精品解析：海南省海口市海南中学2024-2025学年高一上学期新生能力综合测试夏令营模拟测试数学试题

海南省海口市海南中学2024-2025学年高一上学期新生能力综合测试夏令营模拟测试数学试题 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将考生条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若满足约束条件，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域后，利用的几何意义计算即可得. 【详解】实数满足，作出可行域如图： 由可得， 即的几何意义为的截距的， 则该直线截距取最大值时，有最小值， 此时直线过点， 联立，解得，即， 则. 故选：D. 2. 方程的实根的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】令，原方程化为，则，根据完全立方公式得到，从而求出、，即可求出的值，再求出的值，即可判断. 【详解】令，则， 所以原方程化为，所以， 即， 所以， 即，所以， 所以、是方程的两根， 解得或，解得或， 所以或， 解得或或或， 所以方程的实根为或或或共个. 故选：D 3. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，……设第层有个球，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，所以，然后利用裂项相消求和法可求得结果. 【详解】由题意可得， 所以， 所以 . 故选：D 4. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件确定随机试验的样本空间中的样本点的个数，再求事件所拨数字大于所包含的样本点的个数，利用古典概型概率公式求其概率． 【详解】依题意得所拨数字共有种可能，即样本空间中共含个样本点， 要使所拨数字大于，则： ①上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于，有种; ②上珠拨是十位档或个位档，则再随机选择两个档位必有千位档，有种, 则所拨数字大于1000的概率为. 故选：D. 5. 如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】作关于轴的对称点，作关于的对称点，连接交轴于，交于，有，即此时周长最小，求出点坐标，可得直线方程，与联立求出点坐标，令可得点坐标. 【详解】作关于轴的对称点， 作关于的对称点， 连接交轴于，交于，所以， 此时周长最小，即， 由，直线方程为，所以，解得， 所以，可得直线方程为，即， 由，解得，所以， 令可，所以. 故选：C. 6. 如图所示，已知三角形为直角三角形，为圆切线，为切点，，则和面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OC,过点B作于M.利用几何关系证明出，得到，即可求解. 【详解】如图,连接OC,过点B作于M. ∵BC是⊙O的切线,OC为半径,∴,即. ∵DE是⊙O的直径, . 又∵，∴. ∵∴ ∴∴. 故选：B. 7. 如图，在中，，，P为内一点，分别连接.当时，的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用图形旋转，即以B为旋转中心，将顺时针旋转，得到，结合三角形全等以及正三角形的知识，将转化为线段的长求解，即可得答案. 【详解】以B为旋转中心，将顺时针旋转，得到如图示， 则≌，， ，则为正三角形， ，而， 故，则， ， 故在同一条直线上； 连接，由于≌，， 故， ，， 故为正三角形， ， 又，， 而，， ， 故， ， 故选：D 8. 若，则称是关于x，y的方程的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（ ） A. ，方程有无限组整数解 B. ，方程有且只有两组整数解 C. ，方程至少有一组整数解 D. ，方程至多有有限组整数解 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合整数的分解形式转化为求解方程组的整数解的情况即可. 【详解】选项A，当时，由得， 解得， ，都是方程的整数解， 故，方程有无限组整数解. A项判断正确； 选项B，当时，由， 由，则，， 又， 由与，仅有这种整数分解的方法， 所以（舍），或； 解得 或，故方程有且仅有两组整数解， 即，方程有且只有两组整数解，故B项判断正确； 选项C，当时，由，，，， 仅有这种整数分解的方法，又， 所以（舍），或（舍）， 或①，或②； 方程组①消得，，，无整数解； 方程组②消得，，此方程无解； 故当时，方程无整数解，所以选项C判断不正确； 选项D，若关于x，y的方程不存在整数解， 则满足至多有有限组整数解； 若关于x，y的方程存在整数解． 由，则， ，整数至多有有限组分解方法，可设所有分解形式为， 由， 得， 消得，，， 对于的每一个确定取值，此关于的二次方程最多有个整数解， 即方程组至多有组整数解； 故，方程至多有组整数解，故D项判断正确. 故选：C. 9. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，很多代数公理、定理都可以根据这一原理实现证明，也称为“无字证明”．如图，是圆的直径，点为圆心，点是线段上的一点，且．过点作垂直于的半弦，连接，过点作垂直于点，则根据该图形我们可以完成的无字证明有：（ ） ① ② ③ ④ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件结合圆的有关性质、直角三角形射影定理用m，n表示出相关线段长即可判断作答. 【详解】在给定的图中没有表示的几何量，即①③不能根据给定图形完成无字证明； 对于②，，，由直角三角形射影定理得， 则，由于圆上任意弦的长度不大于直径，即， 于是得，即，②能完成无字证明； 对于④，因，，由直角三角形射影定理得， ，又，那么， ④能完成无字证明. 故选：D 10. 在如图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有24种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是（ ） A. 110 B. 111 C. 112 D. 113 【答案】C 【解析】 【分析】法一：利用列举法写出所有的可能结果，即可求解. 法二：观察可知：第一列的数十位数字均为1，第二列的数十位数字均为2，第三列的数十位数字均为3，第四列的数十位数字均为4，故要使每行和每列均恰有一个方格被选中，且选中方格中的4个数之和的最大值，只需使其个位数字和最大即可.再横向比较每行的个位数字大小即可求解. 【详解】法一：每种选法可标记为分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为： (11，22，33，44)，(11，22，34，43)，(11，22，33，44)，(11，22，34，42)，(11，24，33，43)，(11，24，33，42)， (12，21，33，44)，(12，21，34，43)，(12，22，31，44)，(12，22，34，40)，(12，24，31，43)，(12，24，33，40)， (13，21，33，44)，(13，21，34，42)，(13，22，31，44 )，(13，22，34，40)，(13，24，31，42)，(13，24，33，40)， (15，21，33，43)，(15，21，33，42)，(15，22，31，43 )，(15，22，33，40)，(15，22，31，42)，(15，22，33，40)， 所以选中的方格中，的4个数之和最大，为. 法二：观察可知：第一列的数十位数字均为1，第二列的数十位数字均为2，第三列的数十位数字均为3，第四列的数十位数字均为4，故要使每行和每列均恰有一个方格被选中，且选中方格中的4个数之和的最大值，只需使其个位数字和最大即可. 再横向观察可发现：最后一行的个位数中5最大，故最后一行选15；第二行的个位数中3最大，故第二行选33；观察剩余的第一行和第三行可知，第一行选21，第三行选43. 综上，选中方格中的4个数之和的最大值是. 故选：C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. 在实数范围内因式分解： ①________ ②________ ③________ 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】根据已知因式，适当配凑，提出公因式，即可分解. 【详解】① . ② . ③因为， 设， 即， 比较多项式两边同类项的系数可得，解得， 故. 故答案为：；；. 12. 已知，则分式__________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】变形给定的等式，再代入计算即得. 【详解】由，得， 所以. 故答案为： 13. 如图，正方形OABC的顶点A、C分别在y、x轴上，点坐标为，将四边形AEDO翻折至，点在边BC上，FO与AB相交于点，，反比例函数过点且与BC相交于点，则的长为_____________________. 【答案】1 【解析】 【分析】如图，由对称图形的特征可得，根据题意和梯形的面积公式、中点公式可得，进而可得，求出CD，利用相似三角形的性质求得，即，由求得，即可求解. 【详解】如图，取DE的中点，连接，则， 连接，交DE于，则， 设，则， 因为，所以，即， 解得，所以，则， 设，则，解得， 即为CB的中点，故. 是梯形的中位线，， 因为关于对称，且，所以四边形为平行四边形， 则，所以. 由，得，即，解得， 所以，得，而点在函数图象上， 故，则，所以，即， 所以. 故答案为：1 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用面积之比和中点坐标公式求出点的坐标，进而求得的坐标，结合相似三角形的性质可得即为所求. 14. 已知直线过抛物线的焦点，且与交于A，B两点.过A，B两点分别作的切线，设两条切线交于点，线段AB的中点为.若，则_______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意求出抛物线焦点，联立直线和抛物线，再结合导数的几何意义解出两直线方程，求出两点坐标，最后求出距离即可. 【详解】因为抛物线的焦点在直线上， 所以，所以抛物线， 当时，直线为， 联立，解得， 解得或， 不妨设， 所以线段AB的中点为， 因为，所以， 所以， 所以直线AM：， 直线BM：， 联立直线AM，BM方程可得 解得， 所以，得到. 故答案为：4. 三、解答题：本大题共5小题，共54分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等式 （1）若均为正整数，求的值； （2）设，分别是分式中的取（>>2）时所对应的值，试比较的大小，说明理由． 【答案】（1）或者 （2） ，理由如下：根据题条件可知，， ∵，∴， 设，， ∵，∴，∴， ∵，， ∴，，即， 则有：， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，结论得证． 【解析】 【分析】（1）由等式可得，结合均为正整数即可求解， （2）根据不等式的性质，结合作差法即可比较. 【小问1详解】 ①由得：，即， ②∵为正整数，，∴可知y只能为1或者2， ∴当时，，当时，，即的值为：或者； 【小问2详解】 略 16. 已知函数 （1）若的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式. （参考公式：若，有，当且仅当时，等号成立.） 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 由函数， 因为的解集为，可得，解得， 所以，则， 因为，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的取值范围为. 【小问2详解】 由且，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆的长. （1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆底部米的点处，测角仪高为米，从点测得点的仰角为，求灯杆的高度.（用含，，的代数式表示） （2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义.如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆放在灯杆前，测得其影长为1米，再将木杆沿着方向移动1.8米至的位置，此时测得其影长为3米，求灯杆的高度. 【答案】（1）米 （2）3.8米. 【解析】 【分析】（1）利用在中，可得； （2）由得，由得，从而求出，可得答案. 【小问1详解】 如图： 由题意得：米，米，，， 在中，（米）， 米， 灯杆的高度为米； 【小问2详解】 由题意得：米，米， ， ，， ，， ，， ，， ，米， ，米，灯杆的高度为3.8米. 18. 如图，四边形内接于，为直径，和交于点E，． （1）求的度数； （2）过B作的平行线，交于F，试判断线段，，之间满足的等量关系，并说明理由； （3）在（2）条件下过E，F分别作，的垂线，垂足分别为G，H，连接，交于M，若,，求的半径． 【答案】（1）45° （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据直线圆心角的性质，结合弦相等以及圆周角的性质，可得答案； （2）由题意，根据半角模型构造旋转，将所求的三个线段，转化到同一个三角形中，利用勾股定理，可得答案. （3）由题意，利用（2）的结论，转化成面积之间关系，根据割补法，转化规则图形的面积等量关系，结合题目条件，转化线段关系，可得答案. 【小问1详解】 如图1， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 线段，，之间满足的等量关系为：．理由如下： 如图2，设，， ∵， ∴， 又， ∴， 过B作，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； 【小问3详解】 如图3，延长交于K， 由（2）知， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍去），． ∴， ∴， ∴的半径为， 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于两点，与一次函数相交于点和点. （1）求点三点的坐标； （2）点是抛物线上的一动点且在直线的上方，过点作轴垂线交直线于点，当点运动到什么位置时，线段的长度最大？求出此时点的坐标和线段的最大值； （3）将抛物线的图像向下平移得到新的抛物线，直线与抛物线交于两点，满足，在抛物线上有且仅有三个点使得的面积均为定值，求出定值及的坐标. 【答案】（1） （2）当运动到横坐标为时，此时最大，最大值为，， （3）定值为， 【解析】 【分析】（1）令抛物线解析式中，解方程可求出点的坐标，联立一次函数解析式和二次函数解析可求得点的坐标， （2）根据题意设，则，求得，然后根据二次函数的性质可求得其最大值和点的坐标， （3）先求出的长，根据求得的长，联立新抛物线与，根据的长确定新抛物线解析式，进而根据有且仅有三个点使得的面积均为定值，求得切点的坐标，根据一次函数的平移求得另外两个点的坐标，根据三角形的面积公式可求出的值. 【小问1详解】 由，得或， 所以， 由，得或， 所以 【小问2详解】 根据题意设，则， 所以， 所以当时，取得最大值为， 当时，， 所以 【小问3详解】 因为，所以， 因为，所以， 设向下平移个单位，得到新的抛物线， 则抛物线的解析式为， 由，得， 得，设的横坐标分别为，则 ， 如图，过点分别作轴的平行线，交于点 因为与轴的夹角为，平行于轴， 所以为等腰直角三角形， 因为，所以，即， 因为， 所以，解得， 所以抛物线的解析式为， 因为抛物线上有且仅有三个点使得的面积均为定值， 设为与抛物线唯一的交点，则由，得 ，即， 由，得， 所以， 则可化为，即， ，得， 所以，即， 因为向下平移个单位得到， 所以向下平移个单位得到， 则与抛物线交于， 由，解得或， 所以， 如图，过作轴的平行线，交直线于，作于， 因为与轴的夹角为， 所以与轴的夹角为， 所以，则为等腰直角三角形， 因为， 所以， 因为， 所以 【点睛】关键点点睛：此题考查一次函数和二次函数的综合应用，考查抛物线与直线的交点问题，考查二次函数的最值问题，考查函数图象平移问题，考查利用勾股定理求两点间的距离，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合的思想解题，考查计算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省海口市海南中学2024-2025学年高一上学期新生能力综合测试夏令营模拟测试数学试题 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将考生条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若满足约束条件，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2. 方程的实根的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，……设第层有个球，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图所示，已知三角形为直角三角形，为圆切线，为切点，，则和面积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，P为内一点，分别连接.当时，的值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 若，则称是关于x，y的方程的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（ ） A. ，方程有无限组整数解 B. ，方程有且只有两组整数解 C. ，方程至少有一组整数解 D. ，方程至多有有限组整数解 9. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，很多代数公理、定理都可以根据这一原理实现证明，也称为“无字证明”．如图，是圆的直径，点为圆心，点是线段上的一点，且．过点作垂直于的半弦，连接，过点作垂直于点，则根据该图形我们可以完成的无字证明有：（ ） ① ② ③ ④ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 10. 在如图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有24种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是（ ） A. 110 B. 111 C. 112 D. 113 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. 在实数范围内因式分解： ①________ ②________ ③________ 12. 已知，则分式__________． 13. 如图，正方形OABC的顶点A、C分别在y、x轴上，点坐标为，将四边形AEDO翻折至，点在边BC上，FO与AB相交于点，，反比例函数过点且与BC相交于点，则的长为_____________________. 14. 已知直线过抛物线的焦点，且与交于A，B两点.过A，B两点分别作的切线，设两条切线交于点，线段AB的中点为.若，则_______. 三、解答题：本大题共5小题，共54分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等式 （1）若均为正整数，求的值； （2）设，分别是分式中的取（>>2）时所对应的值，试比较的大小，说明理由． 16. 已知函数 （1）若的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式. （参考公式：若，有，当且仅当时，等号成立.） 17. 我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆的长. （1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆底部米的点处，测角仪高为米，从点测得点的仰角为，求灯杆的高度.（用含，，的代数式表示） （2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义.如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆放在灯杆前，测得其影长为1米，再将木杆沿着方向移动1.8米至的位置，此时测得其影长为3米，求灯杆的高度. 18. 如图，四边形内接于，为直径，和交于点E，． （1）求的度数； （2）过B作的平行线，交于F，试判断线段，，之间满足的等量关系，并说明理由； （3）在（2）条件下过E，F分别作，的垂线，垂足分别为G，H，连接，交于M，若,，求的半径． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于两点，与一次函数相交于点和点. （1）求点三点的坐标； （2）点是抛物线上的一动点且在直线的上方，过点作轴垂线交直线于点，当点运动到什么位置时，线段的长度最大？求出此时点的坐标和线段的最大值； （3）将抛物线的图像向下平移得到新的抛物线，直线与抛物线交于两点，满足，在抛物线上有且仅有三个点使得的面积均为定值，求出定值及的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $