专题01 反比例函数（必备知识+6题型+分层检测）（期中复习讲义）九年级数学上学期鲁教版五四制

专题01 反比例函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 定义与解析式 能准确判断函数关系是否为反比例函数，并能根据条件求出解析式中的待定系数。 基础题。常以选择题形式出现，直接考查定义或求k值。难度低，必须拿分。 2. 图像与性质 能由k的符号判断图像位置，由图像位置判断k的符号；牢记并正确描述“在每个象限内”的增减性。 高频题。选择题、填空题必考。增减性描述是高频失分点（漏掉前提条件）。 3. 系数k的几何意义 深刻理解“从双曲线上任意一点作坐标轴垂线，所围成矩形面积为|k|”这一结论，并会用于求面积或求k值。 拉分题。填空压轴和解答题的核心考点。是区分中等生和优秀生的关键，必考。 4. 待定系数法求解析式 掌握已知图像上一个点的坐标，即可求出反比例函数解析式的方法。 常规题。常作为解答题的第一问出现，为后续综合问题做铺垫。难度低，必须拿分。 5.反比例函数与几何图形结合求面积 能结合K的几何意义和几何图形性质，熟练求解相关图形面积 常作为中档题，在填空、解答题中出现，难度中等 6.反比例函数与不等式结合比较函数值大小 会利用函数图像，准确判断不同自变量下函数值的大小关系 多在选择题、填空题中考查，难度较低，但易因忽略 “在每个象限内” 等条件出错 7. 与一次函数综合 熟练掌握反比例函数与一次函数的概念、图像与性质，能够综合运用数形结合思想，准确求解两函数图像的交点坐标、判断交点个数、比较函数值大小，并解决与之相关的几何图形面积问题。 压轴题。解答题最后一题的固定模式。综合性强，必考。是整张试卷的难度顶峰，重在考查数学思想和综合能力。 8.反比例函数的实际应用（如行程、工程、电学等问题） 能将实际问题转化为反比例函数模型，求解相关实际问题 以解答题形式出现，考查建模能力，难度中等偏上 知识点01 反比例函数的定义 1、定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数． 解读：(1).自变量取值范围：，因变量取值范围：． (2).反比例函数的形式：①；②；③． (3).k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且． (4).理解要点： ①k被称为比例系数。 ②自变量x的取值范围是x ≠ 0的一切实数。因变量y的值也相应地y≠0。 ③反比例关系描述的是“此消彼长”的关系：一个量扩大多少倍，另一个量就缩小多少倍。 2、易错点： (1).比例系数不能为0. (2).变量取值范围：x不能为0 (3).与正比例函数混淆关系混淆 (反比例乘积一定；正比例比值一定) 知识点02 第二部分：图像与性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 对称性 （1）中心对称：图像关于原点O成中心对称。 （2）轴对称：图像关于直线y=x和y=-x对称。 易错点提醒： (1).在描述增减性时候必须加上“在每一象限内”或“在每一支曲线上”。如：“函数y = 6/x，在第一象限内，y随x的增大而减小；在第三象限内，y也随x的增大而减小。” (2).图像的位置只由比例系数k的符号决定，与某个具体函数值的正负无关。y=-4/x(k<0)的图像永远在二、四象限，即使取x=1得到y=-4（负值），这个点也在第四象限。 (3).正确理解：因为x≠0且y≠0，所以双曲线无限接近坐标轴但永不相交。坐标轴是它的“渐近线”。 知识点03：系数k的几何意义以及求面积（核心考点） 1、核心概念： 从反比例函数图像上任意一点P(x,y)是作x轴和y轴的垂线。 ①该点与两垂足、原点形成的矩形OAPB的面积：S（矩形）=|x*y|=|k|。 ②该点与两垂足形成的直角三角形OAP或OBP的面积：S(三角形)= ½|x·y|=|k|/2。 ③已知k的值，求不规则图形的面积（常用“割补法”，即转化为几个基本图形面积的和差）。 2.易错点提醒： ①面积必须是正数。因此一定要用坐标的绝对值相乘，即|-2|×|4|=8，或者直接记住公式是|k|。 ②这个矩形或三角形的一个顶点必须是原点O，另外两个顶点是点P和它在坐标轴上的垂足,从原点出发去找。 ③已经知道面积求K必须考虑两种可能（正数和负数）。 知识点04：待定系数法求解析式 1.核心概念：只需已知图像上一个点的坐标(x₁, y₁)，代入y=k/x即可求出k=x₁*y₁。 2.方法步骤： (1)设：设出反比例函数解析式的一般形式 (k≠0)。 (2)代：将图像上一个已知点的坐标(x,y)代入所设解析式。 (3)求：解关于系数k的方程，求出k的值。 (4)写：将k的值代入所设解析式，写出最终形式。 3、易错点提醒： ①反比例函数图像上的点，横纵坐标均不可能为0。 知识点05：综合应用（与一次函数结合） 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 2求交点坐标： （1）代数法：将两个函数的解析式联立方程组，解得的每一组(x, y)即为一个交点坐标。 （2） 几何意义：交点的个数即为方程组解的组数（0, 1或2个）。 3.比较函数值大小： ①第一步：求交点坐标，并以此划分x的取值范围。 ②第二步：在同一坐标系中画出两函数图像的示意图。 ③第三步：根据图像上下位置关系，判断不同范围内函数值的大小。 4．求几何图形面积： ①通常先求出所有交点坐标。 ②结合k的几何意义和交点坐标，求解相关三角形或四边形的面积。 5、易错点提醒： ①联立y =k/x和y=ax+b得到k/x=ax+b，去分母后化为一元二次方程，解方程时要细心，并注意验证所得x值是否使分母为0。 ②比较函数值大小数形结合。看图像，找出反比例函数图像在一次函数图像上方的部分所对应的x的取值范围。切记是看x的范围！ ③在坐标系中求图形面积（尤其是三角形），用点的坐标计算线段长度时，必须用“右减左”或“上减下”来确保长度为正值，或者直接加上绝对值。切忌用小数减大数导致得到负长。 知识点06 反比例函数的实际应用 1.解题步骤： （1） 审清题意，找到问题中两个变量之间的乘积为定值的关系。 （2） 建立模型：根据“xy=k”设出反比例函数解析式。 （3） 求解模型：利用待定系数法求出解析式。 （4） 回归实际：利用求出的解析式或函数的性质，去解决实际问题（如求值、比较大小、解释现象等）。 2.常见反比例关系举例 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为． 题型一 判断函数关系 解｜题｜技｜巧 1. 看形式：必须能化为y=k/x(k为常数，k ≠ 0) 的标准形式。 2. 等价判断：看两个变量的乘积x · y是否是一个不为零的常数。 【典例1】地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（    ） A．海拔越高，大气压越大 B．图中曲线是反比例函数的图象 C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕 D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系 【典例2】下列函数中：（1）；（2）；（3）；（4），反比例函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】有下列函数：①；②；③ ；④；⑤ ；⑥，其中是的反比例函数的有（　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】某工厂现有原材料100吨，每天平均用去x吨，这批原材料能用y天．关于甲、乙两同学的结论，下列判断正确的是（    ） 甲同学：y与x的关系是； 乙同学：y与x成反比例关系 A．甲、乙的都对 B．甲、乙的都不对 C．只有甲对 D．只有乙对 题型二 求解析式与未知系数 解｜题｜技｜巧 1. 定义法：若告知是反比例函数，则设解析式为 y = k/x，再根据条件列方程求k。 2. 待定系数法：若已知图像上一点 P(a, b)，直接代入 b = k/a，解得 k = a · b。 【典例1】若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（    ） A．2 B． C． D． 【典例2】．若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【典例3】．已知 是反比例函数，则 ． 【典例4】．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 【变式1】．已知函数，当函数值为3时，自变量x的值为（　　） A．﹣2 B．﹣ C．﹣2或﹣ D．﹣2或﹣ 【变式2】．关于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．反比例函数图象经过点 B．当时， C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 【变式3】．已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ． 【变式4】．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为 ． 题型三 利用图像与性质比较大小 解｜题｜技｜巧 1. 定象限：先由k的符号 确定函数图像所在的两个象限。 2. 分象限讨论：务必遵循“在同一象限内，再按增减性比较”的原则。 3. 数形结合：可以在脑中草图，直观判断不同象限点的正负。 【典例1】．在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】．如图是反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ）    A．常数 B．在每个象限内，随的增大而增大 C．若，在图象上，则 D．若在图象上，则也在图象上 【典例3】．对于反比例函数，下列说法中错误的是（    ） A．图象分布在一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【变式1】．在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．已知一次函数与反比例函数，则其图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   题型四 利用k的几何意义求面积（重中之重） 解｜题｜技｜巧 · 面积公式：牢记S矩形 = |k|，S三角形 = |k|/2。 · 转化法：对于复杂图形，通过割补法将其面积转化为上述基本图形面积的和或差。 · 设点法：若点的坐标未知，可设点为(a, k/a)，用a和k表示出相关长度，再根据面积列方程。 【典例1】如图，函数（x＞0）和（x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则△MON的面积可能是（    ） A．0.5． B．1． C．2． D．3.5． 【典例2】．如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．      【典例3】．如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 【变式 1】．下列图形中，阴影部分面积为1的有（   ） 个． 　　　　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式 2】．如图是反比例函数，在轴上方的图像，平行四边形的面积是5，若点在轴上，点在的图像上，点在的图像上，则的值为 ． 【变式 3】．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点，一次函数的图象与轴和轴分别交于，两点，过点作轴于点，连接，，且． (1)直接写出的值以及，的坐标； (2)根据图象直接写出：当时x的取值范围； (3)求的面积． 题型五 一次函数与反比例函数综合 解｜题｜技｜巧 1. 求交点：联立方程y = k/x和y = ax + b，解方程组。解的组数即为交点个数。 2. 解不等式：数形结合，看上下。求k/x > ax + b的解集，就是找双曲线在直线上方时x的取值范围。 3. 求面积： (1)割补法：将所求三角形面积补成或割成梯形或规则三角形的和差。这是最主要的方法。 (2)铅垂高法：S△ = 1/2 × 水平宽 × 铅垂高。 【典例 1】．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为    (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 【变式 1】．如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围： (3)过线段上的动点，作轴的垂线，垂足为点，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． 【变式 2】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 4．如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． (1)求点A，点B的坐标及一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 题型六 反比例函数实际应用题 解｜题｜技｜巧 1. 识别关系：找到题目中“乘积为定值”的两个量。 2. 建立模型：设反比例函数解析式为y = k/x，其中k就是那个定值。 3. 求解验证：代入已知数据求解，并注意自变量通常有实际意义（如x>0）。 【典例 1】．心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示，点B的坐标为、点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)数学老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问老师的安排是否合理？并说明理由． 【典例 2】．为了预防某种流感病毒，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：    (1)写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围； (2)当室内每立方米空气中的含药量达到1毫克及以上时才能起有效的消毒作用，请问本次消毒过程中，有效的消毒作用时长为多少小时？ (3)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 【变式 1】．紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 【变式 2】．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 3．已知点在反比例函数的图象上，则 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围 ． 5．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）． (2)当电阻R为时，求此时的电流I． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则 ． 4．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ． 5．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（    ） A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5 2．在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为 ．    4．如图，，两点在反比例函数的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为 ． 5．如图，一次函数与函数为的图象交于两点．    (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围； (3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 反比例函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 定义与解析式 能准确判断函数关系是否为反比例函数，并能根据条件求出解析式中的待定系数。 基础题。常以选择题形式出现，直接考查定义或求k值。难度低，必须拿分。 2. 图像与性质 能由k的符号判断图像位置，由图像位置判断k的符号；牢记并正确描述“在每个象限内”的增减性。 高频题。选择题、填空题必考。增减性描述是高频失分点（漏掉前提条件）。 3. 系数k的几何意义 深刻理解“从双曲线上任意一点作坐标轴垂线，所围成矩形面积为|k|”这一结论，并会用于求面积或求k值。 拉分题。填空压轴和解答题的核心考点。是区分中等生和优秀生的关键，必考。 4. 待定系数法求解析式 掌握已知图像上一个点的坐标，即可求出反比例函数解析式的方法。 常规题。常作为解答题的第一问出现，为后续综合问题做铺垫。难度低，必须拿分。 5.反比例函数与几何图形结合求面积 能结合K的几何意义和几何图形性质，熟练求解相关图形面积 常作为中档题，在填空、解答题中出现，难度中等 6.反比例函数与不等式结合比较函数值大小 会利用函数图像，准确判断不同自变量下函数值的大小关系 多在选择题、填空题中考查，难度较低，但易因忽略 “在每个象限内” 等条件出错 7. 与一次函数综合 熟练掌握反比例函数与一次函数的概念、图像与性质，能够综合运用数形结合思想，准确求解两函数图像的交点坐标、判断交点个数、比较函数值大小，并解决与之相关的几何图形面积问题。 压轴题。解答题最后一题的固定模式。综合性强，必考。是整张试卷的难度顶峰，重在考查数学思想和综合能力。 8.反比例函数的实际应用（如行程、工程、电学等问题） 能将实际问题转化为反比例函数模型，求解相关实际问题 以解答题形式出现，考查建模能力，难度中等偏上 知识点01 反比例函数的定义 1、定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数． 解读：(1).自变量取值范围：，因变量取值范围：． (2).反比例函数的形式：①；②；③． (3).k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且． (4).理解要点： ①k被称为比例系数。 ②自变量x的取值范围是x ≠ 0的一切实数。因变量y的值也相应地y≠0。 ③反比例关系描述的是“此消彼长”的关系：一个量扩大多少倍，另一个量就缩小多少倍。 2、易错点： (1).比例系数不能为0. (2).变量取值范围：x不能为0 (3).与正比例函数混淆关系混淆 (反比例乘积一定；正比例比值一定) 知识点02 第二部分：图像与性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 对称性 （1）中心对称：图像关于原点O成中心对称。 （2）轴对称：图像关于直线y=x和y=-x对称。 易错点提醒： (1).在描述增减性时候必须加上“在每一象限内”或“在每一支曲线上”。如：“函数y = 6/x，在第一象限内，y随x的增大而减小；在第三象限内，y也随x的增大而减小。” (2).图像的位置只由比例系数k的符号决定，与某个具体函数值的正负无关。y=-4/x(k<0)的图像永远在二、四象限，即使取x=1得到y=-4（负值），这个点也在第四象限。 (3).正确理解：因为x≠0且y≠0，所以双曲线无限接近坐标轴但永不相交。坐标轴是它的“渐近线”。 知识点03：系数k的几何意义以及求面积（核心考点） 1、核心概念： 从反比例函数图像上任意一点P(x,y)是作x轴和y轴的垂线。 ①该点与两垂足、原点形成的矩形OAPB的面积：S（矩形）=|x*y|=|k|。 ②该点与两垂足形成的直角三角形OAP或OBP的面积：S(三角形)= ½|x·y|=|k|/2。 ③已知k的值，求不规则图形的面积（常用“割补法”，即转化为几个基本图形面积的和差）。 2.易错点提醒： ①面积必须是正数。因此一定要用坐标的绝对值相乘，即|-2|×|4|=8，或者直接记住公式是|k|。 ②这个矩形或三角形的一个顶点必须是原点O，另外两个顶点是点P和它在坐标轴上的垂足,从原点出发去找。 ③已经知道面积求K必须考虑两种可能（正数和负数）。 知识点04：待定系数法求解析式 1.核心概念：只需已知图像上一个点的坐标(x₁, y₁)，代入y=k/x即可求出k=x₁*y₁。 2.方法步骤： (1)设：设出反比例函数解析式的一般形式 (k≠0)。 (2)代：将图像上一个已知点的坐标(x,y)代入所设解析式。 (3)求：解关于系数k的方程，求出k的值。 (4)写：将k的值代入所设解析式，写出最终形式。 3、易错点提醒： ①反比例函数图像上的点，横纵坐标均不可能为0。 知识点05：综合应用（与一次函数结合） 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 2求交点坐标： （1）代数法：将两个函数的解析式联立方程组，解得的每一组(x, y)即为一个交点坐标。 （2） 几何意义：交点的个数即为方程组解的组数（0, 1或2个）。 3.比较函数值大小： ①第一步：求交点坐标，并以此划分x的取值范围。 ②第二步：在同一坐标系中画出两函数图像的示意图。 ③第三步：根据图像上下位置关系，判断不同范围内函数值的大小。 4．求几何图形面积： ①通常先求出所有交点坐标。 ②结合k的几何意义和交点坐标，求解相关三角形或四边形的面积。 5、易错点提醒： ①联立y =k/x和y=ax+b得到k/x=ax+b，去分母后化为一元二次方程，解方程时要细心，并注意验证所得x值是否使分母为0。 ②比较函数值大小数形结合。看图像，找出反比例函数图像在一次函数图像上方的部分所对应的x的取值范围。切记是看x的范围！ ③在坐标系中求图形面积（尤其是三角形），用点的坐标计算线段长度时，必须用“右减左”或“上减下”来确保长度为正值，或者直接加上绝对值。切忌用小数减大数导致得到负长。 知识点06 反比例函数的实际应用 1.解题步骤： （1） 审清题意，找到问题中两个变量之间的乘积为定值的关系。 （2） 建立模型：根据“xy=k”设出反比例函数解析式。 （3） 求解模型：利用待定系数法求出解析式。 （4） 回归实际：利用求出的解析式或函数的性质，去解决实际问题（如求值、比较大小、解释现象等）。 2.常见反比例关系举例 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为． 题型一 判断函数关系 解｜题｜技｜巧 1. 看形式：必须能化为y=k/x(k为常数，k ≠ 0) 的标准形式。 2. 等价判断：看两个变量的乘积x · y是否是一个不为零的常数。 【典例1】地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（    ） A．海拔越高，大气压越大 B．图中曲线是反比例函数的图象 C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕 D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系 【答案】D 【分析】根据图象中的数据回答即可． 【详解】解：A．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题意； B．∵图象经过点(2，80)，(4，60)， ∴2×80=160，4×60=240，而160≠240， ∴图中曲线不是反比例函数的图象，该选项不符合题意； C．∵图象经过点 (4，60)， ∴海拔为4千米时，大气压约为60千帕，该选项不符合题意； D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是读懂题意，能正确识图． 【典例2】下列函数中：（1）；（2）；（3）；（4），反比例函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数解析式．熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，是反比例函数，，，不是反比例函数， 故选：A． 【变式1】有下列函数：①；②；③ ；④；⑤ ；⑥，其中是的反比例函数的有（　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，利用反比例函数的定义，一般地，形如，的函数是反比例函数，对每个式子逐一判断即可得出结论． 【详解】解：反比例函数形式为：， 则①是反比例函数，②不是反比例函数，③是反比例函数， ④是反比例函数，⑤不是反比例函数，⑥不是反比例函数， 故①③④是反比例函数， 故选：C． 【变式2】某工厂现有原材料100吨，每天平均用去x吨，这批原材料能用y天．关于甲、乙两同学的结论，下列判断正确的是（    ） 甲同学：y与x的关系是； 乙同学：y与x成反比例关系 A．甲、乙的都对 B．甲、乙的都不对 C．只有甲对 D．只有乙对 【答案】A 【分析】本题主要考查了列关系式、反比例的定义等知识点，掌握反比例函数是自变量与函数值的积为定值的函数成为解题的关键． 先根据题意列出y与x的关系是可判定甲同学的正误；根据反比例函数是自变量与函数值的积为定值的函数可判断乙同学的正误． 【详解】解：根据题意列出y与x的关系是，即甲同学结论正确； 由，则y与x成反比例关系． 所以甲、乙的都对． 故选A． 题型二 求解析式与未知系数 解｜题｜技｜巧 1. 定义法：若告知是反比例函数，则设解析式为 y = k/x，再根据条件列方程求k。 2. 待定系数法：若已知图像上一点 P(a, b)，直接代入 b = k/a，解得 k = a · b。 【典例1】若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】把点代入反比例函数解析式即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点， ∴， 解得， 故选：B 【点睛】此题考查了反比例函数，把点的坐标代入函数解析式准确计算是解题的关键． 【典例2】．若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，将点，，分别代入即可求得的值，就可以判断，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解： ∵点，，在反比例函数的图象上， ， 故选：C． 【典例3】．已知 是反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义列出方程求解． 【详解】解：根据题意，， 解得， 又，即， 所以． 故答案为：． 【典例4】．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 【答案】2或3 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程． 先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， 解得：或． 故答案为：2或3． 【变式1】．已知函数，当函数值为3时，自变量x的值为（　　） A．﹣2 B．﹣ C．﹣2或﹣ D．﹣2或﹣ 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论． 【详解】解：若x＜2，当y=3时，﹣x+1=3， 解得：x=﹣2； 若x≥2，当y=3时，﹣=3， 解得：x=﹣，不合题意舍去； ∴x=﹣2， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的图象上点的坐标特征；根据分段函数进行分段求解是解题的关键． 【变式2】．关于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．反比例函数图象经过点 B．当时， C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象特征，熟悉掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象特征逐一判断即可． 【详解】解：将代入反比例函数表达式中，得，A选项正确，不符合题意； 当时，， 函数在第一象限， ∴ ∴，B选项正确，不符合题意； ∵无解， ∴反比例函数 与函数的图象没有交点，C选项正确，不符合题意； ∵反比例函数图象关于原点中心对称， ∴当点在该反比例函数的图象上时，点，在其图象上， ∴点不在其图象上，D选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式3】．已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解一元二次方程，根据反比例函数的定义可得，然后求解即可，解题的关键是熟记反比例函数的定义：形如的函数叫做反比例函数． 【详解】∵函数是关于的反比例函数， ∴，解得：， 故答案为：． 【变式4】．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，先将点和代入函数解析式得出，，结合题意可得，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴，， 又∵， ∴， 即； 即的值为． 故答案为：． 题型三 利用图像与性质比较大小 解｜题｜技｜巧 1. 定象限：先由k的符号 确定函数图像所在的两个象限。 2. 分象限讨论：务必遵循“在同一象限内，再按增减性比较”的原则。 3. 数形结合：可以在脑中草图，直观判断不同象限点的正负。 【典例1】．在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是掌握反比例函数图象离坐标轴越远，k的绝对值越大． 根据点A和点C的坐标，得出k的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵该反比例函数位于第一象限的图象低于点， ∴， ∵该反比例函数位于第三象限的图象低于点， ∴， ∴， ∴k的值可能是3， 故选：C． 【典例2】．如图是反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ）    A．常数 B．在每个象限内，随的增大而增大 C．若，在图象上，则 D．若在图象上，则也在图象上 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是结合反比例函数的性质以及函数图象逐一分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉掌握反比例函数图象的有关知识是关键．结合函数图象逐一分析四个选项的对错，由此即可得出结论． 【详解】解：A、∵反比例函数y=的图象在第一三象限， ∴， ∴A错误，故本选项不符合题意； B、根据函数图象可得出：在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴B错误，故本选项不符合题意； C、根据函数图象可得出：在第三象限内，，在第一象限内，， ∵，， ∴， ∴C正确，故本选项符合题意； D、由反比例函数的对称性可知： 若在图象上，则在图象上， ∴D错误，故本选项不符合题意． 故选：C． 【典例3】．对于反比例函数，下列说法中错误的是（    ） A．图象分布在一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴图象分布在一、三象限，在每一个象限内，随着增大而减小， ∵， ∴图象与坐标轴没有交点， 若点在它的图象上，则：， ∴点也在它的图象上； 综上，错误的选项B． 故选B． 【变式1】．在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误， 故选：C． 【变式2】．已知一次函数与反比例函数，则其图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数图象与系数的关系．解题的关键在于明确系数与函数图象的关系．当时，可知的图象过一二三象限，的图象过一三象限；当时，可知的图象过一二四象限，的图象过二四象限，进而得出答案． 【详解】解：当时，可知的图象过一二三象限，的图象过一三象限； 当时，可知的图象过一二四象限，的图象过二四象限， ∴与D选项中图象一致， 故选：D． 【变式3】一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可． 【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意； B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意； C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意； D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 题型四 利用k的几何意义求面积（重中之重） 解｜题｜技｜巧 · 面积公式：牢记S矩形 = |k|，S三角形 = |k|/2。 · 转化法：对于复杂图形，通过割补法将其面积转化为上述基本图形面积的和或差。 · 设点法：若点的坐标未知，可设点为(a, k/a)，用a和k表示出相关长度，再根据面积列方程。 【典例1】如图，函数（x＞0）和（x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则△MON的面积可能是（    ） A．0.5． B．1． C．2． D．3.5． 【答案】C 【分析】分别假设点M在和上，即可得出△MON面积可能的值． 【详解】解：∵点M是②区域内一点，且MN⊥x轴于点N， 假设点M落在上， 根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为1， 假设点M落在上， 根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为3， ∴△MON的面积可能是2， 故选C． 【点睛】考查了反比例函数的图象的知识，解题的关键是了解系数k的几何意义． 【典例2】．如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．      【答案】 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，在反比例函数的图像上任意一点作坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数解析式中k的几何意义可知，设，得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵A，B两点在反比例函数的图像上， ∴， 设， ∴，， ∴． 故答案为：． 【典例3】．如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)正比例函数解析式为， (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，求正比例自变量的值： （1）先利用待定系数法求出正比例函数解析式，进而求出m的值即可； （2）延长交x轴于C，设反比例函数解析式为，先证明轴，则，再求出，则，可得，则反比例函数解析式为． 【详解】（1）解：设正比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴正比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：延长交x轴于C，设反比例函数解析式为， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【变式 1】．下列图形中，阴影部分面积为1的有（   ） 个． 　　　　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于．据此逐项分析即可． 【详解】解：左起第一个图．阴影部分面积为 此选项符合题意； 第二个图．阴影部分的面积为 此选项符合题意； 第三个图．阴影部分的面积为 此选项不符合题意； 第四个图．阴影部分的面积为 ，此选项符合题意； 所以正确的个数共有3个． 故选：B． 【变式 2】．如图是反比例函数，在轴上方的图像，平行四边形的面积是5，若点在轴上，点在的图像上，点在的图像上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例数的的几何意义，平行四边形的性质，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形，平行四边形的面积是5，点在的图像上，点在的图像上， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式 3】．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点，一次函数的图象与轴和轴分别交于，两点，过点作轴于点，连接，，且． (1)直接写出的值以及，的坐标； (2)根据图象直接写出：当时x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)，， (2)或 (3)3 【分析】（1）根据反比例函数的几何意义，由，求得的值，继而得出反比例函数与一次函数的解析式，联立解析式求得点的坐标； （2）根据一次函数与反比例函数图象，找到反比例函数在直线上方部分的自变量取值范围即可求解； （3）先根据一次函数解析式，求得点的坐标，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，轴，且反比例函数图象在第一，三象限， ∴， ∴反比例数解析式为，一次函数解析式为： 联立 解得：或 ∴，． ∴，，． （2）∵，，根据反比例函数与一次函数的图象可知： 当时，或 （3）由，令，解得：， ∴点D坐标为，即 ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，解一元二次方程，求直线围成的三角形面积，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键． 题型五 一次函数与反比例函数综合 解｜题｜技｜巧 1. 求交点：联立方程y = k/x和y = ax + b，解方程组。解的组数即为交点个数。 2. 解不等式：数形结合，看上下。求k/x > ax + b的解集，就是找双曲线在直线上方时x的取值范围。 3. 求面积： (1)割补法：将所求三角形面积补成或割成梯形或规则三角形的和差。这是最主要的方法。 (2)铅垂高法：S△ = 1/2 × 水平宽 × 铅垂高。 【典例 1】．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为    (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练地掌握待定系数法是解题的关键． （1）用待定系数法求反比例函数解析式以及一次函数解析式即可． （2）根据函数图像即可求解． 【详解】（1）解：把的坐标代入， 得， 解得， ∴反比例函数的解析式为： 把的坐标代入， 得 ∴的坐标 把，代入， 得 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）∵关于的不等式的解集，即反比例函数的图像在一次函数的图像上方． ∴根据图象，关于的不等式的解集为：或． 【变式 1】．如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围： (3)过线段上的动点，作轴的垂线，垂足为点，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，解二元一次方程组，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）先把、代入得，再代入，解二元一次方程组得，，即可得一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据函数的图象即可求解； （3）设，得，，根据题意列方程，求出，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点， ，解得：， ，解得：， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）解：， ， 由（1）得， 观察图象，得：时，的取值范围为或， 时，的取值范围为或． （3）解：设， 轴， ，， ，解得：， ． 【变式 2】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：，， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：设直线与轴交于点， ∵， ∴当时，， ∴， ∴的面积． 4．如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． (1)求点A，点B的坐标及一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比函数的交点问题： （1）分别把点，点代入，可求出点A，B的坐标，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入中，得：， ∴点A的坐标为， 把点代入中，得：， ∴点B的坐标为， 把，代入中得：， ∴， ∴一次函数的解析式为， （2）解：根据一次函数和反比例函数图象，得： 当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方， ∴的解集为或． 题型六 反比例函数实际应用题 解｜题｜技｜巧 1. 识别关系：找到题目中“乘积为定值”的两个量。 2. 建立模型：设反比例函数解析式为y = k/x，其中k就是那个定值。 3. 求解验证：代入已知数据求解，并注意自变量通常有实际意义（如x>0）。 【典例 1】．心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示，点B的坐标为、点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)数学老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问老师的安排是否合理？并说明理由． 【答案】(1)； (2)不合理，理由见解析． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合在实际问题中的应用，掌握“建模”思想是解题关键． （1）设所在的反比例函数的解析式为，将代入即可求解； （2）求出直线的解析式，分别求出当时，一次函数与反比例函数的自变量的值，即可作出判断． 【详解】（1）解：设所在的反比例函数的解析式为． 由题意知，解得， ∴所在的反比例函数的解析式为． （2）解：不合理．理由如下： 设直线的解析式为 将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 将代入， 得， 解得； 将代入， 得，解得． ， ∴老师的安排不合理． 【典例 2】．为了预防某种流感病毒，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：    (1)写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围； (2)当室内每立方米空气中的含药量达到1毫克及以上时才能起有效的消毒作用，请问本次消毒过程中，有效的消毒作用时长为多少小时？ (3)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 【答案】(1)， (2)有效的消毒作用时长为小时； (3)至少需要经过8小时后，学生才能进入教室 【分析】（1）根据函数图象信息，待定系数法求解析式即可，注意相应的自变量取值范围； （2）计算当时，求反比例函数的值即可； （3）计算当时，求反比例函数的值即可． 【详解】（1）解：当时，， 设正比例函数解析式为：，反比例函数解析式为：， 将分别代入，， 解得：， ∴，； （2）解：当时，，， 解得，， ∴（小时）． ∴有效的消毒作用时长为小时； （3）解：当时，， 解得， ∴至少需要经过8小时后，学生才能进入教室． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式、反比例函数解析式，从函数图象上获取信息，反比例函数图象的实际意义，理解图象信息是解题的关键． 【变式 1】．紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设关系为，将代入求； （2）将代入函数关系式求出的值． 【详解】（1）解：设． 过点， ． 当时，与的关系式为：； （2）将代入上式中得：，． 温度在时，电阻． 在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加， 当时， ， 把代入， 得； 把时代入， 得； 答：当时，电阻不超过． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 【变式 2】．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 【答案】(1) (2) (3)饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃ 【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式即可得出答案； （2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案； （3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案． 【详解】（1）解：设将、代入得 解得 水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为； （2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：依据题意，得：即， 故， 当时， 解得：； （3）由（2），结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次， 到经历286分钟，， 当时， 答：饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 2．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把代入求解即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故选C． 3．已知点在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求值，即可解题． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，当或时，， ∴满足的的取值范围为或， 故答案为：或． 5．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）． (2)当电阻R为时，求此时的电流I． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时I的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴这个反比例函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴此时的电流I为． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 2．如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：C． 3．如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则 ． 【答案】 【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：    ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 4．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：0． 5．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点坐标为 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． （3）解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（    ） A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A作，垂足为F，设，证明，有，根据E为的中点，可得，，进而有，，可得，，则有，问题随之得解． 【详解】如图，过点A作，垂足为F， 设，， ∵轴，， ∴轴，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解． 本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 【详解】当时，， ∴与y轴的交点为； 由于是分式，且当时，，即， ∴与x轴没有交点． ∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个， 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为 ．    【答案】/ 【分析】过点作轴于点，过点作于点，证明，进而根据全等三角形的性质得出，根据点，进而得出，根据点在反比例函数的图象上．列出方程，求得的值，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点，      ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵点的坐标为． ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴ 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，求得点的坐标是解题的关键． 4．如图，，两点在反比例函数的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数和一次函数解析式，坐标与图形，熟练掌握一次函数和的反比例函数的图象与性质是解题的关键． 根据，两点在反比例函数的图象上．求出反比例函数解析式、点的坐标，根据点、、的坐标，分别求出直线、的解析式，根据坐标与图形，分析当时、当时，线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的情况，得出答案即可． 【详解】解：∵，两点在反比例函数的图象上， ∴，反比例函数解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， ∵当时，，，， ∴整点在线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中， ∵，当时，，， ∴整点在线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中， 综上所述，线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为和， 故答案为：和． 5．如图，一次函数与函数为的图象交于两点．    (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围； (3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式； （2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求； （3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入，可得， 解得， 反比例函数解析式为； 在图象上， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：，理由如下： 由（1）可知， 当时，， 此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为， 即满足时，x的取值范围为； （3）解：设点P的横坐标为， 将代入，可得， ． 将代入，可得， ． ， ， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $