专题06 指数运算及指数函数（期中真题汇编，江西专用）高一数学上学期北师大版

专题06 指数运算及指数函数 5大高频考点概览 考点01 指数运算 考点02 指数函数的定义 考点03 指数函数比较大小问题 考点04 指数函数的单调性奇偶性 考点05指数函数的值域 地 城 考点01 指数运算 一、单选题 1．(24-25高一上·江西赣州十八县（、区）二十四校·期中)若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断的正负，然后利用根式运算化简原式即可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C. 2．(23-24高一上·江西南昌新民外语学校·期中)已知，则等于（    ） A．5 B．10 C．17 D．23 【答案】D 【分析】根据题意，求得，展开即可求解. 【详解】由，两边平方得，即，所以. 故选：D. 二、多选题 3．(24-25高一上·江西赣州十八县（、区）二十四校·期中)下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据分数指数幂以及根式运算求解出正确选项. 【详解】A：，正确； B：，错误； C：，正确； D：，正确； 故选：ACD. 4．(23-24高一上·江西新余第六中学·期中)下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指数幂的运算法则依次计算即可. 【详解】对选项A：，错误； 对选项B：，正确； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误； 故选：BC 三、填空题 5．(24-25高一上·江西南昌江西师范大学附属中学·期中) 【答案】/0.5 【分析】根据分数指数幂的运算法则计算可得. 【详解】. 故答案为：. 6．(24-25高一上·江西南昌第十中学·期中)（1） . （2）已知，那么等于 . 【答案】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质，即可求解； （2）根据，再结合时，则，即可求解. 【详解】（1）原式 . （2）由， 因为，则，所以， 得到， 故答案为：，. 7．(24-25高一上·江西赣州十八县（、区）二十四校·期中)已知幂函数的图象过点，则 ． 【答案】 【分析】根据条件先计算出的值，然后代入计算可得结果. 【详解】因为幂函数的图象过点， 所以，所以，所以， 所以， 故答案为：. 四、解答题 8．(24-25高一上·江西宜春丰城第九中学·期中)（1）求值：； （2）已知，求值：. 【答案】（1）；（2）6 【分析】（1）利用根式与分数指数幂的转化和分数指数幂的运算公式化简计算即得； （2）由条件等式求得和，再代入计算即得. 【详解】（1） ； （2）由两边取平方，，即得， 再两边取平方，可得，即得. 故. 9．(24-25高一上·江西南昌南昌大学附属中学·期中)（1）计算： （2）解不等式： 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据指数幂的运算即可； （2）根据指数函数单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】（1）原式 . （2），即， 根据指数函数单调性得，解得， 则解集为. 10．(23-24高一上·江西新余第六中学·期中)化简并求出下列各式的值： (1)； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)6 (2)3 【分析】（1）根据指数的幂的运算可得答案. （2）由根式化成分数指数幂的形式，再由幂的运算法则可得答案. 【详解】（1）原式===. （2）原式===， 因为，， 所以原式==3. 11．(23-24高一上·江西南昌新民外语学校·期中)（1）计算：； （2）已知：，求的值. 【答案】（1）；（2）2 【分析】 根据指数的运算性质计算可得答案. 【详解】（1） ； （2）因为，，所以，， 所以. 12．(23-24高一上·江西南昌第一中学·期中)（1）计算： （2）化简：． 【答案】（1）6 ；（2） ． 【分析】（1）（2）利用指数的运算规则化简即可. 【详解】（1）． （2）． 13．(23-24高一上·广东江门台山华侨中学·期中)化简求值 (1)计算； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质化简可得； （2）先将根式化为分数指数幂，然后由幂的运算性质可得. 【详解】（1）原式； （2）原式 地 城 考点02 指数函数的概念 一、单选题 1．(22-23高一上·江西师范大学附属中学·期中)函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】研究函数的定义域、奇偶性与特殊点即可选出. 【详解】解：因为的定义域为， 所以， 所以函数为偶函数. 图象关于轴对称，所以可排除CD； 又因为，排除B,所以A正确. 故选：A 2．(23-24高一上·江西新余第六中学·期中)下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的定义，结合选项判断即可. 【详解】根据指数函数的定义：形如（且）的函数叫做指数函数，结合选项从而可判断选项D正确． 故选：D． 3．(23-24高一上·江西南昌第二中学·期中)函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，从而可得答案. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数，所以其图象关于原点对称， 所以排除CD， 因为和在上递增， 所以在上递增，所以排除B， 故选：A 4．(23-24高一上·江西南昌第二中学·期中)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数有意义，需要偶次开方被开方数大于等于0，分母不为0，联立不等式组，即得到定义域. 【详解】要使函数有意义只需满足，即且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 二、多选题 5．(23-24高一上·江西新余第六中学·期中)若函数是指数函数，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据指数函数的定义求解. 【详解】因为函数是指数函数， 所以，解得或. 故选：AB 三、解答题 6．(20-21高一上·山西·期中)已知函数， (1)在平面直角坐标系中，画出函数的简图； (2)根据函数的图象，写出函数的单调区间； (3)若，求实数t的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)增区间为，减区间为 (3)或3 【分析】（1）根据题中分段函数解析式作图即可； （2）根据图象直接得出单调区间； （3）可知，结合单调性即可得结果. 【详解】（1）函数的简图如下：    （2）由图可知，函数的增区间为，减区间为； （3）因为，且函数在上单调递增，在上单调递减， 若，则实数t的值为或3. 7．(16-17高一上·北京海淀清华附中实验班·期中)已知函数，（且）. (1)若，求的值； (2)若函数在上的最大值与最小值的差为，求实数的值. 【答案】(1) (2)的值为或． 【分析】（1）利用，求出，得到结果． （2）判断函数在上的单调性，利用单调性求函数的最值，通过已知条件列方程求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， 解得：或， 当时，，， 当时，，， 故． （2）当时，在上单调递增， ∴， 化简得， 解得：（舍去）或． 当时，在上单调递减， ∴， 化简得． 解得：（舍去）或． 综上，实数的值为或． 8．(23-24高一上·江西新余第六中学·期中)已知指数函数且，经过点． (1)求的解析式及的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由指数函数所过点求解析式，再求对应函数值即可； （2）根据指数函数的单调性求解集. 【详解】（1）指数函数经过点，则且，得， 故，则. （2）因为，即， 又函数在R上是增函数，有，解得， 所以x取值范围为. 9．(23-24高一上·江西南昌新民外语学校·期中)已知函数是指数函数，且它的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)画出指数函数的图象，并根据图象解不等式. 【答案】(1) (2)作图见解析， 【分析】（1）设指数函数，将点代入，求得，即可求解； （2）画出函数的图象，得到在上单调递增，把不等式转化为，即可求解. 【详解】（1）设指数函数，且， 把点代入，可得，解得， 所以函数的解析式为. （2）画出指数函数的图象，如图所示， 所以函数在上单调递增； 由不等式，可得，解得， 故不等式的解集为. 地 城 考点03 指数比较大小问题 一、单选题 1．(24-25高一上·江西宜春中学·期中)已知实数满足不等式，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】易知定义域上单调递增， 在上分别为单调递减、单调递增函数. 所以，故A正确. 故选：A 2．(24-25高一上·吉林长春实验中学·期中)已知，，，则三个数的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【详解】依题意，，，， 所以. 故选：A 3．(23-24高一上·江西新余第六中学·期中)下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数单调性可判断各选项正误. 【详解】A选项，因函数在R上单调递增，则，故A错误； B选项，因函数在R上单调递减，则，故B错误； C选项，因函数在R上单调递增，则，故C正确； D选项，因函数在R上单调递减，则，故D错误. 故选：C 4．(23-24高一上·江西部分学校·期中)已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性比较大小即可. 【详解】因为为增函数，所以，即； 又，即；所以. 故选：A. 二、多选题 5．(23-24高一上·江西九江浔阳区九江一中·期中)下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用指数函数的单调性可判断AB选项；利用中间值法可判断C选项；利用幂函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数为上的增函数，则，A对； 对于B选项，因为函数为上的减函数，则，B错； 对于C选项，因为函数为上的增函数，函数为上的减函数， 所以，，C对； 对于D选项，因为函数为上的增函数，且，所以，，D错. 故选：AC. 6．(23-24高一上·江西南昌第二中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，总有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先确定函数的单调性，利用幂函数单调性即可判断AD，利用指数函数的单调性判断B，利用“1”比较大小可判断C. 【详解】由可知，函数在上单调递减， 又函数是定义在上的奇函数，所以在上单调递减， 因为为上的增函数，故，故，故A错误； 因为为减函数，所以，故，故B正确； 因为，，所以，所以，故C正确； 由在上是增函数，所以，所以 ，故D错误. 故选：BC 7．(23-24高一上·江西赣州十八县（、区）二十三校·期中)若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据指数幂运算，利用指数函数单调性即可得，由不等式性质可得. 【详解】因为， 易知， 而， 所以，且. 故选：ACD 地 城 考点04 指数函数的单调性奇偶性 一、单选题 1．(23-24高一上·江西南昌第二中学·期中)已知，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断在上的单调性，从而将问题转化为在上恒成立，进而可求出的取值范围. 【详解】的定义域为， 因为，所以为偶函数， 所以可化为， 当时，， 因为和在上递增， 所以在上递增， 所以由，得在上恒成立， 所以，化简得在上恒成立， 所以，解得， 即的取值范围为， 故选：C 2．(23-24高一上·江西南昌第二中学·期中)已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．函数在上单调递减 D．函数的值域为 【答案】D 【分析】结合函数的性质可得答案. 【详解】对于A，函数的定义域为，故A正确；     对于B，函数为偶函数，证明：设，定义域为关于原点对称， 且，则为偶函数，故B正确； 对于C，因为为偶函数，且在上单调递减， 函数的图象向右平移1个单位长度得到的图象，如下图， 所以函数在上单调递减，故C正确；     对于D，因为为偶函数，且的值域为， 函数的图象向右平移1个单位长度得到的图象，如下图， 则函数的值域为，故D错误. 故选：D. 二、多选题 3．(24-25高一上·江西南昌第十中学·期中)已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】BC 【分析】根据分母不为求出函数的定义域，即可判断A；再将函数解析式变形为，即可求出函数的值域，从而判断B；根据指数幂的运算判断C，根据函数值的特征判断D. 【详解】对于函数，则，解得，所以函数的定义域为， 故A错误； 因为， 又，当时，则， 当时，则， 所以函数的值域为，故B正确； 又，故C正确； 当时，当时，所以不会是减函数，故D错误. 故选：BC 4．(23-24高一上·江西抚州·)已知函数是定义在R上的奇函数，且对任意的，（），总有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数特称分析出在R上的单调性，利用单调性比较大小，得到结论. 【详解】对任意的，（），总有， 即，则为区间上的减函数 因此函数在区间上单调递减，又因为函数是定义在R上的奇函数， 可以得到函数在R上单调递减． 因为是增函数，所以，故选项A错误； 因为是减函数，所以，故选项B错误； 因为，所以，故选项C正确； 因为，所以，故选项D正确． 故选：CD. 三、填空题 5．(23-24高一上·江西九江浔阳区九江一中·期中)已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数、分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为是定义在上的增函数， 函数在上为增函数，则， 函数在上为增函数，则，解得， 且有，解得， 综上所述，，即实数的取值范围是. 故答案为：. 6．(23-24高一上·江西九江浔阳区九江一中·期中)已知函数是其定义域上的奇函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据奇函数的定义结合指数幂运算求解. 【详解】因为函数是其定义域上的奇函数，则， 即，整理得， 又因为不恒为0，则，即， 此时是定义域为的奇函数，可知符合题意. 故答案为：1. 7．(23-24高一上·江西部分学校·期中)若函数在上单调递增，则实数m的最小值为 ． 【答案】3 【分析】 利用指数函数的图象性质求解. 【详解】因为， 作函数函数的图象如下， 结合图象可知，函数在单调递增， 所以，则实数m的最小值为3， 故答案为:3. 8．(23-24高一上·江西上饶余干县蓝天中学·期中)已知指数函数经过点(2,9)，则不等式的解集为 ． 【答案】(1,2) 【分析】由指数函数经过(2,9)求出该函数的解析式，再结合指数函数的单调性求的解集. 【详解】设且，所以有，解得，即， 因此函数为R上的增函数， 因为，所以，解得， 故答案为：. 四、解答题 9．(24-25高一上·江西赣州中学·期中)已知函数． (1)当时，求满足的的值； (2)若函数是定义在上的奇函数. ①存在，使得不等式有解，求实数k的取值范围； ②令，对于定义域内的，，，若且，求的最大值． 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）根据指数运算设，则且，求解的值，从而得的值； （2）根据函数的奇偶性求解参数从而得函数解析式，①分离函数，结合指数函数的单调性判断函数的单调性，即可将不等式化为存在，使得不等式有解，孤立参数求最值即可得实数k的取值范围；②化简函数，根据指数运算、指数函数的性质、基本不等式可得变量，，的关系，从而得所求. 【详解】（1）由条件可得：，且，令，则且， 所以，解得，所以，解得. （2）因为是定义在上的奇函数，所以且 所以，解得，所以， 因为定义域为且关于原点对称， 且，所以为奇函数，满足条件； ①因为， 因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递增， 因为存在，使得不等式有解， 即存在，使得不等式有解， 即存在，使得不等式有解，所以且， 因为的对称轴为，所以在上单调递减， 在上单调递增，又时，，时，，所以， 所以，即实数的取值范围为； ②因为， 因为，所以， 因为， 所以， 所以，所以，当且仅当时取等号， 又因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以，所以的最大值为. 10．(24-25高一上·江西南昌南昌大学附属中学·期中)已知定义域为的函数是奇函数． (1)判断函数单调性并用定义证明； (2)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可知，进而求解，再根据函数单调性的定义证明即可； （2）由题意及（2）可将原不等式变形为在上恒成立，分离常数求解即可. 【详解】（1）因为是定义域为R的奇函数， 所以 解得，此时，则， 则此时为奇函数. 在上单调递增，证明如下： ， 任取实数，且， 则， 因为，所以，且， 所以， 即时，， 所以在上单调递增. （2）因为是奇函数，所以等价于， 由（1）知在上单调递增， 所以在上恒成立； 等价于在上恒成立， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增； 因为时，；时，； 所以. 11．(23-24高一上·江西南昌东湖区江西师大附中·期中)我们知道，函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)利用上述结论，证明：函数的图像关于成中心对称图形； (2)证明函数的单调性，解关于的不等式（为常数且）． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析，答案见解析 【分析】（1）构造，计算得到证明； （2）设，计算即得到函数单调性，变换得到，得到，讨论得到答案. 【详解】（1），则， 函数定义域为，， 故函数为奇函数， 故函数的图像关于成中心对称图形； （2）设，则， ，，故， 即，故函数在上单调递减，在上单调递减， ，则， 即，即， ，整理得到， 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时， ①若，不等式的解为或； ②若，不等式的解为； ③若，不等式的解为或； 综上所述： 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 12．(23-24高一上·江西抚州·)定义：若将函数的图象平移可以得到函数的图象，则称函数，互为“平行函数”．已知，互为“平行函数”． (1)判断并证明函数的单调性； (2)求实数a的值； (3)求由函数的图象、函数的图象及y轴围成的封闭图形的面积． 【答案】(1)在R上单调递增，证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明； （2）利用函数图象的变换关系求解； （3）利用奇函数的对称性求解. 【详解】（1）因为，所以在上单调递增． 证明：设，则． 因为，所以，即，且，， 所以，所以， 即函数在R上单调递增． （2）因为， ， 而通过平移变换可以得到，所以． 此时，， 可由函数的图象向右平移1个单位，向上平移1个单位得到，满足题意. （3）由（2）知， 所以的图象是由的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度而得． 因为是奇函数，图象关于中心对称，所以的图象关于点中心对称． ，的图象与y轴交点为，其关于点的对称点为， 由图象可以得到， 封闭图形的面积为长为2，宽为1的矩形面积的一半， 所以． 地 城 考点05 指数函数的值域 一、单选题 1．(24-25高一上·江西南昌南昌大学附属中学·期中)已知命题，；命题，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由命题，为假命题，则转化为方程无解问题， 命题为真命题，则，求出参数求交集即可. 【详解】命题，为假命题， 在上无解， 当，，则或， 命题为真命题，则，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 二、填空题 2．(23-24高一上·江西南昌第二中学·期中)已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分和两种情况分别求出分段函数每段上的值域，再由的值域为，可求出实数的取值范围 【详解】（1）当时，当时，在上递增，则， 当时，，则， 因为的值域为， 所以，得，所以， （2）当时，当时，在上递增，则， 当时，在上递增，所以， 因为的值域为，所以， 得（）， 在同一直角坐标系中作出和的图象，如图所示 由图象可知当时，， 所以当不等式（）成立， 综上， 即实数的取值范围， 故答案为：. 三、解答题 3．(24-25高一上·江西南昌第十中学·期中)已知函数（，且）. (1)若函数的图象过和两点，求在上的值域； (2)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点坐标代入解析式，列出方程组求出，再根据函数的单调性求出值域即可； （2）根据函数单调性求出最大值和最小值，列出方程，求解的值即可. 【详解】（1）由题意，，， 又，解得，，所以， 因为在上单调递增，所以， 所以在上的值域为. （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）， 当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去）， 所以或. 4．(23-24高一上·江西南昌东湖区江西师大附中·期中)若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集；②对任意，存在常数，使得成立；则称是区间上的有界函数，其中称为函数的一个上界． (1)判断函数是否是上的有界函数； (2)试探究函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）设，确定，根据得到范围，得到答案. （2）变换，考虑，，三种情况，根据或计算最值得到答案. 【详解】（1）定义域为，设，则， 当时，则，解得， 即，且；当时，； 综上所述：，即， 取，满足条件，即函数是否是上的有界函数. （2）， ①当时，，此时的取值范围是； ②当时，在上是单调递减函数，其值域为， 所以 ，此时的取值范围是； ③当 时，， 若在上是有界函数，则区间为的定义域的子集， 所以恒不为零，即为恒正区间或恒负区间， 所以或，解得或， 此时的值域为， 当，即或时，， 此时的取值范围是； 当，即时，， 此时的取值范围是. 综上所述： 当或时，的取值范围是； 当或时，的取值范围是； 当时，不是区间上的有界函数. 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义问题，求函数最值，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中在参数不好确定的情况下利用分类讨论的方法是解题的关键，分类讨论的方法是常考的技巧，需要熟练掌握. 5．(23-24高一上·江西南昌东湖区江西师大附中·期中)已知函数（）． (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)已知，当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）确定的解为或，解得答案. （2）变换得到，即，计算函数最值得到答案. 【详解】（1）的解集为，则的解为或， 故，解得，； （2），，即， 设，，则，即， 整理得到：， 当时，最小为，故且，即 6．(23-24高一上·江西南昌第二中学·期中)已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域． (3)若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题意得，化简可求出的值； （2）对两函数变形得，，再根据的图象可以由函数的图象通过平移得到，可得，然后根据指数函数的性质可求出的值域； （3）令，由其在上递增，结合题意可得，则将问题转化为关于的方程有两个不相等的正实根，从而可求出的取值范围． 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以，即， 所以，得， 所以，，得； （2）由（1）得， ， 因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以函数的值域为； （3）由（1）得， 令， 因为在上递增，所以在上递减， 所以在上递增， 因为函数在上的值域为， 所以， 所以， 因为，所以关于的方程有两个不相等的正实根， 所以，解得， 即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性和单调性的综合问题，考查函数图象平移问题，第（3）问解题的关键是根据函数的单调性结合题意将问题转化为关于的方程有两个不相等的正实根，然后利用根的分布求解即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 7．(23-24高一上·江西部分学校·期中)已知函数． (1)当时，求在上的最值； (2)设函数，若存在最小值，求实数a的值． 【答案】(1)最小值为，最大值为0 (2)6 【分析】（1）利用换元法，将函数转化为二次函数求在给定区间内的最值； （2）利用换元法，分类讨论二次函数在给定区间内的单调性和最值. 【详解】（1）当时，, 设，则，开口向上，对称轴， 所以函数在单调递减，单调递增， 所以 所以在上的最小值为，最大值为0. （2） , 设，当且仅当，即时取得等号， 所以，对称轴， 当，即时，在单调递增， 则，解得，不满足题意； 当，即时，在单调递减，单调递增， 所以，解得或（舍去）， 综上，实数a的值为6. 8．(23-24高一上·江西部分学校·期中)完成下列问题： (1)求不等式的解集； (2)已知函数（且）的图象过定点，若，使，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数函数的单调性解不等式即可； （2）先通过指数型函数过定点求出解析式，然后利用最值法求解有解问题即可. 【详解】（1）因为，所以，因为函数为单调递增函数，所以， 所以，所以不等式的解集为； （2）因为函数（且）的图象过定点， 所以，所以，所以， 因为，使，所以， 因为在上单调递增， 所以，所以. 9．(23-24高一上·江西上饶余干县蓝天中学·期中)已知二次函数，且不等式的解集为. (1)求的解析式； (2)若，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集结合韦达定理求得，即得答案； （2）利用换元法结合二次函数的性质求解. 【详解】（1）由题意知即的解集为， 故方程的两个根是1和3， 故，即， 故. （2）， 令，若，则， 所以， 当时，取得最小值2， 当时，取得最大值11， 则的值域为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06指数运算及指数函数 ☆5大高频烤点概览 考点01指数运算 考点02指数函数的定义 考点03指数函数比较大小问题 考点04指数函数的单调性奇偶性 考点05指数函数如的值域 目目 考点01 指数运算 一、单选题 1.(24-25高一上江西赣州十八县(、区)二十四校期中)若a<-1,则V1+a).a+1=() A.-(a+1)3 B.(a+1 c.-(a+l)° D.(a+19 2.(23-24高一上江西南昌新民外语学校期中)已知x+x1=5,则x2+x2等于() A.5 B.10 C.17 D.23 二、多选题 3.(2425高一上江西赣州十八县(、区)二十四校期中)下列计算中正确的是() 2 A.4= B.6=±2 4 C.(-85=4 D.8=1 24 4.(23-24高一上江西新余第六中学期中)下列根式与分数指数幂的互化中正确的有() A.x=-次(x≠0 B.aVa=a2(a≥0) 12 C.x2y3= -(x>0,y>0) √ D.[-x≥0 三、填空题 425高-上江南8江师范大学用学复中昏-（多》-红-：公。 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25高一上江西南昌第十中学期中)(1)0.081- 水 (2)已知x+x号=5x>0,那么x+x号等于 7.(24-25高一上江西赣州十八县(、区)二十四校期中)已知幂函数f(x)=x”的图象过点(3,3)，则 [2]- 四、解答题 8.(24-25高一上江西宜春丰城第九中学期中)(1)求值：(2)5+ 2马号-8+： 64 (2)已知+a-3a>0),求值：g+a+l a+a1+1 9.(24-25高一上江西南昌南昌大学附属中学期中)(1)计算： 27)3 8 +1+2-(e-1°-8×2 √7+2 3r+2 (2)解不等式： 2 >2243 10.(23-24高一上·江西新余第六中学期中)化简并求出下列各式的值： +2-{ ab2.ab2 3,求 (2)已知a=V27,b= b 的值. a 11.(23-24高一上·江西南昌新民外语学校·期中)(1)计算： (2)已知：10=210'=8，求102-号的值 12.(Q3-24高一上江西南昌第一中学期刊(1)计第：16+（宁5-（←之》” 81 (2)化简： 13.(23-24高一上广东江门台山华侨中学·期中)化简求值 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 时算4-付+02分八： 2 (②aV6 .（ab 13 a2.6 bla 目目 考点02 指数函数的概念 一、单选题 1.223底一-上江顶师无大学附锅中学期书函数=的图象大政为（) B 2.(23-24高一上·江西新余第六中学期中下列函数是指数函数的是() A.y=x4 B.y=(-2) C.y=3- D.y=() 3.(23-24高一上江西南昌第二中学期中)函数f(x)=3 3 的图象大致是() B 4,23-24高上江西南昌第三中学期中函数∫)=V2-2+,3的定义域为() A.(1,3)U(3,+0)B.[1,3)U(3,+o)C.(2,3)U(3,+o)D.[2,3)U(3,+0) 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、多选题 5.(23-24高一上江西新余第六中学期中)若函数f(x)=(m2+2m-2)a是指数函数，则实数m的值为() A.-3 B.1 C.-1 D.-2 三、解答题 6.(20-21高一上山西期中)已知函数f(x)= x,x≤2 2-2,x>2' (1)在平面直角坐标系中，画出函数f(x)的简图； (2)根据函数f(x)的图象，写出函数f(x)的单调区间； (3)若ft)=6,求实数t的值. 7.(16-17高一上·北京海淀清华附中实验班·期中)已知函数∫(x)=a,(a>0且a≠1) (诺f0+/-)=2,求川2+-2刘的值： (②若函数在-1川上的最大值与最小值的差为，求实数a的值 8.(23-24高一上江西新余第六中学.期中)已知指数函数fx=a(a>0且a≠1)，经过点(2,4). (1)求f(x)的解析式及∫(-5)的值； (2)若f(2x-5)<f(-3x),求x的取值范围. 9.(23-24高一上·江西南昌新民外语学校·期中)己知函数y=f(x)是指数函数，且它的图象过点(2,4). (1)求函数f(x)的解析式： (2)画出指数函数y=f(x)的图象，并根据图象解不等式∫(2x)>f(-x+3) 目目 考点03 指数比较大小问题 一、单选题 1.(24-25高一上江西宜春中学期中)已知实数a,b,c满足不等式0<a<b<c<1,且 M=2,N=5,P= 则MNIP的大小关系为() A.M>N>P B.M>P>N C.N>P>M D.N>M>P / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25高一上吉林长春实验中学期中)已知a=2,b=41,c=(2,则三个数的大小关系是() A.axb>c B.bxaxc C.bxcxa D.c2a>b 3.(23-24高一上江西新余第六中学期中)下列各式正确的是() A.38<30.7 B.0.7501<0.751 c.(5<( D.0.50.4<0.50.6 4.(23-24高一上江西部分学校期中)已知a=0.92,b=27.8，,c=√243，则a,b,c的大小关系为() A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<a<c 二、多选题 5.(23-24高一上·江西九江浔阳区九江一中.期中)下列说法正确的是() A.(（22<(24 9日 C.33>0.33 ( 6.(23-24高一上江西南昌第二中学期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的 x,x2∈(-0,0](x,≠x),总有(x-x)[f(x)-f(x)月<0，则下列结论正确的是() A.f(3)>f(2） B.f(0.714)<f(0.715) C.f3.57)<f0.62) D.f(0.802）>f(0.044） 7.(23-24高一上江西赣州十八县(、区)二十三校期中)若a=26,b=44,c=0.2.8,则() A.bxa B.axb C.a>c D.abxc 目目 考点04 指数函数的单调性奇偶性 一、单选题 1.(23-24高一上江西南昌第二中学期中)己知f(x)=2+x2,若x∈[1,2]，f(x+a)>f(2a-x)恒成立，则a 的取值范围为() A.(0,4 B.(-4,0) C.(0,2) D.(-2,0) / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x-l 2.(23-24高一上·江西南昌第二中学.期中)己知函数f(x)= 则下列说法错误的是() A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x+)为偶函数 C.函数f(x)在(1，+∞)上单调递减 D.函数f(x)的值域为(-o,] 二、多选题 3。Q425高上西南昌第十中学期中已知函数x名，则下列结论正确的是 A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为-o,-l)U(1,+D C.f(x)+f(-x)=0 D.函数fx)为减函数 4.(23-24高一上江西抚州)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x,x2∈(-0，-2 （5*5),总有西+2到-f玉+2<0，则下列结论正确的是《) x1-X2 A小 B.f0.714>f0.75） c.f3.55）>f(3.22） D.f-22)>f32 三、填空题 a,x≥1 5.(23-24高一上·江西九江浔阳区九江一中.期中)已知函数f(x)= (3-a)x+lx<1是定义在R上的增函数， 则a的取值范围是， 52324高一上江西九江浔阳区九江一中期中)已知函数f因=2是其定义域上的奇函数，则 a=- 7.(23-24高一上江西部分学校期中)若函数f(x)=2-8在[m,+∞)上单调递增，则实数m的最小值 为一 8.(23-24高一上·江西上饶余干县蓝天中学·期中)已知指数函数∫(x)经过点(2,9)，则不等式 f(x2-2x-2)<f(x-4)的解集为一 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 四、解答题 9.(24-25高一上江西赣州中学期中)已知函数f(x)= 2'+a 2+b (1)当a=4,b=-2时，求满足∫(x)=2的x的值； (2)若函数∫(x)是定义在R上的奇函数 ①存在1∈[-1，，使得不等式f2-t)<f(22-k有解，求实数k的取值范围： 1+f(x) ②令8=1-/闪，对于定义城内的，5，，若8()+8()=8()8)且 gx)+gx2)+gx3)=gx)8(x2g（x3),求2的最大值. 2425尚一上江两南昌南昌大学附强中学期已知定义域为R的函数心=a十，α∈R)是 数。 (1)判断函数∫(x)单调性并用定义证明； (2)若对于任意1∈(1,3)，不等式f(22-kt)+f3-t2)<0恒成立，求k的取值范围. 11.(23-24高一上江西南昌东湖区江西师大附中·期中)我们知道，函数y=f(x)图像关于坐标原点成中心 对称图形的充要条件是函数y=∫(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=∫(x)的图像关于点 m成中心对称图形的充要条件是函数+m-n为奇函数，已知函数儿三4十2 ()利用上述结论，证明：函数∫(x)的图像关于 成中心对称图形， (2)证明函数f(x的单调性，解关于x的不等式fax-ar2)+f(x)>2(a为常数且aeR). 12.(23-24高一上江西抚州)定义：若将函数y=f(x)的图象平移可以得到函数y=gx)的图象，则称函数 四，g出为平行函数己知x子，8x为平行函数 (1)判断并证明函数f(x)的单调性： (2)求实数a的值； (3)求由函数y=gx)的图象、函数y= 的图象及y轴围成的封闭图形的面 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点05 指数函数的值域 一、单选题 1。Q425膏一上江西南昌肖昌大学跨据中学期钓已知命题P:xe-2小，a-(得： 命题q:xe-1,2, x2+ax-8≤0若P为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为() A.[-7, B.-7,2 C.[-7,1u[2,9]D.-7,2u9,+∞】 二、填空题 x+1,x≤a 2.(23-24高一上江西南昌第二中学.期中)已知函数f(x)= 2-,x>a的值域为R,则实数a的取值范围 为 三、解答题 3.(24-25高一上江西南昌第十中学期中)已知函数f(x)=a+b(a>0,且a≠1) (1)若函数f(x)的图象过(0,2)和(2,10)两点，求f(x)在0，上的值域： (②诺函数在区间2司上的设大植七最小值大号，成a的位 4.(23-24高一上江西南昌东湖区江西师大附中期中)若函数f(x)与区间D同时满足：①区间D为f(x)的 定义域的子集；②对任意xeD,存在常数M≥0，使得f(x)≤M成立；则称fx)是区间D上的有界函 数，其中M称为函数f(x的一个上界. ()判断函数g(=。2x是否是R上的有界函数， x2-2x+3 ②试深究函数-社m∈R在区同Q上是香有在上界M,若希在，求出M的取值宽国，若不 存在，请说明理由. 5.(23-24高一上·江西南昌东湖区江西师大附中·期中)已知函数fx)=ax2+x+1(a≠0). (1)若关于x的不等式f(x<0的解集为-3，b),求a,b的值： (2)已知g(x=4-2+2,当x∈[-1，时，f2)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围. / 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(23-24高一上江西南昌第二中学期中)已知f)=+a是定义在R上的奇函数. 3+1 (1)求a的值； (2)若函数g(x)= b3的图象可以由函数f)的图象通过平移得到，求函数8()的值域。 3+3 (3)若存在区间[m,n(m<n),使得函数y=f(x)+t在[m,上的值域为3"，3”，求t的取值范围. 7.(23-24高一上江西部分学校期中)已知函数fx)=4-Q·2. (1)当a=2时，求f(x)在[-1,1上的最值； (2)设函数gx=f(x+∫(-x),若gx)存在最小值-11，求实数a的值. 8.(23-24高一上江西部分学校·期中)完成下列问题： 0求不等式8≤≤32的解华， (2)已知函数∫x)=a“+b(a>0且a≠1)的图象过定点(2，-3)，若3x∈[4,5]，使f(x>m,求实数m的 取值范围 9.(23-24高一上江西上饶余干县蓝天中学期中)已知二次函数f(x)=x2+bx+c,且不等式f(x)<2x的解 集为1,3) (1)求f(x)的解析式： (2)若x∈「-1,2]，求g(x)=f(2)的值域