专题03 直线和圆的方程（知识串讲+热考题型+专题训练）-【备考期中期末】2023-2024学年高二数学上学期阶段复习讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题03 直线和圆的方程 一、直线的倾斜角、斜率 1．直线的倾斜角 ①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②范围：倾斜角的范围为． 2．直线的斜率 ①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x轴平行或重合时, , . ②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为. 3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在． 4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系： （1）当时，越大，斜率越大； （2）当时，越大，斜率越大. 二、直线方程 1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为： .这个方程就叫做直线点斜式方程. 特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线 的斜截式方程. 2.直线的两点式方程 直线过两点其中，则直线的方程为： .这个方程叫做直线的两点式方程. 当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：. 特别地，若直线过两点，则直线的方程为： ，这个方程叫做直线的截距式方程. 3.直线的一般式方程 关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程. 由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距. 三、两条直线的平行与垂直 1．两直线的平行关系 (1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有. (2)对于两条直线，有 . 2．两条直线的垂直关系 (1) 对于两条直线，其斜率为，有. (2)对于两条直线，有. 四、两条直线的交点坐标 1.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标. 2.两条直线，联立方程组， 若方程组有无数组解，则重合． 五、距离 1.两点间的距离设两点，则. 2.点到直线的距离公式 设点，直线，则点到直线的距离 . 3.两平行线间的距离公式 设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离 . 六、对称问题 1.中点坐标公式： 2．中心对称：点A、B关于点O对称，是中心对称，用中点坐标公式. 3.轴对称：点A、B关于直线l对称，则l是线段AB的垂直平分线，可以利用垂直和平分分别列方程： 和在直线l上. 七、圆的标准方程 1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． 2．圆的标准方程 (1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：． (2) 方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆． 3.点与⊙C的位置关系 (1)|AC|<r⇔点A在圆内⇔； (2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔； (3)|AC|>r⇔点A在圆外⇔. 八、圆的一般方程 (1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程． (2) 对方程：. ①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆； ②若，则方程只表示一个点，； ③若，则方程不表示任何图形． 九、直线与圆的位置关系 1.直线与圆相切： （1）直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点； （2）几何法：圆心到直线的距离等于半径，即； （3）代数法：，方程组有一组不同的解. 2.直线与圆相交及弦长 （1）直线与圆相交：直线与圆有两个公共点； （2）几何法：圆心到直线的距离小于半径，即； （3）代数法：，方程组有两组不同的解. 十、圆与圆的位置关系 设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、(). (1)两圆相离：无公共点；，方程组无解. (2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解. (3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解. (4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解. (5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆. 题型一 直线的倾斜角与斜率 【典例1】（2023秋·云南昆明·高二校考阶段练习）已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【典例2】（2002·北京·高考真题）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【总结提升】 1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角. 2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围． 题型二：求直线方程 【典例3】（2022秋·河南洛阳·高二宜阳县第一高