1.2空间向量的数量积运算同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册 第一章空间向量与立体几何1.2空间向量的数量积运算 一、单项选择题 1如图，若正四面体ABCD的棱长为1，且CE=专Ci,则A正.应=（) A.-1 B.-吉 C吉 D.1 2.已知在正四面体ABCD中，A=P元，B0=Q元，则向量Q与C的夹角为() A.琴 B. C. D. 3.如图，已知正方体ABCD-ABcD的棱长为1，则A.DB=（) A.1 B.2C.3 D.-1 4.已知e1,e2是空间中两个互相垂直的单位向量，a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,且 a⊥b,则实数k=() A.4 B.5 C.6 D.8 5.已知空间向量a,b满足a=y2,b=1,a1(a+2b),则向量a,b的夹角为() A.晋 B. c.琴 D. 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2， 且PA与AB,AD的夹角均为60°，M是PC的中点，则BM=() A B. C. 二、多项选择题 7.已知正方体ABCD-AB1C1D1的棱长为1，则下列选项正确的是() A.A1B1·AC=1B.A·A1C=1 C.C⑦·AB1=1D.AB.AD=1 8.已知四面体ABCD中，AB,AC,AD两两垂直，则以下结论中一定成立的是() A.A館+AC+A=A+AC-Ad B.A+AC+A)·B元=0 c.A+A元+A-2+AC2+A D.AB.C=A元BD=Ai.B元 9.在棱长为1的正四面体ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，则下列选项正确 的是() A.EF.BA= B.EF.BD= C.E.D元=- D.AC⑦= 三、填空题 10.已知空间向量a,b,c,其模均为1，且两两间的夹角均为60°，则 a+b-2d=_ 11.已知a=1,b=2,a与b的夹角是120°，当a+2b与ka-b的夹角为钝角时，k 的取值范围为 12.如图，边长为1的正方形ABCD所在的平面与正方形ABEF所在的平面互相垂直， 则异面直线AC与BF所成的角为 四、解答题 13.如图所示，在三棱锥A-BCD中，DA,DB,DC两两垂直，且 DB=DC=DA=2,E为BC的中点。 (1)证明：AE⊥BC; (2)求直线AE与DC所成角的余弦值。 14.将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使A.B元=是，则三棱锥 D-ABC的体积为多少？ 15.如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD-AB1C1D1中，M,N分别在棱 AA1,CC1上，且A1M=专AA1,CN=CC1,且LA1AD=∠A1AB=∠DAB=60°。 (1)求证：D,M,B1,N四点共面； (2)当0为何值时，AC1⊥AB? D M. 一、单项选择题 1.答案：C 解析：利用向量线性表示与数量积分配律： 正四面体棱长为1，A它=A元+C范，其中C2=c⑦。 AC.A店=AdAB cose60°=1×1×克=专（△ABC为正三角形)； 正四面体对棱向量数量积为0(C⑦.A丽=A⑦-AC·A丽=专-青=0)，故 C2.A店=CiA庙=0。 因此A正A店=号+0=克。 2.答案：B 解析：利用中点性质与向量垂直判定： P、Q分别为AC、BC中点，故Q2=BA(中位线定理)。 正四面体对棱向量垂直：BAC⑦=(DA-D)Ci=-专+专=0，故8A1C⑦。 因Q2与BA共线，故Q丽⊥C⑦，夹角为号。 3.答案：A 解析：建立空间直角坐标系（棱长为1，A为原点）： 坐标：A0,0,0),A(0,0,1),D(0,10),B(10,1: 向量：AA=0.0,,DE=(1-1,月 数量积：AADB=0×1+0×(-1+1×1=1。 4.答案：C 解析：利用垂直向量数量积为0： e11e2,故e1e2=0,且le=le=1o ab=(2e1+3e2(ke1-4e)=2k-12=0; 解得k=6。 5.答案：D 解析：利用垂直条件求夹角： a1(a+2b,故a(a+2b)=a2+2ab=0。 代入al=V2,得2+2ab=0→ab=-1: 由ab=bcos0,得cos0=高=-号，故日=等。 v2x1 6.答案：A 解析：建立坐标系（A为原点，底面为xy平面)： 坐标：A00,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(-1,-1,V2(由PA=2及夹角60求得)； N为Pc中点，故M00,): 向政-(0).换到-++写-9 二、多项选择题 7.答案：AB 解析：坐标系法计算（棱长1，A0,0,0): A:A1B1=(1,0,0),A元=(1,1,0)，数量积=1×1+0+0=1，正确： B:A=(1,0,0),A1C=(1,1,-1,数量积=1×1+0+0=1，正确： C:⑦=(-1,0,0)，A丽1=(10,1)，数量积=-1，错误： D:A=（1,0,0,AD=(0,1一1，数量积=0，错误。 8.答案：ACD 解析：利用两两垂直的向量性质： A:两边平方后交叉项为O,故AB+AC+AD=AB+AC-AD,正确； B:(AB+AC+AD·BC=|Ad-AB,不-定为0，错误； C:由数量积展开，交叉项为O,故AB+AC+AD=AB+Ad+AD户，正确： D:AB·CD=AC·BD=AD·BC=0,正确。 9.答案：ABC 解析：正四面体棱长1，京=BD: A:E.BA=AD-A)(-A)=},正确： B:京励=B=,正确： C:E.D元=专BD.D元=-，正确： D:ABC=0,错误。 三、填空题 10.答案：5 解析：模长平方展开： a+b-2d"=a++4d2+2a.b-4a.c-4b.c =1+1+4+2×号-4×克-4×吉=3，故模长=V3。 11.答案：（-7，-)U(-,+∞ 解析：夹角钝角的两个条件： i数量积小于0：(a+2b)(ka-b)=-k-7<0→k>-7; i.向量不共线：若共线则k=-专（舍去）。 综上，kE(-7,-)U(-,+∞)。 12.答案：号（或60) 解析：建立坐标系（正方形边长1，平面垂直）： 坐标：A0,0,0),C(1,1,0),B(1,0,0),F0,0,1): 向量：AC=(11,0,B京=（-1,0,1： 夹角余弦：c0s0=图-=生，故0=手。 AC时 四、解答题 13.证明：建立坐标系(D为原点，DADB,DC为轴，长度2)： 坐标：D(0,0,0),A0,0,2,B(2,0,0),C(0,2,0),E1,1,0)(BC中点)。 (1) A2=(1,1,-2,B元=（-2,20)， A.B元=1×(-2+1×2+(-2×0=0，故AE1BC。 (2)解： D元=(0,2,0， 夹角余弦值：cos6= A正Dd AED 6×2 60 14.解：建立坐标系（正方形边长1，折叠后D(x,y,): 条件：AD=1,CD=1,故x+y=1;AD.B元=y=,得x=; 高：x2+y2+=1→h=: 体积：V=青×Sunch=青×专x9=号。 15.(1)证明： 向量：DM=-b+号c,DB1=a-b+c,B1N=b-c: 显然B1N=-DM,故D应与B1N共线，四点共面。 (2)解： AC]=a+b+c,AB=a-c; 垂直条件：AC1·A1B=1+专-夸-k2=0; 解得k=1(舍去负根)，故40=1。