黑龙江省佳木斯市第五中学2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

黑龙江省佳木斯五中2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷 一.选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝16m，OB＝12m，那么AB的距离不可能是（　　） A．5m B．15m C．20m D．30m 3．（3分）如图是雨伞在开合过程中某时刻的结构图，AB、AC是伞骨，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，已知点D，E分别是AB，AC的中点，AB＝AC，DM＝EM．弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SSS D．HL 4．（3分）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝5，BD＝3，则△ADE的周长为（　　） A．2 B．6 C．9 D．15 5．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝54°，D是BC边上的中点，连接AD，则∠DAC等于（　　） A．36° B．45° C．54° D．72° 6．（3分）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为（　　） A．540° B．720° C．900° D．1080° 7．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点 8．（3分）如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．∠ABC＝150°，BC的长是8，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　） A． B． C．4 D．8 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是（　　） A．36 B．24 C．20 D．18 10．（3分）如图，在△ABC中，AB＞AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①DE＝BD+CE；②AD＝AE；③△ADE的周长＝AB+AC；④BF＝CF；⑤．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 二.填空题（每题3分，共30分） 11．（3分）在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是　 　 ． 12．（3分）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形ABCDE，其中∠B＝∠E＝102°，∠C＝∠D＝110°，则这个五边形的内角∠A的度数为 　 　 °． 13．（3分）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADC的度数为　 　 ． 14．（3分）如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝ 　 　 ． 15．（3分）定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边有两个交点，这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，AE为BC边上的高线，则DE的长称为BC边上的“中高距”若∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝4，则BC边上的“中高距”为 　 　 ． 16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝15，∠BAC＝120°，DE为线段AC的垂直平分线，交BC于点D，则CD＝　 　 ． 17．（3分）如图，△ABC中，∠B＝∠C，D，E，F分别为边BC，AC，AB上的点，BF＝CD，BD＝CE．若∠A＝40°，则∠EDF＝　 　 °． 18．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E点是AC边的中点，P是AD上的一个动点，连接PE、PC，当PC+PE的值最小时，则∠APE的度数为 　 　 ． 19．（3分）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上向点C运动，同时，点Q在线段DC上从点D向点C运动，已知点P的运动速度是2cm/s．则经过 　 　 s，△BPE与△CQP全等． 20．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点OA1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2023A2023A2024，则点A2024的纵坐标为 　 　 ． 三.解答题（8道小题，共60分） 21．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标； （2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2； （3）在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点，并直接写出点P的坐标 　 　 ． 22．（6分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线PQ交AB于点D，交AC于点E． （1）求证：△ABE是等腰三角形； （2）若AD＝8，△CBE的周长为26，求△ABC的周长． 23．（6分）如图，已知AB＝DC，AB∥CD、E、F是AC上两点，且AF＝CE， （1）△ABE与△CDF是否全等，并说明理由； （2）连接BC，若∠CFD＝80°，∠BCE＝25°，求∠CBE的度数． 24．（6分）如图，已知AB＝AC，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F，DE＝DF．求证：BD＝CD． 25．（8分）如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB＝AC．求证：CD＝2CE． 26．（8分）小聪同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小聪用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得BD＝6cm，CE＝10cm． （1）小聪认为∠BOD与∠C一定相等，你同意他的看法吗？请说明理由； （2）求DE的长． 27．（10分）【模型感知】 （1）如图1，△ABD和△AEC都是等边三角形，求证：BE＝DC； 【模型应用】 （2）如图2，已知∠ABC＝60°，点F在直线BC上，以AF为边作等边三角形AEF，连接BE，求证：AB+BF＝BE； 【类比探究】 （3）在（2）的条件下，当点F运动到射线BC上时，过点E作ED⊥AB于点D，请直接写出线段AB，BF与BD之间存在的数量关系． 28．（10分）已知△ABC在平面直角坐标系内的位置如图，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，OA、OC的长满足关系式（OA﹣4）2+|OC﹣3|＝0． （1）求OA、OC的长； （2）求点B的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 黑龙江省佳木斯五中2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B A D B C D C 一.选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 2．（3分）为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝16m，OB＝12m，那么AB的距离不可能是（　　） A．5m B．15m C．20m D．30m 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得16﹣12＜AB＜16+12，再解即可． 【解答】解：根据三角形的三边关系可得：16﹣12＜AB＜16+12， 即4＜AB＜28， 30m不可能． 故选：D． 3．（3分）如图是雨伞在开合过程中某时刻的结构图，AB、AC是伞骨，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，已知点D，E分别是AB，AC的中点，AB＝AC，DM＝EM．弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SSS D．HL 【答案】C 【分析】根据全等三角形判定的“SSS”定理即可证得△ADM≌△AEM． 【解答】解：∵AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点， ∴AD＝AE， 在△ADM和△AEM中， ． ∴△ADM≌△AEM（SSS）， 故选：C． 4．（3分）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝5，BD＝3，则△ADE的周长为（　　） A．2 B．6 C．9 D．15 【答案】B 【分析】由条件可证明△ADE为等边三角形，且可求得AD＝2，可求得其周长． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°， ∴△ADE为等边三角形， ∵AB＝5，BD＝3， ∴AD＝AB﹣BD＝2， ∴△ADE的周长为6， 故选：B． 5．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝54°，D是BC边上的中点，连接AD，则∠DAC等于（　　） A．36° B．45° C．54° D．72° 【答案】A 【分析】根据等角对等边可得AB＝AC，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠ADC＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答． 【解答】解：∵∠B＝∠C＝54°， ∴AB＝AC， ∵D是BC边上的中点， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝36°， 故选：A． 6．（3分）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为（　　） A．540° B．720° C．900° D．1080° 【答案】D 【分析】先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和． 【解答】解：正多边形的边数为：360°÷45°＝8， ∴这个多边形是正八边形， ∴该多边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°． 故选：D． 7．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点 【答案】B 【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点． 故选：B． 8．（3分）如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．∠ABC＝150°，BC的长是8，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】作CE⊥AB交AB的延长线于E，根据含30°角直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：作CE⊥AB交AB的延长线于E，则CE＝h， ∵∠ABC＝150°， ∴∠CBE＝30°， ∴． 故选：C． 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是（　　） A．36 B．24 C．20 D．18 【答案】D 【分析】过点G作GH⊥AB于点H，由作图可得，AF为∠BAC的平分线，由角平分线的性质可得GH＝CG＝3，再利用三角形的面积公式可得答案． 【解答】解：过点G作GH⊥AB于点H， 由作图可得，AF为∠BAC的平分线， ∵∠C＝90°， ∴GH＝CG＝3， ∴△ABG的面积为18． 故选：D． 10．（3分）如图，在△ABC中，AB＞AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①DE＝BD+CE；②AD＝AE；③△ADE的周长＝AB+AC；④BF＝CF；⑤．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】C 【分析】先由DE∥BC，得∠2＝∠5，∠4＝∠6，结合角平分线的定义，得∠1＝∠2，∠4＝∠3，则由等角对等边，得①；因为AB＞AC，所以②AD≠AE；因为③△ADE的周长＝AD+DE+AE，所以得③；因为AB＞AC，∠ABC≠∠ACB，则④BF≠CF，结合三角形的内角和，列式化简，得⑤．即可作答． 【解答】解：如图： ∵DE∥BC， ∴∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点F， ∴∠1＝∠2，∠4＝∠3， ∴∠5＝∠1，∠6＝∠3， ∴BD＝DF，FE＝CE， ∴DE＝DF+FE＝BD+CE，故①是正确的； ∵AB＞AC，DE∥BC， ∴∠ABC≠∠ACB，∠ADE≠∠AED， ∴AD≠AE，故②是错误的； ∵△ADE的周长＝AD+DF+FE+AE＝AD+BD+CE+AC， ∴△ADE的周长＝AB+AC，故③是正确的； ∵∠ABC≠∠ACB， ∴∠2≠∠4， ∴BF≠CF，故④是错误的； ∵∠A＝180°﹣∠1﹣∠2﹣∠3﹣∠4＝180°﹣2（∠2+∠4），∠BFC＝180°﹣（∠2+∠4）， ∴， ∴， 故⑤正确， 故选：C． 二.填空题（每题3分，共30分） 11．（3分）在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是　（4，1）　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标不同，进而得出答案． 【解答】解：∵点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称， ∴点A的坐标是：（4，1）． 故答案为：（4，1）． 12．（3分）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形ABCDE，其中∠B＝∠E＝102°，∠C＝∠D＝110°，则这个五边形的内角∠A的度数为 　116　 °． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据多边形内角和公式求得五边形ABCDE的内角和为540°，然后由∠A＝540°﹣∠B﹣∠E﹣∠C﹣∠D求解即可． 【解答】解：五边形ABCDE的内角和为180°×（5﹣2）＝540°， 所以∠A＝540°﹣∠B﹣∠E﹣∠C﹣∠D＝540°﹣102°﹣102°﹣110°﹣110°＝116°． 故答案为：116． 13．（3分）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADC的度数为　110°　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC＝110°，由折叠的性质得到∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠BAE＝∠E＝30°，根据三角形的内角和即可得到结论． 【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝110°， 由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD， ∵DE∥AB， ∴∠BAE＝∠E＝30°， ∴∠CAD＝40°， ∴∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°， 故答案为：110°． 14．（3分）如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝ 　58°　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】设∠ABD＝α，∠BAD＝β，利用三角形内角和定理即可求出列出方程求出α与β的值． 【解答】解：设∠ABD＝α，∠BAD＝β ∵AD⊥BD ∴∠ABD+∠BAD＝90°， 即α+β＝90° ∵BD是∠ABC得角平分线， ∴∠ABC＝2∠ABD＝2α， ∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180 ∴2α+β+38°+20°＝180°， ∴联立可得解得： ∴∠BAD＝58° 法二，延长AD交BC于E， ∵∠DAC＝20°，∠C＝38°， ∴∠AEB＝20°+38°＝58°， ∵BD⊥AD， ∴∠BDA＝90°， ∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBE， ∴∠BEA＝∠BAD＝58°， 故答案为：58° 15．（3分）定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边有两个交点，这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，AE为BC边上的高线，则DE的长称为BC边上的“中高距”若∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝4，则BC边上的“中高距”为 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质得CE＝AE＝2，可得，由DE＝CD﹣CE即可求解． 【解答】解：∵AE为BC边上的高线， ∴AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∵∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝4， ∴，AE＝EC＝2， ∴， ∴， ∵AD为BC边上的中线， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝15，∠BAC＝120°，DE为线段AC的垂直平分线，交BC于点D，则CD＝　5　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接AD，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，推出∠BAD＝90°，得到BD＝2AD，进而得出BC＝3CD，即可求出CD的长． 【解答】解：如图，连接AD， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵DE为线段AC的垂直平分线， ∴AD＝CD， ∴∠CAD＝∠C＝30°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝90°， 在Rt△BAD中，∠B＝30°， ∴BD＝2AD， ∴BC＝BD+CD＝2AD+CD＝3CD， ∵BC＝15， ∴CD＝5， 故答案为：5． 17．（3分）如图，△ABC中，∠B＝∠C，D，E，F分别为边BC，AC，AB上的点，BF＝CD，BD＝CE．若∠A＝40°，则∠EDF＝　70　 °． 【答案】见试题解答内容 【分析】由∠B＝∠C，∠A＝40°，可得∠B＝70°，根据已知条件可推出△BDF≌△CED，从而可知∠EDC＝∠DFB，再根据平角的定义及三角形内角和推出∠EDF＝∠B，即可得解． 【解答】解：∵∠A＝40°， ∴， 在△BDF和△CED中， ， ∴△BDF≌△CED（SAS）， ∴∠EDC＝∠DFB， ∴∠EDF＝180°﹣（∠BDF+∠EDC）＝180°﹣（∠BDF+∠DFB）＝∠B＝70°， 故答案为：70． 18．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E点是AC边的中点，P是AD上的一个动点，连接PE、PC，当PC+PE的值最小时，则∠APE的度数为 　60°　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】作点E关于AD的对称点F，然后连接CF，交AD于点H，连接HE，由轴对称的性质及两点之间线段最短可得CF即为PC+PE的最小值，进而由等边三角形的性质可求解． 【解答】解：作点E关于AD的对称点F，然后连接CF，交AD于点H，连接HE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∵AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC，BD＝DC， ∵点E是AC的中点，AD垂直平分EF， ∴点F是AB的中点， ∴CF⊥AB，CF平分∠ACB， ∴∠BCF＝30°， ∴当点P与点H重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时PC+PE为最小值，即为CF的长， ∴∠DHC＝∠FHP＝60°， ∵AD垂直平分EF， ∴FH＝HE， ∴∠FHP＝∠PHE＝60°， 即∠APE＝60°， 故答案为：60°． 19．（3分）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上向点C运动，同时，点Q在线段DC上从点D向点C运动，已知点P的运动速度是2cm/s．则经过 　1或4　 s，△BPE与△CQP全等． 【答案】见试题解答内容 【分析】设P运动的时间为t s，由条件分两种情况，当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，由条件可得到关于t的方程，当△BPE≌△CPQ，则有BP＝PC，同样可得出t的方程，可求出t的值． 【解答】解：分两种情况： ①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP， ∵AB＝20cm，AE＝6cm， ∴EB＝14cm， ∴PC＝14cm， ∵BC＝16cm， ∴BP＝2cm， ∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C运动， ∴t＝2÷2＝1（s）； ②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP， 由题意得：2t＝16﹣2t， 解得：t＝4（s）， 故答案为：1或4． 20．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点OA1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2023A2023A2024，则点A2024的纵坐标为 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，得点A1的纵坐标是2根据以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，得点A2的纵坐标是2×（）2此类推，得点A2024的纵坐标是，得到答案． 【解答】解：∵点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1， ∴∠A1OO1＝90°﹣60°＝30°，OA1＝OA＝2， ∴A1O1OA1＝2×2，点A1纵坐标是2， ∵以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2， ∴∠A2O1O2＝90°﹣60°＝30°，O1A2＝A1O1＝2， ∴A2O2O1A2＝2，点A2的纵坐标是2，即2， ∵以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3， 同理，得点A3的纵坐标是2， 按此规律继续作下去，得：点A2024的纵坐标是2×（）2024，即， 故答案为：． 三.解答题（8道小题，共60分） 21．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标； （2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2； （3）在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点，并直接写出点P的坐标 　（2，0）　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可得答案． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）作点A关于x轴的对称点A1，连接A1B，与x轴交于点P，连接AP，此时点P到A、B两点的距离和最小，即可得出点P的坐标． 【解答】解：（1）∵△ABC与△A1B1C1关于x轴对称， ∴点A1（1，﹣1），B1（4，﹣2），C1（3，﹣4）． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）如图，点P即为所求， 点P的坐标为（2，0）． 故答案为：（2，0）． 22．（6分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线PQ交AB于点D，交AC于点E． （1）求证：△ABE是等腰三角形； （2）若AD＝8，△CBE的周长为26，求△ABC的周长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证； （2）将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得． 【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线PQ交AC于点E， ∴EB＝EA， ∴△ABE是等腰三角形； （2）∵AB的垂直平分线PQ交AC于点E，AD＝8， ∴AB＝2AD＝16， ∵△CBE的周长为26， ∴BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC＝26， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝16+26＝42． 23．（6分）如图，已知AB＝DC，AB∥CD、E、F是AC上两点，且AF＝CE， （1）△ABE与△CDF是否全等，并说明理由； （2）连接BC，若∠CFD＝80°，∠BCE＝25°，求∠CBE的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据SAS证明即可． （2）利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可． 【解答】解：（1）结论：△ABE≌△CDF，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DCF， ∵AF＝CE， ∴AF﹣EF＝CE﹣EF， 即AE＝CF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）由（1）知，△ABE≌△CDF， ∴∠AEB＝∠CFD， ∵∠CFD＝80°， ∴∠AEB＝80°， ∴∠BEC＝180°﹣80°＝100°， ∴∠CBE＝180°﹣∠BEC﹣∠BCE＝180°﹣100°﹣25°＝55°． 24．（6分）如图，已知AB＝AC，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F，DE＝DF．求证：BD＝CD． 【答案】见试题解答内容 【分析】由DE⊥AB，DF⊥AC得∠AED＝∠AFD＝90°，根据“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△ADF，得AE＝AF，而AB＝AC，所以BE＝CF，可证明△BDE≌△CDF，得BD＝CD． 【解答】证明：如图，连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＝∠AFD＝90°， 在Rt△ADE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE＝AF， ∴AB＝AC， ∴AE﹣AB＝AF﹣AC， ∴BE＝CF， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（SAS）， ∴BD＝CD． 25．（8分）如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB＝AC．求证：CD＝2CE． 【答案】见试题解答内容 【分析】延长CE到F，使CE＝EF，连接FB，由△AEC≌△BEF得出对应的边角相等，进而求证△CBF≌△CBD，即可得出结论． 【解答】证明：延长CE到F，使EF＝CE，连接FB． ∵CE是△ABC的中线， ∴AE＝EB， 又∵∠AEC＝∠BEF， ∴△AEC≌△BEF，（SAS） ∴∠A＝∠EBF，AC＝FB． ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠CBD＝∠A+∠ACB＝∠EBF+∠ABC＝∠CBF； ∵CB是△ADC的中线， ∴AB＝BD， 又∵AB＝AC，AC＝FB， ∴FB＝BD， 又CB＝CB， ∴△CBF≌△CBD（SAS）， ∴CD＝CF＝CE+EF＝2CE． 26．（8分）小聪同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小聪用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得BD＝6cm，CE＝10cm． （1）小聪认为∠BOD与∠C一定相等，你同意他的看法吗？请说明理由； （2）求DE的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由垂线的定义得出∠BOC＝∠CEO＝90°，再根据同角的余角相等即可得出结论； （2）证明△BOD≌△OCE（AAS），得出OE＝BD＝6cm，OD＝CE＝10cm，即可得出结论． 【解答】解：（1）我同意小聪的看法，理由如下： 根据题意可知，OB⊥OC，CE⊥OA， ∴∠BOC＝∠CEO＝90° ∴∠BOD+∠COE＝90°，∠C+∠COE＝90°， ∴∠BOD＝∠C； （2）根据题意可知，OB＝OC， 由（1）可知，∠BOD＝∠C， ∵BD⊥OA，CE⊥OA， ∴∠BDO＝∠CEO＝90°， 在△BOD和△OCE中， ， ∴△BOD≌△OCE（AAS）， ∴OE＝BD＝6cm，OD＝CE＝10cm， ∴DE＝OD﹣OE＝10﹣6＝4（cm）， 答：DE的长为4cm． 27．（10分）【模型感知】 （1）如图1，△ABD和△AEC都是等边三角形，求证：BE＝DC； 【模型应用】 （2）如图2，已知∠ABC＝60°，点F在直线BC上，以AF为边作等边三角形AEF，连接BE，求证：AB+BF＝BE； 【类比探究】 （3）在（2）的条件下，当点F运动到射线BC上时，过点E作ED⊥AB于点D，请直接写出线段AB，BF与BD之间存在的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由等边三角形的性质得AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC＝60°．则∠DAC＝∠BAE，再证△ABE≌△ADC（SAS），即可得出结论； （2）在BC上截取BG，使得BG＝BA，连接AG，则△ABG是等边三角形，同（1）可证△ABE≌△AGF（SAS），得BE＝GF，进而得出结论； （3）连接BE，在BC的延长线上截取BT，使得BT＝BA，连接AT．证△ATF≌△ABE（SAS），得TF＝BE，∠ATF＝∠ABE＝60°，再由含30°角的直角三角形的性质得到BDBE，等量代换即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵△ABD和△AEC都是等边三角形， ∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC＝60°． ∴∠BAD+∠BAC＝∠EAC+∠BAC， 即∠DAC＝∠BAE， 在△ABE和△ADC中， ， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴BE＝DC； （2）证明：如图2，在BC上截取BG，使得BG＝BA，连接AG， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABG是等边三角形， 同（1）可证，△ABE≌△AGF（SAS）， ∴BE＝GF， 又∵GF＝GB+BF＝AB+BF， ∴AB+BF＝BE； （3）解：AB﹣BF＝2BD．理由如下： 如图3，在BC的延长线上截取BT，使得BT＝BA，连接AT， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABT是等边三角形， ∴AT＝AB，∠ATB＝∠TAB＝60°， ∵△AEF是等边三角形， ∴AF＝AE，∠FAE＝60°＝∠TAB， ∴∠TAB﹣∠BAF＝∠FAE﹣∠BAF， 即∠TAF＝∠BAE， 在△ATF与△ABE中， ， ∴△ATF≌△ABE（SAS）， ∴TF＝BE，∠ATF＝∠ABE＝60°， ∵ED⊥AB， ∴∠BDE＝90°， ∴∠DEB＝90°﹣∠DBE＝30°， ∴BDBE， ∴TF＝2BD， ∵BT＝AB，BT﹣BF＝TF， ∴AB﹣BF＝2BD． 28．（10分）已知△ABC在平面直角坐标系内的位置如图，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，OA、OC的长满足关系式（OA﹣4）2+|OC﹣3|＝0． （1）求OA、OC的长； （2）求点B的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据非负性得出OA＝4，OC＝3即可； （2）作BD上x轴于点D，根据AAS证明△AOC≌△CDB，进而利用全等三角形的性质解答即可； （3）分三种情况，利用等腰三角形的性质解答即可． 【解答】解：（1）由（OA﹣4）2+|OC﹣3|＝0，可知，OA﹣4＝0，OC﹣3＝0， ∴OA＝4，OC＝3； （2）作BD上x轴于点D， ∵∠OCA+∠ACB+∠BCD＝180°， ∴∠ACO+∠BCD＝90°， ∵∠CBD+∠BCD＝90°， ∴∠ACO＝∠CBD， ∵AC＝BC， 在△AOC与△CDB中， ， ∴△AOC≌△CDB（AAS）， ∴BD＝OC＝3，CD＝OA＝4， ∴OD＝OC+CD＝3+4＝7， ∴B（7，3）； （3）在x轴上存在点P，使△ACP是以AC为腰的等腰三角形；点P的坐标为（﹣3，0）或（﹣2，0）或（8，0）；理由如下： ①当点P在x轴的负半轴时，使AP＝AC，则△ACP为等腰三角形，P的坐标为（﹣3，0）； ②当点P在x轴的负半轴时，使CP＝AC，由勾股定理得，CP＝AC＝5， ∴△ACP为等腰三角形，P的坐标为（﹣2，0）； ③当点P在x轴的正半轴时，使AC＝CP，则△ACP为等腰三角形，CP＝AC＝5， ∴OP＝OC+CP＝3+5＝8， ∴P（8，0）； 综上，在x轴上存在点P，使△ACP是以AC为腰的等腰三角形；点P的坐标为（﹣3，0）或（﹣2，0）或（8，0）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $