12 图形相似-2026年中考复习之小题狂练900题（选择题）

2026年中考复习之小题狂练900题（选择题）图形相似60题 一．选择题（共60小题） 1．（2025•乐山）如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，DE＝3，BC＝4，则EF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2025•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心是原点O．已知BC：B′C′＝1：2，则B（2，0）的对应点B′的坐标是（　　） A．（3，0） B．（4，0） C．（6，0） D．（8，0） 3．（2025•贵州）如图，已知△ABC∽△DEF；AB：DE＝2：1，若DF＝2，则AC的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（2025•长春）将直角三角形纸片ABC（∠C＝90°）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A．MN∥DE∥PQ B．BC＝2DE＝4MN C．AN＝BQNQ D． 5．（2025•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O（0，0），A（2，1），B（1，2），以原点O为位似中心，在第三象限画△OA′B′与△OAB位似，若△OA′B′与△OAB的相似比为2：1．则点A的对应点A′的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣4） 6．（2025•绥化）两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（　　） A．14cm B．18cm C．30cm D．34cm 7．（2025•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE＝BF，连接AC、AE、AF，过点E作EG⊥AF于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①MN＝AF；②∠EAH＝∠EHA；③EN•BF＝EC•HN；④若BF：FC＝3：4，则tan∠FAC；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（　　） A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 8．（2025•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（　　） A．10 B．8 C．5 D．4 9．（2025•浙江）如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为（2，0），（3，0）．若DE的长为3，则D′E′的长为（　　） A． B．4 C． D．5 10．（2025•河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（　　） A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3 11．（2025•宜宾）如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2025•宜宾）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5．过点A作直线l∥BC，点E是直线l上一动点，连结EC，过点E作EF⊥CE，连结CF使tan∠ECF.当BF最短时，则AE的长度为（　　） A． B．4 C．2 D．2 13．（2025•眉山）如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是（　　） A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4 14．（2025•云南）如图，在△ABC中，已知D，E分别是AB，AC边上的点，且DE∥BC．若，则（　　） A． B． C． D． 15．（2025•内江）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（　　） A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm 16．（2025•遂宁）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段AQ的长为（　　） A． B． C．6 D． 17．（2025•连云港）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则的值为（　　） A． B． C． D． 18．（2025•上海校级一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF；④EF•AB＝CF•BC，其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（2025•甘谷县校级一模）已知，则（　　） A． B． C． D． 20．（2025•长沙模拟）阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理一通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍搬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如图②所示，BD的距离为5cm，动力臂OA＝18cm，阻力臂OB＝6cm，则AC的长度为（　　）cm． A．15 B．12 C．9 D．11 21．（2025•东莞市校级模拟）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段AB的黄金分割点（AP＞PB）．如果AB的长度为10cm，那么AP的长度是（　　） A． B． C．6.18cm D． 22．（2025•汕头模拟）如图，在△ABC中，D为AC中点，DE∥BC，若△ABC的面积为10，则△BDE的面积为（　　） A．5 B．2.5 C．3.5 D．4.5 23．（2025•利津县一模）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣4，2），以原点O为位似中心，位似比为2：1，把△ABO扩大，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4） 24．（2025•甘肃一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（　　） A．3 B．6 C．5 D．4 25．（2025•绥化一模）下列相似图形不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 26．（2025•重庆模拟）如图，正方形ABCD中，E为BC中点，连接AE，DF⊥AE于点F，连接CF，FG⊥CF交AD于点G，下列结论：①CF＝CD；②△DCF∽△AGF；③；④△AGF为正三角形，其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．（2025•海珠区校级二模）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若焦点F1到物体AH的距离与到凸透镜的中心O的距离之比为6：5，若物体AH＝4cm，则其像CG的长为（　　） A． B．3cm C． D． 28．（2025•双流区校级模拟）如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心．若，四边形ABCD的周长是25，则四边形EFGH的周长是（　　） A．4 B．10 C． D． 29．（2025•江城区一模）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得 到△A'B'O．若点B的坐标为（2，1），则点B'的坐标为（　　） A．（2，4） B．（4.2） C．（2，4）或（﹣2，﹣4） D．（4，2）或（﹣4，﹣2） 30．（2025•河北模拟）如图，小涵为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），把一面镜子放置在水平地面E处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的D点（即DE＝2）刚好从镜子中看到凉亭的顶端A．测得BD的长为12米，若小涵眼睛离地面距离CD为1.6米，则凉亭高AB（　　）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 31．（2025•麒麟区一模）若△ABC∽△DEF，，△ABC的周长是10，则△DEF的周长是（　　） A．10 B．15 C．25 D．30 32．（2025•合肥校级三模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝∠C，BE平分∠ABC，分别交AC，AD于点E，F．若AB＝6，BC＝9，BE＝7，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 33．（2025•陕西模拟）如图，在△ABC中，点E，F分别是AB和AC的中点，点D是线段EF上的一点，连接AD，CD，且∠ADC＝90°．若BC＝16，AC＝13，则DE的长为（　　） A．3 B．2.5 C．1.5 D．2 34．（2025•西双版纳一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则（　　） A． B． C． D． 35．（2025•亳州模拟）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD上的点，O，M，N分别是BD，CE，CF的中点，连接FM，OM，ON，MN，下列说法错误的是（　　） A．若△CDF∽△FAE，则 B．若OM＝ON，则CE＝CF C．若DF＝2，BC＝8，则ON＝4 D．若∠ECF＝45°，则 36．（2025•临沭县一模）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F．则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 37．（2025•赤峰模拟）“相似三角形”与“全等三角形”有许多共同点，我们在学习“相似三角形”时，常常与“全等三角形”的相关知识对比进行学习，这种学习方式体现的数学思想是（　　） A．类比思想 B．分类思想 C．方程思想 D．数形结合思想 38．（2025•贵池区校级三模）如图，在矩形ABCD中，过点C作对角线BD的垂线，垂足为E，连接AE并延长交CD于点F，若DF＝1，FC＝2，则BC的长为（　　） A．3 B． C． D． 39．（2025•蚌埠模拟）如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD并延长至点E，使∴，且∠AEB＝∠C，AE＝16，BD＝8，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 40．（2025•腾冲市校级模拟）如图①：是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图：AB＝AC．拉杆EF∥BC，米，则两梯杆跨度B、C之间距离为（　　） A．2米 B．2.1米 C．2.5米 D．米 41．（2025•罗江区模拟）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为（　　） A．18cm B．20cm C． D．15cm 42．（2025•瑶海区校级三模）如图，在△ABC中，点D、E在AC、BC边上，连接DE并延长交AB延长线于点G．过D作DF⊥AG于F．若2∠ADF＝∠G，CE：BE＝2：1，，AF＝2，GE＝4，则AB的长为（　　） A． B． C．9 D．12 43．（2025•工业园区校级二模）如图①，是形如“7”形的拼块，其每个拐角都是直角，各边长度如图所示．如图②，用4个同样的拼块拼成的图案，恰好能放入一个边长为6的正方形中，则a的值为（　　） A． B． C． D． 44．（2025•曲阜市二模）如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③；④△AMN∽△CAB．正确的有（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 45．（2025•永寿县校级一模）如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD，△EFG的顶点F、G分别是CD、AC的中点，EG、EF分别交AD于点H、P，若点H是EG的中点，AD＝6，则HP的长为（　　） A．3 B．2 C．2.5 D．1.5 46．（2025•南明区模拟）如图，BC与EF在一条直线上，AC∥DF，将图（2）的三角形截去一块，使他变为与图（1）相似的图形，下列做法不正确的是（　　） A．过点E作EG∥AB，交DF于点G，则△ABC∽△GEF B．取DF的中点M，连接EM，则△ABC∽△MEF C．在线段EF和DF上分别取点M、N，使得MN∥AB，则△ABC∽△NMF D．在DF上取一点G，使得∠GEF＝∠A，则△ABC∽△EGF 47．（2025•庐江县一模）如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，设雕像下部高x m，则可列方程为（　　） A．x2＝2x（2﹣x） B．2x＝x（2﹣x） C．x2＝2（2﹣x） D．x2＝2（2+x） 48．（2025•罗湖区校级模拟）如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段AB＝3.2cm，则线段BC的长为（　　） A．6.4cm B．8cm C．9.6cm D．12.8cm 49．（2025•蚌山区三模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，矩形DEFG的顶点D，G分别在边AB、AC上，E，F在边BC上．若，则矩形DEFG的面积为（　　） A．16 B．24 C．32 D．36 50．（2025•芜湖一模）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A． B．∠B＝∠D C． D．∠C＝∠AED 51．（2025•龙岗区校级模拟）如图，在直角坐标系中，点B的坐标是（0，4），点A在x轴上，∠ABC＝90°，且S△ABC＝12，则线段OC长的最大值是（　　） A．6 B．8 C．12 D． 52．（2025•无锡一模）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝2，tanB＝4，P为边BC上一动点，且满足∠EPF＝∠C，点E在边AB上，点F在边AC上，连结EF，以下结论：①若P为BC的中点，则PE的最小值为；②若CF＝3，则BE的最大值为；③若PE＝2PF，则BE+2CF的值为4；④若∠EPB＝90°，则当时，EF有最小值．其中正确的为（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 53．（2025•方城县模拟）已知，则代数式的值为（　　） A．1 B． C． D． 54．（2025•包河区校级三模）如图，在正五边形ABCDE中，连结BE，BD，过点D作CD的垂线，与边AE交于点F，与对角线BE交于点P，下列结论中错误的是（　　） A．∠EFD＝54° B．AB+AF＝BE C． D．点F是AE的黄金分割点 55．（2025•天津校级模拟）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 56．（2025•余姚市一模）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1 B．a＝2，b，c＝2，d C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a，b＝3，c＝2，d 57．（2025•高青县一模）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接AC，若AH平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为3，则正方形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D．15 58．（2025•江北区校级二模）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA＝3，AD＝5，△ABC的面积为，则△DEF的面积为（　　） A． B．30 C．32 D． 59．（2025•西安校级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB的中点，DE∥BC交AC于E，延长DA至F，使AF＝DA．若AE＝3，BC＝8，则EF的长为（　　） A． B．5 C． D． 60．（2025•惠城区三模）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，作△ABC的外接圆⊙E，D为⊙E上的动点且在AB的上方，F为线段CD的中点，P为线段AB上一点，Q为线段BA的延长线上一点，，则下列结论正确的有（　　） ①；②BF的最小值为2；③；④AD•BD的最大值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2026年中考复习之小题狂练900题（选择题）图形相似60题 参考答案与试题解析 一．选择题（共60小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B C D B B C C C D C 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 答案 B B A B A A D A A A B 题号 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 答案 D D D B C B D D C B C 题号 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 答案 B C D A B B B B C B A 题号 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 答案 D B C C C C B C B C D 题号 56 57 58 59 60 答案 B A C A C 一．选择题（共60小题） 1．（2025•乐山）如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，DE＝3，BC＝4，则EF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴，即， 解得：EF＝6， 故选：B． 2．（2025•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心是原点O．已知BC：B′C′＝1：2，则B（2，0）的对应点B′的坐标是（　　） A．（3，0） B．（4，0） C．（6，0） D．（8，0） 【解答】解：∵△ABC与A′B′C的位似比为BC：B′C′＝1：2，且位似中心是原点O， 而点B（2，0）， ∴B点对应点B′的坐标为（4，0）． 故选：B． 3．（2025•贵州）如图，已知△ABC∽△DEF；AB：DE＝2：1，若DF＝2，则AC的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝2：1， ∴AC：DF＝AB：DE＝2：1， 又∵DF＝2， ∴AC＝2DF＝4， 故选：C． 4．（2025•长春）将直角三角形纸片ABC（∠C＝90°）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A．MN∥DE∥PQ B．BC＝2DE＝4MN C．AN＝BQNQ D． 【解答】解：由折叠可得：DE⊥AC，PQ⊥AC，MN⊥AC，AM＝MD＝DP＝PC， ∴MN∥DE∥PQ∥BC，故A正确，不符合题意； ∴△ADE∽△ACB∽△AMN， ∴，， ∴BC＝2DE，DE＝2MN， ∴BC＝4MN， ∴BC＝2DE＝4MN，故B正确，不符合题意； ∵MN∥PQ∥BC， ∴，，， ∴，，故C正确，不符合题意； ∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 5．（2025•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O（0，0），A（2，1），B（1，2），以原点O为位似中心，在第三象限画△OA′B′与△OAB位似，若△OA′B′与△OAB的相似比为2：1．则点A的对应点A′的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣4） 【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第三象限画△OA′B′与△OAB位似，△OA′B′与△OAB的相似比为2：1， ∴点A（2，1）的对应点A′的坐标为（﹣2×2，﹣2×1），即（﹣4，﹣2）． 故选：B． 6．（2025•绥化）两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（　　） A．14cm B．18cm C．30cm D．34cm 【解答】解：设较小三角形的周长为x cm，则较大三角形的周长为（48﹣x）cm， ∵两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm， ∴x：（48﹣x）＝6：10， 解得x＝18， 即较小三角形的周长为18cm． 故选：B． 7．（2025•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE＝BF，连接AC、AE、AF，过点E作EG⊥AF于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①MN＝AF；②∠EAH＝∠EHA；③EN•BF＝EC•HN；④若BF：FC＝3：4，则tan∠FAC；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（　　） A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【解答】解：如图1，过点B作BK∥EN，交CD于点K， 在正方形ABCD中， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°，AB∥CD， ∴△ABC、△ADC是等腰三角形，又BE＝BF，AB＝AB， ∴△AEB≌△AFB（SAS）， ∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE，∠BAE＝∠BAF， ∴△AEF是等腰三角形， ∵EG⊥AF， ∴∠NEC+∠AFE＝90°， 又∵∠BAF+∠AFE＝90°， ∴∠NEC＝∠BAF， ∵BK∥EN， ∴∠KBC＝∠NEC，∠BKC＝∠ENC， ∴∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE， 设∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE＝α， ∵∠EAH＝∠BAE+∠BAC＝α+45°，∠AHE＝∠HEC+∠ACB＝α+45°， ∴∠EAH＝∠AHE，故结论②正确； ∴EA＝EH，即△AEH是等腰三角形， ∵在△ABF和△BCK中， ， ∴△ABF≌∠BCK（AAS）， ∴BK＝AF，∠CKB＝∠AFE＝∠AEF＝90°﹣α， ∵BK∥EN，AB∥CD， ∴四边形BMNK是平行四边形， ∴MN＝BK， ∴MN＝AF，故结论①正确， ∵∠NEC＝∠BAF，∠BCD＝∠ABC＝90°， ∴△NEC﹣△BAF， ∴， ∴EN•BF＝CN•AF， ∵∠EAH＝∠AHE＝∠CHN＝45°+α，∠ACE＝∠ACN＝45°， ∴△AEC∽△HNC， ∴， ∴CN•AE＝EC•HN， ∵AE＝AF， ∴CN•AF＝EC•HN， ∴EN•BF＝EC•HN，故结论③正确， 过点F作FP⊥AC，如图2； 设BF＝3x，由BF：FC＝3：4可得FC＝4x，AB＝BC＝7x， ∴AF2＝AB2+BF2＝（7x）2+（3x）2＝58x2， ∵ ∴AP5， ∴， 故结论④正确，∠CNE＝90°﹣α，∠CHN＝∠AHE＝α+45°，α＜45°， ∴∠CNE不一定等于∠CHN，α＜45°， ∴△CNH不一定是等腰三角形， 故等腰三角形有△ABC、△ADC、△AEF、△AEH，共四个，故结论⑤错误， 综上所述：正确结论有①②③④． 故选：C． 8．（2025•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（　　） A．10 B．8 C．5 D．4 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为4， ∴AB＝BC＝4，∠A＝∠B＝90°， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝BEAB＝2， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE， ∠A＝∠B＝90°，EF⊥EC， ∴∠BCE+∠BEC＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°， ∴∠BCE＝∠AEF， ∴△BCE∽△AEF， ∴， ∴EF， ∴△CEF的面积为：CE•EF5． 故选：C． 9．（2025•浙江）如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为（2，0），（3，0）．若DE的长为3，则D′E′的长为（　　） A． B．4 C． D．5 【解答】解：∵五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A，A'的坐标分别为（2，0），（3，0）， ∴， ∵∠DOE＝∠DOE， ∴△DOE∽△D'OE'， ∴， ∵DE＝3， ∴， 故选：C． 10．（2025•河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（　　） A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3 【解答】解：∵AE∥BC， ∴∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B， 当添加∠B+∠4＝180°时， ∵∠DCN+∠4＝180°， ∴∠DCN＝∠B， ∴∠DCN＝∠MAE， ∴△MAE∽△DCN，所以A选项不符合题意； 当添加CD∥AB时， ∴∠DCN＝∠B， ∴∠DCN＝∠MAE， ∴△MAE∽△DCN，所以B选项不符合题意； 当添加∠1＝∠4时， ∵∠MAE+∠1＝180°，∠DCN+∠4＝180°， ∴∠DCN＝∠MAE， ∴△MAE∽△DCN，所以C选项不符合题意； 当添加∠2＝∠3时， ∵∠AEM+∠2＝180°，∠CDN+∠3＝180°， ∴∠AEM＝∠CDN＝∠CND ∴不能判断△MAE∽△DCN，所以D选项符合题意． 故选：D． 11．（2025•宜宾）如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：如图所示，过点D作DF∥BC交AC于点F， ∵AD＝2DB， ∴2， ∴ ∵DF∥BC， ∴△AFD∽△ACB， ∴， ∴， ∴设S△AFD＝4s，S△ACB＝9s， ∴沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分， ∴， ∴， ∴， ∴3． 故选：C． 12．（2025•宜宾）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5．过点A作直线l∥BC，点E是直线l上一动点，连结EC，过点E作EF⊥CE，连结CF使tan∠ECF.当BF最短时，则AE的长度为（　　） A． B．4 C．2 D．2 【解答】解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得，连结CG，GF，过点F作FH⊥l于点H， ∵直线l∥BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAG＝90°， ∵EF⊥CE，， ∴， ∴， ∵∠CEF＝∠CAG＝90°， ∴△CEF∽△CAG， ∴，∠ECF＝∠ACG， ∴，∠GCF＝∠ACE， ∴△GCF∽△ACE， ∴∠CGF＝∠CAE＝90°， ∴∠ACG+∠AGC＝90°，∠AGC+∠HGF＝90°， ∴∠HGF＝∠ACG， ∵tan∠ACG， ∴∠ACG和∠HGF都是定值， ∴点F在射线GF上运动， ∴当BF⊥GF时，BF最短（如图2所示），延长HF，CB相交于点N， ∵∠ACB＝∠CAH＝∠AHN＝90°， ∴四边形ACNH是矩形， ∴HN＝AC＝4，AH＝CN， ∵BF⊥GF，∠CGF＝90°， ∴BF∥CG， ∴∠FBN＝∠GCN， ∵AH∥CN， ∴∠CGA＝∠GCN， ∴∠FBN＝∠CGA， ∵∠FNB＝∠CAG＝90°， ∴△FNB∽△CAG， ∴， ∵AGAC， ∴FN＝2BN， 设BN＝x，则FN＝2x，CN＝5+x， ∴FH＝4﹣2x， ∴AH＝CN＝x+5， ∴GH＝（x+5）﹣2＝x+3， ∵tan∠ACG＝tan∠HGF， ∴， ∴， 解得x＝1， ∴BN＝1，FN＝2，FH＝2，GH＝4， ∴GF2，， ∵△GCF∽△ACE， ∴， ∴， 解得AE＝4， ∴当BF最短时，则AE的长度为4． 故选：B． 13．（2025•眉山）如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是（　　） A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4 【解答】解：∵小正方形的边长均为1， ∴OB，OD2， ∴OB：OD＝1：2， ∵将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD， ∴△OAB∽△OCD，相似比为1：2， ∴△OAB与△OCD的周长之比1：2， 故选：B． 14．（2025•云南）如图，在△ABC中，已知D，E分别是AB，AC边上的点，且DE∥BC．若，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴． 故选：A． 15．（2025•内江）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（　　） A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm 【解答】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴AC∥BD， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵OA＝150cm，OB＝50cm，BD＝20cm， ∴， ∴AC＝60， ∴AC的长为60cm． 故选：B． 16．（2025•遂宁）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段AQ的长为（　　） A． B． C．6 D． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5， ∴， 由题意可得：BG平分∠ABC，即∠CBG＝∠ABG， 设BG，AC交于点M，作MN⊥AB于点N，如图， 则CM＝MN， 设CM＝MN＝x， ∵S△ABC＝S△MBC+S△ABM， ∴， 即5×12＝5x+13x， 解得：，即， 则， 由作图痕迹可知：AQ⊥BH， ∴∠AQB＝∠C＝90°， ∵∠CBG＝∠ABG， ∴△ABQ∽△MBC， ∴，即， 解得：． 故选：A． 17．（2025•连云港）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°， ∴AB＝2BC，， 设BC＝x，则AB＝2x，， ∵AD平分∠CAB，∠ACB＝90°， ∴点D到AC，AB的距离相等均为CD的长，∠CAD＝∠BAD， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵BE⊥AD，∠CAD＝∠BAD， ∴sin∠CAD＝sin∠BAD， ∴，即：， ∴， ∴； 解法二：延长AC与BE相交于点F， 利用相似三角形求出比值； 故选：A． 18．（2025•上海校级一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF；④EF•AB＝CF•BC，其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①设∠EDC＝x，则∠DEF＝90°﹣x， ∴∠DBE＝∠DEB＝∠EDC+∠C＝x+45°， ∵BD＝DE， ∴∠DBM＝∠DBE﹣∠MBE ＝45°+x﹣45° ＝x． ∴∠DBM＝∠E， ∵AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线． ∴∠BMD＝90°， ∵EF⊥AC， ∴∠DFE＝90°＝∠BMD， 在△BMD和△DFE中， ， ∴△BMD≌△DFE（AAS）． 故①正确； ②∵DB＝DE， ∴∠BEN＝∠CBD． 又∵∠C＝∠NBE＝45°， ∴△DBC∽△NEB；故②正确； ③∵∠ABC＝90°，M是AC的中点， ∴BMAC， ∵△BMD≌△DFE， ∴BM＝DF， ∴AC＝2DF． 故③正确； ④∵∠C＝45°，EF⊥AC， ∴∠CEF＝45°＝∠C， ∴CF＝EF， ∵AB＝BC， ∴EF•AB＝CF•BC， 故④②正确； 故选：D． 19．（2025•甘谷县校级一模）已知，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设，且k≠0， 则a＝3k，b＝5k， 把a＝3k，b＝5k代入，得． 故选：A． 20．（2025•长沙模拟）阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理一通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍搬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如图②所示，BD的距离为5cm，动力臂OA＝18cm，阻力臂OB＝6cm，则AC的长度为（　　）cm． A．15 B．12 C．9 D．11 【解答】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴AC∥BD， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵BD的距离为5cm，动力臂OA＝18cm，阻力臂OB＝6cm， ∴， ∴AC＝15， ∴AC的长为15cm． 故选：A． 21．（2025•东莞市校级模拟）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段AB的黄金分割点（AP＞PB）．如果AB的长度为10cm，那么AP的长度是（　　） A． B． C．6.18cm D． 【解答】解：根据黄金分割的定义进行计算得： ∴， 故选：A． 22．（2025•汕头模拟）如图，在△ABC中，D为AC中点，DE∥BC，若△ABC的面积为10，则△BDE的面积为（　　） A．5 B．2.5 C．3.5 D．4.5 【解答】解：∵D为AC中点， ∴AD＝CDAC， ∵DE∥BC，S△ABC＝10， ∴△AED∽△ABC， ∴， ∴AEAB（AE+BE），， ∴AE＝BE，S△AEDS△ABC10＝2.5， ∴S△BDE＝S△AED＝2.5， 故选：B． 23．（2025•利津县一模）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣4，2），以原点O为位似中心，位似比为2：1，把△ABO扩大，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4） 【解答】解：∵B（﹣4，2），以原点O为位似中心，位似比为2：1，把△ABO扩大， ∴B′（﹣4×2，2×2）或B′[﹣4×（﹣2），2×（﹣2）]， 即：B′（﹣8，4）或B′（8，﹣4）； 故选：D． 24．（2025•甘肃一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（　　） A．3 B．6 C．5 D．4 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， ∵AD＝2，BD＝3，AC＝10， ∴， ∴AE＝4． 故选：D． 25．（2025•绥化一模）下列相似图形不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由各选项图形可知，A，B，C选项的相似图形是位似图形，D选项的相似图形不是位似图形， 故选：D． 26．（2025•重庆模拟）如图，正方形ABCD中，E为BC中点，连接AE，DF⊥AE于点F，连接CF，FG⊥CF交AD于点G，下列结论：①CF＝CD；②△DCF∽△AGF；③；④△AGF为正三角形，其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：如图，过点C作CM⊥DF于点M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠B＝∠ADC＝90°， ∵∠ADF+∠CDF＝90°，∠CDF+∠DCM＝90°， ∴∠ADF＝∠MCD， ∵DF⊥AE，CM⊥DF， ∴∠AFD＝∠CMD＝90°， 在△DAF和△CDM中， ， ∴△DAF≌△CDM（AAS）， ∴CM＝DF，DM＝AF， ∵∠ADF+∠DAE＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠ADF， ∵BE＝CE， ∴AB＝2BE， ∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠DAF＝∠AEB， ∵∠AFD＝∠B＝90°， ∴△ABE∽△DFA， ∴， ∴， ∴， ∴CM垂直平分DF， ∴CF＝CD， 故①正确； ∴．∠CDF＝∠CFD， ∵∠CDG＝∠CFG＝90°， ∴∠GFD＝∠GDF， ∴DG＝FG， ∴∠FDG＝∠DFG， ∵∠GFD+∠AFG＝90°，∠GDF+∠GAF＝90°， ∴∠GAF＝∠GFA， ∴AG＝FG， ∴，即G为AD中点， ∵AD＝BC， ∴ ∵∠AFD＝∠GFC＝90°， ∴∠AFG＝∠CFD，∠GAF＝∠CDF， ∴△DCF∽△AGF， 故②正确； 设AF＝a，则DF＝2a， ∴， ∴，， ∴，BE≠AF， ∴，AG≠AF， ∴，△AGF不是等边三角形， 故③错误，④错误； 综上可知，①②正确，③④错误， 故选：B． 27．（2025•海珠区校级二模）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若焦点F1到物体AH的距离与到凸透镜的中心O的距离之比为6：5，若物体AH＝4cm，则其像CG的长为（　　） A． B．3cm C． D． 【解答】解：由题意得：BO＝CG，AH⊥AO，BO⊥HO， ∴∠AHO＝∠BOH＝90°， ∵∠AF1H＝∠OF1B， ∴△AHF1∽△BOF1， ∴， ∴， 解得：BO， ∴CG＝BOcm， 故选：C． 28．（2025•双流区校级模拟）如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心．若，四边形ABCD的周长是25，则四边形EFGH的周长是（　　） A．4 B．10 C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心， ∴，四边形ABCD与四边形EFGH相似， ∵， ∴， ∴， ∴四边形EFGH的周长：四边形ABCD的周长， ∴四边形EFGH的周长25＝10． 故选：B． 29．（2025•江城区一模）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得 到△A'B'O．若点B的坐标为（2，1），则点B'的坐标为（　　） A．（2，4） B．（4.2） C．（2，4）或（﹣2，﹣4） D．（4，2）或（﹣4，﹣2） 【解答】解：如图，△OA1B1，△OA2B2即为所求，B1（4，2），B2（﹣4，﹣2）． 故选：D． 30．（2025•河北模拟）如图，小涵为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），把一面镜子放置在水平地面E处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的D点（即DE＝2）刚好从镜子中看到凉亭的顶端A．测得BD的长为12米，若小涵眼睛离地面距离CD为1.6米，则凉亭高AB（　　）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 【解答】解：由题意可得：BE＝BD﹣DE＝10，∠AEB＝∠CED，DE＝2，CD＝1.6， ∵∠EDC＝∠ABE＝90°， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∴， ∴AB＝8， 即塔高AB为8米， 故选：D． 31．（2025•麒麟区一模）若△ABC∽△DEF，，△ABC的周长是10，则△DEF的周长是（　　） A．10 B．15 C．25 D．30 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，， ∴△ABC的周长与△DEF的周长之比为2：5， ∵△ABC的周长为10， ∴△DEF的周长是25， 故选：C． 32．（2025•合肥校级三模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝∠C，BE平分∠ABC，分别交AC，AD于点E，F．若AB＝6，BC＝9，BE＝7，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵∠BAD＝∠C，∠ABC＝∠ABD， ∴△ABD∽△CBA， ∴，∠ADB＝∠BAC， ∵AB＝6，BC＝9， ∴， 解得：BD＝4， ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠DBF， ∵∠ADB＝∠BAC， ∴△ABE∽△DBF， ∴， ∵BE＝7， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 33．（2025•陕西模拟）如图，在△ABC中，点E，F分别是AB和AC的中点，点D是线段EF上的一点，连接AD，CD，且∠ADC＝90°．若BC＝16，AC＝13，则DE的长为（　　） A．3 B．2.5 C．1.5 D．2 【解答】解：延长AD交BC于点G， ∵点E，F分别是AB和AC的中点， ∴EF∥BC， ∴，即点D是AG的中点， ∴BG＝2DE， ∵∠ADC＝90°，BC＝16，AC＝13， ∴CD⊥AG， ∴AG＝AC＝13， ∴BG＝3， ∴DE＝1.5， 故选：C． 34．（2025•西双版纳一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在△ABC中，DE∥BC，若， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， 故选：B． 35．（2025•亳州模拟）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD上的点，O，M，N分别是BD，CE，CF的中点，连接FM，OM，ON，MN，下列说法错误的是（　　） A．若△CDF∽△FAE，则 B．若OM＝ON，则CE＝CF C．若DF＝2，BC＝8，则ON＝4 D．若∠ECF＝45°，则 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD（正方形的四条边相等），∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°（正方形的四个角都是直角）， ∵△CDF∽△FAE， ∴∠CFD＝∠FEA（相似三角形的对应角相等）， ∴∠CFD+∠AFE＝∠FEA+∠AFE＝90°， ∴∠EFC＝90°， ∵M为CE的中点， ∴，故A不符合题意； 如图，连接AC，O为BD的中点，则AC，BD的交点为O， ∵M，N分别为CE，CF的中点， ∴AE＝2OM，AF＝2ON， ∵OM＝ON， ∴AE＝AF， ∵正方形ABCD， ∴∠BAC＝∠DAC＝45°， 在△EAC和△FAC中， ， ∴△EAC≌△FAC（SAS）， ∴CE＝CF，故B不符合题意； ∵BC＝8， ∴AD＝8， ∵DF＝2， ∴AF＝6， ∴，故C符合题意； 把△CBE顺时针旋转90°得△CDE′， ∴∠CBE＝∠CDE′＝90°，CE＝CE′，∠BCE＝∠DCE′，BE＝DE′， ∵∠ADC＝90°， ∴A，D，E′三点共线， ∵∠ECF＝45°，∠BCD＝90°， ∴∠FCE′＝∠FCD+∠DCE′＝∠FCD+∠BCE＝45°， ∵CF＝CF， ∴△ECF≌△E′CF（SAS）， ∴EF＝E′F＝DF+DE′＝DF+BE， ∵M，N分别为CE，CF的中点， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 36．（2025•临沭县一模）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F．则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠ABE＝∠DCE，∠BAE＝∠CDE， ∴△ABE∽△DCE， ∴，故B正确； ∵AB∥EF， ∴，故A正确； ∵AB∥EF， ∴∠DEF＝∠DAB，∠DFE＝∠DBA＝90°， ∴△DEF∽△DAB， ∴，故C正确； ∵EF∥CD， ∴，故D错误； 故选：D． 37．（2025•赤峰模拟）“相似三角形”与“全等三角形”有许多共同点，我们在学习“相似三角形”时，常常与“全等三角形”的相关知识对比进行学习，这种学习方式体现的数学思想是（　　） A．类比思想 B．分类思想 C．方程思想 D．数形结合思想 【解答】解：由题意可知，这种学习方式体现的数学思想是类比思想． 故选：A． 38．（2025•贵池区校级三模）如图，在矩形ABCD中，过点C作对角线BD的垂线，垂足为E，连接AE并延长交CD于点F，若DF＝1，FC＝2，则BC的长为（　　） A．3 B． C． D． 【解答】解：在矩形ABCD中，DF＝1，CF＝2，∠BCD＝90°， ∴AB＝CD＝3，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠EDF， 又∵∠AEB＝∠FED， ∴△AEB∽△FED， ∴． 又∵CE⊥BD， ∴∠CED＝∠BCD＝90°， ∵∠CDE＝∠BDC， ∴△CDE∽△BDC， ∴， ∴CD2＝DE•DB． 设DE＝x，则EB＝3x， ∴32＝x（x+3x），解得， ∴BD＝ED+DE＝6.． 故选：B． 39．（2025•蚌埠模拟）如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD并延长至点E，使∴，且∠AEB＝∠C，AE＝16，BD＝8，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵， ∴，， ∵∠AEB＝∠C，∠BDE＝∠ADC， ∴△BDE∽△ADC， ∴，即， ∴， 故选：B． 40．（2025•腾冲市校级模拟）如图①：是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图：AB＝AC．拉杆EF∥BC，米，则两梯杆跨度B、C之间距离为（　　） A．2米 B．2.1米 C．2.5米 D．米 【解答】解：∵EF∥BC，米， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， 解得：BC＝2.1（经检验，是方程的根，且符合题意）， ∴两梯杆跨度B、C之间距离为2.1米， 故选：B． 41．（2025•罗江区模拟）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为（　　） A．18cm B．20cm C． D．15cm 【解答】解：由题意可得：AB∥A′B′， ∴△AOB∽△A′OB′， 如图，过点O作OC⊥AB于C，延长CO交A′B′于点C′， ， ∴OC′⊥A′B′，OC＝30cm， ∴，即， ∴OC′＝20cm，即小孔O到A′B′的距离为20cm， 故选：B． 42．（2025•瑶海区校级三模）如图，在△ABC中，点D、E在AC、BC边上，连接DE并延长交AB延长线于点G．过D作DF⊥AG于F．若2∠ADF＝∠G，CE：BE＝2：1，，AF＝2，GE＝4，则AB的长为（　　） A． B． C．9 D．12 【解答】解：设∠ADF＝α，则∠G＝2α， ∵DF⊥AG， ∴∠AFD＝90°， ∴∠A＝90°﹣α， ∴∠ADG＝180°﹣∠A﹣∠G＝90°﹣α＝∠A， ∴△GAD为等腰三角形． 在Rt△AFD中，， 设GD＝x，GF＝x﹣2， 在Rt△GFD中，GF2+DF2＝GD2， ∴（x﹣2）2+36＝x2， 解得x＝10， ∴DE＝6， ∵CE：BE＝2：1， ∴CE：BC＝2：3， 如图，过B作BQ∥DG交AC于Q， ∵BQ∥DG，CE：BC＝2：3， ∴△BQC∽△EDC， ∴， ∴， 解得BQ＝9， ∵BQ∥DG， ∴∠BQA＝∠DGA＝∠A， ∴BA＝BQ＝9， 故选：C． 43．（2025•工业园区校级二模）如图①，是形如“7”形的拼块，其每个拐角都是直角，各边长度如图所示．如图②，用4个同样的拼块拼成的图案，恰好能放入一个边长为6的正方形中，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：依题得：EG＝HF＝2a，PF＝a，PE＝4a﹣a＝3a， AD＝6，∠A＝∠D＝∠P＝∠PEG＝∠PFH＝90°， ∴，∠PEF+∠PFE＝90°， ∠DFH+∠PFE＝90°，∠PEF+∠AEG＝90°， ∠DFH+∠DHF＝90°，∠AGE+∠AEG＝90°， ∴∠PFE＝∠AEG＝∠DHF，∠PEF＝∠DFH＝∠AGE， ∴△DHF∽△PFE，△AEG∽△PFE， ∴，， ∴，， ∵AD＝AE+EF+DF＝6， 即， 解得． 故选：B． 44．（2025•曲阜市二模）如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③；④△AMN∽△CAB．正确的有（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【解答】解：已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点， ∵AD∥BC，， ∴△AMN∽△CBN， ∴， ∴CN＝2AN， 故①结论正确； 如图，过D作DH∥BM交AC于G， ∵DH∥BM，BM⊥AC， ∴DH⊥AC， ∵DH∥BM，AD∥BC， ∴四边形BMDH是平行四边形， ∴， ∴BH＝CH， ∵∠BNC＝60°， ∴NH＝HC，且DH⊥AC， ∴DH是NC的垂直平分线， ∴DN＝CD， 故②结论正确； ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC， ∴∠DAC＝∠ACB，∠ABC＝∠ANM＝90°， ∴△AMN∽△CAB， 故④结论正确； ∵△AMN∽△CAB， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA，且∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠AMB＝90°， ∴∠BAC＝∠AMB，且∠BAM＝∠ABC， ∴△ABM∽△BCA， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③结论正确， 综上所述，正确的有①②③④， 故选：A． 45．（2025•永寿县校级一模）如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD，△EFG的顶点F、G分别是CD、AC的中点，EG、EF分别交AD于点H、P，若点H是EG的中点，AD＝6，则HP的长为（　　） A．3 B．2 C．2.5 D．1.5 【解答】解：∵点F、G分别是CD、AC的中点，AD＝6（已知）， ∴GF是△ADC的中位线， ∴（三角形中位线定理）， ∴△EPH∽△EFG（平行线法）， ∵点H是EG的中点， ∴（相似三角形的对应边成比例）， ∴， 故选：D． 46．（2025•南明区模拟）如图，BC与EF在一条直线上，AC∥DF，将图（2）的三角形截去一块，使他变为与图（1）相似的图形，下列做法不正确的是（　　） A．过点E作EG∥AB，交DF于点G，则△ABC∽△GEF B．取DF的中点M，连接EM，则△ABC∽△MEF C．在线段EF和DF上分别取点M、N，使得MN∥AB，则△ABC∽△NMF D．在DF上取一点G，使得∠GEF＝∠A，则△ABC∽△EGF 【解答】解：连接CE， ∵BC与EF在一条直线上， ∴点B，C，E，F四点共线， ∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠F， A、如下图，过点E作EG∥AB，交DF于点G， ∵EG∥AB， ∴∠B＝∠GEF， 又∵∠ACB＝∠F， ∴△ABC∽△GEF，选项A正确，不符合题意； B、如下图，取DF的中点M，连接EM， 无法证明，EM∥AB，因此无法证明△ABC∽△MEF，选项B错误，符合题意； C、如图在线段EF和DF上分别取点M、N，使得MN∥AB， ∵MN∥AB， ∴∠B＝∠NMF， 又∵∠ACB＝∠F， ∴△ABC∽△NMF，选项C正确，不符合题意； D、如下图，在DF上取一点G，使得∠GEF＝∠A， ∵∠GEF＝∠A，∠ACB＝∠F， ∴△ABC∽△EGF，选项D正确，不符合题意； 故选：B． 47．（2025•庐江县一模）如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，设雕像下部高x m，则可列方程为（　　） A．x2＝2x（2﹣x） B．2x＝x（2﹣x） C．x2＝2（2﹣x） D．x2＝2（2+x） 【解答】解：设雕像下部高为x m，则雕像上部高为（2﹣x）m， 根据题意得：，即x2＝2（2﹣x）． 故选：C． 48．（2025•罗湖区校级模拟）如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段AB＝3.2cm，则线段BC的长为（　　） A．6.4cm B．8cm C．9.6cm D．12.8cm 【解答】解：∵练习纸中的竖格线都平行， ∴， ∵AB＝3.2cm， ∴BC＝9.6cm， 故选：C． 49．（2025•蚌山区三模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，矩形DEFG的顶点D，G分别在边AB、AC上，E，F在边BC上．若，则矩形DEFG的面积为（　　） A．16 B．24 C．32 D．36 【解答】解：设DE＝x，则 DG＝2x． ∵∠BAC＝90°， ∴∠B+∠C＝90°． ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEB＝90°，GF＝DE＝x，EF＝DG＝2x， ∴∠B+∠BDE＝90°， ∴∠C＝∠BDE． ∵∠BED＝∠GFC＝90°， ∴△BED∽△GFC， ∴， ∵， ∴， 即， 即x2+6x﹣40＝0， 解得x＝4或 x＝﹣10（负值舍去）， ∴DE＝4，DG＝8， ∴矩形DEFG 的面积为4×8＝32． 故选：C． 50．（2025•芜湖一模）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A． B．∠B＝∠D C． D．∠C＝∠AED 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE， ∴∠DAE＝∠BAC， ∴选项B、D根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE， 选项A根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE， 选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 51．（2025•龙岗区校级模拟）如图，在直角坐标系中，点B的坐标是（0，4），点A在x轴上，∠ABC＝90°，且S△ABC＝12，则线段OC长的最大值是（　　） A．6 B．8 C．12 D． 【解答】解：点B的坐标是（0，4），点A在x轴上，∠ABC＝90°，如图，作矩形ABCD，过点B作BE∥x轴交CD于点E，取BE的中点F，连接CF、OF， ∴∠OBE＝∠ABC＝90°， ∴∠CBE+∠EBA＝∠OBA+EBA， ∴∠CBE＝∠OBA， 又∵∠BCE＝∠BOA＝90°， ∴△BOA∽△BCE， ∴，即BO•BE＝AB•BC， ∵S△ABC＝12， ∴， ∴AB•BC＝24， ∴BO•BE＝24， 又∵B（0，4）， ∴BO＝4， ∴BE＝6， ∴， 在Rt△BFO中，由勾股定理得：， ∵OC≤OF+CF， ∴OC≤3+5＝8， ∴OC的最大值是8． 故选：B． 52．（2025•无锡一模）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝2，tanB＝4，P为边BC上一动点，且满足∠EPF＝∠C，点E在边AB上，点F在边AC上，连结EF，以下结论：①若P为BC的中点，则PE的最小值为；②若CF＝3，则BE的最大值为；③若PE＝2PF，则BE+2CF的值为4；④若∠EPB＝90°，则当时，EF有最小值．其中正确的为（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【解答】解：若P为BC的中点，连接AP， ∵AB＝AC，P为BC的中点， ∴AP⊥BC，， 在Rt△ABP中，tanB＝4， ∴， ∴AP＝4， ∴， 由垂线段最短可知，当PE⊥AB时，PE有最小值， 此时， ∴， 即若P为BC的中点，则PE的最小值为，故①结论正确； ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠EPF＝∠C， ∴∠EPF＝∠C＝∠B， ∴∠BEP+∠BPE＝180°﹣∠B，∠BPE+∠CPF＝180°﹣∠EPF， ∴∠BEP＝CPF， ∴△BPE∽△CFP， ∴， ∵BC＝2，CF＝3， 设BP＝x，则CP＝2﹣x， ∴， ∴， ∵， ∴当x＝1，即BP＝1时，BE有最大值为， 即若CF＝3，则BE的最大值为， 故②结论正确； ∵△BPE∽△CFP， ∴， ∵PE＝2PF， ∴BE＝2CP，BP＝2CF， ∴BE+2CF＝2CP+BP＝CP+BC， ∵BC＝BP+CP＝2， ∴BE+2CF＝CP+2＜4， 即若PE＝2PF，则BE+2CF的值小于4， 故③结论错误； 当∠EPB＝90°时，如图，过点E作EH⊥PF于点H， 设BP＝a，则CP＝2﹣a， 在Rt△BPE中，tanB＝4， ∴， ∴EP＝4a， ∴， ∴． 在Rt△EHP中，∠EPH＝∠B， ∴，tan∠EPH＝tanB＝4． ∴，， ∴， ∵△BPE﹣△CFP， ∴， ∴， ∴， ∴， 在Rt△EHF中，EF2＝EH2+FH2， ∴， 令y＝320a2﹣128a+64， 则， ∵320＞0， ∴当时，y有最小值， 则有最小值， 即当时，EF有最小值， 故④结论正确； 故选：C． 53．（2025•方城县模拟）已知，则代数式的值为（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：∵， ∴b＝2025a， ∴． 故选：B． 54．（2025•包河区校级三模）如图，在正五边形ABCDE中，连结BE，BD，过点D作CD的垂线，与边AE交于点F，与对角线BE交于点P，下列结论中错误的是（　　） A．∠EFD＝54° B．AB+AF＝BE C． D．点F是AE的黄金分割点 【解答】证明：如图，连接AD交BE于点G，连接GF， ∵正五边形ABCDE的内角和是（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠FED＝∠CDE＝∠EAB＝540°+5＝108°， ∵过点D作CD的垂线， ∴∠CDF＝90°， ∴∠FDE＝108°﹣90°＝18°， 在Rt△EFD中，∠EFD＝180°﹣18°﹣108°﹣54°， 故A选项是正确的，不符合题意； ∵AE＝AB， ∴∠AEB＝∠ABE， ∴， ∴∠ABE＝∠EAD＝36°， ∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°， ∴∠BGA＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∴AB＝BG， 又∵∠EAD＝∠AEG＝36°， ∴GA＝GE， ∴BA+GA＝BG+GE＝BE， 又∵∠EDF＝180°﹣90°﹣72°＝18°，∠GDF＝36°﹣18°＝18°， ∴∠CGB＝∠CBG＝72°， ∴DG＝DE， 在△EDF和△GDF中， ， ∴△EDF≌△GDF（SAS）， ∴∠DEF＝∠DGF＝108°，GF＝EF， ∴∠AGF＝∠AFG＝72°， ∴AG＝AF， ∴AE+AF＝BE， ∴AB+AF＝BE， 故B选项是正确的，不符合题意； ∵AB＝BG，AG＝AF， ∴， ∵∠ABG＝∠GAF＝36°， ∴△ABG∽△FAG， 即， ∵AG＝AF，GF＝EF， 即， ∴AF2＝AB2﹣AB×AF， 解得（负值已舍去）， ∴， 即， ∴点F是AE的黄金分割点， 故D选项是正确的，不符合题意； 则∠BDE＝∠CDE﹣∠CDB＝108°﹣36°＝72°， ∴∠BDE＝∠BED， ∴BE＝BD， 则BE＝BG+GE＝AB+AG＝AE+AF， 即BD＝AE+AF， ∵， ∴， ∴， 故C选项不是正确的，符合题意； 故选：C． 55．（2025•天津校级模拟）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC， ∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA， ∴，， ∴． ∴结论一定正确的是． 故选：D． 56．（2025•余姚市一模）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1 B．a＝2，b，c＝2，d C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a，b＝3，c＝2，d 【解答】解：A、4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项错误； B、22，四条线段成比例，故本选项正确； C、4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项错误； D、3≠2，四条线段不成比例，故本选项错误． 故选：B． 57．（2025•高青县一模）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接AC，若AH平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为3，则正方形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D．15 【解答】解：设直角三角形的长直角边是a，短直角边是b， ∴正方形EFGH的边长是a﹣b， ∵正方形EFGH的面积为3， ∴（a﹣b）2＝3， ∴a2+b2﹣2ab＝3， ∵AH平分∠DAN， ∴∠DAH＝∠NAH， ∵∠AHD＝∠AHN＝90°，AH＝AH， ∴△AHD≌△AHN（ASA）， ∴DH＝NH＝b， ∵AH∥CF， ∴∠HAM＝∠FCM， ∵FC＝AH，∠CFM＝∠AHN＝90°， ∴△AHN≌△CFM（ASA）， ∴FM＝NH＝b， ∴EM＝a﹣b﹣b＝a﹣2b， ∵ME∥HN， ∴△AME∽△ANH， ∴ME：NH＝AE：AH， ∴（a﹣2b）：b＝b：a， ∴a2﹣b2＝2ab， ∴b2， ∴b， ∵（a﹣b）2＝3， ∴a， ∴AD2＝a2+b2＝6+3， ∴正方形ABCD的面积是6+3． 故选：A． 58．（2025•江北区校级二模）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA＝3，AD＝5，△ABC的面积为，则△DEF的面积为（　　） A． B．30 C．32 D． 【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△DEF， ∵OA＝3，AD＝5， ∴OD＝8， ∴OA：OD＝3：8， ∴S△ABC：S△DEF＝9：64， ∵S△ABC， ∴S△DEF＝32， 故选：C． 59．（2025•西安校级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB的中点，DE∥BC交AC于E，延长DA至F，使AF＝DA．若AE＝3，BC＝8，则EF的长为（　　） A． B．5 C． D． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵D为AB的中点， ∴AC＝2AE＝6，， ∵AF＝DA， ∴， ∴AD＝AE＝AF＝3， ∴∠ADE＝∠AED，∠AEF＝∠AFE， ∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝∠ADE+∠AED+∠AEF+∠AFE＝180°， ∴∠DEF＝∠AED+∠AEF＝90°， ∴， 故选：A． 60．（2025•惠城区三模）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，作△ABC的外接圆⊙E，D为⊙E上的动点且在AB的上方，F为线段CD的中点，P为线段AB上一点，Q为线段BA的延长线上一点，，则下列结论正确的有（　　） ①；②BF的最小值为2；③；④AD•BD的最大值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①∵⊙E是△ABC的外接圆， ∴∠BDC＝∠BAC，∠ADC＝∠ABC， ∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°， ∴， ∴， ， ∴，故①正确，符合题意； 如图，连接CE，DE，取CE的中点G，连接FG，BG，过点G作GH⊥BC，垂足为H， ∵F是CD的中点，G是CE的中点， ∴， ∴F在以G为圆心，为半径的圆上运动， ∵EB＝EC， ∴∠ECB＝∠ABC， ∴， ∴， ∴，BH＝BC﹣HC＝4﹣1＝3， ∴， ∴BF的最小值为，故②错误，不符合题意； ∵， 设PA＝x，则PQ＝3x，QA＝2x， ∴PQ＝QB＝3x， ∴AB＝4x＝5， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 又∵∠DEQ＝∠PED， ∴△DEQ∽△PED， ∴，故③正确，符合题意； ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD2+BD2＝AB2， ∵（AD﹣BD）2≥0， 即AD2+BD2≥2AD•BD， ∴，故④正确，符合题意， 故正确的有①③④， 故选：C． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $