专题05 函数的奇偶性（期中真题汇编，江西专用）高一数学上学期北师大版

学科网 www.zxxk.com 专题05函数的奇偶性 ☆6大高频考点概览 考点01函数奇偶性的定义 考点02利用奇偶性求函数解析式 考点03函数的对称中心对称轴问题 考点04函数奇偶性单调性综合运用 考点05抽象函数奇偶性单调性问题 考点06幂函数的概念及性质 目 考点01 函数奇偶性的定义 一、多选题 1.(24-25高一上·江西宜春第一中学·期中)下列说法正确的选项是() A.偶函数y的定义诚为2a-1d,则a=月 B.若不等式r+2r+c<0的解集为x<-1或>2， 则a+c=2 C.一次函数f满足()=4r+3,则函数f的解折式为， D.若集合1=-ar+4r+2=0中至多有一个元素，则a≤-2或a=0 二、填空题 2.(24-25高一上江西南昌进贤县第二中学期中)已知函数/()=3r+ar+ 三、解答题 3.(24-25高一上·江西部分学校期中)已知函数（以=x+r+b 为奇函数， (1)求a,b的值： 1/18 让教与学更高效 =x+1 是偶函数，则实数a=一 其函数图象经过点1,10)， 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 2)证明：函数在区间3，+切)上单调递增： ③若命题P:。x4,6,八到≥2m-1,为真命题，求实数m的取值范围 4.(24-25高一上·江西上饶第一中学·期中)已知函数 刘=x+4 x+b是奇函数，且f()=5 ()求函数八的解析式 2)设8=[/（冈+门-(，若8≥0对任意的x,+∞）恒成立，求实数的取值范围. 5.(24-25高一上江西南昌进贤县第二中学期中)已知函数(=+， =9-x2是定义在(-3,3)上的奇函数，且 训=好 (1)求实数a和b的值： ②判断函数日在-3,3引上的单调性，并用定义证明你的结论， ③)若-2列+f1-24<0,求的取值范围. 6.(24-25高一上江西南昌第十九中学期中)已知函数f八x)=- 1+x是定义在[-1,1上的奇函数，且 f1=-1 (1)求函数 的解析式： ②判断函数儿在-川上的单调性，并用定义证明： ax2+2x,x≥0 7.(23-24高一上江西南昌青山湖区南昌大学附中期中)已知函数()= x2+bx,x<0是定义在R上的奇 函数. a,b (1)求实数的值： 2/18 而学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 2若存在xe-2,2,不等式>C成立，求实数c的取值范围. 8.(23-24高一上江西九江浔阳区九江一中期中)已知函数了(x)=3x-召 x ①求的定义域，并判断函数四的奇偶性： 2用定义证明函数在0+w)上是增函数。 目 考点02 利用函数奇偶性求解析式 一、单选题 1.24-25高一上江西部分学校期中)已知函数fx刊是R上的偶函数，当x<0时，=2T--1,则 当x>0时，f)=() A.2r2+x-1 B.-2x2+x-1 C.2r2-x+1 D.-2x2-x-1 2.24-25高一上江西赣州十八县(、区)二十四校期中)已知（为定义在R上的奇函数，当>0时， f=本，则=() 1 3 3 A.-2 B.3 C.2 D.2 3.(23-24高一上-江西九江浔阳区九江一中期中)定义在R上的奇函数，当>0时， f八可=-3x-4,则矿(x->0的解集是() A.（-0,-3U(0,U(5,+w B.（-0,-3U(5,+∞) c.-30U5,+∞) D.（-o,-4U4,+j 4.2324高上江百抚粉尼知商数内是定义在R上的奇备数，且当x>0时.1--，则 3/18 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 f-2)=() A.3 C.3 二、填空题 5.(23-24高一上江西南昌第二中学期中)已知函数是定义在R上的奇函数，当≥0 f(x) 20时， f)=-2 1) +b, 则f(-)=一 三、解答题 6.24-25高一上江西宜春丰城第九中学期中)已知定义域为R的函数f满足：①对任意x∈R， f八-+f=0:②当x>0时，f=-+2x+3 (④)求八在实数集R上的解析式： ②)在坐标系中画出函数八的图象并写出单调区间.（作图要求：要标出顶点与坐标轴的交点）. 7.(24-25高一上江西赣州十八县（、区)二十四校期中)已知定义在R上的奇函数)与偶函数8x满 4/18 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 足f)+8到=2x++2,若刘=fg到 0)求（刊的解析式： 2求关于x的不等式3x-+h3x-<0的解集」 8.23-24高一上江西南昌东湖区江西师大附中期中)已知)是R上的奇函数，当>0时， fx)=-x2+4x 5 41 -54-3-2-1 2345 .4 5 1)求函数（的表达式，并在所给的直角坐标系中画出函数( 的图像： 2若函数f八在区间a-1,2a+刊上单调，求实数“的取值范围， 9.23-24高一上江西南昌第三中学期中)已知函数()是定义在4,4上的奇函数，并且满足： f(-1)=-2 当0<x≤4时，f=-ax (1)求a的值： (2)求函数 f(x) 的解析式： (3)解不等式fm-刂+f2m+1)≥0 考点03 函数的对称中心对称轴问题 一、单选题 5/18 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 1.(2425高一上江西赣州十八县(、区)二十四校期中)已知定义在R上的函数八满足 f5+刘=f5-刘，且，e(5w,且≠，[f-fx]<0,则() A.f(5.5)>f14.5列 B.f2.7>f3.2 c.f7.3)>f7.9 D.f2.7)>f5.2 2.23:24高一上江西景德镇期中已知了心是定义在R上的奇函数，设函数3()=+4+/儿以 x2+16的最大 值为M,最小值为m,则M+m=() A.2 B.4 C.8 D.16 二、多选题 3.2425高-上江西部分高中学校已知八是定义在R上的奇函数，八x+2)为偶函数，且f川2)=10， 则() A.f(4到=-10 B.八的图象关于直线x=2对称 C.f的图象关于点4,0中心对称 D.f206)=-10 4.(24-25高一上·江西上饶第一中学·期中)（多选）下列说法正确的是() A.函数y=2r+V-可的值域是2，+切) B.若函数f(x+=+2x+3 3,则/=x2+2 C.设函数f(x)=4-2x 1+x,则f(x-1)-2为奇函数 D.已知函数八是定义在-o,0U10,+w)的偶函数，f升-2)=1，且当x>0时，=a-K-,则 f(5)=-2 6/18 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 5.(24-25高一上江西南昌江西师范大学附属中学期中)已知函数的定义域为R,其图象关于.，2中 fx-f4-1=2-x 心对称.若 4 ,则() f4-x刘+fx-2=1 A. 4 B.f(2)+f4=4 C.y=f八x+)-2为奇函数 D.y=f2+到+2为偶函数 6.(24-25高一上江西赣州十八县(、区)二十四校期中)已知函数f刊的定义域为R,且 y=x+2-4的图象关于原点对称，y=4++4“的图象关于'轴对称，则（) A.f2)=4 B.f(6=-12 C.函数八是增函数 D.f8-刈+f4-x=8x-24 7.2324高一上江西南昌东湖区江西师大附中期中)若函数(x的定义域为R,对任意x∈R满足 f八2-刘=6-f川2+刘，且f2x+1偶函数，则下列说法中正确的是() (注：∑f=f+f(2)+f(3)+…+f(n) A.刊的一个周期为2 B.f(2024=3 C.f(x)的一条对称轴为x=5 龙/间=57 D. f(x) 8.2324高一上江西南昌第二中学期中)定义在R上的函数田，满足对 x∈R,都有 7/18 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 f(-x)=f(x+2)=-f(2-x) ，,则下列结论正确的是() f (x) (1,0) A.函数的图象关于 成中心对称 B.函数的图象关于直线2轴对称 f(x) (x) C.函数 为奇函数 D.若e2时，=2-，则e0时，= 三、填空题 9.(2324高一上江西赣州十八县《、区)三十三校期中)已知函数f(x∈R满足 5x-24 fx+5到+f(-x+5到=10，若函数y=-5的图象与y=fx的图象的交点为x,y,(X2,y,),…, (0,则5+3+…x0m+乃+y+…+oo= 四、解答题 y=(x) 10.(24-25高一上·江西丰城中学·期中)我们知道，函数 的图象是关于坐标原点的中心对称图形的 充要条件是函数'=)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数'=f的图象是关于点Pα)的 中心对称图形的充要条件是函数y=fx+a)-b为奇函数.已知f)=2+1: ①)求函数'=的对称中心 ②)求由函数y三y的图象、函数少三3的图象及1围成的封闭图形的面积 8/18 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 3)函数8 +m 若对任意∈5,6，都存在∈0,2]，使得8x)=f(2),求实数m的取值范围. 1.Q425高一上江西鹰潭余江区第一中学期中)已知函数) ()简述f图象可由8=一的图象经过怎样平移得到： f(x) (2)证明： 的图象是中心对称图形，并计算 f-2025+f1-2024+…+-2+f10)++f202+f2023到的值. 考点04 函数奇偶性单调性综合运用 一、单选题 1.(23-24高一上江西都分学校期中)已知函数的定义域为R,f八2-)=f(2+,5)=2,且 f(x)-f(x2>o x,七∈(-0,2，当x≠3时，x-,则不等式f(x+4x+3>x的解集为() A.{xr<-l或x>5列 B.{x1<x<5 C.{x<-5或>5列 D.{x5<x<5到 二、多选题 2.(24-25高一上·江西南昌进贤县第二中学·期中)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有 “数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：f)-小，x∈R,其中冈表示不超过x的最大 整数，例如：[-16-22.6=2.令函数3)=-d,则下列说法正确的是（） A.-l<刘sx B.f八是奇函数 9/18 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 C.gx)的最小值为0，没有最大值 x+2,x<1 (x)= 2 3.(23-24高一上·江西景德镇·期中)已知函数 x+二，x之1，下列说法正确的有() B.函数f的单调递减区间为-w,0U1+∞ f(x) C.函数为奇函数 x f(x)≥ D.设a∈R,若关于x的不等式 +叫在R上恒成立，则a的取值范围是-2,2 4.(23-24高一上江西赣州十八县(、区)二十三校期中)已知定义域为R,值域为-山的函数满 f(x)+f（x2) 足，5eR,++f-西当x>0时，-1<到<0则() A.(0)=0 B.f为偶函数 C.f在R上单调递减 D.为奇函数 三、解答题 5.(425高一上江西临川第一中学期中定义在R上的非常值函数》=f八、y=8(,若对任意实数 x、八，均有f(x+川小f儿x-列=[]-[&（门，则称y=8为=f到的相关函数 ④)判断8=x+1是否为)=x的相关函数，并说明理由： 10/18 专题05 函数的奇偶性 6大高频考点概览 考点01 函数奇偶性的定义 考点02 利用奇偶性求函数解析式 考点03 函数的对称中心对称轴问题 考点04 函数奇偶性单调性综合运用 考点05抽象函数奇偶性单调性问题 考点06幂函数的概念及性质 地 城 考点01 函数奇偶性的定义 一、多选题 1．(24-25高一上·江西宜春第一中学·期中)下列说法正确的选项是（   ） A．偶函数的定义域为，则 B．若不等式的解集为或，则 C．一次函数满足，则函数的解析式为 D．若集合中至多有一个元素，则或 【答案】ABD 【分析】对于A，根据偶函数的定义域关于原点对称，可列方程，求解即可；对于B，由一元二次不等式的解集得一元二次方程的根，求解即可；对于C，利用待定系数法求解析式；对于D，根据方程类型分类讨论，再结合题意列不等式，求解即可. 【详解】对于A，因为函数为偶函数，所以其定义域关于原点对称， 所以，解得，故A正确； 对于B，由题意，且为方程的两个不同的根， 则，解得，所以，故B正确； 对于C，设，所以， 又，所以，解得或， 所以或，故C错误； 对于D，若集合A有1个元素，当时，，符合题意； 当时，方程有两个相同的根，则， 此时，符合题意； 若集合A有0个元素，则，即方程无实根， 则，综上所述，或，故D正确. 故选：ABD. 二、填空题 2．(24-25高一上·江西南昌进贤县第二中学·期中)已知函数是偶函数，则实数 ． 【答案】0 【分析】根据函数的奇偶性列方程来求得的值. 【详解】由于函数是偶函数， 所以， 所以恒成立，所以， 此时是偶函数，符合题意. 故答案为：0 三、解答题 3．(24-25高一上·江西部分学校·期中)已知函数为奇函数，其函数图象经过点. (1)求，的值； (2)证明：函数在区间上单调递增； (3)若命题：“，”为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由可求出，再由函数的图象经过点，可求出的值； （2）由（1）知，再由定义法证明函数在区间上单调递增； （3）将题意转化为“，，由（2）知，函数在区间上单调递增，求出，即可得出答案. 【详解】（1）解：由题知的定义域为，因为函数为奇函数， 所以，，即， 所以，对恒成立，所以，故. 因为函数的图象经过点，即，解得， 所以，. （2）证明：由（1）知. 令，则 . 因为，所以，，， 所以，即， 故函数在区间上单调递增. （3）解：由（2）知，当时，函数单调递增，故. 若命题为真命题，则，解得， 故实数的取值范围为. 4．(24-25高一上·江西上饶第一中学·期中)已知函数是奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)设，若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义域的对称性可求，再根据，故可求函数解析式； （2）利用参变分离结合二次函数的性质，故可求的取值范围. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且函数是奇函数， 则根据定义域的对称性可知，， 因为，解得， 则，经检验，是奇函数. （2） 因为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，，的对称轴为， 在单调递增，，. 综合所述：实数的取值范围是. 5．(24-25高一上·江西南昌进贤县第二中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求实数和的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)若，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及的值求得. （2）利用函数单调性的定义证得的单调性. （3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数． 所以，解得， 则．又因为，则，解得， 经检验时，是奇函数． 所以． （2），函数在上单调递增， 证明：任取． ， 因为，所以， 则， 所以，即，故函数在上单调递增． （3）函数是定义在上的奇函数，且． 则， 因为函数在上单调递增． 所以，则 解得，所以t的取值范围是． 6．(24-25高一上·江西南昌第十九中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； 【答案】(1)， (2)函数在上为减函数；证明见解析 【分析】（1）根据函数为奇函数，得到，求出，结合，求出，得到函数解析式； （2）定义法求解函数单调性步骤，取值，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，， 解得， ∴，而，解得， ∴，. （2）函数在上为减函数；证明如下： 任意且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上为减函数. 7．(23-24高一上·江西南昌青山湖区南昌大学附中·期中)已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)若存在，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质可得，进而列出方程组求解即可； （2）分和两种情况求得，进而求解即可. 【详解】（1）由题意，， 即，解得，， 此时， 则， 即，所以，. （2）由（1）知，， 当时，，对称轴为， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，； 当时，，对称轴为， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，. 综上所述，， 由题意，存在，不等式成立，则只需要即可， 所以，即实数的取值范围为. 8．(23-24高一上·江西九江浔阳区九江一中·期中)已知函数． (1)求的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上是增函数． 【答案】(1)函数的定义域为，为奇函数 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义可得出结论； （2）任取、，且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立. 【详解】（1）解：对于函数，则，所以的定义域为， 函数为奇函数，证明如下： 由， 又的定义域为，所以函数为奇函数. （2）证明：任取、，且， 则， 又，，则，所以， 故函数在上是增函数． 地 城 考点02 利用函数奇偶性求解析式 一、单选题 1．(24-25高一上·江西部分学校·期中)已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性求解析式即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以. 当时，， 所以当时，. 故选：A. 2．(24-25高一上·江西赣州十八县（、区）二十四校·期中)已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出的值，然后根据奇偶性可得，则结果可知. 【详解】由题意可知， 因为为定义在上的奇函数，所以， 故选：B. 3．(23-24高一上·江西九江浔阳区九江一中·期中)定义在上的奇函数，当时，，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义求出函数在时的解析式，然后分、两种情况解不等式，综合可得出不等式的解集. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则， 当时，， 当时，，则 ， 下面解不等式. 当时，即当时，则，解得，此时，； 当时，即当时，则， 可得，解得或，此时，或. 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 4．(23-24高一上·江西抚州·)已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数是定义在R上的奇函数，可得，再代入解析式求解即可. 【详解】因为时，，所以， 因为函数是定义在R上的奇函数， 所以． 故选：B 二、填空题 5．(23-24高一上·江西南昌第二中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】/0.5 【分析】由奇函数在处有定义可得，求得的值，再由奇函数的定义计算可得所求值. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 所以，解得， 所以当时，， 所以， 故答案为： 三、解答题 6．(24-25高一上·江西宜春丰城第九中学·期中)已知定义域为R的函数满足：①对任意，；②当时，.    (1)求在实数集R上的解析式； (2)在坐标系中画出函数的图象并写出单调区间.（作图要求：要标出顶点与坐标轴的交点）. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用函数的奇偶性和题设条件易求得函数在R上的解析式； （2）根据（1）求得的分段函数解析式，可作出其图象，利用图象，即可表述其单调区间. 【详解】（1）由①可知，函数为R上的奇函数，则， 当时，，则当时，，， 因，故. 即 （2）   根据函数的解析式，可作出其图象如图所示. 则函数的单调递增区间为：； 单调递减区间为：和. 7．(24-25高一上·江西赣州十八县（、区）二十四校·期中)已知定义在上的奇函数与偶函数满足，若． (1)求的解析式； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）根据函数奇偶性可得，解方程即可得以及； （2）分析可知为奇函数，在内单调递增，结合函数性质可得，分类讨论解不等式即可. 【详解】（1）因为，且为奇函数，为偶函数， 则，即， 联立方程，解得， 所以. （2）由题意可知：的定义域为， 且，可知为奇函数， 当时，则， 因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，即在内单调递增， 可知在内单调递增，即在内单调递增， 因为，则， 可得，即， 令，解得或， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 8．(23-24高一上·江西南昌东湖区江西师大附中·期中)已知是上的奇函数，当时，． (1)求函数的表达式，并在所给的直角坐标系中画出函数的图像； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围． 【答案】(1)，图像见解析 (2) 【分析】（1）确定，设得到，根据奇函数性质得到解析式，再画出图像得到答案. （2）根据图像考虑，，三种情况，解得答案. 【详解】（1）当是上的奇函数，故； 当时，，， 故， 图像如图所示： （2）函数在区间上单调，则，解得， 根据函数图像知： ①，解得，即； ②，解得，即； ③，解得，即； 综上所述： 9．(23-24高一上·江西南昌第三中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，并且满足：；当时，． (1)求a的值； (2)求函数的解析式； (3)解不等式 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由奇函数求得代入解析式运算得解； （2）根据奇函数的性质，求得函数解析式； （3）根据奇函数的性质，整理不等式，利用单调性，解不等式，可得答案. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又当时，， 则， ． （2）由（1）知当时，． 当时，，， 由为奇函数，有， 所以，， 又． 所以． （3）， 由（2）中的函数解析式可知，当时，是增函数， 当时单调递增， 所以在上单调递增， 所以，所以． 即实数m的取值范围是． 地 城 考点03 函数的对称中心对称轴问题 一、单选题 1．(24-25高一上·江西赣州十八县（、区）二十四校·期中)已知定义在上的函数满足，且，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析出关于对称，然后分析出在和上的单调性，最后逐项分析函数值大小关系. 【详解】又因为，所以关于对称， 由条件可知在上单调递减，所以在上单调递增， A：，故错误； B：因为，所以，故错误； C：因为，所以，故正确； D：因为且，所以，故错误； 故选：C. 2．(23-24高一上·江西景德镇·期中)已知是定义在R上的奇函数，设函数的最大值为M，最小值为m，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】由题意可得的最大，最小值分别为，，由奇函数的性质可得，变形可得答案． 【详解】， 令，因为是奇函数，所以， ，所以函数是奇函数， 所以函数的最大值为，最小值为，由奇函数得性质可得，， 解得. 故选：A. 二、多选题 3．(24-25高一上·江西部分高中学校·)已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D． 【答案】BCD 【分析】利用奇函数性质可得，再利用为偶函数可得B正确，结合对称中心以及对称轴可判断C正确，综合奇偶性和对称性可得的周期为8，计算可得D正确. 【详解】由是定义在上的奇函数可知，且； 又为偶函数，可得， 令，所以，即A错误； 由可知的图象关于直线对称，即B正确； 易知关于成中心对称，又关于直线对称， 所以的图象关于点中心对称，即C正确； 显然，即； 所以，即，所以， 可得是以8为周期的周期函数， 即，即D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：在求解函数奇偶性、对称性、周期性等综合性质问题时，往往根据题目给出的两个性质推出第三个性质，再进行综合运用即可得出结论. 4．(24-25高一上·江西上饶第一中学·期中)（多选）下列说法正确的是（   ） A．函数的值域是 B．若函数，则 C．设函数，则为奇函数 D．已知函数是定义在的偶函数，，且当时，，则 【答案】ABD 【分析】求出函数的值域判断A；利用配凑法求出解析式判断B；判断函数的奇偶性判断C；利用偶函数性质计算判断D. 【详解】对于A，令，则，函数在上单调递增， 其值域为，因此函数的值域是，A正确； 对于B，函数，因此，B正确； 对于C，由，得为非奇非偶函数，C错误； 对于D，函数是定义在的偶函数，且当时，， ，解得，则，D正确. 故选：ABD 5．(24-25高一上·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)已知函数的定义域为，其图象关于中心对称. 若，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ACD 【分析】A选项，根据中心对称为，得到，进而判断A；B选项，变形得到，赋值即可判断B；C选项，根据函数的对称中心得到，即可判断C；D选项，根据题目条件得到，变形为，即可判断D. 【详解】A选项，根据中心对称为，得到， 则，故A正确； B选项，由A知，，则， 则，即， 则，令，则，故B错误； C选项，根据中心对称为，得到， 则， 令，则，所以为奇函数，故C正确； D选项，因为，所以， 即，故， 令，则， 故为偶函数，故D正确. 故选：ACD. 6．(24-25高一上·江西赣州十八县（、区）二十四校·期中)已知函数的定义域为，且的图象关于原点对称，的图象关于轴对称，则（   ） A． B． C．函数是增函数 D． 【答案】ABD 【分析】先根据对称性分析出和，令可判断AB选项；根据的结果可判断C选项；将变形为，将变形为，变形后的式子相加可判断D选项. 【详解】因为的图象关于原点对称，所以， 所以， 因为的图象关于轴对称，所以， 所以， A：令中，可得，故正确； B：令中，可得，所以，故正确； C：因为，，显然函数不是增函数，故错误； D：因为，所以， 因为，所以， 联立可得，故正确； 故选：ABD. 7．(23-24高一上·江西南昌东湖区江西师大附中·期中)若函数的定义域为，对任意满足，且偶函数，则下列说法中正确的是（    ） （注：） A．的一个周期为2 B． C．的一条对称轴为 D． 【答案】BCD 【分析】根据函数为偶函数得到，确定函数周期为，A错误，，B正确，，C正确，确定，计算得到D正确，得到答案. 【详解】偶函数，则，即， 故，又， 故，，即， 函数周期为， 对选项A：函数周期为，错误； 对选项B：，故，又，即， ，正确； 对选项C：，故， 即，函数关于对称，正确； 对选项D：，取得到， ，，正确； 故选：BCD. 8．(23-24高一上·江西南昌第二中学·期中)定义在上的函数，满足对，都有，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于成中心对称 B．函数的图象关于直线轴对称 C．函数为奇函数 D．若时，，则时， 【答案】CD 【分析】对于AB，由结合函数的对称性分析判断，对于C，将中的换为，再结合已知的式子和奇函数的定义分析判断，对于D，由函数为奇函数和已知可得，，则，再结合已知的解析式可求得结果. 【详解】对于A，因为对，都有，即， 所以函数的图象关于成中心对称，所以A错误， 对于B，因为对，都有，所以函数的图象关于直线轴对称，所以B错误， 对于C，因为对，都有， 所以，即， 所以，所以函数为奇函数，所以C正确， 对于D，因为，为奇函数，所以， 所以，设，则， 因为当时，， 所以当时，，所以D正确， 故选：CD 三、填空题 9．(23-24高一上·江西赣州十八县（、区）二十三校·期中)已知函数满足，若函数的图象与的图象的交点为，，…，，则 . 【答案】10000 【分析】根据题意可得两个函数的图象都关于点对称，利用对称性即可求解. 【详解】由，可得的图象关于点对称. 因为函数的图象是由函数的图象向右平移5个单位长度， 再向上平移5个单位长度得到的，所以的图象也关于点对称. 根据题意不妨设，由对称性可得，， 所以. 故答案为：. 四、解答题 10．(24-25高一上·江西丰城中学·期中)我们知道，函数的图象是关于坐标原点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象是关于点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知. (1)求函数的对称中心； (2)求由函数的图象、函数的图象及围成的封闭图形的面积； (3)函数，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先假设的图象存在对称中心，根据函数为奇函数，，即可求解； （2）利用对称性，转化图形，即可求解. （3）首先求函数的值域，由题意转化为函数的值域是函数值域的子集，再利用参变分离，转化为最值问题，即可求解. 【详解】（1）假设的图象存在对称中心， 则的图象关于原点中心对称， 因为的定义域为，所以恒成立， 即恒成立， 所以，解得， 所以的图象存在对称中心. （2）时，，如图，函数的图象、函数的图象及围成的封闭图形的面积， 函数关于对称，轴左侧的阴影和轴以及轴右侧，函数的图象围成的面积相等，这样所求面积转化为轴，，和围成的矩形的面积，. （3）函数在区间上单调递减，其在区间上值域为， 由题可知，，即对恒成立. 由得或； 即或对恒成立， 所以或，故的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是根据任意，存在的关系转化为子集问题. 11．(24-25高一上·江西鹰潭余江区第一中学·期中)已知函数． (1)简述图象可由的图象经过怎样平移得到； (2)证明：的图象是中心对称图形，并计算的值． 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析，4048. 【分析】（1）变形函数，再利用平移变换求出变换过程. （2）利用中心对称的定义计算推理得证；再利用对称性求出函数值及和. 【详解】（1）由于， 所以的图象可由的图象先向左平移一个长度单位，再向上平移一个长度单位得到． （2）因为， 所以的图象关于中心对称； 则，，…，， 所以． 地 城 考点04 函数奇偶性单调性综合运用 一、单选题 1．(23-24高一上·江西部分学校·期中)已知函数的定义域为R，，，且，，当时，，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据单调性的定义和对称性知关于对称，且在上单调递增，在上单调递减，把不等式转化为，利用变量与对称轴的位置关系列不等式求解即可. 【详解】因为函数的定义域为R，，所以函数图象关于对称， 又，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 记， 因为关于对称，且在上单调递增，在上单调递减， 所以关于对称，且在上单调递增，在上单调递减， 由得，等价于，所以， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 二、多选题 2．(24-25高一上·江西南昌进贤县第二中学·期中)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：，其中表示不超过x的最大整数，例如：．令函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．的最小值为0，没有最大值 D． 【答案】ACD 【分析】根据“高斯函数”的定义、函数的奇偶性、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，表示不超过的最大整数，故，A正确； 对于B，，所以不是奇函数，B错误； 对于C，因为． 画出的图象如下： 有最小值0，无最大值；C对． 对于D，， 则， 即，D正确． 故选：ACD 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 3．(23-24高一上·江西景德镇·期中)已知函数，下列说法正确的有（    ） A． B．函数的单调递减区间为 C．函数为奇函数 D．设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 【答案】AD 【分析】对于A，直接代入求值即可；对于B，根据对勾函数图像的性质进行判断；对于C，由特殊值进行判断即可；对于D，画出的函数图像，数形结合得出结果. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，由， 当时，，由对勾函数的性质可知，所以函数在单调递减，故B错误； 对于C，由，函数不是奇函数，故C错误； 对于D，不等式在R上恒成立，画出的函数图像， 由，消去并化简得， 由解得，负根舍去. 将代入得，， 结合图象可知，故D正确. 故选：AD. 4．(23-24高一上·江西赣州十八县（、区）二十三校·期中)已知定义域为，值域为的函数满足，，.当时，则（    ） A． B．为偶函数 C．在上单调递减 D．为奇函数 【答案】ACD 【分析】根据函数定义域和值域可解得，即A正确；利用奇偶性的定义化简表达式即可得为奇函数，可知B错误，D正确；再由单调性定义证明即可得出在上单调递减，可得C正确. 【详解】令，得，解得或， 由于函数值域为，所以（舍去），可得，即A正确； 令，得，则， 故为奇函数，可知B错误，D正确； 取，，且，则， 由题意可得， 因为，所以. 又因为的值域为，所以，，所以， 则，即，所以在上单调递减，C正确. 故选：ACD 三、解答题 5．(24-25高一上·江西临川第一中学·期中)定义在上的非常值函数、，若对任意实数x、y，均有，则称为的相关函数. (1)判断是否为的相关函数，并说明理由； (2)若为的相关函数，证明：为奇函数； (3)在（2）的条件下，如果，，当时，，且对所有实数x均成立，求满足要求的最小正数T，并说明理由. 【答案】(1)不是，理由见详解； (2)证明见详解； (3)8，理由见详解. 【分析】（1）利用相关函数的定义代入计算验证即可； （2）根据奇函数的定义及相关函数的概念计算即可； （3）根据奇函数的性质及赋值法，结合递推关系判定周期性，再用反证法判定最小正周期即可. 【详解】（1）不是相关函数， 易知①， 而②， 显然①②两式不相等，即不是的相关函数， （2）令，则有， 令，则有， 两式相加得， 因为是定义在上的非常值函数，所以不恒为， 所以，所以是奇函数； （3）令，则， 因为，所以， 令，则， 令，则 若， 若，， 则， 综上可知满足题意. 再用反证法证是满足题意的最小正数， 若存在满足要求，令，则，即， 故， 而， 所以，矛盾，故不符题意. 所以存在是满足题意的最小正数. 【点睛】关键点睛：本题关键是利用函数的奇偶性，周期性，结合反证法及赋值法来处理问题. 6．(24-25高一上·江西部分学校·期中)已知二次函数的最小值为0，且，. (1)求的解析式； (2)若函数为偶函数，函数. （i）关于的方程有3个不相等的实数根，求实数的取值范围； （ii）当时，求函数在区间上的最值. 【答案】(1)或 (2)（i）；（ii）答案见解析 【分析】（1）代入函数值得到方程组求解，从而得到解析式； （2）由（1）知道解析式，从而建立等式，由解得个数讨论出的取值范围；列出的表达式，对进行分类讨论，并求得分段函数各段上的最值，从而得到函数的最值. 【详解】（1）由题意可设函数. 由，，得解得或 故函数的解析式为或. （2）由（1）及函数为偶函数，得. （i）方程，即， 可化为，即， 所以或. 由，得. 若关于的方程有3个不相等的实数根，则必有. 当时，由，得或，且，， 即且， 所以实数的取值范围为. （ii）由题知，即 ①当时，，所以，. ②当时，，由，得. 当时，二次函数的对称轴为，此时，故； 当时，二次函数的对称轴为，此时，故； 当时，二次函数的对称轴为， 若，则，此时，即， 又，所以； 若，则，此时，即， 又，所以此时， 由上知，，. ③当时， 当时，二次函数的对称轴为，此时，故； 当时，二次函数的对称轴为，此时，故； 当时，二次函数的对称轴为，此时，故. 由，，及，得，. 综上所述，当时，，； 当时，，. 【点睛】方法点睛：本题第三问是含有参数的分段函数，所以需要对的值进行分类讨论，然后利用函数的单调性和分段函数的定义域分别求出各个段上函数的最值，然后比较最值得出函数的最值. 7．(24-25高一上·江西丰城中学·期中)已知的图像可由的图像平移得到，对于任意的实数，均有成立，且存在实数，使得为奇函数． (1)求函数的解析式． (2)若，对均有成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平移前后两个函数的对称轴，确定平移量，再结合函数是奇函数，即可求解函数的解析式； （2）首先根据不等式能成立，转化为，再根据不等式构造函数，根据函数的单调性，结合定义域的端点值，即可列式求解. 【详解】（1）的图像关于对称，的图像关于对称， ∴可设， 又存在实数，使得为奇函数， ∴，，故． （2），对均有成立， 在上单调递增，， 依题意有对均有成立， 即在时恒成立， 函数是关于的一次函数或常函数，只需端点函数值大于0， 即满足不等式，解得，∴实数m的取值范围是. 8．(23-24高一上·江西新余第六中学·期中)已知是定义在上的偶函数，当时，是二次函数，其图象与轴交于，两点，与轴交于． (1)求的解析式； (2)若方程有四个不同的实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，由二次函数的图象与坐标轴的交点，求出解析式，由是偶函数，求出时解析式，可得的解析式； （2）问题等价于函数与在同一坐标系中的图象有四个不同的交点，作出函数图象，列不等式求的取值范围． 【详解】（1）当时，是二次函数，其图象与轴交于，两点， 由题意可设，由，得，即， 所以． 又是偶函数， 当时，，则， 所以. （2）依题意有四个不同的实数根， 即与在同一坐标系中的图象有四个不同的交点． 作出函数的图象，如图所示，函数， 由图可知只需满足条件， 解得， 即实数a的取值范围是. 9．(23-24高一上·江西南昌青山湖区南昌大学附中·期中)在上最小值为. (1)求的解析式； (2)令，点在图象上，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）考虑，，三种情况，计算最值得到答案. （2）确定关于对称，且在上单调递增，在上单调递减，得到，解得答案. 【详解】（1），函数对称轴为， ①当，即时，在上单调递减， 故； ②当，即时，； ③当时，在上单调递增，； 综上所述：. （2）， 设，，为偶函数， 当时，，函数单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减， 可以由向左平移1个单位得到， 故函数关于对称，且在上单调递增，在上单调递减， ，即，解得，即. 地 城 考点05 抽象函数奇偶性单调性问题 一、单选题 1．(24-25高一上·江西南昌第三中学·期中)已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】定义域为：， 当时，，对称轴：， ∴在上单调递增， ∵，， ∴为奇函数， ∴在上单调递增，即在上单调递增 ∵，∴ ∴ ∴ 故选：B 2．(23-24高一上·江西南昌青山湖区南昌大学附中·期中)设函数，对于任意正数都有，已知函数的图象关于中心对称，若，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变换得到在上单调递增，确定关于原点对称，得到为偶函数，，根据函数的单调性解不等式得到答案. 【详解】，，，故， 即函数在上单调递增， 函数的图象关于中心对称，则关于原点对称， 即为奇函数，为偶函数，故函数在上单调递减. ，则，， 当时，，即，即，； 当时，，即，即，； 综上所述：. 故选：D 3．(23-24高一上·江西赣州十八县（、区）二十三校·期中)已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据函数不等式的形式构造函数 ，然后判断的奇偶性以及单调性，即可求解. 【详解】 设函数，因为函数为奇函数， 函数为奇函数，所以为奇函数. 因为函数，在上均为单调递增函数， 所以在上单调递增. 由，得， 即，， 所以， 根据在上单调递增，可得， 解得. 故选：A 二、多选题 4．(24-25高一上·江西南昌南昌大学附属中学·期中)已知定义在上的函数满足，当时，，，则（    ） A． B．为奇函数 C．在上单调递减 D．当时， 【答案】ABD 【分析】A选项，赋值法得到， B选项，令得；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中，令得，， 故，A正确； B选项， 中，令得， 故为奇函数，B正确； C选项，中，令，且， 故，即， 当时，，故， 即，故在R上单调递增，C错误； D选项，令得，， 又，故，， 又，故，又在R上单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 5．(23-24高一上·江西九江浔阳区九江一中·期中)设为定义在整数集上的函数，，对任意的整数均有．则下列正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．关于对称 D． 【答案】ABD 【分析】先应用赋值法求出特殊值，然后判断奇偶性和对称性，再由对称性得到函数的周期，最后根据周期求出即可. 【详解】对于A：令，则， 所以，A正确； 对于B：令，则， 又因为，所以； 令取为，则， 即，所以为奇函数，B正确； 对于C：令，则， 所以关于直线对称； 因为关于直线对称且为奇函数，所以， 所以，所以不恒成立， 否则即，与矛盾, 故不关于直线对称，C错误； 对于D：由C知，所以的周期为4， 又 ，所以， 所以， 所以，D正确， 故选：ABD 6．(23-24高一上·江西抚州·)已知函数的定义域为R，对任意实数x，y满足：，当时，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．为R上的减函数 D．为偶函数 【答案】ABC 【分析】令即可判断A；由递推关系判断B；利用单调性定义判断C；令代入已知递推式，结合奇偶性定义判断D. 【详解】令得，故A正确； ，故B正确； 设，则， 所以，故C正确； 令，则，所以是奇函数，故D错误． 故选：ABC 7．(23-24高一上·江西景德镇·期中)已知定义在R上且不恒为零的函数，若对于，，有，则下列说法正确的有（    ） A．函数为奇函数 B．对 C．若，则 D．若当时，，则函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【分析】对于A，令，得出，令，得出，再令得出结果；对于B，令进行归纳得出结论；对于C，令，再结合得出结果；对于D，当时，由于，则，再结合单调性的定义考虑时，，与零的大小关系得出结果. 【详解】对于A，令，则，解得；令，则，解得. 令，则，即，则函数为奇函数，故A正确； 对于B，令，则， 令，则，归纳可知，故B错误； 对于C，令，则，求出，由于， 则， 则，故C正确； 对于D，当时，由于，则， 考虑，则，由于，则函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】抽象函数奇偶性的判断，一般先通过赋值法找到如，的值，再一次利用赋值法得到与的关系即可. 三、填空题 8．(24-25高一上·江西部分学校·期中)已知函数是定义在上的奇函数，若，，不等式恒成立，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】首先根据条件构造函数，并判断函数的单调性和奇偶性，以及零点，根据函数的性质，解不等式. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 当，时，不等式可化为， 则函数在区间上单调递增，又， 所以函数为偶函数，且，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 即时，；时，. 当时，；当时，由， 得，即； 当时，由，得，即， 故不等式的解集为. 故答案为： 9．(23-24高一上·江西新余第六中学·期中)是定义在上的奇函数，且满足以下两个条件：对任意的都有，当时，，且，则函数在上的最大值为 ． 【答案】10 【分析】综合应用抽象函数的奇偶性、单调性即可解决. 【详解】设，，且，，由（2）得， . 由（1）得，， 即，即， 所以为上单调递减的奇函数. 因为， 所以. 故答案为：10. 四、解答题 10．(24-25高一上·江西宜春第一中学·期中)定义在上的函数满足：对任意的，都有成立，且当时，． (1)求的值 (2)求证：在上是单调递增函数并解关于的不等式： (3)已知，若对所有的及恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）令，即可求值； （2）先令，判断函数的奇偶性，再根据单调性的定义证明即可； （3）由（2）知函数的最大值为，所以得对恒成立，再根据一次函数的单调性列不等式组，求解即可. 【详解】（1）由题意，令，则， 解得. （2）由题意，令，，则，即， 又定义域为，则函数为奇函数； 任取，且，则， 由题意得，又，则， 即，所以在上是单调递增函数. 所以对于不等式，得，解得， 所以不等式的解集为. （3）由（2）可知，函数的最大值为，且， 所以由对所有的成立， 可得对恒成立，即恒成立， 令， 则， 解得或， 即实数的取值范围为. 11．(24-25高一上·江西上饶广丰新实中学·)若函数的定义域是，且对任意的，，都有成立. (1)试判断的奇偶性； (2)若当时，，求的解析式； (3)在条件（2）前提下，解不等式. 【答案】(1)为奇函数 (2) (3)或 【分析】（1）利用已知求出，可得，即可证出； （2）先利用奇函数性质求出时，，再结合已知和，即可求解析式； （3）作出函数的图象，利用图象得是定义在上的增函数，将不等式转化为，再利用的单调性可得，解一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）为奇函数， 理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 令得，解得， 令得，所以对任意恒成立， 所以为奇函数， （2）由题知当时，， 则时，， 又， 所以. （3）作出函数的图象，如下图所示： 由图可知，是定义在上的增函数， 因为，所以， 所以，即， 解得或， 所以不等式的解集为或. 地 城 考点06 幂函数的概念及性质 一、单选题 1．(24-25高一上·江西部分学校·期中)已知幂函数，则（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数的定义，知，解得：，再解出，求解即可. 【详解】由幂函数的定义，知，解得：， 所以，. 故选：A. 2．(24-25高一上·江西景德镇·期中)若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 【答案】A 【分析】根据幂函数定义和性质可解. 【详解】函数为幂函数，且在区间上单调递增， 则，即，解得. 故选：A. 3．(24-25高一上·江西赣州十八县（、区）二十四校·期中)已知是幂函数，若，则（   ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据幂函数解析式可得，代入a解方程即可. 【详解】因为是幂函数， 则，解得，即， 若，解得. 故选：C. 4．(24-25高一上·江西鹰潭余江区第一中学·期中)已知幂函数的图象经过点，则＝（    ） A． B．9 C． D． 【答案】D 【分析】求出幂函数的解析式，再代入求值. 【详解】设，由的图象经过点，得，解得，即， 所以. 故选：D 5．(23-24高一上·江西南昌青山湖区南昌大学附中·期中)已知幂函数的图像与坐标轴没有公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的定义得出的值，结合的图像与坐标轴没有公共点，确定，代值计算即可得出答案． 【详解】因为为幂函数， 所以，即，解得或， 则或， 又因为的图像与坐标轴没有公共点， 所以，则， 故选：C． 6．(23-24高一上·江西部分学校·期中)若函数在上单调递减，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性求解. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以,解得， 故选:C. 7．(23-24高一上·江西景德镇·期中)若幂函数的图象不经过原点，则b的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据幂函数表达式特征求值再代入验证即可. 【详解】因为是幂函数， 所以，所以或， 当时，图象不经过原点，符合题意； 当时，图象经过原点，不符合题意. 所以b的值为0. 故选：D 二、多选题 8．(24-25高一上·江西部分学校·期中)若函数在区间上的值域为，则称为函数的“保值区间”，下列说法正确的是（    ） A．函数存在保值区间 B．函数存在保值区间 C．若一次函数存在保值区间，则或 D．若函数存在保值区间，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】利用二次函数、反比例函数、一次函数等幂函数的图象与性质结合新定义一一判定选项即可. 【详解】对于A，函数在区间上的值域为，故函数存在保值区间，A正确； 对于B，当时，；当时，， 故函数不存在保值区间，B错误； 对于C，当时，若函数存在保值区间，则有，解得； 当时，若函数存在保值区间，则有 解得，所以或，C正确； 对于D，函数在上单调递增， 若函数存在保值区间，则有 即关于的方程有两个不相等的实数根， 令，则，所以， 结合二次函数的图象可知，，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：所谓“保值区间”可通过判定该函数的单调性，分类讨论代入定义域端点建立方程组计算求解即可. 9．(24-25高一上·江西南昌进贤县第二中学·期中)下列说法正确的有（   ） A．若是幂函数，则或3 B．与是同一函数 C．已知函数，则 D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】根据幂函数、同一函数、函数值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，是幂函数， 所以，解得或， 此时或，所以A选项正确. B选项，的值域是，， 值域是，所以两个函数不是同一函数. C选项，， 所以，所以C选项错误. D选项，，当时等号成立， 所以函数的值域为，D选项正确. 故选：AD 10．(24-25高一上·江西景德镇·期中)关于函数的性质描述，正确的有（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在上是增函数 D．的值域是 【答案】BC 【分析】对AB：根据函数奇偶性的定义，直接判断即可；对C：根据幂函数单调性和复合函数单调性，直接判断即可；对D：根据函数奇偶性和单调性，直接求函数值域即可. 【详解】对AB：若使得函数有意义，则，解得，定义域关于原点对称； 当时，，又， 故为偶函数，A错误，B正确； 对C：当时，，令， 又在单调递减，，在单调递增， 根据复合函数单调性，在单调递减，故在单调递增，故C正确； 对D：根据C中所求，在单调递增，又， 故在的值域为，又为偶函数，故的值域为，故D错误. 故选：BC. 11．(23-24高一上·江西南昌新民外语学校·期中)下列说法正确的是（    ） A．若是奇函数，则 B．和表示同一个函数 C．不是幂函数 D．若满足，则不是单调递增函数 【答案】BD 【分析】对A，考虑0在不在定义域内；对B，结合定义域，值域，解析式判断；对C，结合幂函数的定义判断；对D，结合函数单调性的性质进行判断. 【详解】当奇函数在处有定义时，才有， 例如为奇函数，但是不满足，故A错误， 和的定义域均为，对应关系也一样， 故表示同一个函数，B正确， 形如（为常数）的函数是幂函数，则是幂函数，故C错误， 若满足，则不是单调递增函数，故D正确， 故选：BD 三、填空题 12．(23-24高一上·江西新余第六中学·期中)已知幂函数过定点，且满足，则的范围为 ． 【答案】 【分析】先根据过定点，得到函数的解析式，根据幂函数的奇偶性和单调性可求出的范围. 【详解】设，则，解得，所以，函数的定义域为且为增函数， ，为奇函数， 所以，即， 所以，解得或， 故的取值范围为. 故答案为：. 13．(23-24高一上·广西玉林博白县中学·月考)若幂函数为奇函数，则的值为 . 【答案】0 【分析】利用幂函数的定义及性质，列式求解即得. 【详解】由是幂函数，得，解得或， 当时，函数是偶函数，不符合题意，当时，是奇函数，符合题意， 所以. 故答案为：0 14．(23-24高一上·江西南昌第二中学·期中)已知幂函数的图象与轴没有交点，则 ． 【答案】 【分析】利用幂函数的定义与性质计算即可. 【详解】由题意可知或， 当时，显然与轴有交点，排除. 当，符合题意. 故答案为： 15．(23-24高一上·江西赣州十八县（、区）二十三校·期中)已知幂函数的图象经过原点，则 . 【答案】8 【分析】利用幂函数定义及图象特征求解即得. 【详解】由幂函数，得， 即，解得或， 当时，，其图象不经过原点， 当时，，其图象经过原点， 所以. 故答案为：8 四、解答题 16．(24-25高一上·江西南昌第三中学·期中)已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在区间上单调，求实数的取值范围. (3)求不等式的解集； 【答案】(1) (2)或 (3)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义以及偶函数性质分析求解即可； （2）分析可知在上单调，结合二次函数性质分析求解； （3）整理可得，分类讨论，结合一元二次不等式运算求解. 【详解】（1）由为幂函数，得，解得或， 时，为奇函数，舍去； 时，为偶函数，符合题意， 所以. （2）函数在上单调， 则有或，解得或， 所以实数的取值范围是或. （3）原不等式，即， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 17．(23-24高一上·江西部分学校·期中)已知幂函数的图象过点. (1)求的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得，得到的值即可求出函数解析式，最后求函数值即可； （2）根据函数的定义域和单调性，得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）将代入可得，解得，故，所以； （2）因为在上单调递增，且， 所以，解得，即实数a的取值范围是. 18．(23-24高一上·江西抚州·)已知幂函数，的图象分别过点，． (1)求函数，的解析式； (2)写出不等式的解集．（不需要说明理由，直接写结果） 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）根据幂函数的解析式，代入点，可得答案； （2）根据（1）作图，结合图象，可得答案. 【详解】（1）设，，由条件，得 ，即， ，即． （2）在同一坐标系中，作出函数，的图象， 观察得到不等式的解集是． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $