专题02 等式与不等式（期中真题汇编，江西专用）高一数学上学期北师大版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02等式与不等式 ☆3大高频烤点概览 考点01等式与不等式的性质 考点02基本不等式 考点03二次函数与一元二次方程不等式 目目 考点01 等式与不等式的性质 一、单选题 亿425高一上西南昌第三中学期刊下列命题①若。>·则a<6 ②若a<b<0,则a2<ab<b③ 若c>a>b>0,则a>b ④若a>b>c>0,则9<a+c其中真命题的个数是() c-a c-b bb+c A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(24-25高一上·江西鹰潭余江区第一中学期中)已知a>b,则() A.3ax2b B.ax-b2 C.a-1>b-2 D.a(a+1)>b(b+1 3.(23-24高一上·江西南昌青山湖区南昌大学附中期中)已知某个三角形的两条高长度分别为5和10，该三 角形的形状不变，请你构建不等关系，求出它第三条高长度的取值范围() g0 D.(10,15) 二、多选题 4.(24-25高一上江西宜春中学期中)下列四个结论中正确的是() A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若ab≠0且a<b,则21 C.命题“任意x<1,则x2<1”的否定是“存在x<1,则x2≥1. D.“a>b”是“a>b+1”的必要不充分条件 5.(24-25高一上江西部分学校·期中)下列命题正确的是() A.“a=0”是“ab=0”的充分不必要条件 B.若b>1>a>0,则b>a2 C.“x+y”为有理数是“x,y都为有理数”的充要条件 D.若a>b,c>d,则a-d>b-c 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25高一上江西赣州十八县(、区)二十四校·期中)使a-b>3c成立的一个充分条件可以是() A.a>c且b<-2c B.a>2c且b>-c C.a>2c且b<-c D.a>3c且b>2c 7.(23-24高一上江西新余第六中学期中)下列表述正确的是() A.如果a>b>0,c>d,那么ac>bd B.如果a>b>0,c>d>0,那么1<1 ac bd C.如果a>b,那么√a>√b D.如米a2b>0,那么b≤6sa 8.(23-24高一上江西南昌第二中学.期中)已知a>b>0>c>d,则下列不等式一定成立的是() A.a+c>b+d B.ac>bd C.a-b>c-d D.c>d a+b a 9.(23-24高一上江西部分学校期中)已知c<0<b<a,则() A.ac+b<bc+a B.a3+c2>b3+c2 C. a+ca D.atas +b b+c b b 目目 考点02 基本不等式 一、单选题 1.(24-25高一上江西景德镇期中)当0<x<号时，不等式1+， 1+,1-m≥0恒成立，则实数m的取值范围是 x1-4x () A.(0,9 B.(-0,9] C.[6,9 D.9,+c) 2.(23-24高一上江西新余第六中学.期中)已知a>0,b>0,a+3b=ab,则a+2b的最小值为() A.5+2W2 B.5+25 C.5+2V5 D.5+26 3.(23-24高一上江西南昌第三中学.期中)正数m,n满足m+n=5,则√m+1+√n+2的最大值为() A.8 B.3 C.22 D.4 4.(23-24高一上江西期中)若x,y满足x-y-1)y-x-1=xy,则() A.x+y≤1 B.x+y22 C.x2+y2≥1 D.x2+y2≤2 5.(23-24高一上江西南昌青山湖区南昌大学附中期中当x>0时，函数y=+2x+3的最小值为(） x+1 A.2√2 B.2V5-1 C.2W3+1 D.4 6.(23-24高一上江西南昌第二中学期中)图1的弦图是由我国三国时期的数学家赵爽提出的，故称赵爽弦 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图，利用这个弦图，我们可以给基本不等式一个非常形象的几何解释.数学探究课上，同学们对赵爽弦图 从边长、周长、面积、角度等方面进行了探究，得出了很多优美的结论.如图2，某探究小组将赵爽弦图中 的直角ABC的直角边AC延长交另一个直角三角形的斜边为点D,记ABC的周长为l,面积为S,则 WS的最大值为() AC·AD B D 图1 图2 A.22 B.2 c.2v5 D.2+1 3 3 2 7.(23-24高一上江西抚州)两次购买同一种物品，可以采用两种不同的策略：第一种是不考虑物品价格的 升降，每次购买这种物品所花的钱数一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一 定，若两次单价不同，从平均价格的角度来看，则下列判断正确的是(） A.第一种策略更省钱 B.若降价，第一种策略更省钱；若涨价，第二种策略更省钱 C.第二种策略更省钱 D.若降价，第二种策略更省钱；若涨价，第一种策略更省钱 8.23-24高一上江西南昌第一中学期中若两个正实数x,y满足+4-1，且不等式x+<m2-3m有解， x y 4 则实数m的取值范围是() A.{m-1<m<4} B.{mm<-4或m>1} C.{m4<m<1} D.{mm<-1或m>4} 9.(23-24高一上江西赣州十八县(、区)二十三校期中若m>0,则m+16的最小值为() m+1 A.8 B.9 C.7 D.3 10.(23-24高一上江西景德镇·期中)南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即己知三角形三边长求三角形 面积的公式：设三角形的三条边长分别为a,b,c,则面积S可由公式S=√p(p-a)(p-b)(p-c求得，其 中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的三边长满足a=6, b+c=8,则此三角形面积的最大值为() 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.√万 B.2W7 C.35 D.4万 二、多选题 11.(24-25高一上江西上饶第一中学期中（多选）己知x,y均为正实数，则() A.F中少的最大值为号 B.若x+y=4,则x2+y2的最大值为8 C.若2+y=1,则x+的最小值为3+25 1 D.若x>1,则x+8的最小值为4N2+1 x-1 12.(24-25高一上江西景德镇期中)柯西不等式(Cauchy-Schwarz Inequality)是一种在数学和物理学中广 泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也 可以用于解决一些数学问题以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数x和y,有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 ②等式条件：当且仅当ad-bc=0时，等号成立 例：已知x+2y=2,由柯西不等式+y)+22x+2,可得(x+yP)号运用柯西不等式，列 断以下正确的选项有() A.若a2+b2=1,则(2a+3b)mx=13 B.若0<a<2, 则2+，2）=3+25 a 2-a)min C.若a+b=4,则Na+1+2b+2)=25 D.若1<a<3,则(a-1+6-2an=v6 13.(23-24高一上江西南昌新民外语学校期中)若正实数a,b满足a+2b=1,则下列说法正确的是() A.1+2有最小值9 B.2°+4的最小值是2√2 a b C.ab有最大值日 D.d+公的最小值是号 14.(23-24高一上江西丰城第九中学期中)若实数m>0,n>0,满足：2m+n=1,以下选项中正确的有 () 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.m:n的最大值为 1 B。4m2+m的最小值为) C品的吸小值为5 D.1+的最小值为3+25 m n 15.(23-24高一上江西九江浔阳区九江一中期中)下列命题中，真命题的是() A.Hx∈R,都有x2-2x+1>0 B.r∈(0，+o),使得x+4=6 C.任意非零实数a、b,都有b+≥2 a b D.若正实数xy满足x+2y=1,则2+≥8 x y 三、填空题 6.2425高上江西部分高中学校已知石+=5，则千+京的最小值为_一二 17.23-24高一上江西南昌青山湖区南昌大学附中期中已知x>0,y>0,且2+1-，若x+2y≥2m恒成 x y 立，则实数m的取值范围为」 18.(23-24高一上江西丰城第九中学期中)已知区间(a,b)是关于x的一元二次不等式mx2-2x+1<0的解集， 则3a+2b的最小值是 19.(23-24高一上江西宜丰中学·期中)下面结论正确的是 ①若x<分则2x+2 的最大值是-1②函数y= x+5 的最小值是2 2x-1 V+4 国函数y=52(xe2的值城是[ ④x>0,y>0且x+y=2,则 3 +二的最小值是3 y+l'r 20.2324高一上江西抚州)已知r>2,y>2,且-2)2-1，不等式x+y之m恒成立，则实数m 4x+y-10 的取值范围是_ 21,2324商一上江西赣州十八县(、区)三十三校期中设川<4，则，+，的最小值为 4-t4+t 四、解答题 22.(24-25高一上江西部分学校·期中)己知正数a,b满足ab=2a+b+2 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求a+2b的最小值； (②求上+2的最小值 a b 23.(24-25高一上江西部分高中学校)已知a≥b>0. (1)比较3a2-2b2与2a2-ab的大小； @成6证的最小台。 (3)求b2 +ab+的最小值. a-b 24.(23-24高一上江西部分学校·期中)随着时代的发展以及社会就业压力的增大，大学生自主创业的人数 逐年增加.大学生小明和几个志同道合的同学一起创办了一个饲料加工厂.己知该工厂每年的固定成本为10 万元，此外每生产1斤饲料的成本为1元，记该工厂每年可以生产x万斤饲料.当0<x<46时，年收入为 100- 400 万元；当x≥46时，年收入为92万元记该工厂的年利润为fx)万元（年利润=年收入-固定成 x+4 本生产成本) (1)写出年利润∫(x)与生产饲料数量x的函数关系式： (2)求年利润的最大值 25.(23-24高一上·江西吉安·期中)如图，正方形ABCD的边长为1，E,F分别是AD和BC边上的点.沿 EF折叠使C与线段AB上的M点重合(M不在端点A,B处)，折叠后CD与AD交于点G. GED (1)证明：△AMG的周长为定值. (2)求△AMG的面积S的最大值. 26.(23-24高一上江西景德镇期中)(1)如图，AB是半圆O的直径，点C在AB上，且AC=a,CB=b. 过点O作AB的垂线，交AB于点F,连接FC,请你判断FC与FO的大小关系，并与基本不等式进行比较； 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 (2)己知a>0,b>0,证明： √ab≥ 11 ab 目目 考点03 二次函数与一元二次方程不等式 一、单选题 1.(24-25高一上江西赣州十八县(、区)二十四校期中)若关于x的不等式x2+2(m-1x+m2-m<0的解 集为，k,且上+上=2，则实数m的值为《) X x2 A.-4 B.-1 C.1 D.4 2.(24-25高一上·江西上饶第一中学期中)已知命题“x∈R,ax2+4x-1<0”是真命题，则实数a的取值范围 是() A.（-0,-4) B.（-0,4 C.[-4,+0 D.[4,+0 3.(24-25高一上江西鹰潭余江区第一中学期中)对于实数x,规定[x)表示不大于x的最大整数，如[π]=3， [-2.1]=-3,那么不等式4[x]2-16x]+7<0成立的一个充分不必要条件是（) A.6 B.x∈[2,3] C.x∈[1,4) D.xe[0,4] 4.(24-25高一上江西部分学校期中)已知集合A={x1≤x≤2}，B={xx2-(a+1)x+a≤0，若“x∈A”是 “x∈B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为() A.(2,3 B.（2,6 C.[2,+o) D.2,+0 5.(23-24高一上·江西新余第六中学.期中)不等式x2-x-b<0的解集是{x2<x<3},则ax2-bx+1<0的 解集是() A.a2<x<3影B.1-1<x<专C倒x<青D.✉g<< 6.2324高一上江西九江浔用区九江一中期中钓已知p:行<1是9：a<x<a+1成立的必吸不充分条件， 则实数a取值范围是() A.（-1,1 B.【-2,- c.【-1,0] D.[0,1 二、多选题 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25高一上江西鹰潭余江区第一中学期中)关于x的不等式ax2+bx+1>0(其中a2+b2≠0)，其解 集可能是() A.0 B.R C.-1,+o0 D.（-1,1 三、填空题 8.(24-25高一上江西部分学校期中)若关于x的不等式mx2-x+m≥0在R上恒成立，则实数m的取值范围 为」 9.2425高一上江西景德镇期中不等式x+x-3引之0的解集为 2x+1 10.(23-24高一上江西景德镇期中)己知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为x-3&x<4,则不等式 cx2-bx+a<0的解集为 四、解答题 11.(24-25高一上江西宜春中学期中)已知函数f(x=2x2-mx+n,不等式f(x≤0的解集[0,5]. (1)求函数∫(x)的解析式： (2)设函数f(x)在[，t+1上的最小值为gt),求gt的表达式及g(t)的最小值. 12.(24-25高一上江西宜春丰城第九中学期中)已知集合A={x x+2<0, B={xx-m<0 x-4 (1)若A∩B=,求实数m的取值范围： (2)若A∩B=A,求实数m的取值范围 13.(24-25高一上江西临川第一中学期中)已知函数f(x=x2-(a+3)x+3a. (1)若不等式f(x<0的解集为0,3)，求a的值； (2)解关于x的不等式fx)>0. 14.(23-24高一上江西新余第六中学期中设函数f(x=ax2+(b-2)x+2(a≠0). (1)若不等式f(x>0的解集为(-1,2)，求a,b的值； (2)若a=1,且fx)>0对任意xe[1,2]恒成立，求b的取值范围. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.(23-24高一上江西宜丰中学.期中)已知关于x的一元二次方程x2-x+2m-3=0. (1)若方程两根之差的绝对值为、√5，试求m的值： (2)若方程两不等实根都小于5，试求m的取值范围。 16.(23-24高一上江西九江浔阳区九江一中.期中)已知关于x的不等式mx2-(m+1)x+m+1)≥0的解集为 D (1)若D=0,求实数m的取值范围： (2)若1，+0)sD,求实数m的取值范围. 17.(23-24高一上江西抚州)已知f(x)=x2-2ax+b(a,beR). (1)若不等式f(x≤0的解集为[-1,2]，求不等式bx2-2ax+1≤0的解集： (2)若b=a2,且对任意的x∈[1,2，都存在x2∈[1,2]，使得f2f2)=1,求实数a的值. 18.(23-24高一上江西南昌第一中学期中已知f(x)=x2-2ax+b(a,b∈R). (1)若不等式f(x)≤0的解集为[-1,2]，求不等式bx2-2ax+1≤0的解集； (2)若b=a2，且对任意的x,∈[2,4]，都存在x2∈[2,4]，使得f(x)f(x2)=1,求实数a的值. 19.(23-24高一上江西南昌第一中学·期中)建筑设计师需要设计如图所示的窗户，现要求满足： ①ABCD是矩形且AB+BC+CD=4m; ②建立如图直角坐标系后，曲线A0D是二次函数y=-x图象的一部分.记边BC的长为m,点O到边BC的 距离为d=f(t)(单位：m). B (1)求函数f)的解析式，并写出其定义域： (②1为何值时，最小，并求号的最小值。 专题02 等式与不等式 3大高频考点概览 考点01 等式与不等式的性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程不等式 地 城 考点01 等式与不等式的性质 一、单选题 1．(24-25高一上·江西南昌第三中学·期中)下列命题:①若，则    ②若，则③若，则    ④若，则其中真命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据不等式的性质以及作差法可判断结果. 【详解】对于①：若，则， 即或，故①错误； 对于②：若，当时，，故②错误； 对于③：若，， 则，故③正确； 对于④：若，， 所以，故④错误； 综上，只有③正确， 故选：A. 2．(24-25高一上·江西鹰潭余江区第一中学·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等式的性质以及定义特殊值可求得结果. 【详解】取，，可知A，B错误； 因为，所以C正确； 取，可知D错误； 故选：C. 3．(23-24高一上·江西南昌青山湖区南昌大学附中·期中)已知某个三角形的两条高长度分别为5和10，该三角形的形状不变，请你构建不等关系，求出它第三条高长度的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的面积为，第三条高为，根据三角形面积公式及高表示出三条边，根据三角形三边关系列出不等式组，求解即可． 【详解】设，边上的高为，边上的高为，边上的高为，的面积为，则， 所以，显然， 因为， 所以，即，解得， 故选：C． 二、多选题 4．(24-25高一上·江西宜春中学·期中)下列四个结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．命题“任意，则”的否定是“存在，则”． D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】CD 【分析】依据不等式性质和命题的判断等相关定义即可. 【详解】A. 取，不满足，故A错误； B. 取符合题意，但，故B错误； C.全称命题的否定：任意改存在，则后改否定，故C正确； D.若 ，则不一定成立，例如； 若，则成立，故D正确. 故选：CD. 5．(24-25高一上·江西部分学校·期中)下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．若，则 C．“”为有理数是“，都为有理数”的充要条件 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】利用赋值法判断AC；根据不等式的性质判断BD 【详解】由，得；由，，得，故“”是“”的充分不必要条件，A正确； 由，得，故，B正确； 当，时，为有理数，故C错误； 由，，得，，故，D正确. 故选：ABD. 6．(24-25高一上·江西赣州十八县（、区）二十四校·期中)使成立的一个充分条件可以是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】AC 【分析】对于AC：根据不等式性质分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：若且，则，可得，故A正确； 对于选项B：若且，例如， 则，即，故B错误； 对于选项C：若且，则，可得，故C正确； 对于选项D：若且，例如， 则，即，故D错误； 故选：AC. 7．(23-24高一上·江西新余第六中学·期中)下列表述正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】BD 【分析】通过反例判断选项A、C；根据不等式的性质及作差法可判断选项B、D. 【详解】对于选项A：令， 则，与矛盾，故选项A错误； 对于选项B：因为 所以. 又因为， 所以，故选项B正确； 对于选项C：当时，无意义，故选项C错误； 对于选项D：因为 所以，即，故选项D正确. 故选：BD. 8．(23-24高一上·江西南昌第二中学·期中)已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质结合特殊值法及作差法一一判定选项即可. 【详解】因为，故A正确； 若，故B、C错误； ，由题意可知，即成立， 故D正确； 故选：AD 9．(23-24高一上·江西部分学校·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，利用作差法判断C. 【详解】对于A：因为，所以，又，由加法性质知，故A正确； 对于B：因为，所以，所以，故B正确； 对于C：因为，因为，所以， 但是的正负号不确定，所以与大小关系不确定，故C错误； 对于D：因为，所以，所以，又，所以， 又，由加法性质知，故D错误； 故选：AB 地 城 考点02 基本不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·江西景德镇·期中)当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求的最小值，然后得到答案. 【详解】由题可知， 所以有 当且仅当，即时，等号成立， 所以恒成立，即 故选：B 2．(23-24高一上·江西新余第六中学·期中)已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件变形可得，结合1的妙用即可求解. 【详解】因为，，所以由变形可得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：D 3．(23-24高一上·江西南昌第三中学·期中)正数满足，则的最大值为（    ） A．8 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】将平方，再结合基本不等式的求解即可. 【详解】解：因为 当，即时，等号成立， 又因为， 所以，时，等号成立. 故选：D. 4．(23-24高一上·江西·期中)若，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，再利用重要不等式计算可得. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 即，故，当且仅当时取等号， 又，所以，故，当且仅当时取等号. 故选：D 5．(23-24高一上·江西南昌青山湖区南昌大学附中·期中)当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】变换，再利用均值不等式计算最值即可. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A 6．(23-24高一上·江西南昌第二中学·期中)图1的弦图是由我国三国时期的数学家赵爽提出的，故称赵爽弦图，利用这个弦图，我们可以给基本不等式一个非常形象的几何解释．数学探究课上，同学们对赵爽弦图从边长、周长、面积、角度等方面进行了探究，得出了很多优美的结论．如图2，某探究小组将赵爽弦图中的直角的直角边延长交另一个直角三角形的斜边为点，记的周长为，面积为，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据可得，进而得到，结合基本不等式计算化简，即可求解. 【详解】设，则， 由，得， 有，即， 由，得， 由，得，即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 7．(23-24高一上·江西抚州·)两次购买同一种物品，可以采用两种不同的策略：第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定．若两次单价不同，从平均价格的角度来看，则下列判断正确的是（    ） A．第一种策略更省钱 B．若降价，第一种策略更省钱；若涨价，第二种策略更省钱 C．第二种策略更省钱 D．若降价，第二种策略更省钱；若涨价，第一种策略更省钱 【答案】A 【分析】根据策略，列出两种的平均价格，利用基本不等式作比较，得出结论. 【详解】设第一次购买的单价为，第二次购买的单价为，且． 第一种策略，设每次购买的钱数为x，则平均价格为， 第二种策略，设每次购买的数量为y，则平均价格为． 因为，且，所以， 所以第一种策略更省钱． 故选：A. 8．(23-24高一上·江西南昌第一中学·期中)若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】首先将原问题转化为，再利用基本不等式的知识求出的最小值即可. 【详解】不等式有解， ， ， ， 当且仅当，等号成立， ，，， 实数的取值范围是． 故选：D． 9．(23-24高一上·江西赣州十八县（、区）二十三校·期中)若，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．7 D．3 【答案】C 【分析】利用配凑法结合基本不等式即可得解. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 10．(23-24高一上·江西景德镇·期中)南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦--秦九韶公式．现有一个三角形的三边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，代入公式，结合基本不等式可得解. 【详解】，，，又由三角形边长关系可得，， 所以，当且仅当即时等号成立， 所以三角形面积的最大值为. 故选：C. 二、多选题 11．(24-25高一上·江西上饶第一中学·期中)（多选）已知，均为正实数，则（   ） A．的最大值为 B．若，则的最大值为8 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据题意结合基本不等式逐项判断即可 【详解】对于A，因为，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为，故A正确； 对于B，因为， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最小值为8，故B不正确； 对于C，因为， 所以， 当且仅当且，即，时，等号成立， 故的最小值为，故C正确； 对于D，因为， 由基本不等式可得，， 当且仅当时，即时，取等号.故D正确； 故选：ACD. 12．(24-25高一上·江西景德镇·期中)柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数和，有. ②等式条件：当且仅当时，等号成立. 例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据柯西不等式，等号成立条件为，对每个选项进行分析计算，判断其正误. 【详解】对于A选项，根据柯西不等式. 因为，所以，即. 所以，则，当且仅当时取等号， A选项正确. 对于B选项，令，，则. 根据柯西不等式. 即.当且仅当取等号， 所以，B选项错误. 对于C选项，根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号.所以，C选项错误. 对于D选项，令，，则. 根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号. 所以，D选项正确. 故选：AD. 13．(23-24高一上·江西南昌新民外语学校·期中)若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值9 B．的最小值是 C．ab有最大值 D．的最小值是 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式求最值后判断． 【详解】，当且仅当时等号成立，A对； ，当且仅当即时等号成立，B对； ，则，当且仅当即时等号成立，C对； 由，则，而， 所以，当且仅当时等号成立，D错. 故选：ABC 14．(23-24高一上·江西丰城第九中学·期中)若实数，，满足：，以下选项中正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为5 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式即可求解A，利用乘“1”法即可求解CD，平方后利用A选项的求解即可来判断B. 【详解】由于数，，所以，故，当且仅当，即时取得等号，故A正确，，当且仅当时取得等号，故B正确， ,当且仅当，即取等号，但是，故，故C错误， ，当且仅当，即时等号成立，故D正确， 故选：ABD 15．(23-24高一上·江西九江浔阳区九江一中·期中)下列命题中，真命题的是（    ） A．，都有 B．，使得 C．任意非零实数、，都有 D．若正实数、满足，则 【答案】BD 【分析】取可判断A选项；解方程，可判断B选项；取，，可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，A错； 对于B选项，由可得，解得，B对； 对于C选项，不妨取，，则，C错； 对于D选项，若正实数、满足， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故，D对. 故选：BD. 三、填空题 16．(24-25高一上·江西部分高中学校·)已知，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用计算判断即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即，又因为， 所以当，时，取得最小值. 故答案为：. 17．(23-24高一上·江西南昌青山湖区南昌大学附中·期中)已知，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】变换，展开利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】， 当且仅当，即，时等号成立，故，解得. 故答案为：. 18．(23-24高一上·江西丰城第九中学·期中)已知区间是关于的一元二次不等式的解集，则的最小值是 . 【答案】 【分析】依题意可得、是关于的一元二次方程的两根且，，利用韦达定理可得且，即可得到，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为区间是关于的一元二次不等式的解集， 所以、是关于的一元二次方程的两根且，， 所以，所以且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 19．(23-24高一上·江西宜丰中学·期中)下面结论正确的是 ． ① 若，则的最大值是       ②函数的最小值是2 ③ 函数（）的值域是 ④，且，则的最小值是3 【答案】①③④ 【分析】①根据，得到，由，利用基本不等式求解判断；②由，利用基本不等式求解判断； ③由，利用二次函数的性质求解判断；④易得，结合“1”的代换，利用基本不等式求解判断. 【详解】解：时，．，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是2，即的最小值是1，从而的最大值是，①正确； ，当且仅当时等号成立，但无实数解，因此等号不能取得，2不是最小值，②错； 时，，， 因为，所以时，，时，，时，． 所以值域是，③正确； ，且，，， 则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是4－1＝3，④正确． 故答案为：①③④ 20．(23-24高一上·江西抚州·)已知，，且，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】设，，则，且， 因此， 当时能取得等号，因此． 故答案为： 21．(23-24高一上·江西赣州十八县（、区）二十三校·期中)设，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由，借助“”的代换将所求式子变形，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为，所以，， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 22．(24-25高一上·江西部分学校·期中)已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用表示得，再代入问题代数式化简，最后根据基本不等式即可求出最值； （2）计算得，再令，再利用基本不等式得到关于的一元二次不等式，解出即可. 【详解】（1）由，得. 因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. （2）由，得，即. 令，则（当且仅当，即时取等号）. 由，得，故. 整理得，解得或. 又由，得（当且仅当，时取等号）， 故的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用换元法并结合基本不等式得到，解出即可. 23．(24-25高一上·江西部分高中学校·)已知． (1)比较与的大小； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）利用作差法再根据判断出的符号即可得出列论； （2）根据基本不等式以及等号成立条件计算可得当时，的最小值为； （3）将表达式变形成再利用基本不等式即可得出当时，的最小值为4. 【详解】（1）因为, 由可得， 所以， 即得. （2）因为， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为； （3） ， 当且仅当，且时，即时，等号成立； 此时的最小值为4. 【点睛】关键点点睛：在求解的最值时关键是通过合理变形配凑成积为定值的形式，再根据等号成立的条件计算可得出其最小值. 24．(23-24高一上·江西部分学校·期中)随着时代的发展以及社会就业压力的增大，大学生自主创业的人数逐年增加.大学生小明和几个志同道合的同学一起创办了一个饲料加工厂.已知该工厂每年的固定成本为10万元，此外每生产1斤饲料的成本为1元，记该工厂每年可以生产x万斤饲料.当时，年收入为万元；当时，年收入为92万元.记该工厂的年利润为万元（年利润=年收入-固定成本-生产成本）. (1)写出年利润与生产饲料数量x的函数关系式； (2)求年利润的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据年利润公式列分段函数解析式即可； （2）结合基本不等式和一元二次函数性质分别求分段函数的最值，比较即可得最大值. 【详解】（1）由题意，当时，； 当时，； 所以； （2）当时，， 当且仅当即时等号成立； 当时，； 因为，所以当时，年利润有最大值为万元. 25．(23-24高一上·江西吉安·期中)如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是AD和BC边上的点．沿EF折叠使C与线段AB上的M点重合（M不在端点A，B处），折叠后CD与AD交于点G． (1)证明：的周长为定值． (2)求的面积S的最大值． 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）设，利用对称性，找到之间的关系，再由相似三角形的性质，利用周长比等于相似比建立关系，得到的周长表达式，化简证明即可； （2）由面积比等于相似比的平方建立关系，得到面积的表达式，消元后利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）设，且，由对称性可得：， 由勾股定理可得： , 又,, 设，的周长为,则, ，. 故的周长为定值2. （2）由（1）问可知：，且 ，， . 当且仅当，即，的面积S取到最大值. 26．(23-24高一上·江西景德镇·期中)（1）如图，是半圆O的直径，点C在上，且，．过点O作的垂线，交于点F，连接．请你判断与的大小关系，并与基本不等式进行比较；    （2）已知，，证明：． 【答案】（1），答案见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）题意可得出，计算，再与基本不等式比较即可得出答案； （2）把不等式当中的替换成，替换成，即可证明. 【详解】（1）在，斜边大于直角边，当在点时，， 所以，而，， 而， 即， 与基本不等式比较可得：   当且仅当时等号成立 (2)， 由已知 ，就可以把不等式当中的替换成，替换成，不等式同样成立. 整理可得，当且仅当时等号成立. 地 城 考点03 二次函数与一元二次方程不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·江西赣州十八县（、区）二十四校·期中)若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以， ， 因为，所以，解得或1（舍去）. 故选：B. 2．(24-25高一上·江西上饶第一中学·期中)已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据参数是否等于零分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式，求解即可. 【详解】由题意，命题“，”是真命题， 当时，不等式，解得，不满足题意； 当时，，解得 综上所述，实数的取值范围是 故选：A. 3．(24-25高一上·江西鹰潭余江区第一中学·期中)对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式得到，故或或，从而得到. 【详解】由，得，解得， 因此或或， 又因为表示不大于x的最大整数，所以， 只有为的真子集，满足要求． 故选：B． 4．(24-25高一上·江西部分学校·期中)已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分不必要条件的定义转化为集合间的基本关系，结合一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，得A是B的真子集. 又，则必有，即，所以. 故选:D. 5．(23-24高一上·江西新余第六中学·期中)不等式的解集是，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次不等式解集求参数，代入目标不等式，应用一元二次不等式的解法求解集. 【详解】由题设是的两个根，则， 所以，即， 故不等式解集为. 故选：B 6．(23-24高一上·江西九江浔阳区九江一中·期中)已知是成立的必要不充分条件，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式不等式解得解集，利用必要不充分条件，建立不等式组，可得答案. 【详解】由不等式，，，等价于，解得， 所以，，由题意可得是的一个真子集， 可得，解得， 当时，；当时，， 综上可得. 故选：C. 二、多选题 7．(24-25高一上·江西鹰潭余江区第一中学·期中)关于x的不等式（其中），其解集可能是（    ） A． B．R C． D． 【答案】BCD 【分析】A选项，一定满足不等式，A错误；B选项，当，时满足要求；C选项，当，时满足要求；D选项，当，时满足要求. 【详解】A选项，当时，，所以解集不可能为，故A错误； B选项，当，时，不等式恒成立，即解集为R，故B正确； C选项，当，时，不等式的解集为，故C正确； D选项，当，，不等式的解集为，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 8．(24-25高一上·江西部分学校·期中)若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】对分和，进行分类讨论. 【详解】①当时，不等式为，不恒成立； ②当时，由二次函数的图象和性质知解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 9．(24-25高一上·江西景德镇·期中)不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将不等式转化为或，再根据集合交集即可求解. 【详解】根据题意原不等式可转化为或， 则即， 则即， 综上可得不等式的解集为. 故答案为： 10．(23-24高一上·江西景德镇·期中)已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据的解集为得到，且，进而根据二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意得的两个根为，，且， ，，则，， 则，即， 即，解得， 则不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 11．(24-25高一上·江西宜春中学·期中)已知函数，不等式的解集． (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）根据不等式解集与二次函数、一元二次方程的关系计算参数即可； （2）利用二次函数的性质分类讨论动区间端点与对称轴的关系可得表达式，再利用二次函数的性质计算最小值即可. 【详解】（1）∵，不等式的解集， ∴0，5为的两个根， ∴， ∴. （2）由（1）知，，其对称轴是， i.当时，易知在 递增， 故， ii．当即时，， iii．当即时，函数在上单调递减，， 综上，， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，则． 12．(24-25高一上·江西宜春丰城第九中学·期中)已知集合， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别解不等式求出集合,再结合数轴表示，求出满足时，参数的取值范围； （2）由（1）得集合，依题得，借助于数轴表示，即可求得参数的取值范围. 【详解】（1）由，可得，即 ,而， 故当时，有，即实数的取值范围为； （2）由（1）已得，，，由可得, 故得，即实数的取值范围. 13．(24-25高一上·江西临川第一中学·期中)已知函数. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)解关于x的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见详解. 【分析】（1）利用韦达定理求解可得； （2）因式分解，根据两根的大小关系分类讨论即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以和是方程的两根， 由韦达定理得，解得， 经检验，满足题意. （2）, 当时，解得或； 当时，解得； 当时，解得或. 所以，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 14．(23-24高一上·江西新余第六中学·期中)设函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式和其对应一元二次方程根的关系确定，解得答案. （2）变换得到，根据均值不等式计算最值得到答案. 【详解】（1）不等式的解集为，则，解得. （2）若，则， 对任意，都有恒成立，即， （当且仅当时等号成立），故， 即. 15．(23-24高一上·江西宜丰中学·期中)已知关于的一元二次方程. (1)若方程两根之差的绝对值为，试求的值； (2)若方程两不等实根都小于5，试求的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用根与系数关系，将方程两根之差的绝对值用含m的代数式表示出来，再列方程解出m即可. （2）将方程转化为二次函数，利用二次函数的图形与性质，根据限制条件列不等式组即可求解. 【详解】（1）若方程两根为，，则，且，， 所以，即， 所以或，经检验满足，故或. （2）令，若方程两不等实根都小于5，则，可得或. 16．(23-24高一上·江西九江浔阳区九江一中·期中)已知关于的不等式的解集为． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据一元二次不等式的恒成立，结合二次函数的性质，可得答案； （2）利用分离参数整理不等式，利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）当时，，显然，故舍去， 则当时有，解得， 即实数的取值范围是． （2） 整理得，因为， 则由分离参数法，得对任意恒成立， 令，则，且， 当且仅当时，等号成立，即， 因此，即实数的取值范围是． 17．(23-24高一上·江西抚州·)已知（）． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若，且对任意的，都存在，使得，求实数a的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集的端点为对应的一元二次方程的根求出参数代入求解即可； （2）对参数分成不同情况，使得等式有解，依次求出参数即可. 【详解】（1）不等式的解集为， 即方程的两根是和2，即，解得， 所以不等式可化为， 即， 所以解集为． （2）因为，所以， 设，， ①当时，此时在单调递增且恒成立， 所以对任意的，都存在，使得， 即有解， 因为，所以，而， 所以，即， 因为，所以，即， 解得或（舍去）； ②当时的最小值为， 令，这时，此时对任意都不成立； ③当时，此时在单调递减且恒成立， 所以对任意的，都存在，使得， 即有解， 而，所以，而， 所以，即 因为，所以，所以 解得（舍去）或． 综上，实数或． 18．(23-24高一上·江西南昌第一中学·期中)已知． (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若，且对任意的，都存在，使得，求实数的值． 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】（1）根据根与系数的关系得到，解得答案. （2）考虑，，三种情况，计算函数的值域，计算得到答案. 【详解】（1）不等式的解集为，即方程的两根是， 因此，解得， 不等式，即，即， 解集为或； （2）因为，所以， 由题意知对任意的，都存在，使得， ①当时，，的取值范围是，即， 对任意的，都存在，使得， 等价于，即，解得，或（舍去）； ②当时，，的最小值为， 令，这时； ③当时，，的取值范围是，即， 对任意的，都存在，使得， 等价于，即，解得（舍去），或． 综上所述：或． 19．(23-24高一上·江西南昌第一中学·期中)建筑设计师需要设计如图所示的窗户，现要求满足： ①是矩形且； ②建立如图直角坐标系后，曲线是二次函数图象的一部分．记边的长为，点到边的距离为（单位：）． (1)求函数的解析式，并写出其定义域； (2)为何值时，最小，并求的最小值． 【答案】(1)，； (2)m时，取最小值，最小值是． 【分析】（1）根据函数过点，得出点的纵坐标，结合的长，即可求解； （2）借助基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以点的横坐标为， 设，将点代入，得，因此点的纵坐标是， 又边的长为， 所以， 由得，，所以定义域为； （2）， 当且仅当即m时，上式取等号， 即m时，取最小值，最小值是． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $