称轴为， ∴抛物线过点， 故①正确； ②抛物线的对称轴为， ， ， ，故②正确； ③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等． 由图知时，， ∴时，． 即．故③错误； ④由图知时二次函数有最小值， ， ，故④错误； ⑤由抛物线的对称轴为可得， ， ∴， 当时，． 由图知时 ，故⑤正确． 综上所述：正确的是①②⑤， 故选C． 18．(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且． (1)求二次函数的解析式； (2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为，若当时函数的最大值为6，求m的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质等知识，正确分类讨论是解第二（2）问的关键． （1）先求出点A的坐标为，点B的坐标为，根据得到，即可求解； （2）分和两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：当时， 即，解得，． ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 当时，． ∵，点C在y轴负半轴上， ∴，解得． ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵将函数图象平移后，顶点坐标为， ∴平移后的函数解析式为． ∴平移后的函数的对称轴为直线． 当，时函数取得最大值， 即， 解得，，均不符合题意，舍去； 当时函数取得最大值， 即， 解得，（舍去）． 综上所述，m的值为2． 19．(24-25九上·河南周口鹿邑县·期中)二次函数的图象经过点，． (1)求b、c的值； (2)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； (3)若自变量x的范围为，求函数值y的取值范围． 【答案】(1)和3 (2)顶点坐标为，对称轴为直线 (3) 【分析】该题主要考查了二次函数解析式求解，二次函数的图象和性质，二次函数最值等知识点，解题的关键是掌握以上知识点， （1）把已知点的坐标代入解析式，然后解关于b、c的二元一次方程组即可得解； （2）把函数解析式转化为顶点式形式，然后即可写出顶点坐标与对称轴解析式； （3）求出当，，时对应的函数值即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴b、c分别为和3． （2）解：∵该二次函数为． ∴该二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：当时，， 当时，， 当时，，函数值y的取值范围． 20．(24-25九上·河南商丘柘城县·期中)已知二次函数，其中a为实数，对称轴为直线，将二次函数的图象向上平移6个单位，当时，函数有最小值为12，则m的值为 ． 【答案】7或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象的平移，先根据对称轴方程求得该二次函数的解析式，再根据函数图象平移规则“上加下减”得到平移后的函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， 将二次函数的图象向上平移6个单位，得， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当时，，此时y有最小值3， 当时，由解得，， ∵当时，函数有最小值为12， ∴或， 解得或． 故答案为：7或． 21．(24-25九上·河南濮阳·期中)某种设备的销售利润(万元)与销售数量(万件)之间满足函数解析式 则利润的（    ） A．最大值为万元 B．最大值为万元 C．最小值为万元 D．最小值为万元 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，掌握二次函数一般式化为顶点式的方法，二次函数顶点是的特点是解题的关键．将二次函数一般式化为顶点式即可求解． 【详解】解：二次函数解析式为： ， ∵， ∴函数图象开口向下，有最大值，且当，函数的最大值为， ∴最大值为万元， 故选：B ． 22．(24-25九上·河南新乡英才学校·期中)已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)当时，求该二次函数的最大值和最小值． 【答案】(1)次函数的表达式为，对称轴为直线 (2)最大值为8，最小值为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质； （1）先将和分别代入求出二次函数的表达式，再根据对称轴公式作答即可； （2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：二次函数经过和， ， 解得， 二次函数的表达式为， 对称轴为直线； （2）解：由（1）可知的开口向上， 二次函数的对称轴为直线在内， 当时，有最小值； 直线距直线最远， 当时，有最大值． 23．(24-25九上·河南信阳光山县第六初级中学·期中)已知二次函数 (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ (3)若点，均在该抛物线上，且，求点横坐标的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，函数的最大值为4，最小值为0； (3)或 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）配方成顶点式，即可求得； （2）根据抛物线开口方向及顶点坐标可得当时y取最小值，时y取最大值； （3）求得点关于直线对称的点的横坐标是1，数形结合可求解． 【详解】（1）解：， 顶点坐标为； （2）解：顶点坐标为， 当时，． ，函数图象开口向下，当时，随着的增大而增大， 当时，， 当时，函数的最大值为4，最小值为0； （3）解：因为对称轴为直线， 点关于直线对称的点的横坐标是1，且， ，函数图象开口向下， 所以或． 地 城 考点04 待定系数法求二次函数解析式 24．(24-25九上·河南濮阳濮阳县实验中学·期中)已知抛物线（为常数）． (1)若点在该抛物线上，求的值； (2)若该抛物线的顶点坐标是，求关于的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，熟练掌握顶点坐标公式是解此题的关键． （1）将点的坐标代入抛物线表达式求解即可； （2）根据顶点坐标公式可得m、n关于b 的关系式，进一步即可得出结果． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：； （2）解：由抛物线顶点坐标公式得：， ， 故． 25．(24-25九上·河南信阳平桥区·期中)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． (1)若抛物线过点，求该抛物线的对称轴； (2)若，在抛物线上，且满足，当抛物线对称轴为直线时，求t的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键． （1）先求得抛物线与y轴的交点坐标，根据二次函数的对称性求解即可； （2）先求得、、，再根据已知列不等式组，然后解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：抛物线， 当时，，即抛物线与y轴的交点坐标为； 抛物线经过点， 又抛物线过点， 抛物线的对称轴为直线，即直线； （2）解：若抛物线对称轴为直线，则，即， 抛物线的解析式为， 在抛物线上， ， 又， ， ∴ ． 26．(24-25九上·河南安阳安阳县等3地·期中)如图，二次函数的图象经过和两点，且交轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)连接A，C，将线段向右平移个单位，若线段与抛物线有唯一交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质，关键是找到临界值． （1）由和，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）先求出，过点作轴的平行线交抛物线于点，求出点关于直线的对称点的坐标为，数形结合可求出取值范围． 【详解】（1）解：把代入 中，得 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：把代入解析式，得， 的坐标为， 过点作轴的平行线交抛物线于点， ， 对称轴为直线， 点关于直线的对称点的坐标为， ， 当线段经过点时，， 若线段与抛物线有唯一交点，取值范围为． 27．(24-25九上·河南许昌禹州·期中)如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求点的坐标和抛物线的对称轴； (3)若点为抛物线上一动点，当抛物线上点，之间的部分（含P，C）的高度（最高点和最低点的纵坐标之差）为8时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)，对称轴为直线 (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）将代入抛物线解析数求得点的纵坐标，利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，由此得到抛物线对称轴； （3）设，点位于轴右侧时，抛物线的顶点坐标为根据求得的值即可，当点位于轴左侧时，，通过解该方程求得的值． 【详解】（1）解：将 分别代入，得 ， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：由（1）知，抛物线解析式为 把代入得 ∴， 由可得，该抛物线的对称轴是直线； （3）解：抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， 设， 当点位于轴右侧时，， ∴ 解得：(舍去)， 此时， 当点位于轴左侧时， 解得：(舍去)， 此时， 综上所述，符合条件的点的坐标为或． 28．(24-25九上·河南驻马店平舆县·期中)已知关于的函数为二次函数． (1)求的值； (2)求二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数定义得到，且，解一元二次方程并结合验证即可得到答案； （2）由（1）知，将代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：关于的函数为二次函数， ，且， 解得或， ， ； （2）解：由（1）知， 将代入得到， 即二次函数的表达式为． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数定义、解一元二次方程、不等式及求二次函数表达式等知识，熟记二次函数定义，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 29．(24-25九上·河南商丘民权县求实学校·期中)在平面直角坐标系中，抛物线过点． (1)求抛物线解析式； (2)已知和点在该抛物线上，若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（）把点代入抛物线，求出的值即可； （）分为两种情况：当点在对称轴右侧时和当点在对称轴左侧时，根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：由抛物线解析式为， ∴其对称轴为直线， ∵抛物线开口向上，且， ∴分为两种情况： 当点在对称轴右侧时，随的增大而增大，只需； 当点在对称轴左侧时，随的增大而减小，且点关于对称的点的横坐标为， ∴只需满足， 故的取值范围为或． 30．(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)如图，抛物线与轴正半轴交于点．以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形，则这两个正方形的面积之和是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线与轴正半轴交于点，确定即，，计算当时，，确定点D的坐标，计算的长，解答即可． 【详解】解：∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴即， ∴； ∵以为边在轴上方作正方形， ∴， ∴当时，， 解方程，得或（舍去）， ∴点D的坐标， ∴的长， ∴这两个正方形的面积之和是． 故答案为：． 31．(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．如图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函效模型和数据，可知常数的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式， 将三组数据分别代入关系式得出方程组，再求出解即可． 【详解】解：∵点在抛物线的图象上， ∴， 解得． 故选：A． 32．(24-25九上·河南周口扶沟县·期中)（1）解一元二次方程：； （2）抛物线与轴的两交点的横坐标分别是，与轴交点的纵坐标是．求这个二次函数的解析式． 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，求解二次函数的解析式； （1）先计算，再利用求根公式解方程即可； （2）由抛物线与轴的两交点的横坐标分别是，，设设抛物线为：，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）； ∴， ∴， ∴，； （2）由题意得抛物线过，， 设抛物线为：， 把代入可得： ， 解得：， ∴， ∴二次函数的解析式为：． 33．(24-25九上·河南新乡英才学校·期中)已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于，则抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 设抛物线解析式为，将点代入，即可求解． 【详解】解：设抛物线解析式为，将点代入，得 解得： ∴解析式为， 故选：D． 34．(24-25九上·河南漯河第三初级中学·期中)抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示： 0 1 0 4 6 6 下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③抛物线与x轴的另一个交点坐标为；④函数的最大值为．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求函数解析式，先根据待定系数法求出抛物线的解析式为，由可判断①；令，则，解得，，以此可判断③；将抛物线解析式根据配方法化为顶点式得，以此可判断②、④． 【详解】解：把点，，代入中得：， 解得：， 抛物线的解析式为， ， 抛物线的开口向下，故①正确； 令，则， 解得：，， 抛物线与轴的交点坐标为，，故③错误； ， 抛物线的对称轴为直线， 当，该二次函数取得最大值，最大值为， 故②、④正确． 综上，正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 地 城 考点05 二次函数综合 35．(24-25九上·河南驻马店平舆县·期中)如图，已知抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，，顶点为． (1)求抛物线的解析式． (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标及的周长． (3)抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—周长问题、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意可得，，再利用待定系数法求解即可； （2）连接交抛物线对称轴于，此时，的周长最小，求出直线的解析式和抛物线的对称轴，从而可得点的坐标，再求出，即可得解； （3）设，由题意并结合可得，分情况求解即可． 【详解】（1）解：由题图及，得，． 把A，C坐标带入中，， 解得：， 故． （2）解：连接交抛物线对称轴于，此时， ∴，此时的周长最小， ∵， ∴对称轴为直线， ∴由二次函数对称性可得， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， 由，，，得，． 故的周长最小值为． （3）解：在中，边上的高为，又，则在抛物线上到的距离为3的点均满足条件．如图，设，由在轴上，得． ①当时，即，解得； ②当时，即，解得或0（与点重合，舍去）． 故点存在，其坐标为或或． 36．(24-25九上·河南商丘柘城县·期中)如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中点A的坐标是，点C坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由， 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用待定系数法求出一次函数与二次函数的解析式是解题的关键； （1）将点A，C代入解析式中即可得到抛物线的解析式； （2）用待定系数法求出， （2）因为的长度不变，要使周长最小，就是最小，而A，B关于对称轴对称，所以就是的最小值，此时D点就是与抛物线对称轴的交点，求出抛物线的对称轴，即可求出交点． 【详解】（1）解：∵经过， ∴  ， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：设直线的解析式为， 将A、C两点坐标代入得： ， 解得， ∴直线AC的解析式为； （3）∵， ∴，抛物线的对称轴为， ∵长度不变， ∴最小时，的周长最小， ∵A、B关于抛物线对称轴对称， ∴当D点为对称轴与的交点时，最小， 即的周长最小． ∴， 解得：， ∴  即：当D点的坐标为时，的周长最小 ． 37．(24-25九上·河南漯河第三初级中学·期中)如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作轴交于点E，求线段长度的最大值； (3)若F为直线上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，求出Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）令抛物线解析式中，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标； （2）先求出直线的解析式，设，则，可求，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）假设存在，设点，分、和三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点Q的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点Q坐标中即可得出结论． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； （3）解：假设存在，设点，为等腰直角三角形，分三种情况： ①当时，设与x轴交于G，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为； ②当时， 为等腰直角三角形， ， 又， ∴在上， 过F作于F， 则， ， ， ∴， ， ∵点Q在抛物线， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为； ③当时，， ， ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为，， ∴． 综上可知：在抛物线上存在点Q，使得为等腰直角三角形，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用，等腰直角三角形的性质等知识，解题关键是能够熟练运用数形结合和分类讨论的数学思想解决问题． 38．(24-25九上·河南驻马店西平县第五初级中学·期中)如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点D是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)当的面积等于的面积的时，求的值； (4)在（）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)； (3)的值为； (4)存在，点的坐标为或或或． 【分析】（）把、代入列方程组求出的值即可； （）连接交抛物线的对称轴于点，连接，先求得直线的函数表达式为，根据轴对称的性质和两点之间线段最短证明点与点重合时， 的周长最小，求出此时点的坐标即可； （）作轴于点，交于点，求出直线的函数表达式，则 ，再用含的代数式表示的长及 的面积，根据的面积等于的面积的列方程求出的值即可； （）先证明当点的纵坐标与点的纵坐标相等或互为相反数, 且时，以点为顶点的四边形是平行四边形，按点在轴上方或点在轴下方分类讨论，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接交抛物线的对称轴于点，连接， ∵点，代入关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线，且直线垂直平分线段， ∴，， ∵， ∴当点与点重合时，， 此时，可知的值最小， 在中，的边为定值， ∴当的值最小时，则的周长最小， 由抛物线的解析式为，当时，， ∴， 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为， 当时，， ∴； （3）解：如图，作轴于点，交于点， ∵，， ∴， ∵，且， ∴， 整理得， 解得（不符合题意，舍去），， ∴的值为； （4）解：存在，设， 当时，， 如图，四边形、四边形都是平行四边形，点的纵坐标， ∵点与点关于抛物线的对称轴直线对称， ∴点， ∵， ∴，； 如图，四边形、四边形都是平行四边形，点的纵坐标， ∴， 整理得， 解得，， ∴，， 作轴于点，轴于点，轴于点， 则，，，， ∵，，， ∴， ∴， 同理 ∴，， 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程，分类讨论等数学思想的运用等知识与方法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 39．(24-25九上·河南洛阳西工区·)如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作正方形．当正方形的面积为18时，点A的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，根据正方形的面积可以用对角线乘积的一半进行求解，得到，进而得到点的纵坐标为6，代入函数解析式，进行求解即可． 【详解】解：∵以为对角线作正方形，且正方形的面积为18， ∴， ∴， ∵轴于点C， ∴， ∵点A在抛物线上运动， ∴当时，解得：， ∴点A的坐标为或； 故答案为：或． 40．(24-25九上·河南新乡长垣·期中)如图， 正方形的顶点 ， 在抛物线 上， 点在轴上，若，两点的横坐标分别为， （），下列结论正确的是 （  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， ∴，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 41．(24-25九上·河南商丘柘城县·期中)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点A，B，C．且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、二次函数的性质，根据二次函数的表达式求出点B的坐标为，根据正方形的性质可以求出点A的坐标，进而求出点A的坐标，进而求解． 【详解】解：当时，，故B点坐标为， 过点A作于D， ∵四边形是正方形， ∴上等腰直角三角形， ∴， ∴A点坐标为， ∵二次函数的图象经过正方形的顶点A， ∴， 解得， ∴A点坐标为， ∵平移后的抛物线顶点为点， ∴平移后抛物线的表达式为． 故选：B． 42．(24-25九上·河南洛阳涧西区·期中)在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已有经验，对抛物线的“阶梯n点”进行研究． 定义：若抛物线上存在一点P，且点P的横、纵坐标之和为n，则称点P为此抛物线的“阶梯n点”． 例如：点在抛物线上，且点P的横、纵坐标之和为1，则点P就叫做此抛物线的“阶梯1点”． 根据以上定义，解决以下问题： (1)若点P是抛物线的“阶梯6点”，求点P的坐标． 设点P的坐标为，由定义可知：，且， 所以，解得，． 所以点P的坐标为________或（请直接写出点P的另一个坐标）． (2)若点P是抛物线的“阶梯1点”，求点P的坐标； (3)若抛物线上存在“阶梯3点”P，请直接写出c的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系： （1）根据新定义可得到关于x的方程，解出方程，即可； （2）设点P的坐标为，根据新定义可得到关于m的方程，解出方程，即可； （3）设点P的坐标为，根据新定义可得到关于s的方程，利用根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：设点P的坐标为，由定义知：，且， 所以，解得，． 所以点P的坐标为或； 故答案为： （2）解：设点P的坐标为， 由定义知：，且， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 由定义知：，且， ∴， 整理得：， ∴， 解得：． 43．(24-25九上·河南许昌建安区第三初级中学·模拟)如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B坐标为，抛物线的顶点为C，点B关于对称轴直线的对称点为点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)当时，求函数值y的取值范围； (3)将抛物线在点D右方的图象沿着直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象有2个公共点时，请直接写出n的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合内容等，注意数形结合思想以及分类讨论思想的运用，正确得到二次函数解析式是解题的前提． （1）把对称轴直线和代入即可； （2）对称轴直线在中，考虑最大值在对称轴直线中取得，再把和分别代入计算，最后比较大小即可得出y的取值范围； （3）在时，抛物线是无限延长的，与在情况下的必然存在一个公共点，那么只需要考虑①当直线过点D时和②当直线与抛物线相切两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：将代入中得， ∵对称轴，即， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 当时，， 因为对称轴直线在中，考虑最大值是对称轴直线与抛物线的交点的纵坐标， 当时，， ∴当时，y的取值范围为； （3）解：①当直线过点D时： ∵B，D两点关于对称轴直线对称，， ∴点D的坐标为， 将点代入直线中得， ∴； ②当直线与抛物线相切时， 令，即， 当，解得； 综上：或． 地 城 考点06 抛物线与x轴的交点问题 44．(24-25九上·河南濮阳濮阳县实验中学·期中)如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④抛物线经过点．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，由开口，对称轴，与y轴交点分别判断出系数的正负，这些内容都是解决问题的关键．利用二次函数图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交点在负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故②正确； ∵函数与直线有两个交点． ∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵时，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为，故④正确； 综上分析可知：正确的有4个． 故选：D． 45．(24-25九上·河南许昌禹州·期中)已知一次函数（为常数）的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，根据一次函数的图象，确定的取值范围，进而进行判断即可，熟练掌握二次函数的图象特征是解题关键． 【详解】解：由一次函数（为常数）的图象如图可知：， ∴抛物线的开口向上，选项不符合题意； ∵二次函数的对称轴是直线，位于轴右侧， ∴选项不符合题意； ∵关于的一元二次方程根的判别式， ∴抛物线与轴有两个不同的交点，选项不符合题意，选项符合题意； 故选：． 46．(24-25九上·河南洛阳涧西区·期中)在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个交点P，Q，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：2． 47．(24-25九上·河南周口鹿邑县·期中)抛物线与x轴只有一个公共点，则c的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据抛物线与x轴只有一个公共点可知对应的一元二次方程只有一个实数根，进而求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点， ∴， ∴， 故选：B． 48．(24-25九上·河南许昌禹州·期中)若抛物线的图象与轴只有一个交点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点个数问题，根的判别式，由抛物线与轴只有一个交点得到 的方程的根的判别式为，解方程即可，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的图象与轴只有一个交点， ∴方程有且只有一个解， ∴，解得：， 故答案为：． 49．(24-25九上·河南安阳林州·期中)若二次函数的图象与x轴相交于，两点，则一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，根据二次函数与轴的交点的横坐标即为对应的方程的解，即可解答，解题的关键是掌握二次函数与轴的交点与一元二次方程的关系． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴相交于，两点， ∴一元二次方程的解为，， 故选：C． 50．(24-25九上·河南商丘柘城县·期中)已知二次函数的图象关于y轴对称，则由此图象的顶点A和图象与x轴的两个交点B，C构成的的面积是 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了二次函数的性质及于轴交点坐标特点，解题关键是各类函数图象的图象特征需注意在做题过程中加以理解应用．由于二次函数的图象关于轴对称，由此得到，解方程即可求出，然后利用顶点公式和轴的两个交点坐标特点即可求出A、、的坐标，接着根据坐标求出面积． 【详解】解：二次函数的图象关于轴对称， 对称轴为：， ， ， 顶点坐标为， 令，得，解得， 与轴的两个交点、坐标为， 的面积为． 故答案为：1． 51．(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)已知抛物线，其中是常数． (1)求证：无论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点； (2)若该抛物线的对称轴为直线． ①求该抛物线的函数解析式； ②抛物线顶点记为，抛物线与轴交点记为，求直线与两坐标轴围成三角形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)；② 【分析】（1）将二次函数的关系式整式为一般式，再根据一元二次方程根的情况解答即可； （2）根据对称轴求出关系式，再求出点M，N的坐标，进而求出直线的关系式，然后求出与坐标轴的交点坐标，即可求出答案． 【详解】（1）抛物线， 当时，即， 可知， ∴该抛物线与x轴一定有两个公共点； （2）①∵抛物线的对称轴是， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； ②当时，， ∴． ∵抛物线的关系式， ∴点． 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线 ． 当时，， 直线与x轴交点坐标为， ∴直线与坐标轴围成三角形的面积． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，求二次函数关系式，求一次函数关系式，掌握待定系数法求函数关系式的步骤是解题的关键． 52．(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为（   ） A．或3 B．或2 C．或或3 D．或或2 【答案】D 【分析】当时，是一次函数，图象与轴有且只有一个交点，当时，的判别式，解答即可． 本题考查了一次函数与x轴的交点，抛物线与x轴的交点，熟练掌握抛物线与x轴有且只有一个交点的条件是解题的关键． 【详解】解：当时即时，变形为，是一次函数，图象与轴有且只有一个交点，符合题意； 当时，的判别式， 解得或， 综上所述，或或． 故选：D． 53．(24-25九上·河南信阳罗山县·期中)若抛物线与x轴的两个交点间的距离为2，则称此抛物线为定弦抛物线．已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，能够求出定弦抛物线的表达式并掌握平移规律是解题的关键．先根据定弦抛物线的定义求出定弦抛物线的表达式，再按图象的平移规律平移即可． 【详解】∵某定弦抛物线的对称轴为直线， ∴某定弦抛物线过点， ∴该定弦抛物线的解析式为， ∴将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是， 即， ∴抛物线顶点坐标为． 故选A． 地 城 考点07 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 54．(24-25九上·河南信阳平桥区·期中)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④方程的两根是．其中结论正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，与方程相联系，掌握二次函数与方程的关系，利用数形结合的思想，确定代数式的值．①根据时，对应的，代入可得结论；②根据时，对应的，代入可得结论；③根据顶点坐标中，可得方程有两个相等的实数根；④将替换x，由方程的两根，，可得结论． 【详解】解：①由抛物线的对称性可知：与x轴交于另一点为， ∴； 故①正确； ②由图象得：当时，， ∴， 故②正确； ③∵抛物线的顶点， ∴方程有两个相等的实数根， 即方程有两个相等的实数根； 故③正确； ④由题意得：方程的两根为：， ∴方程的两根是：或， ∴， 故④正确； 故选：D． 55．(24-25九上·河南漯河第二实验中学·期中)函数  的图象如图所示，那么关于一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个正实数 B．有两个异号实数根 C．有两个负实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的知识，关键是通过看图象直线与抛物线的交点个数．由图可知的根的情况即图中图象和x轴交点的横坐标，为两个不相等的正数． 【详解】解：∵函数的顶点的纵坐标为3， ∴直线与函数图象只有一个交点， ，相当于函数的图象向下平移2个单位， ∴方程的根为两个不相等的正实数根． 故选：A． 56．(24-25九上·河南驻马店汝南县·期中)二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，；④方程的两个根分别为和．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，解题关键是掌握二次函数的性质． ①由抛物线交轴的负半轴，得到，可判定①； ②根据题意得到抛物线的对称轴为直线，则，可判定②； ③当时，得到抛物线全在轴下方，于是得到，可判定③； ④根据二次函数图象的与轴的交点得到方程的两根分别为和3，可判定④． 【详解】解：①抛物线交轴的负半轴， ，故①正确； ②抛物线的对称轴为直线， ，故②错误； ③当时，抛物线全在轴下方，即，故③正确； ④二次函数图象的与轴的交点坐标为和， 关于的一元二次方程的两根分别为和3，故④正确； ∴正确结论的序号是①③④． 故选：C． 57．(24-25九上·河南洛阳西工区·)二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图，若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用图象法确定一元二次方程根的情况，把方程的解的情况，看成抛物线和直线的交点问题，根据方程有实数根，得到两个图象有交点，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为， 当时，函数有最小值为：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴抛物线和直线有交点， ∴； 故答案为：． 58．如图，抛物线与直线的两个交点为，，则关于的方程的解为 ．    【答案】， 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点为，， 关于的方程的解为，， 故答案为：，． 59．(24-25九上·河南信阳光山县第六初级中学·期中)已知抛物线与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程无实数根；③；④；其中，正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式等知识点． 根据，即可判断①；由抛物线与轴最多有一个交点得到 则关于的方程中，即可判断②；抛物线与轴最多有一个交点，抛物线开口向上，该抛物线的对称轴在轴左侧，得到，即可判断③；当时， 得到由即可判断④． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴， ∴该抛物线的对称轴在轴左侧，故①正确； ∵抛物线与轴最多有一个交点， ∴ ∴关于的方程中， ∴关于的方程无实数根，故②正确； ∵抛物线与轴最多有一个交点，抛物线开口向上，该抛物线的对称轴在轴左侧， ∴， ∴， 故③错误； 当时， ∴ ∴ ， 故④正确 故选：C 地 城 考点08 根据交点确定不等式的解集 60．(24-25九上·河南许昌建安区第三高级中学·期中)如图，、两点在一次函数与二次函数的图象上． (1)求的值和二次函数的解析式． (2)请直接写出使时自变量的取值范围． (3)设二次函数的顶点为，直接写出的面积． 【答案】(1)，，二次函数的解析式为 (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）根据图象解答即可求解； （）由二次函数解析式可得二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，设直线与对称轴相交于点，可得，得到，再根据即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式，二次函数的几何应用，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可得，当时，的取值范围； （3）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 设直线与对称轴相交于点， 把代入得，， ∴， ∴， ∴． 61．(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)如图，抛物线和直线的图象在同一直角坐标系中．当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，先联立抛物线与直线的解析式，求出两个图象的交点坐标，再结合图象找到抛物线在直线上方时的自变量的范围即可． 【详解】解：联立，解得：或， ∴两个图象的交点坐标为：，； 由图象可知：时，； 故答案为：． 62．(24-25九·河南周口川汇区·期中)如图，直线与坐标轴分别交于B，C两点，其中点坐标，抛物线与直线交于，两点． (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)直接写出关于不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由直线经过，可得，求出b可得直线解析式，从而可得B，再代入二次函数的解析式，最后令，从而求得A的坐标； （2）依据题意，由，从而，则关于x不等式的解集可以看作在的图象上方部分及相交的对应的自变量的取值范围，最后结合图象，即可判断得解． 【详解】（1）直线经过， ∴， ， 直线， 令，则， ∴直线与轴交点． 抛物线经过， ， ∴， 抛物线解析式：， 令， 解得， ． （2）由题意，∵， ∴， ∴关于x不等式的解集与不等式的解集相同． ∴关于x不等式的解集可以看作在的图象上方部分及相交的对应的自变量的取值范围． ∴结合图象可得，或． 63．(24-25九上·河南洛阳西工区·)如图，抛物线与直线交于，两点，抛物线与轴的另一个交点为A． (1) ， ， ． (2)关于的不等式的解集为 ． (3)求的面积． 【答案】(1)4，，1 (2)或 (3)3 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：把解不等式转化为用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围．也考查了抛物线与x轴的交点问题． （1）利用待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，从而得到b、c、k的值； （2）结合函数图象，写出抛物线在直线下方所对应的自变量的范围即可； （3）先解方程得，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：把，分别代入 得， 解得， 把，分别代入 得， 解得， 故答案为：4，，1； （2）解：∵抛物线与直线相交于点，， 根据函数图象可得：关于x的不等式的解集为或； 故答案为：或； （3）解：抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∴的面积． 64．(24-25九上·河南濮阳·期中)如图，直线和抛物线 都经过点， (1)求抛物线的解析式； (2)当时时，的取值范围是 ; (3)当为何值时不等式． ，请你直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的综合，掌握待定系数法求解析，二次函数图象的性质，图象法求不等式的解集等知识是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数解析式得到对称轴直线为，分别把当，，代入计算即可求解； （3）根据一次函数与二次函数图象法求不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：抛物线的解析式为：， ∴对称轴直线为， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，的取值范围是， 故答案为：； （3）解：∵直线 与抛物线 都经过点， ∴当或时 ， ∴的取值范围为或． 65．(24-25九上·河南漯河第三初级中学·期中)如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，下列说法错误的是（   ） A． B．对称轴为直线 C．当时，x的取值范围是 D．与y轴的交点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：由图可知二次函数的图象的开向下，所，故A选项正确，不符合题意； 因为二次函数的解析式为， 所以图象的对称轴为直线，故B选项正确，不符合题意； 因为二次函数的对称轴为直线，A，B两点是抛物线与x轴的交点， 所以A，B两点到对称轴的距离相等， 设B点坐标为，则有， 解得， 所以B点坐标为． 所以当时，x的取值范围是，故C选项正确，不符合题意； 当时，，，则抛物线与y轴的交点坐标为，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 66．(24-25九上·河南周口西华县·期中)如图，抛物线与直线相交于点和点B．    (1)________，_________； (2)①求点B的坐标； ②结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，4 (2)①；② 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点；函数与方程；函数与不等式等方面的知识点，理解函数与方程、不等式之间的关系是解题的关键． （1）根据抛物线和直线都经过点，利用待定系数法可以求得抛物线和一次函数的解析式； （2）①直线和抛物线的解析式联立即可求出点B的坐标； ②根据图像可知直线在抛物线上方的部分是，因此得到不等式的解集． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线经过点， ∴将代入，得：， 解得：， ∴将代入，得：， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得，直线和抛物线的解析式分别为，． 两个解析式联立得， 解得或（不合题意，舍去） 即点B的坐标为． ②由图象知，不等式的解集为． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $