05 二次函数-2026年中考复习之小题狂练900题（选择题）

2026年中考复习之小题狂练900题（选择题）二次函数60题 一．选择题（共60小题） 1．（2025•济南）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣1，n），且经过（1，0），（0，m）两点，3＜m＜4．有下列结论： ①关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根； ②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小； ③； ④4a﹣2b+c＞0； ⑤对于任意实数t，总有（t+1）（at﹣a+b）≤0． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（2025•福建）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 3．（2025•南通）在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为A（﹣1，5），B（1，2），C（2，1），D（3，﹣1），E（5，5）．若抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0）经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为（　　） A． B． C． D． 4．（2025•广元）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … m ﹣4 n ﹣4 s … 其中0＜m＜2．以下结论：①abc＜0；②若抛物线经过点（﹣2，y1），（7，y2），则y2＞y1；③关于x的方程|ax2+bx+c|+1﹣s＝0有两个不相等的实数根；④s+n＜﹣4；⑤当m＝1，t≤x≤t+2时，y的最小值是1，则t＝2或4．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025•乐山）已知二次函数y＝x2+4x+m的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣2； ②当m＜4时，二次函数的图象与x轴有两个交点； ③若y1＜y2，则|x1+2|＞|x2+2|； ④当x≥﹣2时，二次函数的图象与y＝2x﹣1的图象有两个交点，则﹣1≤m＜0． 其中，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025•广州）在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）上，则下列结论中正确的是（　　） A．当x1＜0且y1•y2＜0时，则0＜x2＜2 B．当x1＜0且y1•y2＞0时，则0＜x2＜2 C．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2 7．（2025•青岛）将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（　　） A．图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3） B．当x＝1时，函数取得最大值 C．图象与x轴两个交点之间的距离为4 D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大 8．（2025•兰州）如图，在正方形ABCD中，AB＝2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），则点P分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是（　　） A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数 9．（2025•白云区校级三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2025•绥化）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，m），其中﹣4＜m＜﹣3．则下列结论： ①a﹣c＞0； ②方程ax2+bx+c﹣5＝0没有实数根； ③b＜﹣2； ④0． 其中错误的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2025•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3．下列结论： ①abc＞0；②2a+c＜0；③4a﹣b+2c＜0；④若m和n是关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣x1）+c＝0（a≠0）的两根，且m＜n，则m＜﹣1，n＞2；⑤关于x的不等式ax2+bx+cx+c（a≠0）的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 12．（2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 13．（2025•天津）四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当t＝6s时，CN＝DM； ②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm2； ③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 14．（2025•浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（　　） A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上 15．（2025•威海）已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 16．（2025•宜宾）如图，O是坐标原点，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D，对称轴为x＝﹣2，其中A（2，0），B（0，c），且﹣3＜c＜﹣2．以下结论：①abc＞0；②b＜1；③△ACD是钝角三角形；④若方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根为x1、x2（x1＜x2），则﹣2＜x1＜4﹣2，6＜x2＜4+2．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（2025•德阳）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）过点（1，0），（m，0），且2＜m＜3，该抛物线与直线y＝kx+c（k，c是常数，k≠0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（点A在点B左侧）．下列说法：①bc＜0；②3a+b＞0；③点A′是点A关于直线x的对称点，则3＜AA′＜4；④当x2＝4时，不等式ax2+（b﹣k）x＜0的解集为0＜x＜4．其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（2025•眉山）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，CD，动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．下列4个结论：①当t＝1时，S＝3；②点P在线段BA上时S＝2t2﹣16t+34；③AD＝4；④t1+t2＝4．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（2025•甘肃）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x（x＞0），则水流喷出的最大高度是（　　） A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m 20．（2025•山东）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．当x≥1000时，y随x的增大而减小 B．当x＝2000时，y有最大值 C．当y≥0.6时，x≥1000 D．当y＝0.4时，x＝600 21．（2025•安徽）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则（　　） A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．2b﹣c＜0 D．a﹣b+c＜0 22．（2025•广安）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（n，0），有下列结论：①abc＜0；②4a+c＞2b；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝n；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（2025•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，顶点P的坐标为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②对于任意实数m，都有am2+bm﹣a﹣b≥0；③3b＜2c；④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且△PAB是等边三角形，则n．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 24．（2025•遂宁）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴交点坐标是（0，m）且2＜m＜3．有下列结论： ①abc＜0；②9a﹣3b+c＞0；③；④关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0必有两个不相等实根；⑤若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3，当y1＜y3＜y2时，则n的取值范围为． 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 25．（2025•凉山州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为x＝2，且图象经过点（6，0），则下列结论错误的是（　　） A．bc＞0 B．4a+b＝0 C．若bx1bx2且x1≠x2，则x1+x2＝4 D．若（﹣1，y1），（3，y2）两点都在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，则y2＜y1 26．（2025•泸州）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点位于x轴下方，且x＝﹣1时，y＞0，下列结论正确的是（　　） A．2a＝b B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣2b+4c＜0 D．8a+c＞0 27．（2025•台湾）坐标平面上有二次函数y＝﹣（x+7）2+12的图形，今将此图形向右平移10单位，平移过程中此图形与y轴的交点也会跟着变化．假设此图形与y轴的交点为P，判断在平移过程中，P点位置的变化情形为下列何者？（　　） A．持续向下 B．持续向上 C．先向下再向上 D．先向上再向下 28．（2025•垦利区三模）已知二次函数y＝x2﹣3x+1，当1≤x≤3时，则y的取值范围是（　　） A． B． C．﹣1≤y≤1 D． 29．（2025•曾都区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＝0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；③若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣4a；④若bx1bx2且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2；⑤方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1，x2＞3．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．（2025•海淀区校级一模）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6，下列说法正确的是（　　） A．最大值4 B．最小值4 C．最大值6 D．最小值6 31．（2025•淮安区模拟）抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　） A．（1，5） B．（2，1） C．（2，5） D．（﹣1，5） 32．（2025•花溪区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c，无论x为何值，函数值y＞0总是成立的条件是（　　） A．a＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＜0，b2﹣4ac＞0 C．a＞0，b2﹣4ac＜0 D．a＜0，b2﹣4ac＜0 33．（2025•雷州市二模）如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE．当AD+BC的值最小时，点C的坐标是（　　） A．（2，1） B． C． D． 34．（2025•泉山区校级模拟）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式是（　　） A．y＝2（x﹣2）2+1 B．y＝2（x﹣2）2﹣3 C．y＝2（x+2）2+1 D．y＝2（x+2）2﹣3 35．（2025•阳新县三模）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（　　） ①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）； ②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1； ③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大； ④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0； ⑤当x＝1时，函数的最大值是4， A．4 B．3 C．2 D．1 36．（2025•淄川区二模）函数y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（　　） A． B． C． D． 37．（2025•雁塔区校级模拟）关于抛物线y＝x2﹣（m+1）x+m，下列说法：①开口向下；②与坐标轴有3个交点；③一定过点（1，0）；④顶点一定不在第二象限；其中正确的是（　　） A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 38．（2025•南山区校级三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则图象与x轴正半轴交点M的横坐标是（　　） A．4 B．2 C．3 D．﹣4 39．（2025•电白区一模）如果三点P1（1，y1），P2（3，y2）和P3（4，y3）在抛物线y＝﹣x2+6x+c的图象上，那么y1，y2与y3之间的大小关系是（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3 40．（2025•定海区二模）对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　） A．﹣3＜n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或 C．n≤﹣1或 D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1 41．（2025•凤阳县二模）抛物线Q：y＝x2﹣2mx+2m﹣1（m为常数）的顶点为C，经过探究发现，随着m的变化，点C始终在某一抛物线H上，若将抛物线Q向右平移n（n＞0）个单位，所得抛物线顶点D仍在抛物线H上，则下列结论正确的是（　　） A．2m﹣n＝2 B．2m+n＝2 C．2m﹣n＝1 D．2m+n＝1 42．（2025•雁塔区校级三模）已知抛物线L的解析式为y＝ax2﹣6ax+3（a≠0），则下列说法正确的是（　　） A．若点（﹣1，y1）与点（2，y2）都在抛物线L上，且y1＞y2，则有a＜0 B．若抛物线L的顶点A到原点的距离为5，则 C．若抛物线L只经过两个象限，则a＞3 D．当﹣1≤x≤4时，y有最小值为1，则a的值为或 43．（2025•合肥校级二模）已知一次函数y＝（m﹣n）x+n的图象如图所示，则二次函数y＝mx2+nx的图象大致是（　　） A． B． C． D． 44．（2025•陕西模拟）小轩在画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时列表如下： x … ﹣3 ﹣1 0 2 4 … y … 12 0 ﹣3 ﹣3 5 … 则下列关于这个函数的结论错误的是（　　） A．该函数图象开口向上 B．在函数图象上有两点（x1，﹣1），（x2，﹣2），则x1＞x2 C．该函数图象经过点（3，0） D．当x＞1时，y随x的增大而增大 45．（2025•天津模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝24t﹣6t2（0≤t≤4）．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要4s； ②小球在t＝1和t＝3时的高度相等； ③小球运动中的最大高度为24m． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 46．（2025•合江县模拟）已知关于x的二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）+1的最小值为k，若3＜a＜4，3＜b＜4，则k的取值范围是（　　） A． B． C．0≤k≤1 D． 47．（2025•西安校级一模）老师给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表，同学们讨论得出了下列结论，其中不正确的是（　　） x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … A．抛物线的对称轴为直线x＝1 B．x＝3是方程ax2+bx+c+5＝0的一个根 C．当﹣2＜x＜4时，y＜0 D．若A（x1，5），B（x2，6）是该抛物线上的两点，则x1＜x2 48．（2025•广州校级二模）抛物线y＝ax2+bx+c中的x，y的部分对应值如下表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 4 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 0 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．当x＞3时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0） 49．（2025•永寿县校级一模）已知抛物线y＝x2+x+m（m是常数），当x＝t时，函数值y小于m，当x＝t﹣1时，则函数值y的范围是（　　） A．y＜0 B．0＜y＜m C．m＜y＜m+2 D．y＞m+1 50．（2025•怀远县三模）如图，抛物线y＝ax2﹣（a+c）x+c（a≠0）交x轴于A，B两点（点A在x轴的负半轴上），交y轴的负半轴于点C．下列选项中，不正确的是（　　） A．无论a，c取何值，抛物线一定经过一个确定的点 B．无论a，c取何值，对称轴不一定在 y轴的左侧 C．当AO＝2CO时， D．当AO＝2BO时，c＝﹣3a 51．（2025•蚌埠模拟）已知抛物线y＝﹣x2+2x+m﹣1（m为常数）与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4），则下列结论错误的是（　　） A．关于x的方程﹣x2+2x+m﹣1＝0（m为常数）有两个不相等的实数根 B．4＜m＜9 C．若点M（﹣2，y1），，P（3，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2 D．将该抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+m 52．（2025•龙马潭区二模）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两交点，当m＞2且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足：﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0时，则m的取值范围是（　　） A．3＜m＜11 B． C．2＜m＜3或 D． 53．（2025•福州校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点为B，对称轴为直线x＝1．下列四个结论：①3a+b＜0；②过点（0，c﹣a）平行于x轴的直线与抛物线有唯一的公共点；③若a＞0，关于x的不等式a（x+1）2+b（x+1）＜0的解集为﹣1＜x＜1；④若a＜0，点P（t，y1），Q（t﹣1，y2）在该抛物线上，当实数时，y1＞y2．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④ 54．（2025•鲤城区校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（x1，y1），B（x2，y2），C（t，n），D（2﹣t，n）四点，且﹣3＜x1＜﹣1，若存在正数m，使得当m＜x2＜m+1时，总有y1≠y2成立，则正数m的取值范围是（　　） A．0＜m≤5 B．2＜m≤5 C．0＜m≤2或m≥5 D．0＜m≤3或m≥5 55．（2025•连州市校级模拟）设A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+c上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3 56．（2025•蚌山区三模）函数y＝mx2﹣2x+1（m是常数，m≠0，下同）和y＝mx+m在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 57．（2025•叙州区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+2ax+c的图象交x轴负半轴于点A（﹣3，0），交x轴正半轴于点B，交y轴负半轴于点C，点D为抛物线的顶点，连结AD、CD、AC，且AC⊥CD．以下结论：①点B坐标为（1，0）；②﹣a+c＜0；③a＝1；④在△AOC内存在唯一一点M，使得MA+MC+MO的值最小，若MA+MC+MO的最小值为m，则．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 58．（2025•浙江模拟）已知x1、x2是二次方程x2+bx+c＝0两个不同的根．若0＜x1＜1，0＜x2＜1，则（　　） A．c和1+b+c都小于 B．c和1+b+c至少一个小于 C．c和1+b+c都大于 D．c和1+b+c至少一个大于 59．（2025•惠山区一模）一个物体从地面被竖直向上抛出，其上升高度h（米）与时间t（秒）之间的关系由二次函数h＝﹣5t2+20t描述．关于该物体的运动，下列选项正确的是（　　） A．物体在2秒时到达最高点，最高高度为40米，并在4秒时返回地面 B．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在4秒时返回地面 C．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在2秒时返回地面 D．物体在4秒时到达最高点，最高高度为40米，并在8秒时返回地面 60．（2025•武威校级模拟）如图，抛物线与交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论错误的是（　　） A．无论x取何值，y2总是负数 B．抛物线y2可由抛物线y1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到 C．当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小 D．若依次连接AE、EC、CD、DA，则四边形AECD为正方形 2026年中考复习之小题狂练900题（选择题）二次函数60题 参考答案与试题解析 一．选择题（共60小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A C C C A C D D A B 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 答案 D C D C C B B B B C C 题号 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 答案 D C D D D A C D A C C 题号 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 答案 C A C C C A A B D C B 题号 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 答案 D B D C C D D B B C D 题号 56 57 58 59 60 答案 B D B B C 一．选择题（共60小题） 1．（2025•济南）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣1，n），且经过（1，0），（0，m）两点，3＜m＜4．有下列结论： ①关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根； ②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小； ③； ④4a﹣2b+c＞0； ⑤对于任意实数t，总有（t+1）（at﹣a+b）≤0． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣1，n）， 且经过（1，0），（0，m）两点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∴a＜0，抛物线与x轴的交点为：（1，0）和（﹣3，0）， 图象如下所示： 令y＝n﹣1，即把y＝n向下平移一个单位， 再结合函数图象可知ax2+bx+c＝n﹣1（a≠0）有两个不相等的实数根， 故ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；①正确，符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小，故②正确，符合题意； ∵抛物线与x轴的交点为：（1，0）和（3，0）， ∴二次函数为y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a， ∴m＝﹣3a， ∵3＜m＜4， ∴3＜﹣3a＜4， 解得，故③正确，符合题意， 结合函数图象可知，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故④正确，符合题意， ∵， ∴b＝2a， ∴（t+1）（at﹣a+b）＝（t+1）（at﹣a+2a） ＝a（t+1）（t+1） ＝a（t+1）2， ∵a＜0，（t+1）2≥0， ∴a（t+1）2≤0， 即故⑤正确，符合题意， 综上：①②③④⑤正确， 故选：A． 2．（2025•福建）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 【解答】解：∵y＝3x2+bx+1， ∴当x＝0时，y＝1， ∴抛物线过点（0，1）， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵3＜b＜4， ∴， ∵，， ∴点A（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，y2）到对称轴的距离， ∴1＜y1＜y2， 故选：A． 3．（2025•南通）在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为A（﹣1，5），B（1，2），C（2，1），D（3，﹣1），E（5，5）．若抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0）经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0） ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2． ∵A（﹣1，5），E（5，5），且2， ∴点A、E同时在抛物线上或同时不在抛物线上． 当抛物线过A、E、B时， 把B（1，2），A（﹣1，5）代入得， 解得a； 当抛物线过A、E、C时， 把A（﹣1，5），C（2，1）代入得， 解得a， 当抛物线过A、E、D时， 把A（﹣1，5），D（3，﹣1）代入得， 解得a， 当抛物线过B、C、D时， 把C（2，1）代入解析式求得k＝1， ∴y＝a（x﹣2）2+1， 把B（1，2）代入得a+1＝2，解得a＝1， 把D（3，﹣1）代入得a+1＝﹣1，解得a＝﹣2， ∴B、C、D三点不能同时在抛物线上， 综上，a的值可能为，，，不可能为， 故选：C． 4．（2025•广元）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … m ﹣4 n ﹣4 s … 其中0＜m＜2．以下结论：①abc＜0；②若抛物线经过点（﹣2，y1），（7，y2），则y2＞y1；③关于x的方程|ax2+bx+c|+1﹣s＝0有两个不相等的实数根；④s+n＜﹣4；⑤当m＝1，t≤x≤t+2时，y的最小值是1，则t＝2或4．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵当x＝1和x＝3时，均有y＝﹣4， ∴点（1，﹣4）和点（3，﹣4）关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为， ∴b＝﹣4a， ∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣4ax+c， 又∵当x＝0时，y＝c，由表格可知当x＝0时，y＝m， ∴c＝m， ∵0＜m＜2， ∴m＞﹣4， ∴抛物线的开口向上， ∴a＞0，c＞0，b＝﹣4a＜0， ∴abc＜0，故①正确； 由①可知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向上，对称轴为x＝2， ∵|7﹣2|＝5，|﹣2﹣2|＝4， ∴5＞4， ∵开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的y值越大， ∴y2＞y1故②正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向上，对称轴为x＝2， ∴（0，m）与（4，s）关于对称轴对称， ∴m＝s，由①可知m＝c， ∴m＝s＝c， ∵0＜s＜2，当s＞1时，0＜s﹣1＜1，把方程|ax2+bx+c|+1﹣s＝0整理得：|ax2+bx+c|＝s﹣1， ∴|ax2+bx+c|＝s﹣有4个根； 当s＝1时，方程为|ax2+bx+c|＝0， ∴方程有2个根；当s＜1时，s﹣1＜0，则有|ax2+bx+c|＝s﹣1＜0， ∴方程|ax2+bx+c|+1﹣s＝0无实根，故③错误； ∵x＝2时，n＝4a+2b+c，当x＝1时，a+b+c＝﹣4，当x＝3时，9a+3b+c＝﹣4，可得b＝﹣4a，c＝3a﹣4， ∴n＝4a+2b+c＝﹣a﹣4，s＝m＝c＝3a﹣4， ∴s+n＝2a﹣8， ∵0＜m＜2， ∴0＜3a﹣4＜2，解得：， ∴，故④正确； ∵当m＝1时，m＝c＝s＝1，此时抛物线过点（0，1），（4，1），抛物线y＝ax2+bx+1与y＝1交于点（0，1），（4，1）， ∵t≤x≤t+2时最小值为1， ∴t+2≤0或t≥4，当t+2≤0时，t≤﹣2， ∴t＝﹣2或t＝4，与结论t＝2不符合，故⑤错误． 综上所述，正确结论为①②④，共3个． 故选：C． 5．（2025•乐山）已知二次函数y＝x2+4x+m的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣2； ②当m＜4时，二次函数的图象与x轴有两个交点； ③若y1＜y2，则|x1+2|＞|x2+2|； ④当x≥﹣2时，二次函数的图象与y＝2x﹣1的图象有两个交点，则﹣1≤m＜0． 其中，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝x2+4x+m， ∴a＝1＞0． ∴图象开口向上． 又∵b＝4， ∴对称轴为直线，故①正确． ∵二次函数为y＝x2+4x+m， ∴Δ＝16﹣4m． ∴当m＜4时，4m＜16，即Δ＝16﹣4m＞0． ∴此时二次函数的图象与x轴有两个交点，故②正确． ∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ∵对称轴是直线x＝﹣2， ∴当y1＜y2时，|x1+2|＜|x2+2|，故③错误． 由题意，令x2+4x+m＝2x﹣1，即x2+2x+m+1＝0， ∴Δ＝4﹣4m﹣4＝﹣4m＞0． ∴m＜0． 又设方程x2+2x+m+1＝0的两个根为x3，x4， ∴x3+x4＝﹣2，x3x4＝m+1． 又∵函数y＝x2+2x+m+1的对称轴是直线x＝﹣1， ∴要使在x≥﹣2时有两个交点，故当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2+2×（﹣2）+m+1＝4﹣4+m+1＝m+1≥0． ∴m≥﹣1． ∴﹣1≤m＜0，故④正确． 综上，正确的结论有①②④，共3个． 故选：C． 6．（2025•广州）在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）上，则下列结论中正确的是（　　） A．当x1＜0且y1•y2＜0时，则0＜x2＜2 B．当x1＜0且y1•y2＞0时，则0＜x2＜2 C．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2 【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax（a＞0）， ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把x＝1代入y＝ax2﹣2ax得y＝a﹣2a＝﹣a， ∴顶点为（1，﹣a）， ∵两点A（x1，y1）．B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）， ∴当x1＜0目y1•y2＜0时，y1＞0（因x＜0时抛物线在x轴上方）， 故y2＜0， 此时0＜x2＜2，故A选项的结论正确； 当x1＜x2＜1时，抛物线在x＜1时递减， 故x2越大，y2越小， 即y1＞y2，故C选项的结论错误； 当x1＜0且y1•y2＞0时，y2＞0， 此时x2应满足x2＜0或x2＞2，故B选项的结论错误； 当x1＞x2＞1时，抛物线在x＞1时递增， 故x1越大，y1越大， 即y1＞y2，故D选项的结论错误； 故选：A． 7．（2025•青岛）将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（　　） A．图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3） B．当x＝1时，函数取得最大值 C．图象与x轴两个交点之间的距离为4 D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝x2﹣2x﹣3， ∴当x＝0时，y＝﹣3． ∴其图象与y轴交于（0，﹣3）． 又∵图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方， ∴新函数图象与y轴的交点为（0，3），故A错误． ∵结合函数图象可以发现，函数没有最大值， ∴B选项错误． 令y＝x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或x＝﹣1， ∴函数图象与x轴交点为（﹣1，0），（3，0）． ∴图象与x轴两个交点之间的距离为：3﹣（﹣1）＝4，故C正确． 由题意，∵原函数为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴新函数为y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）． ∴函数的对称轴是直线x＝1． ∴结合函数图象可得，当1＜x＜3时，y随x的增大而减小；当x＞3时，y随x的增大而增大，故D错误． 故选：C． 8．（2025•兰州）如图，在正方形ABCD中，AB＝2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），则点P分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是（　　） A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数 【解答】解：∵正方形ABCD中，AB＝2cm， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm， ∴，OC＝OAACcm． 当点P在OA上运动时，由题意得CQ＝x，CP＝OC+OPx， 作PG⊥CD于点G， ∵∠PCG＝45°， ∴，，是二次函数； 当点P在AB上运动时，由题意得CQ＝x， ∴是一次函数． 故选：D． 9．（2025•白云区校级三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴a＞0，c＞0， ∵抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0）， 当x＝﹣1时y＞0， ∴抛物线的对称轴是直线x＝2，b2﹣4ac＞0，a﹣b+c＞0，故结论③④正确； ∴，即b＝﹣4a＜0，b+4a＝0，故结论②正确； ∴abc＜0，故结论①正确， 综上，说法正确的有4个， 故选：D． 10．（2025•绥化）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，m），其中﹣4＜m＜﹣3．则下列结论： ①a﹣c＞0； ②方程ax2+bx+c﹣5＝0没有实数根； ③b＜﹣2； ④0． 其中错误的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），图象开口向上， ∴对称轴直线为， ∴b＝﹣2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0， ∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0， ∴c＝﹣3a， ∴a﹣c＝a﹣（﹣3a）＝4a＞0，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为x＝1， ∴当x＝1时，函数有最小值，最小值x轴的下方， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝5两个不同的交点， ∴方程ax2+bx+c﹣5＝0有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+c与y轴交于点C（0，m），其中﹣4＜m＜﹣3， ∴当x＝0，y＝c＝m， ∴﹣4＜c＜﹣3， ∵c＝﹣3a，b＝﹣2a，， ∴ 解得，故③正确； 当x＝1时，函数有最小值，最小值为y＝a+b+c＜0，b＝﹣2a， ∴b﹣a＝﹣2a﹣a＝﹣3a＜0， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A． 11．（2025•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3．下列结论： ①abc＞0；②2a+c＜0；③4a﹣b+2c＜0；④若m和n是关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣x1）+c＝0（a≠0）的两根，且m＜n，则m＜﹣1，n＞2；⑤关于x的不等式ax2+bx+cx+c（a≠0）的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0． ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴当x＝0，则y＝c＜0． 又∵抛物线与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3， ∴1＜﹣1+x1＜2． ∴1． ∴对称轴是直线x0． ∴b＜0． ∴abc＞0，故①正确． 由图象可得，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0， 又∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c． ∴4a+2b+c＝4a+2a+2c+c＝6a+3c＜0． ∴2a+c＜0，故②正确． ∵1，且对称轴是直线x0， ∴1． ∵a＞0， ∴a＜﹣b＜2a． ∴2a+b＞0． ∴2a+a+c＞0，即3a+c＞0． ∴4a﹣b+2c＝4a﹣a﹣c+2c＝3a+c＞0，故③错误． 由题意，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0）， ∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣x1）． ∵当x＝0时，y＝c， ∴y＝﹣c与y＝c关于x轴对称． 如图所示， ∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣x1）＝﹣c时，即a（x+1）（x﹣x1）+c＝0，结合图象可得m＜﹣1，n＞2，故④正确． 由题意，∵yx+c过（0，c），（x1，0）， ∴可以作图如下． ∴关于x的不等式ax2+bx+cx+c（a≠0）的解集是二次函数图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围． ∴关于x的不等式ax2+bx+cx+c（a≠0）的解集是x＜0或x＞x1，故⑤错误． 综上，正确的有①②④共3个． 故选：B． 12．（2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 【解答】解：由题意可得， ∵方程ax2﹣2ax+a﹣3＝0的两根异号， ∴， 解得0＜a＜3， ∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意； ∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线， ∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当x＝1时，y＝﹣3， ∴最小值为﹣3，故C不符合题意； 当x＝2时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3， ∵0＜a＜3， ∴此时y＜0，故D符合题意； 故选：D． 13．（2025•天津）四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当t＝6s时，CN＝DM； ②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm2； ③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：根据题意得：点M在AB上的运动时间为点M在AD上的运动时间为，点N在CB上的运动时间为16s， ①当t＝6s时，点M在AD上， 此时AM＝2×6﹣8＝4cm，CN＝6cm， ∴DM＝AD﹣AM＝6cm， ∴CN＝DM，故①正确； ②当1≤t≤2时，点M在AB上， 此时BM＝2t cm，CN＝t cm， ∴BN＝（16﹣t）cm， ∴2t（16﹣t）＝﹣t2+16t＝﹣（t﹣8）2+64， ∵﹣1＜0， ∴当t＜8时，S△BMN随t的增大而增大， ∴当t＝2时，S△BMN取得最大值，最大值为﹣（2﹣8）2+64＝28， 即当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为28cm2，故②错误； ③当点M在AB上时， ∵△BMN的面积为39cm2， ∴， 解得：t1＝3，t2＝13（舍去）， ∴当t＝3时，△BMN的面积为39cm2； 当点M在AD上时， ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，即AB⊥AD， 此时． 解得：， ∴当时，△BMN的面积为39cm2； ∴t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2，故③正确． 故选：C． 14．（2025•浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（　　） A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上 【解答】解：如图，作PG⊥AB于G，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知PH2＝225，当点Q运动到点G的时候，PQ2最小，即：PG2＝81，HG＝m﹣1＝12． 在Rt△PGH中，由勾股定理，得225＝81+（m﹣1）2， ∴m＝13． ∴A错误． ∴AG＝m＝13，HG＝m﹣1＝12． 当x＝n时，点Q运动到点B，则PB2＝225＝PH2， ∴PB＝PH， ∵PG⊥AB， ∴BG＝HG＝12， ∴AB＝13+12＝25， ∴选项B错误． ∴当x＝0，即点Q在A点时， ∴AP2＝AG2+PG2＝132+81＝250． ∴点C的纵坐标为250． ∴选项C错误． 当x＝15时，点Q运动到点K， ∴AK＝15． ∴GK＝AK﹣AG＝2． ∴PK2＝KG2+PG2＝4+81＝85． ∴点（15，85）在该函数图象上． ∴选项D正确． 故选：D． 15．（2025•威海）已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+c， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2， ∵三点为（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）， ∴与对称轴的距离分别为|﹣2﹣2|＝4，|3﹣2|＝1，|7﹣2|＝5， ∴1＜4＜5， ∴y2＞y1＞y3． 故选：C． 16．（2025•宜宾）如图，O是坐标原点，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D，对称轴为x＝﹣2，其中A（2，0），B（0，c），且﹣3＜c＜﹣2．以下结论：①abc＞0；②b＜1；③△ACD是钝角三角形；④若方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根为x1、x2（x1＜x2），则﹣2＜x1＜4﹣2，6＜x2＜4+2．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴为直线， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＜0，故①错误； ∵对称轴为直线， ∴， ∵A（2，0）在抛物线上， ∴4a+2b+c＝0， ∴b+2b+c＝0， ∴c＝﹣3b， ∵﹣3＜c＜﹣2， ∴﹣3＜﹣3b＜﹣2， ∴b＜1，故②正确； 如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E， 将x＝﹣2代入y＝ax2+bx+c＝4a﹣2b+c， 将c＝﹣3b代入得，y＝﹣4b， ∴ED＝4b， ∵， ∵对称轴为直线x＝﹣2，A（2，0）， ∴AE＝4， ∴， ∴∠CAD＜45°， ∵CD＝AD， ∴∠ACD＝∠CAD＜45°， ∴∠ADC＞90°， ∴△ACD是钝角三角形，故③正确； ∵， ∴当时，，c＝﹣3b＝﹣2， ∴方程ax2+（b﹣2）x+c＝0转化为， 解得， ∴当b＝1时，，c＝﹣3b＝﹣3， ∴方程ax2+（b﹣2）x+c＝0转化为， 解得x＝﹣2或6； ∵方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根为x1x2（x1＜x2）， ∴﹣2＜x1＜4﹣2，，故④正确． 综上所述，其中正确结论有3个． 故选：C． 17．（2025•德阳）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）过点（1，0），（m，0），且2＜m＜3，该抛物线与直线y＝kx+c（k，c是常数，k≠0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（点A在点B左侧）．下列说法：①bc＜0；②3a+b＞0；③点A′是点A关于直线x的对称点，则3＜AA′＜4；④当x2＝4时，不等式ax2+（b﹣k）x＜0的解集为0＜x＜4．其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：由题意，∵抛物线过点（1，0）和（m，0）（2＜m＜3）， ∴对称轴为直线x． 又∵2＜m＜3， ∴1.52． ∴1.52． ∴34． ∴． ∴1． ∵a+b+c＝0， ∴10． ∴bc＜0，故①正确． ∵对称轴是直线x， ∴b＝﹣a（1+m）． ∴3a+b＝3a﹣a（1+m）＝a[3﹣（1+m）]＝a（2﹣m）． ∵2＜m＜3， ∴2﹣m＜0． 又∵a＞0， ∴3a+b＜0，故②错误． 由题意，第一种情形，若A为（0，c）， ∵点A的横坐标为x1＝0，对称轴为直线， ∴对称点A'的横坐标为2.， ∴两点横向距离为1+m﹣0＝1+m， ∵2＜m＜3， ∴3＜1+m＜4，即3＜AA'＜4． 第二种情形，若B为（0，c）， ∴AA'＞4，故③错误． 由题意，当x2＝4时，联立方程解得， ∴b＝k﹣4a． 又∵ax2+（b﹣k）x＜0， ∴ax（x﹣4）＜0． 又∵a＞0， ∴0＜x＜4，故④正确． 故选：B． 18．（2025•眉山）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，CD，动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．下列4个结论：①当t＝1时，S＝3；②点P在线段BA上时S＝2t2﹣16t+34；③AD＝4；④t1+t2＝4．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：在Rt△PCD中CD，PC＝t， 则S＝PD2＝t2+2， 当S＝6时，即t2+2＝6， 解得：t＝2（负值已舍去）， 即BC＝2， 当t＝1时，S＝t2+2＝3，故①正确； 由图象可知抛物线顶点为（4，2），且过点（2，6）， 则抛物线的表达式为：S＝a（t﹣4）2+2， 将（2，6）代入上式得：6＝a（2﹣4）2+2， 解得：a＝1， 则抛物线的表达式为：S＝（t﹣4）2+2＝t2﹣8t+18（2≤x≤8），故②错误； 当S＝18时，则t2﹣8t+18＝18， 解得：t＝0（舍去）或8， 则AB＝8﹣2＝6， ∴AC4， ∴AD＝43，故③错误； 画出S＝t2+2（0≤t≤2），如图： 从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1， 若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等， 从图象看，t1、t2关于t＝2对称， 则（t1+t2）＝2， 即t1+t2＝4，故④正确． 故选：B． 19．（2025•甘肃）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x（x＞0），则水流喷出的最大高度是（　　） A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m 【解答】解：y＝﹣x2+2x（x﹣1）2+1（x﹣1）2， ∵﹣1＜0， ∴当x＝1时，y取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 20．（2025•山东）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．当x≥1000时，y随x的增大而减小 B．当x＝2000时，y有最大值 C．当y≥0.6时，x≥1000 D．当y＝0.4时，x＝600 【解答】解：A、当x≥1000时，y随x的增大先增大，后减小，故A选项错误，不符合题意； B、∵抛物线过点（1000，0.6），（3000.0.6）， ∴抛物线的对称轴为：直线x2000， ∵抛物线的开口向下， ∴x＝2000时，y有最大值， 故B选项正确，符合题意； C、由图象可得：当y＝0.6时，x1＝1000，x2＝3000， ∴当y≥0.6时，1000≤x≤3000， 故C选项错误，不符合题意； D、由图象可得当y＝0.4时，x对应的值有2个，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 21．（2025•安徽）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则（　　） A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．2b﹣c＜0 D．a﹣b+c＜0 【解答】解：由图象可知抛物线交x轴于点（2，0），另一个交点横坐标在﹣1和0之间， 根据对称性可知对称轴， ∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，故B选项错误； 当x＝﹣1时，可知y＞0，即a﹣b+c＞0，故D选项错误； 观察图象知a＞0，b＜0，c＜0，故abc＞0，故A选项错误； 由对称轴的范围可各知b＜﹣a，即b+a＜0， 故4b+4a＜0①， 把点（2，0）代入抛物线中， 得4a+2b+c＝0，故4a＝﹣2b﹣c， 再代入①式中，可得4b﹣2b﹣c＜0， 整理即为2b﹣c＜0，故C选项正确． 故答案为：C． 22．（2025•广安）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（n，0），有下列结论：①abc＜0；②4a+c＞2b；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝n；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴， ∴a＜0，c＞0， 又∵抛物线的对称轴在y轴右侧，， ∴b＞0， ∴abc＜0，故结论①正确； 由函数的图象可得：当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故结论②错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A，B两点，点A（﹣1，0），点B（n，0）， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝n，，故结论③④正确； 综上，结论正确的有3个， 故选：C． 23．（2025•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，顶点P的坐标为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②对于任意实数m，都有am2+bm﹣a﹣b≥0；③3b＜2c；④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且△PAB是等边三角形，则n．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧， ∴a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①符合题意； ∵顶点P的坐标为（1，n）， ∴当x＝1时，n＝a+b+c最大， 当x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴a+b+c≥am2+bm+c， ∴am2+bm﹣a﹣b≤0，故②不符合题意； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于（﹣2，0）和 （﹣1，0）之间，对称轴为直线x＝1， ∴，a﹣b+c＞0， ∴，， ∴3b＜2c，故③符合题意； 如图，△PAB为等边三角形， ∴PA＝AB＝PB，PH⊥AB，HA＝HB，∠PAB＝60°， ∴PH＝tan60°•AH， 记A，B的横坐标分别为x1，x2， ∴n（x2﹣1）（1﹣x1）， ∴2n， 当y＝ax2+bx+c＝0，则x1+x22，， ∴， ∴， ∵n＝a+b+c＝c﹣a， ∴， ∴a（a﹣c）＝3， ∴，故④符合题意； 故选：D． 24．（2025•遂宁）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴交点坐标是（0，m）且2＜m＜3．有下列结论： ①abc＜0；②9a﹣3b+c＞0；③；④关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0必有两个不相等实根；⑤若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3，当y1＜y3＜y2时，则n的取值范围为． 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a＜0，对称轴为直线x＝1，则， ∴b＝﹣2a＞0， 又∵抛物线与y轴交点坐标是（0，m），即c＝m， ∵2＜m＜3，即c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），对称轴为直线x＝1， ∴另一个交点坐标为（﹣2，0）， ∴当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，故②错误； ∵（﹣2，0），（4，0）在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上， ∴4a﹣2b+c＝0， 又∵b＝﹣2a， ∴4a+4a+c＝0， ∴8a+c＝0即c＝﹣8a， ∵2＜m＜3，即2＜c＜3， ∴2＜﹣8a＜3， ∴即， 当x＝1时，y取得最大值，最大值为a+b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a， ∴y最大值＝﹣9a， ∴，故③正确； ∵ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0，b＝﹣2a，c＝﹣8a， 即ax2+（﹣2a﹣1）x﹣8a﹣2＝0， ∵Δ＝（﹣2a﹣1）2+4a（8a+2）＝36a2+12a+1， 对称轴为直线，当时，Δ的值随a的增大而减小， 又∵2＜﹣8a＜3， ∴， ∴当时，， ∴当时，Δ＞0恒成立，即ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0有两个不相等实根，故④正确； ∵若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝ax2+bx+c上， 且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3， ∴2n+1＜x1+x2＜2n+3，2n+3＜x2+x3＜2n+5，2n+2＜x1+x3＜2n+4， ∵存在y1＜y3＜y2， ∴，，， 即，，， 解得：，故⑤正确； 故正确的有①③④⑤，共4个． 故选：C． 25．（2025•凉山州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为x＝2，且图象经过点（6，0），则下列结论错误的是（　　） A．bc＞0 B．4a+b＝0 C．若bx1bx2且x1≠x2，则x1+x2＝4 D．若（﹣1，y1），（3，y2）两点都在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，则y2＜y1 【解答】解：由图象可知，抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∵对称轴为直线， ∴b＝﹣4a＞0， ∴bc＞0，4a+b＝0，故选项A，B正确，不符合题意； ∵且x1≠x2， ∴， ∴x＝x1和x＝x2关于对称轴直线x＝2对称， ∴x1+x2＝4，故选项C正确；不符合题意； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 若（﹣1，y1），（3，y2）两点都在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上， ∵|﹣1﹣2|＞|3﹣2|， ∴y1＜y2，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 26．（2025•泸州）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点位于x轴下方，且x＝﹣1时，y＞0，下列结论正确的是（　　） A．2a＝b B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣2b+4c＜0 D．8a+c＞0 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a，故A选项中原结论错误，不符合题意； ∵抛物线与y轴的交点位于x轴下方， ∴当x＝0时，y＜0， ∵当x＝﹣1时，y＞0， ∴抛物线与x轴的一个交点一定在直线x＝﹣1和y轴之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间， ∴抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相同的实数根， ∴b2﹣4ac＞0，故B选项中原结论错误，不符合题意； ∵当x＝0时，y＜0，且当x＝﹣1时，y＞0， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间， ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0， ∴4a+2•2a+c＞0，即8a+c＞0，故D选项中原结论正确，符合题意； ∵二次函数与x轴的左交点在﹣1和0之间， ∴当x时不确定对应的y值的符号， 故C选项中原结论不正确，不符合题意； 故选：D． 27．（2025•台湾）坐标平面上有二次函数y＝﹣（x+7）2+12的图形，今将此图形向右平移10单位，平移过程中此图形与y轴的交点也会跟着变化．假设此图形与y轴的交点为P，判断在平移过程中，P点位置的变化情形为下列何者？（　　） A．持续向下 B．持续向上 C．先向下再向上 D．先向上再向下 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝﹣（x+7）2+12， ∴令x＝0，则y＝﹣37，即此时图象与y轴的交点P为（0，﹣37）． 又根据“左加右减，上加下减”的平移规律，设此图形向右平移m单位（0＜m≤10）， ∴新图象为y＝﹣（x+7﹣m）2+12． ∴图象与y轴交点P'为（0，﹣m2+14m﹣37）． 又∵﹣m2+14m﹣37＝﹣（m﹣7）2+12， ∴当m＝7时，P'的纵坐标取最大值12． 又∵0＜m≤10， ∴P点位置的变化先向上再向下． 故选：D． 28．（2025•垦利区三模）已知二次函数y＝x2﹣3x+1，当1≤x≤3时，则y的取值范围是（　　） A． B． C．﹣1≤y≤1 D． 【解答】解：∵， ∵a＝1＞0， ∴开口向上，对称轴为直线， ∵1≤x≤3，， ∴当时，y取得最小值，最小值为， ∵当x＝1时，y＝﹣1；当x＝3时，y＝1， ∴当1≤x≤3时，． 故选：A． 29．（2025•曾都区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＝0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；③若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣4a；④若bx1bx2且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2；⑤方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1，x2＞3．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：如图， ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0） ∴当x＝﹣1时，可有a﹣b+c＝0，故结论①正确； ∵a＜0， ∴该二次函数的图象开口向下， ∴函数图象上的点距离对称轴越远，函数值越小， ∵对称轴为x＝1， ∵|1﹣（﹣3）|＝4，|2﹣1|＝1，|4﹣1|＝3， 又∵1＜3＜4， ∴y1＜y3＜y2，故结论②错误； ∵该函数图象的对称轴， ∴b＝﹣2a， ∵a﹣b+c＝0，即a﹣（﹣2a）+c＝0， ∴c＝﹣3a， ∵该二次函数的图象开口向下， ∴当x＝1时，该函数取最大值， ∴m为任意实数，可有am2+bm+c≤a+b+c， 即am2+bm+c≤a+（﹣2a）+（﹣3a）＝﹣4a，故结论③正确； ∵若且x1≠x2， 即有， ∵函数图象的对称轴为x＝1， ∴，即x1+x2＝2，故结论④错误； ∵方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2， ∴抛物线与直线y＝﹣1的交点的横坐标为x1，x2， 由抛物线的对称性可知该抛物线与x轴的另一交点为（3，0）， 即该抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）， ∵该抛物线开口向下，x1＜x2， ∴x1＜﹣1，x2＞3，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的有①③⑤，共计3个． 故选：C． 30．（2025•海淀区校级一模）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6，下列说法正确的是（　　） A．最大值4 B．最小值4 C．最大值6 D．最小值6 【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣4）2+6，a＝2＞0， ∴该函数图象开口向上，有最小值，当x＝4取得最小值6， 故选：D． 31．（2025•淮安区模拟）抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　） A．（1，5） B．（2，1） C．（2，5） D．（﹣1，5） 【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（1，5）． 故选：A． 32．（2025•花溪区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c，无论x为何值，函数值y＞0总是成立的条件是（　　） A．a＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＜0，b2﹣4ac＞0 C．a＞0，b2﹣4ac＜0 D．a＜0，b2﹣4ac＜0 【解答】解：由题意，∵无论x为何值，函数值y＞0， ∴二次函数的图象总在x轴的上方． ∴抛物线开口向上，与x轴无交点． ∴b2﹣4ac＜0． 故选：C． 33．（2025•雷州市二模）如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE．当AD+BC的值最小时，点C的坐标是（　　） A．（2，1） B． C． D． 【解答】解：抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E， 当y＝0时，得：x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴B（1，0），E（3，0）， ∴BE＝2， ∵线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE， ∴CD＝2， 点A沿y轴向下平移2个单位得到点F，如图，连接CE，CF，EF， ∴AF＝2， ∴AF＝CD， ∵抛物线的对称轴∥y轴，且线段CD在抛物线的对称轴上，线段AF在y轴上， ∴CD∥AF，BC＝CE， ∴四边形CDAF是平行四边形， ∴AD＝CF， ∴AD+BC＝CF+CE≥EF， ∴当F、C、E三点共线，即点C是直线EF与抛物线对称轴的交点时，AD+BC的值最小， 抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A， 当x＝0时，得：y＝3， ∴A（0，3）， 由平移的性质可得：点F的纵坐标＝3﹣2＝1， ∴F（0，1）， 设直线EF的解析式为y＝kx+b，将点E，点F的坐标代入，得： ， 解得：， ∴直线EF的解析式为， 在抛物线y＝x2﹣4x+3中，其对称轴为直线， 要使AD+BC的值最小，则点C的坐标应满足， 解得：， ∴， 故选：C． 34．（2025•泉山区校级模拟）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式是（　　） A．y＝2（x﹣2）2+1 B．y＝2（x﹣2）2﹣3 C．y＝2（x+2）2+1 D．y＝2（x+2）2﹣3 【解答】解：由题知， 将抛物线y＝2x2﹣1向左平移2个单位后，所得抛物线的解析式为y＝2（x+2）2﹣1， 再向上平移2个单位后，所得抛物线的解析式为y＝2（x+2）2+1． 故选：C． 35．（2025•阳新县三模）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（　　） ①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）； ②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1； ③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大； ④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0； ⑤当x＝1时，函数的最大值是4， A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的； ②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的； ③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的； ④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的； ⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的； 故选：A． 36．（2025•淄川区二模）函数y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在函数y＝ax2+ax+a（a≠0）中， 当a＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误； 当a＞0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确； 故选：C． 37．（2025•雁塔区校级模拟）关于抛物线y＝x2﹣（m+1）x+m，下列说法：①开口向下；②与坐标轴有3个交点；③一定过点（1，0）；④顶点一定不在第二象限；其中正确的是（　　） A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 【解答】解：在y＝x2﹣（m+1）x+m中， ∵1＞0， ∴开口向上，故①错误； ∵Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×m＝（m﹣1）2≥0， ∴当m＝1时，抛物线与x轴有一个交点， 由于抛物线与y轴有一个交点，故与坐标轴有2个交点，故②错误； 令x＝1，则y＝0， 故一定过点 （1，0），故③正确； y＝x2﹣（m+1）x+m， 当时，， ∴顶点一定不在第二象限，故④正确； ∴正确的有③④， 故选：C． 38．（2025•南山区校级三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则图象与x轴正半轴交点M的横坐标是（　　） A．4 B．2 C．3 D．﹣4 【解答】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴负半轴的交点横坐标是﹣1， ∴图象与x轴正半轴交点M的横坐标是2×1﹣（﹣1）＝3． 故选：C． 39．（2025•电白区一模）如果三点P1（1，y1），P2（3，y2）和P3（4，y3）在抛物线y＝﹣x2+6x+c的图象上，那么y1，y2与y3之间的大小关系是（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+6x+c的开口向下，对称轴是直线x3， ∴当x＞3时，y随x的增大而减小，P1（1，y1）关于称轴是直线x＝3的对称点是（5，y1）， ∵3＜4＜5， ∴y2＞y3＞y1， 故选：A． 40．（2025•定海区二模）对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　） A．﹣3＜n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或 C．n≤﹣1或 D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1 【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3． 如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1， ∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1． ∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1）， ∴n＝1． 如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（，1）， ∴2﹣n＝1， 解得：n． ∴1＜n时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1≤n， 故选：A． 41．（2025•凤阳县二模）抛物线Q：y＝x2﹣2mx+2m﹣1（m为常数）的顶点为C，经过探究发现，随着m的变化，点C始终在某一抛物线H上，若将抛物线Q向右平移n（n＞0）个单位，所得抛物线顶点D仍在抛物线H上，则下列结论正确的是（　　） A．2m﹣n＝2 B．2m+n＝2 C．2m﹣n＝1 D．2m+n＝1 【解答】解：∵y＝x2﹣2mx+2m﹣1 ＝（x2﹣2mx+m2）﹣（m2﹣2m+1） ＝（x﹣m）2﹣（m﹣1）2， ∴抛物线Q的顶点的横坐标为m，纵坐标为﹣（m﹣1）2， ∴顶点C在抛物线y＝﹣（x﹣1）2上， ∴抛物线H的解析式为y＝﹣（x﹣1）2， ∵将抛物线Q向右平移n（n＞0）个单位，所得抛物线的顶点为D， ∴点D的横坐标为m+n，纵坐标为﹣（m﹣1）2， 由题意可得：点D和点Q关于抛物线H的对称轴对称，即关于直线x＝1对称， ∴， ∴2m+n＝2， 故选：B． 42．（2025•雁塔区校级三模）已知抛物线L的解析式为y＝ax2﹣6ax+3（a≠0），则下列说法正确的是（　　） A．若点（﹣1，y1）与点（2，y2）都在抛物线L上，且y1＞y2，则有a＜0 B．若抛物线L的顶点A到原点的距离为5，则 C．若抛物线L只经过两个象限，则a＞3 D．当﹣1≤x≤4时，y有最小值为1，则a的值为或 【解答】解：∵y＝ax2﹣6ax+3＝a（x﹣3）2+3﹣9a， ∴抛物线过（0，3），对称轴为直线x＝3， ∵a正负性不知， ∴存在多种情况： ①当a＞0时，抛物线开口向上，根据近小远大，﹣1到对称轴直线x＝3远，2到对称轴直线x＝3近， ∴y1＞y2；故A错误，不符合题意； ②∵顶点坐标为（3，3﹣9a），利用勾股定理可知，解得或，故B错误，不符合题意； ③若抛物线只过两个象限，当a＞0时，抛物线开口向上，则顶点在x轴上方或x轴上，3﹣9a≥0，则0＜a， 当a＜0时，则抛物线必过四个象限，故C错误，不符合题意； ④当a＞0时抛物线开口向上，当﹣1≤x≤4时，最小值在顶点处取到，3﹣9a＝1，， 当a＜0时抛物线开口向下，当﹣1≤x≤4时，最小值在x＝﹣1处取到，a+6a+3＝1，；故D正确，符合题意； 故选：D． 43．（2025•合肥校级二模）已知一次函数y＝（m﹣n）x+n的图象如图所示，则二次函数y＝mx2+nx的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由一次函数的图象可知m﹣n＜0，n＜0， ∴m＜0，n＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，且经过原点， 当x＝﹣1时，y＝m﹣n＜0， ∴满足条件的函数图象只有C， 故选：C． 44．（2025•陕西模拟）小轩在画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时列表如下： x … ﹣3 ﹣1 0 2 4 … y … 12 0 ﹣3 ﹣3 5 … 则下列关于这个函数的结论错误的是（　　） A．该函数图象开口向上 B．在函数图象上有两点（x1，﹣1），（x2，﹣2），则x1＞x2 C．该函数图象经过点（3，0） D．当x＞1时，y随x的增大而增大 【解答】解：由题意可得： ， ∴， ∴y＝x2﹣2x﹣3， ∵1＞0， ∴该函数图象开口向上，A正确，不符合题意； 抛物线经过（0，﹣3）、（2，﹣3），抛物线的对称轴为直线x＝1， 顶点坐标为（1，﹣4）， 当这两点（x1，﹣1），（x2，﹣2）在对称轴左侧时，x1＜x2，在对称轴右侧时，x1＞x2， B不正确，符合题意； 把（3，0）代入y＝x2﹣2x﹣3，左右两个相等，C正确，不符合题意； 因为抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向上，所以当x＞1时，y随x的增大而增大， D正确，不符合题意； 故选：B． 45．（2025•天津模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝24t﹣6t2（0≤t≤4）．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要4s； ②小球在t＝1和t＝3时的高度相等； ③小球运动中的最大高度为24m． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝24t﹣6t2（0≤t≤4）， ①当h＝0时，24t﹣6t2＝0，即6t（4﹣t）＝0，解得t＝0或t＝4，所以小球从抛出到落地需要4s，①正确． ②当t＝1时，h＝24×1﹣6×12＝18；当t＝3时，h＝24×3﹣6×32＝18，所以小球在t＝1和t＝3时的高度相等，②正确． ③h＝24t﹣6t2＝﹣6（t2﹣4t）＝﹣6（t﹣2）2+24，因为﹣6＜0，所以当t＝2时，h有最大值24m，③正确． 故选：D． 46．（2025•合江县模拟）已知关于x的二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）+1的最小值为k，若3＜a＜4，3＜b＜4，则k的取值范围是（　　） A． B． C．0≤k≤1 D． 【解答】解：配方得y＝（x﹣a）（x﹣b）+1＝x2﹣（a+b）x+ab+1， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为：直线， 当时，二次函数有最小值，最小值为k， ∴， 由条件可得﹣4＜﹣b＜﹣3， ∴﹣1＜a﹣b＜1， 设a﹣b＝m， ∴， ∴k关于m的二次函数图象开口向下，对称轴直线为m＝0， ∴当m＝0时，k有最大值，即k＝1， 当m＝±1时，， ∴， 故选：B． 47．（2025•西安校级一模）老师给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表，同学们讨论得出了下列结论，其中不正确的是（　　） x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … A．抛物线的对称轴为直线x＝1 B．x＝3是方程ax2+bx+c+5＝0的一个根 C．当﹣2＜x＜4时，y＜0 D．若A（x1，5），B（x2，6）是该抛物线上的两点，则x1＜x2 【解答】解：A、由表格可知：抛物线的对称轴为直线x1，故此选项正确，不符合题意； B、当x＝3时，y＝﹣5，则x＝3是方程ax2+bx+c+5＝0的一个根，故此选项正确，不符合题意； C、由表格可得：抛物线开口向上，由对称得：抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以当﹣2＜x＜4时，y＜0，故此选项正确，不符合题意； D、抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，若A（x1，5），B（x2，6）是该抛物线上的两点，分多种情况：其中当A与B在对称轴左侧时，则x1＞x2，当A与B在对称轴右侧时，则x1＜x2，故此选项不正确，符合题意； 故选：D． 48．（2025•广州校级二模）抛物线y＝ax2+bx+c中的x，y的部分对应值如下表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 4 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 0 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．当x＞3时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0） 【解答】解：当x＝﹣2时，y＝0，当x＝4时，y＝0， ∴对称轴直线为，故B选项错误，不符合题意； ∴顶点坐标为（1，﹣9）， ∵x从﹣3到1，逐渐增大，y得知逐渐减小，x从1到4，逐渐增大，y得知逐渐增大， ∴抛物线图象开口向上，故A选项错误，不符合题意； 当x＞3时，y随x的增大而增大，故C选项正确，符合题意； 图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（4，0），故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 49．（2025•永寿县校级一模）已知抛物线y＝x2+x+m（m是常数），当x＝t时，函数值y小于m，当x＝t﹣1时，则函数值y的范围是（　　） A．y＜0 B．0＜y＜m C．m＜y＜m+2 D．y＞m+1 【解答】解：当x＝t时，函数值y小于m， ∴t2+t+m＜m， ∴t2+t＜0， ∴当t＞0时，t＜﹣1，当t＜0时，t＞﹣1， ∴﹣1＜t＜0， 当x＝t﹣1时，y＝（t﹣1）2+（t﹣1）+m＝t2﹣t+m， ∵﹣1＜t＜0， ∴0＜﹣t＜1， ∴t2﹣t＞0， ∴t2﹣t+m＞m， ∵， ∴0＜t2﹣t＜2， ∴m＜t2﹣t+m＜m+2， 即m＜y＜m+2， 故选：C． 50．（2025•怀远县三模）如图，抛物线y＝ax2﹣（a+c）x+c（a≠0）交x轴于A，B两点（点A在x轴的负半轴上），交y轴的负半轴于点C．下列选项中，不正确的是（　　） A．无论a，c取何值，抛物线一定经过一个确定的点 B．无论a，c取何值，对称轴不一定在 y轴的左侧 C．当AO＝2CO时， D．当AO＝2BO时，c＝﹣3a 【解答】解：∵y＝ax2﹣（a+c）x+c＝ax2﹣ax﹣cx+c＝ax（x﹣1）﹣c（x﹣1）＝（ax﹣c）（x﹣1）， ∴该抛物线恒过点（1，0），即点B（1，0），故A正确，不符合题意； 根据题意可知，对称轴为， 若a+c＝0，则对称轴为y轴；若a+c＞0，则对称轴在y轴右侧，故B正确，不符合题意； 当x＝0时，x＝0，故抛物线与y轴的交点为C（0，c）， ∴OC＝﹣c， 当AO＝2CO时，OA＝﹣2c，即点A（2c，0）， 又∵该抛物线恒过点B（1，0）， ∴对称轴为， 根据对称轴公式得， ∴， 解得，故C正确，不符合题意； 当AO＝2BO时，此时A（﹣2，0）， 将点A（﹣2，0）代入抛物线的解析式中得4a+2（a+c）+c＝0， 解得c＝﹣2a，故D不正确，符合题意； 故选：D． 51．（2025•蚌埠模拟）已知抛物线y＝﹣x2+2x+m﹣1（m为常数）与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4），则下列结论错误的是（　　） A．关于x的方程﹣x2+2x+m﹣1＝0（m为常数）有两个不相等的实数根 B．4＜m＜9 C．若点M（﹣2，y1），，P（3，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2 D．将该抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+m 【解答】解∵y＝﹣x2+2x+m﹣1＝﹣（x﹣1）2+m， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1． ∵抛物线与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）， ∴抛物线与x轴的另一个交点在﹣2和﹣1之间（不包含﹣2和﹣1）， ∴关于x的方程﹣x2+2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，故选项A正确； 由题意可得： ∴ 解得4＜m＜9，故选项B确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴点M（﹣2，y1）到对称轴的距离最大，点至到对称轴的距离最小， ∴y1＜y3＜y2，故选项C正确； 将该抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1+2）2+m﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m﹣2，故选项D错误． 故选：D． 52．（2025•龙马潭区二模）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两交点，当m＞2且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足：﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0时，则m的取值范围是（　　） A．3＜m＜11 B． C．2＜m＜3或 D． 【解答】解：当m＞2时，m﹣2＞0，即二次函数开口向上， ∵﹣3＜x1＜﹣2， ∴当x＝﹣3时，y＞0；当x＝﹣2时，y＜0， ∴， 解得：， ∵﹣1＜x2＜0， ∴当x＝﹣1时，y＜0；x＝0时，y＞0， ∴，解得：m＞3， ∴． 故选：B． 53．（2025•福州校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点为B，对称轴为直线x＝1．下列四个结论：①3a+b＜0；②过点（0，c﹣a）平行于x轴的直线与抛物线有唯一的公共点；③若a＞0，关于x的不等式a（x+1）2+b（x+1）＜0的解集为﹣1＜x＜1；④若a＜0，点P（t，y1），Q（t﹣1，y2）在该抛物线上，当实数时，y1＞y2．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④ 【解答】解：由题意可得： 对称轴为直线x＝1． ∴， ∴b＝﹣2a，则3a+b＝3a﹣2a＝a， ∵a＞0或a＜0，故①不符合题意； ∵对称轴为直线x＝1． ∴顶点坐标为：（1，a+b+c），即（1，c﹣a）， ∴过点（0，c﹣a）平行于x轴的直线与抛物线有唯一的公共点；故②符合题意； 当a＞0，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1． ∴抛物线与x轴的另一个交点为：（3，0）； ∴把抛物线向左平移1个单位长度可得抛物线y＝a（x+1）2+b（x+1）+c（a≠0）； 如图， 而ax2+bx+c＜c的解集为：0＜x＜2， ∴y＝a（x+1）2+b（x+1）+c＜c的解集为：﹣1＜x＜1， 即关于x的不等式a（x+1）2+b（x+1）＜0的解集为﹣1＜x＜1；故③符合题意； 当a＜0，实数时，，如图， ∴点P（t，y1），Q（t﹣1，y2）中点P（t，y1）与对称轴的距离较近， ∴y1＞y2．故④符合题意； 故选：B． 54．（2025•鲤城区校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（x1，y1），B（x2，y2），C（t，n），D（2﹣t，n）四点，且﹣3＜x1＜﹣1，若存在正数m，使得当m＜x2＜m+1时，总有y1≠y2成立，则正数m的取值范围是（　　） A．0＜m≤5 B．2＜m≤5 C．0＜m≤2或m≥5 D．0＜m≤3或m≥5 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过C（t，n），D（2﹣t，n）两点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴抛物线在﹣3＜x＜﹣1和3＜x＜5部分是对称的， 依题意，点B（x2，y2）不在这两部分抛物线上， ∵m＞0，m＜x2＜m+1， 或m≥5， 解得：0＜m≤2或m≥5， 故选：C． 55．（2025•连州市校级模拟）设A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+c上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3 【解答】解：∵抛物线为y＝﹣x2﹣2x+c， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∵A（﹣3，y1）距离对称轴有2个单位长度， B（﹣2，y2）距离对称轴有1个单位长度， C（3，y3）距离对称轴有4个单位长度， 根据开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可得： y2＞y1＞y3． 故选：D． 56．（2025•蚌山区三模）函数y＝mx2﹣2x+1（m是常数，m≠0，下同）和y＝mx+m在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当m＞0时，二次函数的图象开口向上，与y轴正半轴相交，对称轴为，，一次函数y＝mx+m的图象经过第一、二、三象限； 当m＜0时，二次函数的图象开口向下，与y轴正半轴相交，对称轴为，，一次函数y＝mx+m的图象经过第二、三、四象限，则A，C，D不符合题意， 故选：B． 57．（2025•叙州区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+2ax+c的图象交x轴负半轴于点A（﹣3，0），交x轴正半轴于点B，交y轴负半轴于点C，点D为抛物线的顶点，连结AD、CD、AC，且AC⊥CD．以下结论：①点B坐标为（1，0）；②﹣a+c＜0；③a＝1；④在△AOC内存在唯一一点M，使得MA+MC+MO的值最小，若MA+MC+MO的最小值为m，则．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：抛物线y＝ax2+2ax+c的对称轴为， ∵抛物线的图象交x轴负半轴于点A（﹣3，0），交x轴正半轴于点B， ∴B（1，0），故正确①； ∵抛物线y＝ax2+2ax+c＝a（x+1）2﹣a+c，点D为抛物线的顶点， ∴D（﹣1，﹣a+c）， ∵点D在第三象限， ∴﹣a+c＜0，故②正确； 过点D作DE⊥y轴于点E，则∠DEC＝90°， ∵AO⊥OC，AC⊥CD， ∴∠AOC＝∠ACD＝90°， ∴∠ACO+∠DCE＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°， ∴∠CAO＝∠DCE， ∴△AOC∽△DEC， ∴， ∵D（﹣1，﹣a+c）， ∴DE＝1，OE＝a﹣c， 由题意可得：9a﹣6a+c＝0， 解得：c＝﹣3a， 又点A（﹣3，0）， ∴OA＝3， 由题意可得： ∴点C（0，c），即OC＝﹣c， ∴CE＝OE﹣OC＝a﹣c﹣（﹣c）＝a， ∵， ∴， ∴， 解得：a＝±1， ∵抛物线的开口向上， ∴a＞0， ∴a＝1，故③正确； 由题意可得：CM＝A′M′，AM＝AM′，∠MAM′＝60°， ∴△AMM′是等边三角形， ∴AM＝MM′ ∴点A′，M′，M，O在同一直线上时，MA+MC+MO最小，过点A′作A′E⊥x轴于点E，A′F⊥y轴于点F， 设A′（b，n），则A′E＝OF＝﹣n，AE＝﹣b﹣3，A′F＝﹣b， ∵a＝1，c＝﹣3a ∴c＝﹣3， ∴OC＝3，，CF＝OF﹣OC＝﹣n﹣3， 由题意可得：AC＝A′C，∠ACA′＝60°， ∴， ∵A′E2+AE2＝AA′2，FC2+A′F2＝CA′2， ∴， 解得（舍去），或， ∴，故④正确． 故选：D． 58．（2025•浙江模拟）已知x1、x2是二次方程x2+bx+c＝0两个不同的根．若0＜x1＜1，0＜x2＜1，则（　　） A．c和1+b+c都小于 B．c和1+b+c至少一个小于 C．c和1+b+c都大于 D．c和1+b+c至少一个大于 【解答】解：x1、x2是二次方程x2+bx+c＝0两个不同的根， 由韦达定理得x1+x2＝﹣b，x1x2＝c， 设f（x）＝x2+bx+c，则f（0）＝c，f（1）＝1+b+c， 假设，， ∴，， ∴， ， ， ∵0＜x1＜1，0＜x2＜1， 假设，， ∴， 与产生矛盾， 所以假设不成立，即f（0）和f（1）中至少有一个小于． 故选：B． 59．（2025•惠山区一模）一个物体从地面被竖直向上抛出，其上升高度h（米）与时间t（秒）之间的关系由二次函数h＝﹣5t2+20t描述．关于该物体的运动，下列选项正确的是（　　） A．物体在2秒时到达最高点，最高高度为40米，并在4秒时返回地面 B．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在4秒时返回地面 C．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在2秒时返回地面 D．物体在4秒时到达最高点，最高高度为40米，并在8秒时返回地面 【解答】解：h＝﹣5t2+20t ＝﹣5（t2﹣4t） ＝﹣5（t2﹣4t+4﹣4） ＝﹣5（t﹣2）2+20， ∵a＝﹣5＜0， ∴当t＝2时，h最大＝20， ∴物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米； 当h＝0时，﹣5t2+20t＝0， 解得：t1＝0，t2＝4， ∴在4秒时返回地面， 故选：B． 60．（2025•武威校级模拟）如图，抛物线与交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论错误的是（　　） A．无论x取何值，y2总是负数 B．抛物线y2可由抛物线y1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到 C．当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小 D．若依次连接AE、EC、CD、DA，则四边形AECD为正方形 【解答】解：记抛物线与分别为抛物线G和抛物线H， A、∵（x﹣2）2≥0， ∴﹣（x﹣2）2≤0， ∴， ∴无论x取何值，y2总是负数， 故A正确，不符合题意； B、由条件可知﹣2＝a（1+1）2+2， 解得a＝﹣1， ∴抛物线， ∴抛物线G的顶点（﹣1，2），抛物线H的顶点为（2，﹣1）， ∵将（﹣1，2）向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为（2，﹣1）， ∴将抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位可得到抛物线H， 故B正确，不符合题意； C、将y＝﹣2代入抛物线， 解得x1＝﹣3，x2＝1， ∴A（﹣3，﹣2）， 将y＝﹣2代入抛物线， 解得x1＝3，x2＝1， ∴C（3，﹣2）， ∵﹣3＜x＜1，从图象可知抛物线G的图象在抛物线H图象的上方， ∴y1＞y2 ∵， ∴当﹣3＜x＜1，随着x的增大，y1﹣y2的值减小， 故C不正确，符合题意； D、设AC与y轴交于点F， 由条件可知F（0，﹣2）， 由C可知 ∴A（﹣3，﹣2），C（3，﹣2）， ∴AF＝CF，AC＝6， 当x＝0时，y1＝1，y2＝﹣5， 即D（0，1），E（0，﹣5）， ∴DE＝6，DF＝EF＝3， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵AC＝DE， ∴四边形AECD是矩形， ∵A（﹣3，﹣2），C（3，﹣2），D（0，1），F（0，﹣2）， ∴FA＝FD＝FC＝3， ∴△FAD，△FDC均为等腰直角三角形， ∴∠ADC＝∠ADF+∠CDF＝45°+45°＝90°， ∴四边形AECD是正方形， 故D正确，不符合题意， 故选：C． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $