精品解析：上海市南洋模范中学2025-2026学年高三上学期初态考数学试卷

2025-2026学年上海市南洋模范中学 高三年级上学期初态考数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 若复数满足：，则_______． 【答案】5. 【解析】 【分析】 由复数的运算可得，再求其模即可. 【详解】解：由于，所以， . 故答案为：5. 【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数模的运算，属基础题. 2. 若展开式系数之和为32，则展开式中含项的系数为_________． 【答案】15 【解析】 【分析】由题意求出，利用二项展开式的通项即可求得答案. 【详解】由题意，，解得， 则的展开式的通项为：， 使，解得. 则展开式中含项的系数为. 故答案为：15. 3. 已知集合，，若，则实数的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】由可得出或，并验证是否成立，由此可求得实数的值. 【详解】集合，，，则或，解得或. 当时，，则，合乎题意； 当时，，则，不合乎题意. 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用交集的运算结果求参数，考查计算能力，属于基础题. 4. 函数的最大值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】借助辅助角公式计算即可得. 【详解】，其中， 由，故的最大值为5. 故答案为：5. 5. 若事件与事件相互独立，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用对立事件概率公式和独立事件乘法公式求得，再利用对立事件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故答案为： 6. 有4名男生，5名女生，全排成一行，则甲不在中间也不在两端的排法种数的是___________. 【答案】241920 【解析】 【分析】先排甲再排没有限制条件的另外8人，按照分步乘法计数原理计算. 【详解】先排甲有种不同的排法，再排其余8人，有种不同的排法， 根据分步乘法计数原理，不同的排法共有种． 故答案为：. 7. 有一根长为hcm，底面半径为rcm的圆柱形铁管，用一段铁丝在该圆柱的侧面上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，若铁丝长度的最小值为40cm，则圆柱侧面积的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将圆柱侧面展开可知铁丝长度的最小值等于直角边分别为h，的直角三角形的斜边长，由此可以列出等式，并通过基本不等式计算出侧面积的取值范围. 【详解】若铁丝长度的最小值为40cm，则， 所以，所以侧面积为， 所以圆柱侧面积的最大值为． 故答案为: 8. 已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据模长公式和二次函数的性质计算出，然后建立直角坐标系，用坐标法表示出，最后根据二次函数的性质得出答案. 【详解】设，则 ， 当且仅当时等号成立，又的最小值为， 所以，又，则， 以点为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设点，其中，且、，，， 所以，当且仅当时，取最小值． 故答案为： 9. 抛物线()的焦点为，准线为，､是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P，设､，把MN用a、b表示，在中用余弦定理把AB表示出来，就可以表示出并求最值. 【详解】过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P， 设､，如图所示，根据抛物线的定义， 可知､， 在梯形中，有， 在中，， 又∵，∴， ∴，故的最大值是. 故答案为：1. 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算． 10. 已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】令，得到，问题转化为直线与的图象只有一个交点，分与两种情况，画出函数图象，数形结合得到答案. 【详解】令，则方程等价为，显然， 当时，若，， 若，由得：，即，作出的图象如图： 若，则直线与的图象只有一个交点，满足条件， 若，要使直线与的图象只有一个交点， 则只需当时，直线与的图象没有交点， 即此时，即需，所以，解得：， 综上，或，即实数的取值范围是． 故答案为： 11. 如图所示，半径为1的圆内接于正方形，点是圆上的一个动点，点与关于直线成轴对称，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可求解. 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系， 故，，设，，则， 因，所以，即， 因此， 又因点是圆上的一个动点，所以，因此， 故，因此的取值范围为. 故答案为：. 12. 在长方体中，，，M为棱BC的中点，动点P满足，则点P的轨迹与长方体的侧面的交线长等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出图形，由角的关系得到边的关系，然后再在平面内建系，求出P的轨迹方程，确定点P的轨迹与长方体的面的交线，进而求得交线长. 【详解】如下图所示： 当P在面内时，面，面； 又，在与中，∵，则， ∴，则，即. 在平面中，以DC所在直线为x轴，以DC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则，， 设，由，得， 整理得：，即. ∴点P的轨迹是以F(5，0)为圆心，半径为4的圆. 设圆F与面的交点为E､M，作EK垂直x轴于点K，如图， 则； ∴； 故点P的轨迹与长方体的面的交线为劣弧，所以劣弧的长为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据题意在平面中，以DC所在直线为x轴，以DC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，得出点P的轨迹是以F(5，0)为圆心，半径为4的圆，再利用弧长公式求解是关键，属于中档题. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知实数、，那么是的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】D 【解析】 【分析】等式两边平方结合反例即可判断. 【详解】因为， 所以必要性不成立； 当时，满足，但，所以充分性不成立； 所以是的既不充分也不必要条件. 故选:D． 14. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数定义域和复合函数的单调性求解. 【详解】由，，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上为增函数，由复合函数单调性可得的单调递减区间为． 故选：C. 15. 组合数恒等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的公式得到和，再比较选项得到答案. 【详解】． ， 可知 故选：D． 【点睛】本题考查组合数的计算公式，意在考查基本公式，属于基础题型. 16. 数列中，，，使对任意的恒成立的最大值为（　　） A. 1209 B. 1211 C. 1213 D. 1215 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的通项公式，列出各项，找出数列的规律，判断到哪一项等于，即可求解. 【详解】由已知可得，数列：， 可得规律为1，6，11；6，11，16；11，16，21；.．， 此时将原数列分为三个等差数列： ，； ，； ，； 因为， 所以满足对任意的恒成立的最大值为1211. 故选：B. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，，，，是棱上的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面，由计算三棱锥的体积； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值. 【小问1详解】 因为四边形是菱形，所以. 又，平面，且，所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以，所以. 因为平面，且，所以平面. 因为是棱上的中点，所以到平面的距离， 四边形是菱形，，， 则中，，，， ∵，∴三棱锥的体积为. 【小问2详解】 取棱的中点，连接，则有，因为，则. 两两垂直，故以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 因，则. 因是棱上的中点，则. 设平面的法向量为，则， 令，则，得. 平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为，则. 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值 （2）求的值域； （3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用，解出值，检验即可； （2）令，得到，最后得到，则求出值域； （3）首先根据函数单调性的判定方法得到为减函数，再结合为奇函数，最终得到对恒成立，求出不等式右边的最小值即可. 【小问1详解】 因为函数是上的奇函数所以 即:,解得，此时， ，且定义域为，关于原点对称，故为奇函数. 【小问2详解】 ，令，根据指数函数图像知，故， 则，，， 故的值域为. 【小问3详解】 设，根据指数函数单调性知，在上为增函数， 故在上为减函数，故在上也为减函数. 又因为为奇函数，所以不等式恒成立 即恒成立，即恒成立 所以对恒成立， 即对恒成立， 因为函数所以 综上所述，的范围是. 19. 已知函数的部分图象如图所示，点，是图象上相邻的最低点与最高点，线段与的图象交于点，过点作轴的垂线与的图象的离最近的一个交点为，. （1）求的解析式； （2）求； （3）已知甲地某一天的气温（单位：）随时间（单位：h）的变化曲线是图象的一部分，若该地居民在气温低于时开启空调，求该地居民这一天开启空调的时长. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的图像性质，即可求解； （2）由（1）根据三角函数图像性质，可求得，，，结合平面向量的夹角公式即可求解； （3）根据题意，列出三角函数不等式，解不等式即可求解. 【小问1详解】 根据的图像，得的最大值为12，最小值为，所以 解得，， 由对称性可知，点，均为图象的对称中心， 所以， 所以，，， 把代入并化简得， 又，所以， 所以. 【小问2详解】 由已知及（1）可得，，， 所以，， 所以. 【小问3详解】 由，得， 所以， 解得， 因为，所以，， 所以该地居民这一天开启空调的时长为. 20. 过点的直线与双曲线：的右支交于两点，当轴时，． （1）求的渐近线方程； （2）记的左顶点为，求的取值范围； （3）若分别以点、为圆心的两圆有公共点（在轴上），它们与轴的另一交点分别记作点、，记为坐标原点，当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由得出在上即可求出后得出渐近线方程； （2）设直线与双曲线联立，首先利用双曲线与直线右支有两个交点得出的范围；然后利用韦达定理表示出结合的范围即可求解； （3）把用韦达定理表示出来代入不等式求出的范围，再利用弦长公式表示出，最后利用导数判断函数单调性即可求出的范围. 【小问1详解】 当轴时，，故点在上，可得， 故的标准方程为．故的渐近线方程为． 【小问2详解】 设直线，联立，可得． 当时，与只有一个交点，故． 因为与右支有两个交点，根据图像可得． 设，根据韦达定理可得， 故 ． 【小问3详解】 易得， ， 即，整理得， ∵，∴，，解得； 故，令，设； 则对于恒成立． ∴最小值为，最大值为；即的取值范围为． 21. 已知函数为自然常数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在区间上有最小值，求实数的值； （3）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，讨论、并根据导数符号确定区间单调性，结合已知区间及函数的最值求对应参数，即可得. （3）问题化为在上恒成立，利用导数研究右侧的最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题设，则，故，， 所以函数在处的切线方程为， 整理得； 【小问2详解】 由题设且， 当时，，即在上单调递减， 此时，在区间上有最小值，可得； 当时，时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合； 若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合； 若，即时，在区间上有最小值，不符合； 综上，； 【小问3详解】 由题设且， 对于，有，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以恒成立，则在上恒成立， 令，则， 令，则， 令，则， 所以时，时，则在上单调递减，在上单调递增， 故，易知在上单调递增，且， 所以时，即，时，即， 所以在上单调递减，在上单调递增，故， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市南洋模范中学 高三年级上学期初态考数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 若复数满足：，则_______． 2. 若展开式系数之和为32，则展开式中含项的系数为_________． 3. 已知集合，，若，则实数的值为____. 4. 函数的最大值为__________. 5. 若事件与事件相互独立，，，则______. 6. 有4名男生，5名女生，全排成一行，则甲不在中间也不在两端的排法种数的是___________. 7. 有一根长为hcm，底面半径为rcm的圆柱形铁管，用一段铁丝在该圆柱的侧面上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，若铁丝长度的最小值为40cm，则圆柱侧面积的最大值为___________． 8. 已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是______． 9. 抛物线()的焦点为，准线为，､是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是___________. 10. 已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是_________. 11. 如图所示，半径为1的圆内接于正方形，点是圆上的一个动点，点与关于直线成轴对称，若，则的取值范围是______． 12. 在长方体中，，，M为棱BC的中点，动点P满足，则点P的轨迹与长方体的侧面的交线长等于___________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知实数、，那么是的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 15. 组合数恒等于（ ） A. B. C. D. 16. 数列中，，，使对任意的恒成立的最大值为（　　） A. 1209 B. 1211 C. 1213 D. 1215 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，，，，是棱上的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值 （2）求的值域； （3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的范围. 19. 已知函数的部分图象如图所示，点，是图象上相邻的最低点与最高点，线段与的图象交于点，过点作轴的垂线与的图象的离最近的一个交点为，. （1）求的解析式； （2）求； （3）已知甲地某一天的气温（单位：）随时间（单位：h）的变化曲线是图象的一部分，若该地居民在气温低于时开启空调，求该地居民这一天开启空调的时长. 20. 过点的直线与双曲线：的右支交于两点，当轴时，． （1）求的渐近线方程； （2）记的左顶点为，求的取值范围； （3）若分别以点、为圆心的两圆有公共点（在轴上），它们与轴的另一交点分别记作点、，记为坐标原点，当时，求的取值范围． 21. 已知函数为自然常数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在区间上有最小值，求实数的值； （3）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $