专题03 直线和圆的方程（期中复习讲义）（知识必备+14大核心题型+分层验收）高二数学上学期人教A版

专题03 直线与圆的方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直线的倾斜角与斜率 理解直线的倾斜角和斜率的概念. 基础必考点，常出现在小题 直线与线段有交点 用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率的计算公式，提升数学抽象和数学运算的核心素养. 高频易错点，在斜率和倾斜角之间的关系上出错 直线的方程 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式，培养直观想象与数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 两条直线平行与垂直 能根据斜率判定两条直线平行或垂直，培养直观想象和数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题，注意一般式下平行与垂直的充要条件 直线的交点坐标与距离公式 1、能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 2、掌握两点间的距离公式及应用，会运用坐标法证明简单的平面几何问题. 3、探索并掌握平面上点到直线的距离公式，掌握两条平行直线间的距离公式，会求点到直线的距离和两条平行直线间的距离，提升数学运算的核心素养. 高频易错点，特别是对称问题的处理 圆的方程 1、会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征，能根据所给条件求圆的标准方程. 2、掌握点与圆的位置关系，理解圆的一般方程及其特点，培养数学抽象的核心素养. 3、掌握圆的一般方程和标准方程的互化方法，会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程，强化数学运算与逻辑推理的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 直线和圆的位置关系 1、理解直线与圆的三种位置关系，能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，能解决有关直线与圆的位置关系的问题，强化数学运算的核心素养. 2、能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，体会坐标法解决平面几何问题的“三步曲”. 重难必考点，像弦长、切线、距离最值问题都是几乎必考重难点 圆和圆的位置关系 能根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系，能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，提升数学运算、数学建模的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 知识点01 直线的倾斜角与斜率 一、直线的倾斜角 1、倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． 2、倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 倾斜角 直线图示 二、直线的斜率 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 3、过两点的直线的斜率公式 经过两点、的直线的斜率公式为． 4、直线的斜率与方向向量的关系 若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为． 知识点02 直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 知识点03 两直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 知识点04 三种距离 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 知识点05 圆的定义与方程 1、定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 2、圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 3、点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 4、圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 5、圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 6、在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 知识点06 直线与圆的三种位置关系 一、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 二、判断直线与圆的位置关系的两种方法 1、几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 三、直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 四、直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点07 圆与圆的位置关系 一、圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 2、圆与圆的位置关系的判定 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 3、圆与圆的公共弦 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 4、圆与圆的公切线 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 题型一 直线的倾斜角与斜率的定义与联系 解｜题｜技｜巧 求直线的倾斜角的关键及两点注意 （1）关键：依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正方向所成的角. （2）两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 1．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 2．（2025高二上·全国·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二上·上海·专题练习）已知点，则直线的倾斜角为 5．（23-24高二上·江西赣州·期中）若直线的倾斜角为，则 ． 题型二 直线与线段相交问题 解｜题｜技｜巧 用数形结合法求斜率的取值范围 已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB在有交点的情况下斜率的取值范围.若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为：①连接PA，PB；②由k=求出kPA，kPB；③结合图形即可得出满足条件的直线l的斜率的取值范围. 1．（24-25高二上·河南信阳·期中）已知，，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广西玉林·月考）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型三 斜率公式的重要应用（三点共线与几何意义） 解｜题｜技｜巧 1、判断三点共线的方法 对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在. （1）若斜率都不存在，则三点共线. （2）若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线. 注意：若三点共线，则任意两点连线的斜率可能相等，也可能都不存在.解决这类问题时，首先要对斜率是否存在作出判断，必要时分情况讨论，然后下结论. 2、斜率的几何意义的应用 斜率的公式有明显的代数和几何特征，所以可以用于某些分式求范围或函数求值域、最值等问题中. 1．（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 2．（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 3．（24-25高二上·安徽·期中）已知实数x，y满足，则的取值范围为 . 题型四 直线的方程（点斜式、斜截式、两点式） 解｜题｜技｜巧 1、求直线的点斜式方程，关键是求出直线的斜率，所以已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标，均可求出直线的方程.特别注意：当斜率不存在时，可直接写出过点(x0，y0)的直线方程为x=x0. 易错警示：容易忽视直线斜率不存在的情况. 2、斜截式方程的特点及应用 （1）若能求得直线的斜率，且直线在y轴上的截距已知，可选用直线的斜截式方程直接求解. （2）根据斜率和截距的几何意义判断k，b的正负时，k>0⇔直线呈上升趋势.k<0⇔直线呈下降趋势.k=0⇔直线呈水平状态.b>0⇔直线与y轴的交点在x轴上方.b<0⇔直线与y轴的交点在x轴下方.b=0⇔直线过坐标原点. 3、已知两点求直线方程的方法、思路 已知直线上两点的坐标求直线方程时，若满足两点式方程的适用条件，可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程，化简即得.代入点的坐标时注意横、纵坐标的对应关系.若点的坐标中含有参数，需注意对参数的讨论.在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式求方程. 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海松江·期末）直线 的倾斜角是 . 4．（24-25高二下·上海宝山·期末）经过点且斜率为1的直线方程为 . 5．（25-26高二上·全国·课后作业）已知三角形的三个顶点分别是，，，求三边所在直线的方程． 题型五 直线的方程（截距式、一般式） 解｜题｜技｜巧 1、求直线的截距式方程的方法 （1）由已知条件确定直线在x轴、y轴上的截距. （2）若两截距为零，则直线过坐标原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式+=1，可得所求的直线方程. 注意：如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的情况. 2、直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a，0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便.一条直线与坐标轴围成的三角形的面积S=|a|·|b|. 3、解含有参数的直线恒过定点的问题的两种方法 （1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数的直线所过的定点，从而问题得解. （2）含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得.若整理成y-y0=k(x-x0)的形式，则表示所有直线必过定点(x0，y0). 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）若直线的倾斜角的大小为，则实数（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南永州·月考）直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数（   ） A． B． C． D．2 3．（25-26高二上·全国·单元测试）（多选题）对于直线，下列说法中正确的是（    ） A．的倾斜角不可能为 B．恒过定点 C．的一个法向量为时， D．时，不经过第二象限 4．（24-25高二上·全国·课前预习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 5．（2025高二·全国·专题练习）求适合下列条件的直线方程： (1)过点且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点的直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长． 题型六 两条直线的平行与垂直 解｜题｜技｜巧 1、过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 ①由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程. ②可利用如下待定系数法：与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0，再由直线所过的点确定C2. 2、对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论： 设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)，A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔或 l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 3、常见的四大直线系方程 ①过定点P(x0，y0)的直线系A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0)，还可以表示为y-y0=k(x-x0)(斜率不存在时可视为x=x0). ②与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R，且m≠C). ③与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R). ④过直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)，但不包括l2. 4、应用直线系方程的关注点 利用平行直线系或垂直直线系求直线方程时，一定要注意系数及符号的变化规律. 1．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）若直线与直线平行，则m的值是（    ） A．1或 B． C．1或 D．1 2．（25-26高二上·重庆·开学考试）若直线与直线平行，则（    ） A．0 B．或0 C． D．1 3．（24-25高二下·北京·月考）若直线 与直线 垂直，则实数为（    ） A． B． C．0 D．1 4．“”是“直线与垂直”的（   ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 5．（25-26高二上·全国·单元测试）（多选题）已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（    ） A．不存在k，使得的倾斜角为90° B．对任意的k，与都有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 6．（24-25高二上·新疆喀什·期末）求经过点，且满足下列条件的直线的方程； (1)经过点； (2)与直线平行； (3)与直线垂直； 题型七 直线的交点坐标与距离公式（含对称问题） 解｜题｜技｜巧 1、用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解. 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线重合. 2、求两点间的距离的基本思路 任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式为|AB|=.当两点确定的直线垂直于x轴或y轴时，A，B间的距离可直接用两点的纵坐标或横坐标之差的绝对值求出. （1）使用点到直线的距离公式时，首先把直线方程化为一般式，再利用公式求解. （2）已知点到直线的距离求参数时，只需根据公式列方程求解参数即可. 求两条平行直线间的距离有两种思路 （3）直接利用两条平行直线间的距离公式d=(A2+B2≠0)，但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等. 3、距离公式综合应用的三种常用类型 （1）最值问题 ①利用对称转化为两点之间的距离问题. ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离. ③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值. （2）求参数的问题 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值. （3）求方程的问题 立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解. 4、对称问题的解决方法 （1）点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a-x，2b-y). （2）直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和点P(x0，y0)， 则l关于点P的对称直线方程为A(2x0-x)+B·(2y0-y)+C=0. （3）点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.设P(x0，y0)，l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得. （4）求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题. 1．已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建福州·期中）（多选题）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 4．（2025高二上·上海·专题练习）直线l经过原点，且经过两条直线的交点，则直线l的方程为 5．（24-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为 ． 6．已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 7．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 8．已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 题型八 圆的标准方程（含距离最值问题） 解｜题｜技｜巧 1、确定圆的标准方程有两种方法 （1）几何法：它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程. （2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程. 2、点与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较. （2）代数法：直接利用下面的不等式判定. ①(x0-a)2+(y0-b)2>r2，点在圆外； ②(x0-a)2+(y0-b)2=r2，点在圆上； ③(x0-a)2+(y0-b)2<r2，点在圆内. 3、与圆有关的最值问题的求解策略 （1）本题将最值转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决，充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用. （2）涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解. 1．（24-25高二上·河南焦作·期中）圆的半径为（   ） A． B． C．5 D．13 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 5．（24-25高二上·广东茂名·期中）若为圆上任意一点，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东青岛·月考）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A．+=4 B． C． D． 7．（24-25高二上·全国·课前预习）求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是，且过点； (2)圆心在轴上，半径为5，且过点； (3)求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程． 题型九 圆的一般方程（含动点轨迹问题） 解｜题｜技｜巧 1、用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择 （1）如果已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. （2）如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D，E，F. 2、圆的轨迹方程 （1）求动点的轨迹方程的一般步骤为：建系，设点，列式，化简，证明.建系时可根据题目中的条件，建立适当的直角坐标系，简化运算是解题的关键. （2）求解时，重视从不同视角诠释求动点轨迹方程的步骤，注意灵活运用图形的几何性质. （3）对于“双动点”问题，若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程，则通常用代入法. 利用直接法求轨迹方程时，先建立适当的坐标系，设动点坐标为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式，化简得之. 1．圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·甘肃白银·期末）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）已知平面直角系中，，，点满足，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选题）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 5．（25-26高二上·河南驻马店·月考）若方程表示一个圆，则b的取值范围为 . 6．过三个点，，的圆的方程为 ． 7．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为 ． 题型十 直线与圆的位置关系判断及参数问题 解｜题｜技｜巧 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 2．（24-25高二上·海南海口·期末）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（   ） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相交 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 3．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知圆，直线，则圆上到直线的距离为的点的个数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·湖南·期中）设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知点及圆：，若为上动点，则点到直线AB的距离的最大值为 ． 7．（23-24高二下·云南曲靖·期末）过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为 . 8．（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 . 题型十一 直线与圆相交（含弦长问题） 解｜题｜技｜巧 设直线l的方程为ax+by+c=0，圆O的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0)，求弦长的方法通常有以下两种 （1） 几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线段AB的中点，如图所示.在Rt△OCB中，|BC|2=r2-d2，则弦长|AB|=2|BC|=2. （2）代数法：解方程组消元后可得关于x1+x2，x1·x2或y1+y2，y1·y2的关系式，则|AB|== ，其中k为直线l的斜率且不为0. 1．直线与圆相交于两点，则弦的长等于（    ） A． B．2 C． D．3 2．（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 3．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 4．（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 6．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知斜率为1的直线与圆交于两点，且以为直径的圆恰好经过原点，则直线的方程为 ． 7．（24-25高二上·浙江台州·期中）在坐标平面上有两定点，动点满足 (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值. 题型十二 直线与圆相切（含切线问题） 解｜题｜技｜巧 1、求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数. （1）求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为-，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0. （2）求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解： 设切线方程为y-y0=k(x-x0)，即kx-y-kx0+y0=0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x=x0. 2、与圆的切线相关的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过上一点的圆的切线方程为： （3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：． （4）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为 1．（24-25高二下·河南·月考）已知直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D．0 2．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 3．（24-25高二上·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 4．（24-25高二下·安徽铜陵·月考）若直线：与曲线：有两个不同的交点，则实数的取值范围是 . 5．（24-25高二上·重庆·期末）动直线与动直线相交于点，则的最小值为 ． 6．（24-25高二上·广西钦州·期末）已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点作直线与圆相切，求直线的方程. 7．（25-26高二上·四川内江·开学考试）过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 题型十三 圆与圆的位置关系判断及参数问题 解｜题｜技｜巧 判断两圆位置关系的方法有两种：一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆圆心距d，当d=r1+r2时，两圆外切，d=|r1-r2|时，两圆内切，d>r1+r2时，两圆外离，d<|r1-r2|时，两圆内含，|r1-r2|<d<r1+r2时，两圆相交. 1．判断下列两个圆的位置关系： (1)与； (2)与． 2．（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 4．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖南永州·月考）若存在实数使得与内切，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十四 公共弦与公切线问题 解｜题｜技｜巧 1、公切线 两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 2、公共弦 （1）求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. （2）求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. （3）已知圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1). 1．圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 3．（25-26高二上·全国·期中）（多选题）已知圆和圆，则（    ）． A．圆的半径为4 B．y轴为圆与的公切线 C．圆与公共弦所在的直线方程为 D．圆与上共有3个点到直线的距离为1 4．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选题）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 5．（24-25高二上·广东·月考）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（    ）. A．或 B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 3．已知直线与圆相交于，两点，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知点在圆上，点，则的值可能为（   ） A．1 B．7 C．13 D．15 8．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（24-25高二下·海南海口·开学考试）已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 12．（24-25高二上·辽宁·期中）“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（23-24高二下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 14．（25-26高二上·全国·期中）（多选题）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为1 B．直线与直线之间的距离为 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 15．（多选题）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·湖北·期中）（多选题）已知圆，直线，下列说法正确的是（   ） A．当或时，圆O上没有点到直线l的距离等于1 B．当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1 D．当时，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1 17．（24-25高二上·山西·期末）（多选题）已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则（   ） A．直线与圆相离 B．过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 18．（24-25高二上·北京大兴·期中）已知，，三点共线，则 ． 19．（25-26高二上·全国·单元测试）已知两直线，，若，则与间的距离为 ． 20．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 21．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）已知，，若点在线段上，则的取值范围是 ． 22．（24-25高二下·湖南·期末）已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 23．（25-26高二上·全国·课后作业）求过两直线和的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)平行于直线； (3)和直线垂直. 24．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若过定点的直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程. 25．（24-25高二上·海南·期中）已知点在圆上运动，点. (1)求的最小值； (2)若为的中点，求点的轨迹方程. 26．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 期中重难突破练（测试时间：60分钟） 1．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知圆与直线相交于不同的两点，，点满足，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川达州·期末）过点的直线与曲线有交点，则直线的斜率范围是（   ） A． B． C． D． 4．在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 5．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·月考）设，．若动直线与交于点A，C，动直线与交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广西玉林·期中）（多选题）已知圆，设点为圆上的动点，则下列选项正确的是（   ） A．点到原点的距离的最小值为2 B．过点的直线与圆截得的最短弦长为6 C．的最大值为1 D．过点作圆的切线有2条 7．（24-25高二上·浙江杭州·期中）（多选题）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离最大为4 8．（24-25高二上·四川宜宾·期末）（多选题）已知圆与圆交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．两圆的公切线有2条 B．直线的方程为 C．若两点到直线的距离相等，则 D．当时，圆上恰有4个点到直线的距离等于1 9．（24-25高二上·安徽宣城·期末）（多选题）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 10．（23-24高二上·安徽六安·期中）（多选题）已知圆，圆，则下列选项正确的是（    ） A．两圆是外切的位置关系 B．直线的方程为 C．若P、Q两点分别是圆和圆上的动点，则的最大值为5 D．圆和圆的一条公切线段长为 11．动直线l：被圆C：截得弦长的最小值为 ． 12．（24-25高二上·湖北·期中）已知点，动点P在直线上，则的最小值为 . 13．已知，，则的最小值为 . 14．（24-25高二上·福建漳州·期中）过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． (1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； (2)求弦AB的中点M的轨迹方程； (3)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 11 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线与圆的方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直线的倾斜角与斜率 理解直线的倾斜角和斜率的概念. 基础必考点，常出现在小题 直线与线段有交点 用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率的计算公式，提升数学抽象和数学运算的核心素养. 高频易错点，在斜率和倾斜角之间的关系上出错 直线的方程 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式，培养直观想象与数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 两条直线平行与垂直 能根据斜率判定两条直线平行或垂直，培养直观想象和数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题，注意一般式下平行与垂直的充要条件 直线的交点坐标与距离公式 1、能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 2、掌握两点间的距离公式及应用，会运用坐标法证明简单的平面几何问题. 3、探索并掌握平面上点到直线的距离公式，掌握两条平行直线间的距离公式，会求点到直线的距离和两条平行直线间的距离，提升数学运算的核心素养. 高频易错点，特别是对称问题的处理 圆的方程 1、会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征，能根据所给条件求圆的标准方程. 2、掌握点与圆的位置关系，理解圆的一般方程及其特点，培养数学抽象的核心素养. 3、掌握圆的一般方程和标准方程的互化方法，会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程，强化数学运算与逻辑推理的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 直线和圆的位置关系 1、理解直线与圆的三种位置关系，能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，能解决有关直线与圆的位置关系的问题，强化数学运算的核心素养. 2、能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，体会坐标法解决平面几何问题的“三步曲”. 重难必考点，像弦长、切线、距离最值问题都是几乎必考重难点 圆和圆的位置关系 能根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系，能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，提升数学运算、数学建模的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 知识点01 直线的倾斜角与斜率 一、直线的倾斜角 1、倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． 2、倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 倾斜角 直线图示 二、直线的斜率 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 3、过两点的直线的斜率公式 经过两点、的直线的斜率公式为． 4、直线的斜率与方向向量的关系 若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为． 知识点02 直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 知识点03 两直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 知识点04 三种距离 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 知识点05 圆的定义与方程 1、定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 2、圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 3、点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 4、圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 5、圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 6、在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 知识点06 直线与圆的三种位置关系 一、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 二、判断直线与圆的位置关系的两种方法 1、几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 三、直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 四、直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点07 圆与圆的位置关系 一、圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 2、圆与圆的位置关系的判定 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 3、圆与圆的公共弦 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 4、圆与圆的公切线 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 题型一 直线的倾斜角与斜率的定义与联系 解｜题｜技｜巧 求直线的倾斜角的关键及两点注意 （1）关键：依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正方向所成的角. （2）两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 1．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由题意，直线l的斜率为， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为． 故选：C． 2．（2025高二上·全国·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角大小即可判断三条直线斜率大小关系. 【详解】解：设直线，，的倾斜角分别为，，， 则由图知， 所以，， 即，． 故选：A. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得. 【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 4．（2025高二上·上海·专题练习）已知点，则直线的倾斜角为 【答案】 【分析】求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角的关系，即可求得答案. 【详解】由题意得直线的斜率， 设直线的倾斜角为α，则； 因为，所以； 故答案为： 5．（23-24高二上·江西赣州·期中）若直线的倾斜角为，则 ． 【答案】 【分析】根据直线方程求出斜率，再利用直线斜率与倾斜角的关系列方程求解即得. 【详解】由直线的倾斜角为可得，， 解得，， 故答案为：． 题型二 直线与线段相交问题 解｜题｜技｜巧 用数形结合法求斜率的取值范围 已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB在有交点的情况下斜率的取值范围.若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为：①连接PA，PB；②由k=求出kPA，kPB；③结合图形即可得出满足条件的直线l的斜率的取值范围. 1．（24-25高二上·河南信阳·期中）已知，，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知，或，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】设直线l的斜率为，直线l的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线l经过点，且与线段没有公共点， 所以，或， 即或， 因为，所以， 故直线l的倾斜角的取值范围是． 故选：C．    2．（24-25高二上·广西玉林·月考）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点式斜率公式求出直线和直线的斜率，根据斜率的变化规律数形结合即可求解. 【详解】由题得，， 因为直线l与连接，两点的线段总有公共点，结合图可知，. 故选：B    3．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 4．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率． 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是． 故选：A. 题型三 斜率公式的重要应用（三点共线与几何意义） 解｜题｜技｜巧 1、判断三点共线的方法 对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在. （1）若斜率都不存在，则三点共线. （2）若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线. 注意：若三点共线，则任意两点连线的斜率可能相等，也可能都不存在.解决这类问题时，首先要对斜率是否存在作出判断，必要时分情况讨论，然后下结论. 2、斜率的几何意义的应用 斜率的公式有明显的代数和几何特征，所以可以用于某些分式求范围或函数求值域、最值等问题中. 1．（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由三点共线得到，再由两点表示出直线的斜率求解即可； 【详解】由题意可得，即，解得. 故选：C. 2．（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将的范围转化为线段上的点与构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可. 【详解】 方程，令，则，令，则， 设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率， ，， 所以的取值范围为. 故答案为：. 3．（24-25高二上·安徽·期中）已知实数x，y满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，将问题转化为直线与半圆上点与点连接的直线的斜率.，数形结合分析即可. 【详解】因为， 所以，其表示为圆的上半部分. 设半圆上一动点， 表示的几何意义为点与点连接的直线的斜率， 当直线和半圆相切时，直线的斜率取最大值， 设直线的方程为，即， 所以，解得或（舍去）， 则直线的斜率的最大值为； 当点为时，则直线的斜率取最小值，为， 综上，的取值范围为. 故答案为：.    题型四 直线的方程（点斜式、斜截式、两点式） 解｜题｜技｜巧 1、求直线的点斜式方程，关键是求出直线的斜率，所以已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标，均可求出直线的方程.特别注意：当斜率不存在时，可直接写出过点(x0，y0)的直线方程为x=x0. 易错警示：容易忽视直线斜率不存在的情况. 2、斜截式方程的特点及应用 （1）若能求得直线的斜率，且直线在y轴上的截距已知，可选用直线的斜截式方程直接求解. （2）根据斜率和截距的几何意义判断k，b的正负时，k>0⇔直线呈上升趋势.k<0⇔直线呈下降趋势.k=0⇔直线呈水平状态.b>0⇔直线与y轴的交点在x轴上方.b<0⇔直线与y轴的交点在x轴下方.b=0⇔直线过坐标原点. 3、已知两点求直线方程的方法、思路 已知直线上两点的坐标求直线方程时，若满足两点式方程的适用条件，可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程，化简即得.代入点的坐标时注意横、纵坐标的对应关系.若点的坐标中含有参数，需注意对参数的讨论.在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式求方程. 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程. 【详解】由题意可知，直线的斜率为， 又因为该直线在轴上的截距是，故直线的方程为. 故选：C. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的倾斜角，再根据旋转角度求出直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，再根据直线所过的点求出直线方程． 【详解】直线，其斜率，设其倾斜角为，则，又因为倾斜角，所以． 直线绕点逆时针旋转，则直线的倾斜角． 直线的斜率． 又因为直线过点，所以直线的斜截式方程为． 故选：B． 3．（24-25高二下·上海松江·期末）直线 的倾斜角是 . 【答案】 【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系，求得的倾斜角，即可得答案. 【详解】由，设斜率为，倾斜角为， 因为直线斜率为，则，又因直线的倾斜角， 所以. 故答案为： 4．（24-25高二下·上海宝山·期末）经过点且斜率为1的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据直线方程的点斜式可直接求解 【详解】因为直线经过点且斜率为1， 所以，即， 故答案为：. 5．（25-26高二上·全国·课后作业）已知三角形的三个顶点分别是，，，求三边所在直线的方程． 【答案】答案见解析 【分析】结合题意利用两点式方程求出三边所在直线方程即可. 【详解】因为直线过点，， 所以所在直线的方程为，即; 因为直线过点，， 所以直线方程为，即; 因为直线过点，， 所以所在直线的方程为，即; 另解: 因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，整理得； 因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，整理得； 因为直线过点，， 所以直线的斜率为. 则边所在直线的方程为，整理得. 题型五 直线的方程（截距式、一般式） 解｜题｜技｜巧 1、求直线的截距式方程的方法 （1）由已知条件确定直线在x轴、y轴上的截距. （2）若两截距为零，则直线过坐标原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式+=1，可得所求的直线方程. 注意：如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的情况. 2、直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a，0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便.一条直线与坐标轴围成的三角形的面积S=|a|·|b|. 3、解含有参数的直线恒过定点的问题的两种方法 （1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数的直线所过的定点，从而问题得解. （2）含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得.若整理成y-y0=k(x-x0)的形式，则表示所有直线必过定点(x0，y0). 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）若直线的倾斜角的大小为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由直线倾斜角求出直线斜率，再由直线方程列出关于m的方程即可求解. 【详解】若直线的倾斜角的大小为，则直线的斜率为， 则，所以直线即直线， 所以，解得. 故选：D 2．（24-25高二上·湖南永州·月考）直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】令表示出，得到直线的纵截距．令表示出，得到直线的横截距，根据题意列方程求解． 【详解】直线， 令，解得，令，解得， 由题意得：，解得． 故选：B 3．（25-26高二上·全国·单元测试）（多选题）对于直线，下列说法中正确的是（    ） A．的倾斜角不可能为 B．恒过定点 C．的一个法向量为时， D．时，不经过第二象限 【答案】ABD 【分析】由直线方程求得直线的斜率，斜率公式，恒过顶点进行判断各个选项． 【详解】对于A，直线的方程为，其斜率为，故直线的倾斜角不可能为，A正确； 对于B，直线整理为，则直线恒过定点．B正确； 对于C，若的一个法向量为时，则的一个方向向量可取为， 故直线的斜率，因此，则．C错误； 对于D，由于，故直线的斜率，又恒过定点，所以不经过第二象限．D正确. 故选：ABD. 4．（24-25高二上·全国·课前预习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据两点式写出方程转化为一般式方程； （2）根据点斜式写出方程转化为一般式方程； （3）根据点斜式写出方程转化为一般式方程； （4）根据点斜式写出方程转化为一般式方程. 【详解】（1）由两点式，得直线的方程为， 即． （2）由点斜式，得直线的方程为， 即． （3）由题意知，直线的方程为， 即． （4）由点斜式，得直线的方程为， 即． 5．（2025高二·全国·专题练习）求适合下列条件的直线方程： (1)过点且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【答案】(1)或． (2)或． 【分析】（1）法一：分和两种情况讨论，利用直线的截距式方程得到直线方程； 法二：因为截距相等，分直线斜率为和直线过原点两种情况讨论，得到直线方程； （2）法一：利用直线的截距式方程，，代入点，得到方程； 法二：根据等腰直角三角形得到直线的斜率为，利用直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】（1）法一：设直线在坐标轴上的截距为， ①当时，直线过点和，所以直线方程为，即． ②当时，直线方程为，代入点可得，即直线方程为． 综上所述，直线方程为或． 法二：因为直线在两坐标轴上截距相等，所以直线斜率为或直线过原点． ①当直线斜率为时，直线方程为，即． ②当直线过原点时，，直线方程为，即． 综上所述，直线方程为或． （2）法一：因为可以围成三角形，所以在坐标轴上的截距均不为， 设直线方程为，因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以， 代入点可得或所以直线方程为或． 法二：因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线的斜率为， 又直线过定点，所以直线方程为， 即所求直线方程为或． 6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点的直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将直线方程整理为关于参数的表达式，利用其对任意恒成立的条件，即可证明直线过定点； （2）通过直线过定点，设点斜式方程来求两坐标轴上的截距，再求面积，利用基本不等式求最小值，然后求出对应三角形的周长即可. 【详解】（1）由可得，， 令所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，直线与轴、轴正半轴的交点分别为， 令，得；令，得． 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 题型六 两条直线的平行与垂直 解｜题｜技｜巧 1、过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 ①由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程. ②可利用如下待定系数法：与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0，再由直线所过的点确定C2. 2、对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论： 设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)，A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔或 l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 3、常见的四大直线系方程 ①过定点P(x0，y0)的直线系A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0)，还可以表示为y-y0=k(x-x0)(斜率不存在时可视为x=x0). ②与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R，且m≠C). ③与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R). ④过直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)，但不包括l2. 4、应用直线系方程的关注点 利用平行直线系或垂直直线系求直线方程时，一定要注意系数及符号的变化规律. 1．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）若直线与直线平行，则m的值是（    ） A．1或 B． C．1或 D．1 【答案】C 【分析】由两直线平行的判定列方程求参数值，注意验证. 【详解】直线与直线平行， 则，解得或， 经检验，或时，两直线平行，经检验都符合题意. 故选：C 2．（25-26高二上·重庆·开学考试）若直线与直线平行，则（    ） A．0 B．或0 C． D．1 【答案】C 【分析】根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况. 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 3．（24-25高二下·北京·月考）若直线 与直线 垂直，则实数为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据两向量垂直的充要条件列式求解. 【详解】根据题意，可得，解得. 故选：C. 4．“”是“直线与垂直”的（   ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件以及两直线间的位置关系等知识确定正确答案. 【详解】当时，，， ，充分性成立； “直线与垂直”恒成立， 并不需要a参与其中，必要性不成立. 故选：A 5．（25-26高二上·全国·单元测试）（多选题）已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（    ） A．不存在k，使得的倾斜角为90° B．对任意的k，与都有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 【答案】BD 【分析】根据两直线的位置关系求解判断. 【详解】A错，当时，：，符合倾斜角为90°； B对，：过定点，而点也在：上，所以对任意的k，与都有公共点； C错，当时，：，然与：重合； D对，要使与垂直，则，即，显然不存在这样的k值． 故选：BD. 6．（24-25高二上·新疆喀什·期末）求经过点，且满足下列条件的直线的方程； (1)经过点； (2)与直线平行； (3)与直线垂直； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 (1)由两点即可求出斜率，由点斜式即可求直线的方程； (2)设与直线平行的直线的方程为，代点即可求得； (3)设与直线垂直的直线方程为，代点即可求得. 【详解】（1）根据题意有直线的斜率为，则直线的方程为， 整理有； （2）设与直线平行的直线的方程为，又因为经过点， 所以，即； （3）设与直线垂直的直线方程为，又因为经过点， 所以，即. 题型七 直线的交点坐标与距离公式（含对称问题） 解｜题｜技｜巧 1、用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解. 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线重合. 2、求两点间的距离的基本思路 任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式为|AB|=.当两点确定的直线垂直于x轴或y轴时，A，B间的距离可直接用两点的纵坐标或横坐标之差的绝对值求出. （1）使用点到直线的距离公式时，首先把直线方程化为一般式，再利用公式求解. （2）已知点到直线的距离求参数时，只需根据公式列方程求解参数即可. 求两条平行直线间的距离有两种思路 （3）直接利用两条平行直线间的距离公式d=(A2+B2≠0)，但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等. 3、距离公式综合应用的三种常用类型 （1）最值问题 ①利用对称转化为两点之间的距离问题. ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离. ③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值. （2）求参数的问题 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值. （3）求方程的问题 立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解. 4、对称问题的解决方法 （1）点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a-x，2b-y). （2）直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和点P(x0，y0)， 则l关于点P的对称直线方程为A(2x0-x)+B·(2y0-y)+C=0. （3）点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.设P(x0，y0)，l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得. （4）求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题. 1．已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再代入点到直线距离公式即可. 【详解】易知直线的斜率为，又过点， 所以其方程为，即， 可得点到直线l的距离为. 故选：C 2．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将两条直线化为和的形式，然后利用两条平行直线间的距离公式来求解即可. 【详解】直线可化为，设两条平行直线间的距离为，则. 故选：. 3．（24-25高二上·福建福州·期中）（多选题）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 4．（2025高二上·上海·专题练习）直线l经过原点，且经过两条直线的交点，则直线l的方程为 【答案】 【分析】思路一：求出交点坐标得直线斜率即可求解；思路二：设所求直线l的方程为，将原点坐标代入求得的值即可. 【详解】方法1：联立，解得，所以两直线的交点为， 所以直线l的斜率为，则直线l的方程为； 方法2：设所求直线l的方程为， 因为直线l经过原点，所以，解得； 所以直线l的方程为. 故答案为：. 5．（24-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据垂直关系和中点在直线上可求，从而可求的值. 【详解】因为，故，而的中点为， 故，所以，所以， 故答案为：. 6．已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 【答案】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 7．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）将直线的方程整理得，令，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解； （2）由（1）可得直线过定点，设定点为，当时，点到直线的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求. 【详解】（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 8．已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 【答案】(1). (2). (3) 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. （3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程. 【详解】（1）设，由已知条件得，解得所以. （2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 题型八 圆的标准方程（含距离最值问题） 解｜题｜技｜巧 1、确定圆的标准方程有两种方法 （1）几何法：它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程. （2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程. 2、点与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较. （2）代数法：直接利用下面的不等式判定. ①(x0-a)2+(y0-b)2>r2，点在圆外； ②(x0-a)2+(y0-b)2=r2，点在圆上； ③(x0-a)2+(y0-b)2<r2，点在圆内. 3、与圆有关的最值问题的求解策略 （1）本题将最值转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决，充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用. （2）涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解. 1．（24-25高二上·河南焦作·期中）圆的半径为（   ） A． B． C．5 D．13 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程计算半径即可. 【详解】将圆的方程化为标准形式为，其半径为. 故选：B 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程. 【详解】根据题意，以为直径的圆的圆心为中点，半径为， 所以圆的方程为. 故选：B. 3．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由求解. 【详解】解：设圆的标准方程为， 由题意得， 解得， 故圆的方程为， 故选：B 4．（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆及点在圆外列不等式求参数范围即可. 【详解】圆的方程可化为，则，可得， 又点在圆外，则，可得， 所以. 故选：B 5．（24-25高二上·广东茂名·期中）若为圆上任意一点，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断点与圆的位置关系，利用圆的性质即可得解. 【详解】将圆化为标准方程为， 故圆的圆心为，半径， 因为，故点在圆的内部， 且， 所以的取值范围为：. 故选：C 6．（24-25高二上·山东青岛·月考）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A．+=4 B． C． D． 【答案】C 【分析】写出已知圆的圆心坐标和半径，求出圆心坐标关于直线的对称点的坐标，然后代入圆的标准方程得答案． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2， 设关于直线：的对称点为， 则，解得． 所以，则圆关于直线对称的圆的方程为． 故选：C． 7．（24-25高二上·全国·课前预习）求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是，且过点； (2)圆心在轴上，半径为5，且过点； (3)求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用两点距离公式可先求半径，再写标准方程即可； （2）利用点的特征结合半径可先求圆心坐标，再写标准方程即可； （3）设圆心坐标，利用到C、D距离相等计算求得圆心坐标，再写标准方程即可. 【详解】（1）由题意可知：， 圆的标准方程为； （2）设圆心为， 则， 或， 圆心为或， 又，圆的标准方程为或； （3）设圆心为， ， ， 即， ，， 圆的标准方程为． 题型九 圆的一般方程（含动点轨迹问题） 解｜题｜技｜巧 1、用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择 （1）如果已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. （2）如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D，E，F. 2、圆的轨迹方程 （1）求动点的轨迹方程的一般步骤为：建系，设点，列式，化简，证明.建系时可根据题目中的条件，建立适当的直角坐标系，简化运算是解题的关键. （2）求解时，重视从不同视角诠释求动点轨迹方程的步骤，注意灵活运用图形的几何性质. （3）对于“双动点”问题，若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程，则通常用代入法. 利用直接法求轨迹方程时，先建立适当的坐标系，设动点坐标为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式，化简得之. 1．圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用圆的一般方程的圆心公式. 【详解】使用圆的一般方程的圆心公式，其中 ， 圆心坐标为． 故选：B. 2．（24-25高二下·甘肃白银·期末）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆心在，可设圆的一般方程为，然后代点求解即可. 【详解】解析：设所求圆的方程为， 因为该圆过点，， 所以解得， 所以该圆的方程为. 故选：A. 3．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）已知平面直角系中，，，点满足，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接设，根据两点间距离公式代入运算整理即可得解． 【详解】设，因为，则，整理得. 故选：B． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选题）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 【答案】BC 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【详解】将方程配方化为， 所以圆心为，半径为，故A错误； 当时，半径为，B正确； 圆心到直线的距离为，C正确； 当时，半径为3，圆面积为，D错误． 故选：BC 5．（25-26高二上·河南驻马店·月考）若方程表示一个圆，则b的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆的一般方程，可得，结合圆的一般方程中，代入数据即可求解 【详解】由方程表示一个圆，所以，则，根据圆的一般方程需满足，此处， 代入可得，解得且，所以. 故答案为： 6．过三个点，，的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法，建立方程组，解之即可求解. 【详解】设圆的一般方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故答案为： 7．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】利用中点坐标公式，整理等量关系，代入圆的方程，可得答案. 【详解】设线段的中点，， 则由题意得，且，即， 所以，即， 所以线段的中点的轨迹方程为． 故答案为：. 题型十 直线与圆的位置关系判断及参数问题 解｜题｜技｜巧 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【答案】B 【分析】由直线方程可得直线过定点，证明点在圆内，由此判断结论. 【详解】由直线：，可知直线过定点， 由圆：，可知圆心，半径为， 则， 所以点在圆的内部，从而直线与圆相交. 故选：B . 2．（24-25高二上·海南海口·期末）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（   ） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相交 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【答案】A 【分析】首先得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】圆的圆心，半径， 又，所以点在圆上， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：A 3．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知圆，直线，则圆上到直线的距离为的点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出与直线平行且与直线的距离为的直线的方程，判断出圆与两平行线间的位置关系，即可得出结论. 【详解】设与直线平行且与直线的距离为的直线的方程为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 圆的圆心为，半径为， 显然直线过圆心，圆心到直线的距离为， 所以，直线与圆相交，直线与圆相切， 所以，圆上到直线的距离为的点的个数为. 故选：C. 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心到直线的距离大于半径求解. 【详解】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以. 故选：B. 5．（23-24高二下·湖南·期中）设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出关于直线对称的点的坐标，转化即可求解. 【详解】设关于直线对称的点的坐标为， 则，解得，， 即，由对称性可知， 对于圆，圆心，半径，， 当且仅当A，C，三点共线时等号成立， 由于，， 则. 故选A． 6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知点及圆：，若为上动点，则点到直线AB的距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】先判断直线AB与圆相离，再根据圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离与半径的和求解即可. 【详解】由得直线AB的方程为，即． 圆化为标准形式为， 圆心的坐标为，半径， 则圆心到直线AB的距离， 所以直线AB与圆相离， 所以点到直线AB的距离的最大值为． 故答案为： 7．（23-24高二下·云南曲靖·期末）过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】首先判断直线与圆的位置关系，由切线性质有，结合点线距离求的最小值即可; 【详解】 由题知，圆心，半径， 圆心到直线的距离. 因为为直角三角形，且， 所以， 当且仅当与直线垂直时，等号成立， 所以的最小值为4. 故答案为：4. 8．（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 . 【答案】 【分析】设的坐标为，由题意结合圆的切线的几何性质推出在直线上，继而将的最小值转化为点到直线的距离，即可求解. 【详解】根据题意，设的坐标为，圆的圆心为，则. 为圆的切线，则有， 又由，则有，即， 变形可得：，即在直线上， 则的最小值即为点到直线的距离， 且，即的最小值是； 故答案为：. 题型十一 直线与圆相交（含弦长问题） 解｜题｜技｜巧 设直线l的方程为ax+by+c=0，圆O的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0)，求弦长的方法通常有以下两种 （1） 几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线段AB的中点，如图所示.在Rt△OCB中，|BC|2=r2-d2，则弦长|AB|=2|BC|=2. （2）代数法：解方程组消元后可得关于x1+x2，x1·x2或y1+y2，y1·y2的关系式，则|AB|== ，其中k为直线l的斜率且不为0. 1．直线与圆相交于两点，则弦的长等于（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先得出圆的圆心坐标和半径，然后由点到直线的距离公式、弦长公式即可求解. 【详解】因为圆即圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 因此，弦长. 故选：B. 2．（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数的值. 【详解】因为圆，所以圆心为，半径为. 设圆心到直线距离为：. 因为直线与圆截得的弦长为. 所以. 解得：. 故选：. 3．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 【答案】A 【分析】由几何法求出弦长，再由面积公式计算． 【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 所以， 故选：A． 4．（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心，当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短，两垂直直线的斜率乘积等于可求直线方程 【详解】，圆心为， 圆心与连线所在直线斜率为：， 因为， 所以点在圆内， 所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短. 所以，最短弦所在的直线斜率满足：，所以， 由点斜式方程得，最短弦所在的直线为：， 整理得： 故选：B 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据圆的半径、弦长可求出圆心到弦的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出直线的斜率，从而得到直线方程. 【详解】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为3， 此直线与圆相切，因此直线的斜率存在． 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或，所以直线的方程为或． 故答案为：或． 6．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知斜率为1的直线与圆交于两点，且以为直径的圆恰好经过原点，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】依题设直线方程为，代入圆的方程，化成关于的一元二次方程，计算判别式，设，写出韦达定理，由题意推得，化简计算求得的值，即得直线的方程. 【详解】 如图，设直线的方程为，代入圆， 可得， 整理得：， 由，则有（*）. 设，由韦达定理得：， 则， 因以为直径的圆恰好经过原点，故, 即 ，化简得：，解得或， 经检验，均满足（*）式，故直线的方程为：. 故答案为：. 7．（24-25高二上·浙江台州·期中）在坐标平面上有两定点，动点满足 (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用两点距离公式列方程求轨迹方程； （2）联立直线与圆得一元二次方程，应用判别式求参数k的范围，根据已知及向量数量积的坐标表示，列方程求参数值即可. 【详解】（1）设，因为，所以， 平方并整理得，即； （2）已知直线与圆交于两点，设， 联立，得， 所以，解得， ， 所以或，又，则. 题型十二 直线与圆相切（含切线问题） 解｜题｜技｜巧 1、求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数. （1）求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为-，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0. （2）求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解： 设切线方程为y-y0=k(x-x0)，即kx-y-kx0+y0=0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x=x0. 2、与圆的切线相关的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过上一点的圆的切线方程为： （3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：． （4）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为 1．（24-25高二下·河南·月考）已知直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】圆的方程化为标准式并确定圆心和半径，根据直线与圆相切及点线距离公式列方程求参数. 【详解】由，则， 所以圆心，半径，， 由题设，则. 故选：A. 2．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先求得半径，然后根据点斜式求得切线方程. 【详解】由于点在圆上， 所以，所以圆， 所以圆心，， 所以过点M的圆C的切线的斜率为， 所以过点M的圆C的切线方程为， 化简得. 故答案为： 3．（24-25高二上·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】①由点到直线的距离求出半径，写出圆的方程；②讨论斜率是否存在，当斜率不存在时切好相切求出切点，由圆切线的性质可知两切点连线与圆心和两切线交点连线垂直，从而求出切点直线的斜率，由点斜式写出直线方程. 【详解】①点到直线距离等于半径， ∴，∴圆的标准方程为 ②当斜率不存在时，切线：，与圆相切与点； 由圆的切线的性质可知，， ∴ ∴，即 故答案为：①② 4．（24-25高二下·安徽铜陵·月考）若直线：与曲线：有两个不同的交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题可知直线过定点，曲线表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分，因为有两个交点，所以先求出当直线与圆相切时切线的斜率，再根据图像可得斜率的取值范围. 【详解】直线可化为所以直线过定点A. 曲线可变形整理为由下图所示： 设直线与圆相切时的斜率为直线过点且与圆有两个交点时的斜率为由图可知，当直线与曲线由两个不同交点时，斜率满足 由圆心到直线的距离为解得 所以 故答案为：. 5．（24-25高二上·重庆·期末）动直线与动直线相交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线经过定点， 因为两直线，始终垂直，点C是两条直线的交点， 所以有，所以点C的轨迹方程是， 所求可以看成点C与点连线的斜率， 如图象，求出过M点的切线斜率即可，设切线为，即. 根据相切的条件构造方程，即,解得. 可得最小值为． 故答案为：. 6．（24-25高二上·广西钦州·期末）已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点作直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的方程为，带入A、B点的坐标以及将圆心带入直线方程构成方程组，解方程组可得答案； （2）分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式即可求得切线l的方程. 【详解】（1）设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 则直线的方程为，即. 故直线的方程为或. 7．（25-26高二上·四川内江·开学考试）过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分切线斜率不存在和存在两种情况讨论求解即可； （2）根据切线长的性质可得，进而结合图形求解即可. 【详解】（1）由圆，则圆心为，半径为3， 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到切线方程为的距离为3，等于半径，满足题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 则切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. （2）由切线的性质，得， 当切线为时，此时切线与轴垂直， 则. 题型十三 圆与圆的位置关系判断及参数问题 解｜题｜技｜巧 判断两圆位置关系的方法有两种：一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆圆心距d，当d=r1+r2时，两圆外切，d=|r1-r2|时，两圆内切，d>r1+r2时，两圆外离，d<|r1-r2|时，两圆内含，|r1-r2|<d<r1+r2时，两圆相交. 1．判断下列两个圆的位置关系： (1)与； (2)与． 【答案】(1)外切 (2)相交 【分析】（1）求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解； （2）化简两圆为标准方程，求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解. 【详解】（1）解：由圆与， 可得两圆的圆心坐标分别为，半径分别为和， 可得两个圆的圆心距，所以， 所以两个圆外切． （2）解：将两个圆的方程都化为标准方程，可得，， 则两圆的圆心坐标分别为，半径分别为和， 可得两个圆的圆心距， 因为，所以两个圆相交． 2．（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】由题可先设出圆系方程：， 则圆心坐标为； ， 又圆心在直线上，可得，解得， 所以圆的方程为：，故A正确. 故选：A. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】先求出已知圆圆心和半径，再根据圆和圆的位置关系求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为4， 设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 即； 若动圆与已知圆内切，则， 即. 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或. 故选：D. 4．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两圆圆心距与半径和差得关系即可求解； 【详解】由题意可得：， 即：， 解得：，且， 所以的取值范围为， 故选：C 5．（24-25高二上·湖南永州·月考）若存在实数使得与内切，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出每个圆的圆心与半径，再由两圆的圆心距与两个半径之差相等，即即可求的结果. 【详解】将方程配方得：，则，半径为1， 由可得，半径为， 因与内切，则有， 由于，则得，解得，即的最小值为2. 故选：B. 题型十四 公共弦与公切线问题 解｜题｜技｜巧 1、公切线 两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 2、公共弦 （1）求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. （2）求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. （3）已知圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1). 1．圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数. 【详解】圆的方程等价于， 所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆 是以为圆心，为半径的圆， 所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为， 即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线． 故选：C 2．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 3．（25-26高二上·全国·期中）（多选题）已知圆和圆，则（    ）． A．圆的半径为4 B．y轴为圆与的公切线 C．圆与公共弦所在的直线方程为 D．圆与上共有3个点到直线的距离为1 【答案】BC 【分析】对于A项，将圆的方程化成标准式即得；对于B项，判断圆心到直线的距离等于圆的半径即得；对于C项，只需将两圆方程相减化简，即得公共弦直线方程；对于D项，需要结合图像作出两条和已知直线平行且距离等于1的直线，通过观察分析即得. 【详解】对于A，圆化为标准方程为，则圆的半径为2，故A错误． 对于B，因为圆心到y轴的距离为1，等于圆的半径， 所以圆与y轴相切， 同理圆心到y轴的距离等于圆的半径， 所以圆与y轴相切，故y轴为圆与的公切线，故B正确． 对于C，将与左右分别相减，得圆与的公共弦所在的直线方程为，故C正确． 对于D，如图， 因为直线同时经过两圆的圆心， 依题意可作两条与该直线平行且距离为1的直线与， 其中与和圆都相切，各有一个公共点， 与和圆都相交，各有两个交点， 故圆与上共有6个点到直线的距离为1，故D错误. 故选：BC. 4．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选题）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 【答案】ACD 【分析】对于AC，由两圆圆心距与两圆半径关系可得两圆位置关系；对于B，两圆方程相减可得直线的方程；对于D，由B分析可得到直线的距离，据此可得线段长度. 【详解】对于AC，圆的圆心是，半径为2；圆的圆心是，半径为1， 圆心距为，所以两圆相交，公切线有两条．故AC正确； 对于B，将两圆方程相减，整理得．故B不正确； 对于D，点到直线的距离为， 所以．故D正确. 故选：ACD 5．（24-25高二上·广东·月考）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程. 【详解】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（    ）. A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可． 【详解】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则，所以，解得或， 又，所以． 故选：B． 2．（24-25高二上·辽宁·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 【答案】A 【分析】根据圆心在直线上，判断得解. 【详解】由题可得，圆心为，又点满足直线方程， 即直线经过圆心， 所以直线与圆相交. 故选：A. 3．已知直线与圆相交于，两点，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式、圆的弦长公式列方程即可求解. 【详解】设圆心到直线的距离为， 则由点到直线的距离公式可得， 因为，圆的半径为，所以，解得. 故选：D. 4．已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 5．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合两点间距离公式运算求解即可. 【详解】因为，即， 则，整理可得． 故选：C. 6．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点点距离，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】表示点到点的距离， 故的最小值为点到直线的距离 故选：C 7．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知点在圆上，点，则的值可能为（   ） A．1 B．7 C．13 D．15 【答案】B 【分析】先确定在圆内，再求出到圆心的距离，然后得到的取值范围即可. 【详解】因为，所以点在圆内， 又圆心，半径为7，点到圆心的距离为， 所以，即的取值范围为， 所以的值可能为7. 故选：B. 8．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，计算圆心到直线的距离并判断直线和圆的位置关系，再结合半径，判断到直线的距离为1的两条直线与圆的位置关系即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径为2， 圆心到的距离， 所以直线与圆相交，结合圆半径为2，到直线的距离为1的直线有两条， 可得一条与圆相切，一条与圆相交， 因此圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1. 故选：C. 9．（24-25高二下·海南海口·开学考试）已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线与直线的斜率，再结合直线与线段相交的条件，确定直线斜率的取值范围. 【详解】已知，，根据过两点直线斜率公式，可得： 已知，，同理可得： 当直线绕点从位置旋转到与轴重合时，斜率的范围是； 当直线绕点从与轴重合旋转到位置时，斜率的范围是. 所以直线斜率的取值范围是. 故选：B.    10．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点M，再根据直线与垂直时，弦最小，结合圆的弦长公式即可得解. 【详解】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，即，恒过定点， 又由圆的方程为，则点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为； 故选：A 11．由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，求得，由此可知时，取得最小值，由此即可求解. 【详解】 由已知有：圆的圆心，半径为，直线的一般方程为， 设点到圆心的距离为，则有，所以， 所以取最小值时，取得最小值， 因为直线上点到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离， 所以，故的最小值为. 故选：B 12．（24-25高二上·辽宁·期中）“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先分析曲的图形，再结合直线与该曲线的位置关系，再判断 “” 与 “直线与曲线恰有1个公共点” 之间的条件关系. 【详解】曲线表示圆心，半径为的圆的上半部分（包括与轴的交点）， 直线的斜率为1，在轴上的截距为， 当直线与曲线恰有1个公共点时该直线与曲线相切或有一个交点， 如图所示： 相切时，圆心到直线距离等于2，则， 即或（舍去，因为当时与下半部分相切，不符合题意）. 由图象可知，有一个交点时，. 于是，当“”时，直线“与曲线恰有1个公共点”，则充分性成立； 当直线与曲线恰有1个公共点时，或，则必要性不成立. 所以， “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 13．（23-24高二下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点的轨迹方程，再将转化为的长度，根据图形求得共线时最小，求出最小值即可. 【详解】设， 由，得，化简整理得， 故的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， ， 设，则, 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C.    14．（25-26高二上·全国·期中）（多选题）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为1 B．直线与直线之间的距离为 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 【答案】BD 【分析】令可判断A；利用平行线之间的距离公式可判断B；求出直线的斜率可判断C；由方程判断两直线的位置关系可判断D． 【详解】对于A，令得，直线在轴上的截距为，故A错误； 对于B，直线与直线平行，直线与直线之间的距离为，故B正确； 对于C，直线的斜率为，以为方向向量的直线的斜率为3，故C错误； 对于D，由，得，故D正确． 故选：BD. 15．（多选题）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出圆的圆心和半径，再按直线的斜率是否存在分类，结合圆的切线性质求解. 【详解】圆的圆心，半径， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，点到直线的距离为1，不符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由直线与圆相切得：，解得或， 所以直线的方程为：或. 故选：AC 16．（24-25高二上·湖北·期中）（多选题）已知圆，直线，下列说法正确的是（   ） A．当或时，圆O上没有点到直线l的距离等于1 B．当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1 D．当时，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1 【答案】CD 【分析】先求出圆心到到直线的距离，根据选项中参数的范围求得的范围，结合图形，即可一一判断. 【详解】 由题设条件，圆的半径为2，圆心到直线的距离为. 对于A，当或时, ，则，当时， 由图1知，圆O上有一点到直线l的距离等于1，故A错误； 对于B，D，当时，，由图2知，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1，故B错误，D正确； 对于C，当时，，由图3知，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1，故C正确. 故选：CD. 17．（24-25高二上·山西·期末）（多选题）已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则（   ） A．直线与圆相离 B．过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】ACD 【分析】由圆心到直线的距离可判断A；最短的弦长为垂直与该直径的弦长可判断B；当的值最小时，则，可判断C；当时，切线长最小，可判断D． 【详解】 A：圆，， 圆心，半径，圆心到直线的距离为 ，直线与圆相离，故A正确； B：设过点的直线方程为， 所以该直线被圆截得最短的弦长为垂直与该直径的弦长， 和圆心的距离为， 最短弦长为，故B错误； C：当的值最小时，则， 的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即，故C正确； D：从点向圆引切线，当时，切线长最小，最小值是，故D正确. 故选：ACD． 18．（24-25高二上·北京大兴·期中）已知，，三点共线，则 ． 【答案】 【分析】先确定直线斜率存在，然后根据三点共线可知，结合斜率的计算公式可求结果. 【详解】因为，所以直线斜率存在， 因为三点共线，所以， 所以，解得， 故答案为：. 19．（25-26高二上·全国·单元测试）已知两直线，，若，则与间的距离为 ． 【答案】 【分析】根据直线平行求得，进而求两平行线间距离. 【详解】已知两直线，， 若，则解得，则直线， 则与间的距离为． 故答案为：. 20．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 【答案】 【分析】将点坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直线方程. 【详解】，即，， ∵，即点在圆上， 设切线为，则，， ∴， ∴切线，即. 故答案为：. 21．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）已知，，若点在线段上，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】我们只要把看作动点与定点的斜率，就可以结合图象得到范围. 【详解】当点与重合，则，代入得， 当点与重合，则，代入得， 我们把看作动点与定点的斜率， 再结合图象： 利用正切函数在锐角范围内是单调递增，可知， 故答案为：. 22．（24-25高二下·湖南·期末）已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断直线过定点，根据点在圆内，即可判断取到最大以及最小值时的情况，即可求答案. 【详解】依题意，圆，圆心，半径为， 直线过定点，，故点在圆内， 当直线过圆心时，弦长最大，为直径， 当直线与垂直时，弦长最小， 此时的最小值为，故的取值范围为． 故答案为：． 23．（25-26高二上·全国·课后作业）求过两直线和的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)平行于直线； (3)和直线垂直. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）法一：联立方程组，可得.利用直线的点斜式方程即可求解； 法二：由直线系方程可设所求直线方程为，即，由一般式方程的斜率公式可得，解出的值代入化简即可求解； （2）法一：由（1）中法一可得.由题可得所求直线的斜率.由直线的点斜式方程即可求解； 法二：由（1）中法一可得.根据平行直线系方程设方程为，将代入得，代入即可求解； 法三：由直线系方程可设所求直线方程为，即.由题可得所求直线的斜率，结合一般式方程的斜率公式可得，解出的值代入化简即可求解； （3）法一：由（1）中法一可得.由题可得所求直线的斜率.利用直线的点斜式方程即可求解； 法二：由（1）中法一可得.根据垂直直线系方程设方程为，将代入解得，代入即可求解； 法三：由直线系方程可设所求直线方程为，即.由题可得所求直线的斜率，结合一般式方程的斜率公式可得，解出的值代入化简即可求解. 【详解】（1）法一：联立方程组，解得，所以. 当直线斜率为时，由直线的点斜式方程得，化为一般式为. 法二：由直线系方程可设所求直线方程为，即， 斜率为时，，解得，代入化简可得所求直线方程为. （2）法一：由（1）中法一可得. 由题可得所求直线的斜率. 由直线的点斜式方程可得所求直线为，化为一般式为. 法二：由（1）中法一可得. 根据平行直线系方程设方程为，将代入得， 故所求直线方程为. 法三：由直线系方程可设所求直线方程为，即. 由所求直线平行于直线可得所求直线的斜率， 所以，解得，此时两直线平行，故所求直线方程为. （3）法一：由（1）中法一可得. 由所求直线和直线垂直，可得所求直线的斜率. 由直线的点斜式方程可得所求直线为，化为一般式为. 法二：由（1）中法一可得. 根据垂直直线系方程设方程为，将代入得， 故所求直线方程为. 法三：由直线系方程可设所求直线方程为，即. 由所求直线和直线垂直，可得所求直线的斜率， 所以，解得，故所求直线方程为. 24．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若过定点的直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先求出线段的垂直平分线方程，然后与直线联立方程组可求出圆心的坐标，从而可求出圆的半径，进而可求出圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，然后判断出直线的斜率存在，设直线为，再利用点到直线的距离公式列方程求出，从而可求出直线的方程. 【详解】（1）由题意得线段的中点坐标为，直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 由，得，即， 所以圆的半径为， 所以圆的方程为； （2）因为直线被圆所截得的弦长为6， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线为，则圆心到直线的距离为3，不合题意， 所以直线的斜率存在，设直线为，即， 则，化简整理得，解得或， 所以直线为或. 25．（24-25高二上·海南·期中）已知点在圆上运动，点. (1)求的最小值； (2)若为的中点，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）首先判断点在圆外，再根据圆外点到圆上点距离的最小值为圆外点到圆心的距离减半径求解即可； （2）通过中点建立相关关系，列方程求解轨迹方程 【详解】（1）圆的标准方程为， 故圆心，半径. 因为，所以点在圆外. 所以的最小值为. （2）设. 因为为线段的中点， 所以则 因为点在圆上运动， 所以， 代入得， 化简得， 所以点的轨迹方程为. 26．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2)最小值为4，. 【分析】（1）截距相等时，要考虑到截距为和不为两种情况分类讨论； （2）设直线方程为点斜式，表示直角三角形的面积，通过基本不等式即可求得最值. 【详解】（1）当截距为时，设直线方程为， 因为直线过点，则， 解得， 所以直线方程为； 当截距相等且不为时，设直线方程为， 因为直线过点，则代入直线方程得，， 则直线方程为. 所以直线方程为或. （2）由题意可知，直线的截距不为，且斜率存在且， 设直线方程为， 令，y=2k+1；令， 则， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为，此时的直线方程为. 期中重难突破练（测试时间：60分钟） 1．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线方程的特点，分和两种情况讨论，再分别计算出倾斜角的取值范围，最后取并集即可. 【详解】当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角； 当时，直线的斜率为， 因为， 所以，即， 又因为， 所以结合正切函数的图象可得：. 综上可得：直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C. 2．已知圆与直线相交于不同的两点，，点满足，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得直线过定点，注意到在圆上，结合满足，可得为中点，如图取CM中点为F，连接PF，由中位线定理可得轨迹方程. 【详解】，则. ，则直线过定点， 注意到在圆上，设为点M，则，因， 则为中点，如图取CM中点为F，连接PF，由中位线定理可得： ，，则点的轨迹方程为以为圆心， 半径为1的圆去掉点M，即. 故选：B 3．（24-25高二上·四川达州·期末）过点的直线与曲线有交点，则直线的斜率范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到表示的圆心为，半径为1的圆，位于轴上方的部分（含轴上的两点），画出图形，得到特殊位置的斜率，得到答案. 【详解】，两边平方得，即， 故表示的圆心为，半径为1的圆，位于轴上方的部分（含轴上的两点）， 如图所示，设，连接，并过点作半圆的切线，切点为， 其中，故， 设切线为，即， 圆心到直线的距离为1， 即，即， 解得或，由图形可知，切线斜率大于1， 故舍去， 所以直线的斜率范围为. 故选：C 4．在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标，和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程，由于光线经过的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标，即可求解. 【详解】以为坐标原点，建立如图直角坐标系， 可得，故直线BC的方程为， 则的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过重心，代入得， 化简得或（舍去），故，所以. 故选：D 5．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·月考）设，．若动直线与交于点A，C，动直线与交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d，根据几何关系表示出，利用基本不等式即可求出其最大值. 【详解】， 圆心，半径， 过定点， 过定点，且⊥， 如图，设和中点分别为F、G，则四边形为矩形，    设，，则， 则＝ ，当且仅当即时取等号. 故选：B. 6．（24-25高二上·广西玉林·期中）（多选题）已知圆，设点为圆上的动点，则下列选项正确的是（   ） A．点到原点的距离的最小值为2 B．过点的直线与圆截得的最短弦长为6 C．的最大值为1 D．过点作圆的切线有2条 【答案】AD 【分析】由题意可知圆心和半径.结合圆的性质判断AB；分析可知表示直线的斜率，结合切线分析求解；对于D：分析可知点在圆外，即可得结果. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 对于选项A：点到原点的距离的最小值为，故A正确； 对于选项B：因为，可知点在圆内， 所以最短弦长为，故B错误； 对于选项C：因为表示直线的斜率，    当与圆相切时，此时，取到最大值，故C错误； 对于选项D：因为，可知点在圆外， 所以过点作圆的切线有2条，故D正确； 故选：AD. 7．（24-25高二上·浙江杭州·期中）（多选题）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离最大为4 【答案】BC 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A错误. 对于B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B正确. 对于C，设， 则， 等号成立当且仅当，所以C正确. 对于D，圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D错误. 故选：BC 8．（24-25高二上·四川宜宾·期末）（多选题）已知圆与圆交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．两圆的公切线有2条 B．直线的方程为 C．若两点到直线的距离相等，则 D．当时，圆上恰有4个点到直线的距离等于1 【答案】ABD 【分析】求得圆心距，可判断A；两圆方程相减求得得公共弦的方程可判断B；求得两交点坐标，可得，求解可判断C；由题意有4个公共点时，求解可判断D. 【详解】由圆，可得圆，所以圆心，半径， 由圆，可得圆， 所以，半径， 所以两圆的圆心距为，所以， 所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条，故A正确； 因为圆与圆， 所以两圆的方程相减可得公共弦的方程：，即，故B正确； 由，得，代入圆，可得， 整理得，解得或，所以，， 由两点到直线的距离相等，所以， 解得或，故C错误； 由圆上恰有4个点到直线的距离等于1，则，解得， 所以当时，圆上恰有4个点到直线的距离等于1，故D正确. 故选：ABD. 9．（24-25高二上·安徽宣城·期末）（多选题）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 【答案】BD 【分析】根据圆的标准方程得出圆心为，半径为2，由圆切线的性质及勾股定理得，再根据点到直线的距离公式得出，即可判断A；结合A的结论得出即可判断B；结合A的结论，根据两直线交点，中点公式及点斜式方程求得弦所在的直线方程，即可判断C；设，得出以为直径的圆的方程，与圆方程相减即可得出弦所在直线方程，进而求得定点，即可判断D． 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为2， 由题意可得， 所以， ， 所以，故A错误； 对于B，， 所以四边形面积的最小值为4，故B正确； 对于C，当最小时，，则直线的斜率为， 又，所以直线的斜率为， 的直线方程为，即， 由，解得，，即， 因为当最小时，，所以为等腰直角三角形， 所以中点即为中点， 因为的中点为，所以弦的中点为， 所以弦所在的直线方程为，即，故C错误； 对于D，设， 则以为直径的圆的方程为， 展开得①， 圆C的方程为，即②， ①②得弦所在直线方程为，即， 令，解得， 所以弦所在直线必过定点，故D正确； 故选：BD． 10．（23-24高二上·安徽六安·期中）（多选题）已知圆，圆，则下列选项正确的是（    ） A．两圆是外切的位置关系 B．直线的方程为 C．若P、Q两点分别是圆和圆上的动点，则的最大值为5 D．圆和圆的一条公切线段长为 【答案】ABD 【分析】根据圆心距与两圆半径之和相等可知A正确，利用两点坐标即可得B正确；易知当四点共线且在两侧时，取得最大值为，可得C错误；根据两半径差和圆心距可得公切线段长为，即D正确. 【详解】由题意可知圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为； 两圆圆心距，即圆心距等于两半径之和， 所以两圆外切，即A正确； 由圆心坐标可知，所以直线的方程为， 即，所以B正确； 由圆与圆之间的位置关系可得的最大值为，如下图所示： 当四点共线且在两侧时，取得最大值，可得C错误； 设为两圆的一条公切线，切点分别为， 易知，作于点，则， 又，则，可得公切线段长为，即D正确. 故选：ABD 11．动直线l：被圆C：截得弦长的最小值为 ． 【答案】8 【分析】求出直线所过定点A，判断定点A在圆内，数形结合知直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，即可由勾股定理求出此时的弦长. 【详解】直线，即， 所以直线过定点，又圆，且， 所以点在圆内部，， 当垂直于直线时，到直线的距离最大，此时弦长最小， 所以直线被圆截得的弦长的最小值为. 故答案为：8. 12．（24-25高二上·湖北·期中）已知点，动点P在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先判断 A，B在直线的同侧，作B关于直线的对称点，当A，P，三点共线时，最小. 【详解】解：由题意知点A，B在直线的同侧， 设点B关于直线的对称点为， 则解得 即， 所以 故答案为： 13．已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用平面上两点间线段最短和两点间距离公式的几何意义即可求解. 【详解】 . 记点、点、点和点， 因为，， 所以的几何意义为：表示正方形内的点到点、点、点和点四点的距离之和. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 综上可得：当点是线段与的交点时，和同时取得最小值，均为. 所以的最小值为. 故答案为：. 14．（24-25高二上·福建漳州·期中）过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． (1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； (2)求弦AB的中点M的轨迹方程； (3)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】(1)或 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用分类讨论思想，分切线斜率不存在与斜率存在两种情况，结合切线的性质，建立方程组，可得答案； （2）法一：根据垂径定理，结合圆的性质，可得答案，法二：设出动点的坐标，利用两点求得斜率以及直线垂直的斜率公式，建立方程，可得答案； （3）利用分类讨论思想，分直线斜率存在与不存在两种情况，联立方程，利用韦达定理，整理化简，可得答案. 【详解】（1） 当直线的斜率不存在时，直线与圆相离，不符合题意． 当直线的斜率存在时，可设直线，即． 因为直线与圆相切，圆的圆心，半径， 所以，即，解得或． 所以直线的方程为，或． （2） 法一：因为点A，B为过原点O的直线与圆的交点，且点弦AB的中点， 所以，则点的轨迹是以OC为直径的圆，圆心为，半径为， 所以点的轨迹方程为． 法二： 设点．当点不与点，点重合时，由圆的性质可知，， 所以，所以，即． 当点M与点O或点C重合时，和均满足方程． 综上所述，点的轨迹方程为． （3） i）当直线的斜率不存在时，其方程为， 此时点A，B的坐标为，． 所以． ii）当直线的斜率存在时，可设其方程为． 设，， 由联立，得． 由，得，， 所以 ． 综上所述，为定值． 法二： 所以． 所以． 综上所述，为定值． 11 / 94 学科网（北京）股份有限公司 $