2025年山东省潍坊市中考数学试卷

2025年山东省潍坊市中考数学试卷 一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分。每小题的四个选项中只有一项正确） 1．（4分）实数4的相反数是（　　） A．﹣4 B．4 C．2 D． 2．（4分）某物体的三视图如图所示，则该物体可能是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）若一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实根，则c的值为（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 4．（4分）计算的结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D． 5．（4分）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：A→C→B，路程为l甲．乙：A→D→E→F→B，路程为l乙．丙：A→G→H→B，路程为l丙． 下列关系正确的是（　　） A．l甲＞l乙＞l丙 B．l乙＞l甲＞l丙 C．l甲＞l丙＞l乙 D．l甲＝l乙＞l丙 6．（4分）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分。每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分） （多选）7．（5分）下列命题的逆命题为真命题的是（　　） A．若a2＝b2，则a＝b B．若|a|＞|b|，则a3＞b3 C．三角形的中位线平行于第三边 D．等腰三角形的两个底角相等 （多选）8．（5分）如图，一次函数y＝k1x+b经过点A（0，4），与x轴交于点B，与正比例函数y＝k2x交于点P（1，2），则下列结论正确的是（　　） A．k1﹣k2＞0 B．P为AB的中点 C．方程k1x+b＝k2x的解是x＝2 D．当x＜1时，k1x+b＞k2x （多选）9．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，∠B＝60°，，点P在边BC、CD上运动（不含B，D），过点P作PE⊥AB，垂足为点E．设BE的长度为x，△APE的面积为y，则下列结论正确的是（　　） A．边BC的长为6 B．P在BC上时， C．P在CD上时， D．y随x的增大而增大 （多选）10．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数值y的部分对应值如表． x … ﹣1 0 1 2 … y … m c 2 2 … 下列说法正确的是（　　） A．若c≤0，则函数图象的开口向上 B．关于x的方程ax2+bx+c＝m的两个根是﹣1和4 C．点（a，c）在一次函数y＝2x+2的图象上 D．代数式bc的最大值为 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分。只写最后结果） 11．（4分）计算：（﹣2）0﹣3﹣1＝　 　 ． 12．（4分）如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为 　 　 ． 13．（4分）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上．将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′恰好落在边DC上；将△ADB′沿AB′折叠，点D的对应点D′恰好落在AE上．若∠C＝α，则∠CB′E＝ 　 　 ．（用含α的式子表示） 14．（4分）如图1，点A1（x1，y1）是函数图象上任意一点，过A1向y轴作垂线交y轴于点B1，向x轴作垂线交x轴于点C1，矩形A1B1OC1的周长L1＝2（A1B1+A1C1），当时，L1有最小值4；如图2，点A2（x2，y2）是函数图象上任意一点，同样作矩形A2B2OC2，它的周长，同理得L2的最小值为；…；点An（xn，yn）是函数为正整数）图象上任意一点，作矩形AnBnO∁n，它的周长为Ln，则Ln的最小值为 　 　 ． 四、解答题（共8小题，共90分。写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（9分）（1）先化简，再求值：x（5x﹣8y）﹣4（x﹣y）2，其中x，y满足x+2y＝0． （2）解方程组：． 16．（10分）如图，已知菱形ABCD的顶点在方格纸的格点上，其中A，B，C的坐标分别为（0，1），（﹣2，4），（﹣4，1）．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． （1）画出平面直角坐标系，并写出对称中心G的坐标和点B的对应点B'的坐标； （2）将菱形ABCD平移，使点C的对应点为点B，画出平移后的菱形． 17．（10分）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元． （1）求A型、B型两种机器人的单价； （2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 18．（12分）如图，在△ABC中，点D，E，G分别是边AB，AC，BC的中点，DE与AG相交于点F，连接CF，AG＝AC．证明： （1）； （2）△ADF≌△CFE． 19．（12分）为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下． 【数据收集】 试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm） 56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60． 【数据整理】 把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用h表示株高，40cm≤h≤60cm） 组别 类型 A （40≤h＜44） B （44≤h＜48） C （48≤h＜52） D （52≤h＜56） E （56≤h＜60） 试验田玉米株频数 4 8 13 11 2 对照田玉米株频数 7 5 6 14 8 （1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由． 【数据描述】 根据频数分布表分别制作试验田频数分布直方图和对照田扇形统计图． （2）补全试验田频数分布直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数； （3）已知此生长期的玉米株高h满足48cm≤h＜56cm为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可） 【数据分析】 对收集的数据进行分析，得出的统计量如表： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 试验田 49.5 51 49.73 15.10 对照田 52 52 50.28 40.05 （4）根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况． 20．（12分）图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为50米的⊙O，其上的某个座舱可视作⊙O上的点A，座舱距离地面的最低高度BC为10米，地面l上的观察点D到点C的距离DC为80米，平面示意图如图2所示． （1）当视线DA与⊙O相切时，求点A处的座舱到地面的距离． （2）已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳．点A处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：tan36.87°，sin66.87°≈0.92，cos66.87°≈0.39．1.73，π≈3.14） 21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx（a＜0）与正比例函数y＝kx的图象都经过点A（3，3），点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点C，交x轴于点D． （1）若点A为该二次函数的顶点， ①求二次函数的表达式； ②求线段PC长度的最大值． （2）若该二次函数与x轴的一交点为B（m，0），且m＞4，求a的取值范围． 22．（13分）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技﹣﹣黄金比例》（如图1）就是用黄金分割比作为主题设计的． 【阅读观察】 材料1：黄金分割点的定义 如图2，若线段AB上的点C满足，则点C称作线段AB的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为Φ，Φ与φ互为倒数． 材料2：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图2中线段AB的黄金分割点C） 方法1：如图3， ①过点B作l⊥AB； ②在直线l上截取，连接AD； ③在DA上截取DE＝DB； ④在AB上截取AC＝AE． 点C即为所求． 方法2：如图4， ①以AB为边作正方形ABED；②取AD中点F，连接BF； ③以点F为圆心，FB为半径作圆弧，与DA的延长线交于点H； ④以AH为边在AB一侧作正方形AHGC，GC交AB于点C，可得． 点C即为所求． 【思考探究】 （1）说明图3中； （2）用不同于（1）的方法，说明图4中． 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： ①作⊙O的两条互相垂直的半径OA和OM，取OM的中点N，连接AN； ②作∠ONA的平分线，交OA于点K； ③过点K作OA的垂线，交⊙O于点B，E，连接AB，AE； ④截取BC＝BA，CD＝CB，连接BC，CD，DE． 五边形ABCDE即为所求． （3）若OA＝2，根据以上作法，证明；AB2＝φ2•BE2． 2025年山东省潍坊市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A． B D B D C 二．多选题（共4小题） 题号 7 8 9 10 答案 AD BD AC BCD 一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分。每小题的四个选项中只有一项正确） 1．（4分）实数4的相反数是（　　） A．﹣4 B．4 C．2 D． 【解析】解：4的相反数是﹣4． 故选：A． 2．（4分）某物体的三视图如图所示，则该物体可能是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：∵主视图和左视图相同，均为两层，上层的矩形较宽，下层的矩形较窄，故选项A、C不符合题意； ∴俯视图是一个正方形，正方形的内部是一个圆，故几何体的底层是一个圆柱，故选项D不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 3．（4分）若一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实根，则c的值为（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 【解析】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4c＝0， 解得c＝1． 故选：D． 4．（4分）计算的结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D． 【解析】解：原式 ＝﹣1， 故选：B． 5．（4分）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：A→C→B，路程为l甲． 乙：A→D→E→F→B，路程为l乙． 丙：A→G→H→B，路程为l丙． 下列关系正确的是（　　） A．l甲＞l乙＞l丙 B．l乙＞l甲＞l丙 C．l甲＞l丙＞l乙 D．l甲＝l乙＞l丙 【解析】解：在图丙中，延长AG，BH交于点P，如图所示： 设AB＝a， 在图甲中， ∵∠A＝∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC＝AB＝a， ∴甲所行走的路程l甲＝AC+BC＝2a， 在图乙中，AE+BE＝AB＝a ∵∠A＝∠AED＝∠FEB＝∠B＝90°， ∴△DAE和△FEB都是等边三角形， ∴AD＝DE＝AE，DF＝FB＝EB， ∴乙所行走的路程l乙＝AD+DE+DF+FB＝2（AE+BE）＝2a； 在图丙种， ∴∠A＝∠B＝60°， ∴AP＝AB＝a， 根据三角形三边之间的关系得：GH＜PG+PH， ∴AG+GH+HB＜AG+GH+PG+PH＝PA+PB＝2a， ∴丙所行走的路程l丙＝AG+GH+HB＜2a， ∴l甲＝l乙＞l丙， 故选：D． 6．（4分）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：画树状图为： 共有8种等可能的结果，其中相邻两个方格所涂颜色不同的结果数为2， 所以相邻两个方格所涂颜色不同的概率． 故选：C． 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分。每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分） （多选）7．（5分）下列命题的逆命题为真命题的是（　　） A．若a2＝b2，则a＝b B．若|a|＞|b|，则a3＞b3 C．三角形的中位线平行于第三边 D．等腰三角形的两个底角相等 【解析】解：A、若a＝b，则a2＝b2，正确，故A符合题意； B、如果a3＞b3，那么|a|不一定大于|b|，例如：a＝﹣1，b＝﹣3，满足a3＞b3，但是|a|＜|b|，故B不符合题意； C、平行线于三角形一边的线段不一定是三角形的中位线，故C不符合题意； D、有两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，故D符合题意． 故选：AD． （多选）8．（5分）如图，一次函数y＝k1x+b经过点A（0，4），与x轴交于点B，与正比例函数y＝k2x交于点P（1，2），则下列结论正确的是（　　） A．k1﹣k2＞0 B．P为AB的中点 C．方程k1x+b＝k2x的解是x＝2 D．当x＜1时，k1x+b＞k2x 【解析】解：把P（1，2）代入y＝k2x得k2＝2， 把A（0，4），P（1，2）分别代入y＝k1x+b得， 解得， ∴一次函数y＝k1x+b解析式为y＝﹣2x+4， 当y＝0时，﹣2x+4＝0， 解得x＝2， ∴B（2，0）， ∵k1＝﹣2，k2＝2， ∴k1﹣k2＝2﹣（﹣2）＝4＞0，所以A选项不符合题意； ∵A（0，4），B（2，0），P（1，2）， ∴点P为AB的中点，所以B选项符合题意； ∵一次函数y＝k1x+b与正比例函数y＝k2x交于点P（1，2）， ∴方程k1x+b＝k2x的解是x＝1，所以C选项不符合题意； 当x＜1时，k1x+b＞k2x，所以，D选项符合题意． 故选：BD． （多选）9．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，∠B＝60°，，点P在边BC、CD上运动（不含B，D），过点P作PE⊥AB，垂足为点E．设BE的长度为x，△APE的面积为y，则下列结论正确的是（　　） A．边BC的长为6 B．P在BC上时， C．P在CD上时， D．y随x的增大而增大 【解析】解：作CF⊥AB于点F， ∵AB∥CD，∠BAD＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF为矩形， ∴， ∴BF＝AF＝3， 在Rt△BFC中，，故A正确； 当点P在BC上时， ∵PE⊥AB，∠B＝60°，AB＝6，BE＝x， ∴AE＝AB﹣BE＝6﹣x，， ∴，故B错误； 当点P在CD上时， 则， ∴，故C正确； 当时，y随着x的增大而减小，故D错误； 故选：AC． （多选）10．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数值y的部分对应值如表． x … ﹣1 0 1 2 … y … m c 2 2 … 下列说法正确的是（　　） A．若c≤0，则函数图象的开口向上 B．关于x的方程ax2+bx+c＝m的两个根是﹣1和4 C．点（a，c）在一次函数y＝2x+2的图象上 D．代数式bc的最大值为 【解析】解：把（1，2），（2，2）代入y＝ax2+bx+c， 得：， 解得：， ∴y＝ax2﹣3ax+2a+2， ∴抛物线的对称轴为直线， 当c≤0时，2+2a≤0， ∴a≤﹣1， ∴抛物线的开口向下，故A选项错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴x＝﹣1与x＝4的函数值相同，均为m， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝m的两个根是﹣1和4，故B选项正确； ∵c＝2+2a， ∴（a，c）为（a，2a+2）， ∴（a，c）在直线y＝2x+2上，故C选项正确； ∵， ∴当时，代数式bc的最大值为；故D选项正确； 故选：BCD． 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分。只写最后结果） 11．（4分）计算：（﹣2）0﹣3﹣1＝　　 ． 【解析】解：（﹣2）0﹣3﹣1 ＝1 ， 故答案为：． 12．（4分）如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为 　8π　 ． 【解析】解：∵母线l与高AO的夹角为30°，母线l长为4， ∴圆锥的底面圆的半径r4＝2， ∴圆锥侧面展开图的面积＝πrl＝π×2×4＝8π． 故答案为：8π． 13．（4分）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上．将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′恰好落在边DC上；将△ADB′沿AB′折叠，点D的对应点D′恰好落在AE上．若∠C＝α，则∠CB′E＝ 　　 ．（用含α的式子表示） 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝α， ∴∠BAD＝∠C＝α，BC∥AD，CD∥AB， ∵点E在边BC上．将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′恰好落在边DC上， ∴∠AB′E＝∠B＝180°﹣∠BAD＝180°﹣α，∠B′AE＝∠BAE， ∵将△ADB′沿AB′折叠，点D的对应点D′恰好落在AE上， ∴∠B′AD＝∠B′AE＝∠BAE∠BAD， ∴∠BAB′＝∠BAD﹣∠B′AD＝α， ∵∠CB′E+∠AB′E+∠BAB′＝180°， ∴∠CB′E+180°﹣α180°， ∴∠CB′E， 故答案为：． 14．（4分）如图1，点A1（x1，y1）是函数图象上任意一点，过A1向y轴作垂线交y轴于点B1，向x轴作垂线交x轴于点C1，矩形A1B1OC1的周长L1＝2（A1B1+A1C1），当时，L1有最小值4；如图2，点A2（x2，y2）是函数图象上任意一点，同样作矩形A2B2OC2，它的周长，同理得L2的最小值为；…；点An（xn，yn）是函数为正整数）图象上任意一点，作矩形AnBnO∁n，它的周长为Ln，则Ln的最小值为 　　 ． 【解析】解：由题意得，当时，L1有最小值； ，当时，L2有最小值； ，当时，L3有最小值； …； ，当时，Ln有最小值， 故答案为：． 四、解答题（共8小题，共90分。写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（9分）（1）先化简，再求值：x（5x﹣8y）﹣4（x﹣y）2，其中x，y满足x+2y＝0． （2）解方程组：． 【解析】解：（1）x（5x﹣8y）﹣4（x﹣y）2 ＝5x2﹣8xy﹣4（x2﹣2xy+y2） ＝5x2﹣8xy﹣4x2+8xy﹣4y2 ＝x2﹣4y2， 因为x+2y＝0， 所以x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝0×（x﹣2y）＝0． （2）， 由①，得 x＝y+2，③ 将③代入②，得： 2（y+2）+3y＝﹣1， 解得 y＝﹣1， 将 y＝﹣1代入③， 得x＝1， 所以 16．（10分）如图，已知菱形ABCD的顶点在方格纸的格点上，其中A，B，C的坐标分别为（0，1），（﹣2，4），（﹣4，1）．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． （1）画出平面直角坐标系，并写出对称中心G的坐标和点B的对应点B'的坐标； （2）将菱形ABCD平移，使点C的对应点为点B，画出平移后的菱形． 【解析】解：（1）平面直角坐标系如图所示， 对称中心G的坐标是，点B的对应点B'的坐标是 （2，﹣5）； （2）画出平移后的菱形，如图所示． 17．（10分）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元． （1）求A型、B型两种机器人的单价； （2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【解析】解：（1）设A型机器人的单价为x万元，则B型机器人的单价为（x﹣3）万元， 根据题意得：， 解得：x＝9， 经检验，x＝9是所列方程的解，且符合题意， ∴x﹣3＝9﹣3＝6（万元）． 答：A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为6万元； （2）设配备A型机器人y台，则配备B型机器人（10﹣y）台， 根据题意得：9y+6（10﹣y）≤70， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y可以为1，2，3， ∴共有3种配备方案， 方案1：配备A型机器人1台，B型机器人9台； 方案2：配备A型机器人2台，B型机器人8台； 方案3：配备A型机器人3台，B型机器人7台． 18．（12分）如图，在△ABC中，点D，E，G分别是边AB，AC，BC的中点，DE与AG相交于点F，连接CF，AG＝AC．证明： （1）； （2）△ADF≌△CFE． 【解析】证明：（1）∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵点G是BC的中点，DE与AG相交于点F， ∴， ∴． （2）∵AD＝BD，AE＝CEAC，BG＝GC，DE∥BC，且DE与AG相交于点F， ∴1， ∴AF＝GFAG， ∴DFBGGC，FEGC， ∴DF＝FE， ∵AG＝AC， ∴AGAC， ∴AF＝CE， ∵∠AFE＝∠AGC，∠AEF＝∠ACG，且∠AGC＝∠ACG， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴∠AFD＝180°﹣∠AFE＝180°﹣∠AEF＝∠CEF， 在△ADF和△CFE中， ， ∴△ADF≌△CFE（SAS）． 19．（12分）为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下． 【数据收集】 试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm） 56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60． 【数据整理】 把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用h表示株高，40cm≤h≤60cm） 组别 类型 A （40≤h＜44） B （44≤h＜48） C （48≤h＜52） D （52≤h＜56） E （56≤h＜60） 试验田玉米株频数 4 8 13 11 2 对照田玉米株频数 7 5 6 14 8 （1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由． 【数据描述】 根据频数分布表分别制作试验田频数分布直方图和对照田扇形统计图． （2）补全试验田频数分布直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数； （3）已知此生长期的玉米株高h满足48cm≤h＜56cm为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可） 【数据分析】 对收集的数据进行分析，得出的统计量如表： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 试验田 49.5 51 49.73 15.10 对照田 52 52 50.28 40.05 （4）根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况． 【解析】解：（1）不赞同，理由：样本中数据的个数是40，数据的最大值与最小值之差是20．若组距为4，可以分成5组是合适的．若分成10组，则组距为2，不仅繁琐，且会使某些组的频数为0，容易相近的数据分散到其它组，不能正确显示数据分布的特征和规律； （2）补全“试验田”频数分布直方图如下： “对照田”的玉米株高扇形统计图中，D组对应的圆心角为360°×35%＝126°； （3）试验田中长势良好的玉米株数为15+11＝26（株），占比65%； 对照田中长势良好数占比为35%+15%＝50%； 所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田中长势良好的玉米株数占比； （4）从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内；从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中，整体长势试验田好于对照田． 20．（12分）图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为50米的⊙O，其上的某个座舱可视作⊙O上的点A，座舱距离地面的最低高度BC为10米，地面l上的观察点D到点C的距离DC为80米，平面示意图如图2所示． （1）当视线DA与⊙O相切时，求点A处的座舱到地面的距离． （2）已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳．点A处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：tan36.87°，sin66.87°≈0.92，cos66.87°≈0.39．1.73，π≈3.14） 【解析】解：（1）如图，连接OA，OD，作AE⊥CD，垂足为E， 根据题意可知，OC＝OB+BC＝50+10＝60（米）， ∵在△ODC中，DC＝80米，OC⊥DC， 即∠OCD＝90°， ∴（米）， ∴在Rt△ODC中，， ∴∠ODC≈36.87°， ∵DA与⊙O相切， ∴OA⊥AD， ∴∠OAD＝90°， ∵在Rt△OAD中，OA＝50米， ∴， ∴∠ODA＝30°， ∴）， ∴∠ADE＝∠ODA+∠ODC＝30°+36.87°＝66.87°， ∴在Rt△ADE中，AE＝AD•sin∠ADE＝50sin66.87°＝500.92＝≈79.6（米）， 答：点A处的座舱到地面的距离约为79.6米； （2）过点A作AF∥CD，交⊙O于点F，延长CO，交AF于点H，连接OF， 不妨设CH＝85 米， ∵OC⊥CD， ∴OH⊥AF， ∴OH＝CH﹣OB﹣BC＝85﹣50﹣10＝25（米）， ∵OA＝50 米， ∴， ∴∠AOH＝60°， ∵OH⊥AF， ∴∠AOF＝120°， ∴最佳观赏风景的时间为（分钟）， 且的长米）， ∴座舱经过的的长约为104.7米， 答：该座舱中乘客最佳观赏风景的时长为10分钟，这段时间内该座舱经过的圆弧的长约为104.7米． 21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx（a＜0）与正比例函数y＝kx的图象都经过点A（3，3），点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点C，交x轴于点D． （1）若点A为该二次函数的顶点， ①求二次函数的表达式； ②求线段PC长度的最大值． （2）若该二次函数与x轴的一交点为B（m，0），且m＞4，求a的取值范围． 【解析】解：（1）①∵A（3，3）为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； ②因为正比例函数y＝kx经过点A（3，3）， ∴3k＝3， ∴k＝1， ∴正比例函数表达式为y＝x， 设OD＝t（0≤t≤3），则CD＝t，PD， ∴PC＝PD﹣CD ， ∴当t时，线段PC的长度取得最大值； （2）∵二次函数y＝ax2+bx经过点A（3，3）， ∴9a+3b＝3，即b＝1﹣3a， 令ax2+bx＝0， 解得x1＝0，， ∵二次函数与x轴的一个交点为B（m，0），m＞4， ∴m， ∴， ∵a＜0， ∴b＞﹣4a， ∴1﹣3a＞﹣4a，a＞﹣1， ∴a的取值范围是﹣1＜a＜0． 22．（13分）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技﹣﹣黄金比例》（如图1）就是用黄金分割比作为主题设计的． 【阅读观察】 材料1：黄金分割点的定义 如图2，若线段AB上的点C满足，则点C称作线段AB的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为Φ，Φ与φ互为倒数． 材料2：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图2中线段AB的黄金分割点C） 方法1：如图3， ①过点B作l⊥AB； ②在直线l上截取，连接AD； ③在DA上截取DE＝DB； ④在AB上截取AC＝AE． 点C即为所求． 方法2：如图4， ①以AB为边作正方形ABED；②取AD中点F，连接BF； ③以点F为圆心，FB为半径作圆弧，与DA的延长线交于点H； ④以AH为边在AB一侧作正方形AHGC，GC交AB于点C，可得． 点C即为所求． 【思考探究】 （1）说明图3中； （2）用不同于（1）的方法，说明图4中． 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： ①作⊙O的两条互相垂直的半径OA和OM，取OM的中点N，连接AN； ②作∠ONA的平分线，交OA于点K； ③过点K作OA的垂线，交⊙O于点B，E，连接AB，AE； ④截取BC＝BA，CD＝CB，连接BC，CD，DE． 五边形ABCDE即为所求． （3）若OA＝2，根据以上作法，证明；AB2＝φ2•BE2． 【解析】（1）解：设BD＝a，则AB＝2a， 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得， ∴AE＝AD﹣DE＝AD﹣BD＝（5﹣1）a， ∴， ∴； （2）解：延长GC交DE于点M， 在Rt△BAF中，根据勾股定理，得AB2＝BF2﹣AF2， ∴AB2＝（BF+AF）（BF﹣AF）， ∵BF＝FH，FA＝FD， ∴BF+AF＝FH+FD＝HD，BF﹣AF＝FH﹣AF＝AH＝HG， ∴AB2＝HD•HG ∴S正方形ABED＝S矩形BGMD， ∴S矩形CBEM＝S正方形ABGC， ∴CB•BE＝AC2，即CB•AB＝AC2 ∴； （3）证明：∵半径OA＝2， ∴ON＝1，， 过点K作KG⊥AN于点G， ∵NK平分∠ONA， ∴OK＝KG， ∴△NOK≌△NGK（HL）， ∴NO＝NG， ∴， 在Rt△KGA 中，KG2+AG2＝KA2， 设OK＝x，则， 解得， ∴， 连接OB，在Rt△BKO中，BK2＝OB2﹣OK2， ∴， 在Rt△BKA中，AB2＝BK2+AK2， ∴， 根据垂径定理，得BE＝2BK， ∴， ∵， ∴， ∴AB2＝φ2•BE2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $