1.4利用三角形全等测距离（教学课件）数学鲁教版五四制2024七年级上册

1.4利用三角形全等测距离 第一章 三角形 鲁教版2024（五四制）·七年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解全等三角形的判定方法（如SAS、ASA）及其在实际测量中的应用，掌握通过构造全等三角形间接测量距离的原理。 通过课本展示的案例，培养将几何知识转化为解决实际问题的能力，并学会用逻辑推理验证结论。 在实践活动中（如步测、绳测）强化动手操作与数学思维的结合，提升空间观念和数学建模意识。 知识回顾 1.全等三角形基本判定定理 简称 全称 所需条件 SSS 边边边 三边对应相等 SAS 边角边 两边及其夹角对应相等 ASA 角边角 两角及其夹边对应相等 AAS 角角边 两角和其中一角的对边对应相等 2.全等三角形的性质 基本性质：对应边相等，对应角相等 相关线段性质：对应角的平分线相等、​对应中线相等、对应高相等​​ ​​​ 新课引入 在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望(如图)。为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，在可利用的资源有限的情况下，思考： 1. 如何利用现有物品制作简易测量工具？ 2. 有哪些几何原理可以应用于此情境？ 3. 全等三角形知识如何帮助解决这个问题？ 4 一名战士想出来这样一个办法:如图，他面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部;然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上;接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离。 新课引入 （1）按照这名战士的方法，找出教室或操场上与你距 离相等的两个点，并通过测量加以验证。 （2）你能解释其中的道理吗？ 合作探究 原理发现 1. 战士的眼睛、帽檐两点构成固定视角，所以∠ABC=∠ABD； 2. 战士站的笔直，所以∠BAC=∠BAD=90°； 3. 战士的身高不变，所以AB = AB； 4. 需要证明：到碉堡的距离AD等于步测距离AC； A B C D 实际问题 数学问题 转化 到碉堡的距离 步测距离 合作探究 原理发现 A B C D 依据ASA全等条件证明距离相等 证明：在△ABD和△ABC中 ∠ABC=∠ABD（已知） AB = AB （公共边） ∠BAC=∠BAD（已知） 所以△ABD△ABC（ASA） 所以AD = AC（到碉堡的距离等于步测距离） ） 到碉堡的距离 步测距离 新知讲授 判定条件 ■ ：案例中两次视角相等，即两个角对应相等。这是全等判定的重要因素。 ■ ：战士身高在两次测量中不变，为公共边，保证了边相等。边相等 ■ 角再相等 ：战士与地面垂直，形成的直角相等。角相等 构造步骤 ①确定已知角度和边： 明确两次视角和战士身高。 ②构建全等三角形： 根据ASA判定，利用已知条件构造全等。 ③得出距离关系： 由全等性质，对应边相等得到可测距离。 ASA判定构造 方法小结 构造全等三角形方法对比 调整姿态法 延长线法 垂直法 相同点 不同点 利用角度和边相等构造 战士测距案例适用 延长线段构造全等 测量池塘距离适用 借助垂直关系构造 测量高楼高度适用 目的是构造三角形 利用全等性质求距离 构造方式不同 适用场景有别 典例分析 例1 敌军在河北岸Q处，如图,我军指战员在南岸O处调整好帽子，使视线PQ擦帽沿瞄准敌营Q处，然后后退至B点，使视线AB对准O点，测得BO距离后下令炮击． 已知，，，点、在共线 问：我军能命中目标吗？请说明理由． 解：我军能命中目标．理由如下： 由题意可知，， 所以． 又因为，， 所以． 在和中， ，，， 所以， 所以， 故按照BO的距离炮轰德军时，炮弹恰好落入德军Q处，即法军能命中目标． 合作探究 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量A，B两点间的距离．但绳子不够长，一位叔叔帮她出了这样一个主意： 先在地上取一个可以直接到达 A 点和 B 点的点C， 连接 AC 并延长到 D，使 CD＝CA； 连接 BC 并延长到 E，使 CE＝CB； 连接 DE 并测量出它的长度，DE 的长度就是 A，B 两点间的距离． 你能说明其中的道理吗 合作探究 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量A，B两点间的距离．但绳子不够长，一位叔叔帮她出了这样一个主意： 先在地上取一个可以直接到达 A 点和 B 点的点C， 连接 AC 并延长到 D，使 CD＝CA； 连接 BC 并延长到 E，使 CE＝CB； 连接 DE 并测量出它的长度，DE 的长度就是 A，B 两点间的距离． 你能说明其中的道理吗 证明：在△ABC与△DEC中， AC ＝ DC， ∠ACB＝∠DCE， BC ＝ EC， 所以△ABC ≌ △DEC(SAS)． 所以 AB ＝ DE． 这是小丽的想法，你能说明理由么 典例分析 例2 如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度． 解：∵和的夹角为， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴ ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：教学楼的高度为． 随堂练习 1.小刚站在河边 A 点，正北方 B 点有电线塔。他想知道 AB 距离，向正西走 20 步到 C 树，再走 20 步到 D 点，左转 90°直行，到 E 点时 B、C、E 共线，此时走了 74 步，每步约 0.5 米。问小刚通过此方法估算 A 到 B 距离的做法是否合理，并说明理由。 解：小刚的做法合理，理由如下： 由题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴小刚的做法合理， 故答案为：合理； 随堂练习 解：， ． 在和中， ∴， , , 2.如图，要测量池塘两岸M，N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点D再画出的垂线，使点E与A，C在一条直线上．若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m． ． 故答案为：13． 13 由垂线的定义可得，结合，，即可证出，利用全等三角形的性质可得出． 随堂练习 3.户外休闲是当下人们热衷的一种休闲方式，周末乐乐与爸爸妈妈在公园游玩，荡了秋千，乐乐坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． （2）解：由题意得，， ∵， ∴，， ∴ ． ∴爸爸是在距离地面的地方接住乐乐的． (1)与全等吗？请说明理由； (2)爸爸是在距离地面多高的地方接住乐乐的？ (1)解：与全等 ∵， ∴ ， ∴， ∵， ， ∴； 随堂练习 4．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示， (1)求证：； (2)已知，请你帮小明求出砌墙砖块的厚 度α的大小和墙的高（每块砖的厚度都为）． （1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， 由题意知， ∴ ∴， 在和中， ∴； (2)∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴．  本题考查了全等三角形的判定和性质。 测量步骤梳理 利用三角形全等测距离 课堂小结 确定构造方法：观察问题中的条件，如角度相等、边相等、垂直关系等，以此为依据确定构造方法。 找出全等条件：明确所构造的全等三角形需要满足的条件，如ASA、SAS等判定定理所需的条件。 转化思想价值 在几何测量中，将不可测距离转化为可测距离，如利用全等三角形测距离。 把复杂的问题转化为熟悉的、容易解决的问题，降低解题难度。 得出可测距离：利用全等三角形对应边相等的性质，将不可测距离转化为可测距离。 感谢聆听! $