第02讲 空间向量的数量积运算（知识清单+6必考题型）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版2019选修一）

第02讲 空间向量的数量积运算 题型梳理 题型方法 题型一 数量积的概念及运算律 题型二 求向量的数量积 题型三 向量的夹角及其应用 题型四 向量垂直 题型五 利用数量积求向量的模 题型六 投影向量 知识清单 知识点1 空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 知识点2 空间向量的数量积运算 1．(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 2.向量的投影 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)． (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 注意点： (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定． ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 题型方法 【题型一】数量积的概念及运算律 【例1】（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A 解题技巧 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确． 【举一反三】【变式1】（24-25高一下·甘肃定西·期中）如图，在四边形 中，，，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意首先求得和的值，然后结合数量积的运算法则可得的值. 【详解】由 解得 ， 因为，所以，， 结合图象可得 与 方向相同，所以， 所以. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间向量的概念逐项判断即可. 【详解】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中，    满足，，此时，故A说法错误； 选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，B说法错误； 选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确； 选项D：若，则与模长相等，方向不一定，所以与不一定相等，D说法错误； 故选：C 【变式3】（24-25高一下·四川成都·期中）若，，向量与向量的夹角为，则 ． 【答案】3 【分析】根据数量积的定义运算求解即可. 【详解】由题意可得. 故答案为：3. 【题型二】求向量的数量积 【例2】（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】依题意，有，，设， 则 ． 故选:B． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·江苏南京·期中）若是一个单位正交基底，且向量，，则的值为（    ） A． B．4 C．7 D．23 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求解即得. 【详解】由是一个单位正交基底，得， 所以. 故选：A 【变式2】（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为， 又，，所以， 所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·全国）已知正四面体的棱长为1，如图所示.若E，F分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据空间向量的数量积的定义求解各小题即可. 【详解】（1）由题意，E，F分别是，的中点， 则. （2）. （3）. 【题型三】向量的夹角及其应用 【例3】（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知平行六面体中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求解. 【详解】如图： ， ． 故选：B． 解题技巧 (1)只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π. (2)对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·北京顺义·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义有、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值. 【详解】由，， 所以， 又，， 所以，而， ， 综上，直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D 【变式2】（24-25高二上·天津·阶段练习）向量，，，若，则与的夹角为 . 【答案】 【分析】求出后利用向量的夹角公式可求夹角的余弦值，从而可求夹角. 【详解】由题设可得，故即， 故，而，故， 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·湖北·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.    (1)求的长度； (2)求直线和直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，，将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长度； （2）计算得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得直线和直线所成角的余弦值. 【详解】（1）设，，， 由题意可知，，， 由空间向量数量积的定义可得， ， 则， 故. （2）， 则， ，则. 故直线和直线所成角的余弦值为. 【题型四】向量垂直 【例4】（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（    ）    A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】解法一：作辅助线构造三角形，根据余弦定理以及勾股定理可求得结果；解法二：根据向量的线性运算以及数量积的运算可求得结果. 【详解】解法一：在内过点C作，且，连接，， 所以为二面角的平面角.    易知平面，而四边形为矩形，所以， 故平面，因而， ， ； 解法二：由，， 得，，． 因为， 所以， 则， 解得，． 故选：C. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·山东潍坊·期中）A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为的中点，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】利用向量数量积的运算律计算可得，即可判断得出结论. 【详解】因为M为的中点，所以， 可得， 所以，即， 可得是直角三角形. 故选：C 【变式2】（23-24高二上·山西太原·期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．    (1)用向量表示向量； (2)利用向量法证明：． 【答案】(1) (2)证明详见解析 【分析】（1）根据空间向量的线性运算求得正确答案. （2）通过证明来证得结论成立. 【详解】（1）连接，则 （2）， 所以 ， 所以. 【变式3】（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2) (3)垂直 【分析】（1）利用数量积的公式可得； （2）先用表示，利用数量积运算律可得、进而利用公式可得与的夹角的余弦值. （3）利用数量积运算律得，进而可得与是否垂直． 【详解】（1）正方体中，， 故. （2）由题意知，， ， ， 故， 故 . （3）由题意， ， ， 故与垂直. 【题型五】利用数量积求向量的模 【例5】（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得. 【详解】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算可得，结合空间向量数量积的运算律计算可得. 【详解】由题意得，，，，， ∴，，. ∵， ∴ . 故选：D. 【变式2】（24-25高二下·甘肃张掖·期中）若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 . 【答案】3 【分析】应用向量数量积的运算律求向量的模即可. 【详解】由. 故答案为：3 【变式3】（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由向量的线性运算可得，由向量的数量积的运算律可得； （2）由两边平方后可得. 【详解】（1）在平行六面体中，． 因为，，，，， 所以，， ， 则 ． （2）因为， 所以 ， 则． 【题型六】投影向量 【例6】（23-24高二上·湖北十堰·期中）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的坐标，即可根据投影向量的定义求解. 【详解】设坐标原点为,,所以， 故在坐标平面上的投影点为， 故向量在坐标平面上的投影向量为, 故选：A 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线的方向向量为，则向量在直线上的投影向量坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，结合，代入即可求解. 【详解】直线l的方向向量为和， 可得， 则向量直线l上的投影向量的坐标为 . 故选：D. 【变式2】（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    【答案】 【分析】写出表达式，求出，即可得出向量在向量上的投影向量. 【详解】由题意， 在三棱锥中，已知平面， , ∵面， ∴， 在中，，， ∴, ， ∴向量在向量上的投影向量为： ， 故答案为：. 【变式3】（21-22高二·全国）如图，在长方体中，已知，，，分别求向量在、、方向上的投影数量． 【答案】向量在、、方向上的投影数量分别为、、. 【分析】分析可得，利用投影数量公式可求得向量在、、方向上的投影数量. 【详解】解：非零向量在非零向量方向上的投影数量为， 由空间向量的平行六面体法则可得， 在长方体中，， 因此，向量在方向上的投影数量为， 向量在方向上的投影数量为， 向量在方向上的投影数量为 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】由于，且是正四棱锥， 故，且侧面均为等边三角形， ， 故，则， 故选：C 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误. 【详解】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 3．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）二面角中，，且，若，则此二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二面角定义确定平面角为，利用空间向量的数量积公式及模长计算夹角即可. 【详解】 如图所示，根据题意知：， 又，，易知二面角的平面角即， 所以 ，即，则， 由空间向量夹角的范围知，则， 所以，即此二面角的大小为. 故选：C 4．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量线性运算，用表示，再用空间向量数量积运算即可. 【详解】根据题意可作图， 因为点是棱的中点，所以, 因为，所以, 则, 由题意，都是等边三角形， 所以， 故 故选：A. 5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值. 【详解】因为，， 可得，， 又因为，， 可得， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D. 二、多选题 6．（24-25高二上·辽宁·期中）已知几何体为长方体，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B．在方向上的投影向量为 C．在方向上的投影向量为 D．在方向上的投影向量为 【答案】AC 【分析】根据投影向量的概念逐一进行判断即可. 【详解】如图： 在长方体中，因为平面，所以，所以在方向上的投影向量为，即A正确； 因为在中，，所以与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即B错误； 因为，，所以在方向上的投影向量为，即C正确； 虽然，但与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即D错误. 故选：AC 7．（24-25高三上·江苏常州·期末）在四棱柱中，，，为底面的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由向量加减法的几何意义判断AB,利用数量积和夹角模长公式判断CD可得答案. 【详解】对于选项A，，正确； 对于选项B，，错误； 对于选项C，，错误； 对于选项D，易得为正三角形， 故，正确； 故选：AD． 8．（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知空间四边形ABCD，下列条件中一定能推出的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】应用特殊图形折叠判断A，应用线面垂直判断B，C，应用空间向量的数量积计算判断D. 【详解】对于A，举反例：将一矩形ABCD沿对角线BD翻折，在翻折过程中，始终满足 ，但不一定成立，所以A错误； 对于B，取中点，连，因为，所以， 且平面，平面，平面，进而，故B正确； 对于C，过A作平面，垂足为，连， ，又，平面， 所以平面，平面，进而； 同理可证：，所以为△的垂心， 这样，又，所以平面，平面，可得：，故C正确； 对于D，由条件知，则 ∴， ，∴，即，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题 9．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量是 【答案】 【分析】利用投影向量定义直接代入计算可得结果. 【详解】由，可得， 易知向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 10．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，是的中点，在上，且，则向量与向量所成角的余弦值为 ．    【答案】 【分析】由题设是棱长为2的正四面体，数形结合可得、，利用向量数量积的运算律及向量夹角公式求向量与向量所成角的余弦值. 【详解】由题意，是棱长为2的正四面体， 而， ， 所以 ， ， 又 ， 所以. 故答案为： 四、解答题 11．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用向量的运算得，然后由向量数量积的运算求解； （2）利用向量的运算得，然后利用向量数量积的运算求解. 【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . 12．（21-22高二·湖南·课后作业）已知在标准正交基下，向量，，，求向量在上的投影． 【答案】 【分析】利用空间向量数量积的运算性质结合向量投影的定义可求得结果. 【详解】解：非零向量在非零向量方向上的投影为， 由已知可得，且， ， 所以，向量在上的投影为. 13．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律求解； （2）利用空间向量的数量积的运算律以及夹角公式求解. 【详解】（1） 因为, 所以 . （2）, , , , 所以, 因为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值为. 14．（24-25高二上·四川广安·阶段练习）． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 15．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算法，结合，即可求解； （2）由，得到，结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由向量的线性运算法则， 可得： . （2）解：由， 所以 . 16．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为基底表示出可求出的值，即可求得结果； （2）根据向量数量积的运算律求得的长，再由向量夹角的计算公式可得结果. 【详解】（1）因为点为的中点 所以 所以 所以，所以 （2）因为 ； 所以； 因为； 又。 所以； 所以直线与所成的角的余弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 空间向量的数量积运算 题型梳理 题型方法 题型一 数量积的概念及运算律 题型二 求向量的数量积 题型三 向量的夹角及其应用 题型四 向量垂直 题型五 利用数量积求向量的模 题型六 投影向量 知识清单 知识点1 空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 知识点2 空间向量的数量积运算 1．(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 2.向量的投影 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)． (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 注意点： (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定． ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 题型方法 【题型一】数量积的概念及运算律 【例1】（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 解题技巧 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确． 【举一反三】【变式1】（24-25高一下·甘肃定西·期中）如图，在四边形 中，，，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【变式3】（24-25高一下·四川成都·期中）若，，向量与向量的夹角为，则 ． 【题型二】求向量的数量积 【例2】（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·江苏南京·期中）若是一个单位正交基底，且向量，，则的值为（    ） A． B．4 C．7 D．23 【变式2】（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 【变式3】（24-25高二上·全国）已知正四面体的棱长为1，如图所示.若E，F分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3). 【题型三】向量的夹角及其应用 【例3】（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知平行六面体中，则（   ） A． B． C． D． 解题技巧 (1)只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π. (2)对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·北京顺义·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·天津·阶段练习）向量，，，若，则与的夹角为 . 【变式3】（24-25高二上·湖北·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.    (1)求的长度； (2)求直线和直线所成角的余弦值. 【题型四】向量垂直 【例4】（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（    ）    A． B．6 C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·山东潍坊·期中）A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为的中点，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【变式2】（23-24高二上·山西太原·期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．    (1)用向量表示向量； (2)利用向量法证明：． 【变式3】（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【题型五】利用数量积求向量的模 【例5】（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【变式2】（24-25高二下·甘肃张掖·期中）若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 . 【变式3】（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 【题型六】投影向量 【例6】（23-24高二上·湖北十堰·期中）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线的方向向量为，则向量在直线上的投影向量坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    【变式3】（21-22高二·全国）如图，在长方体中，已知，，，分别求向量在、、方向上的投影数量． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）二面角中，，且，若，则此二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·辽宁·期中）已知几何体为长方体，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B．在方向上的投影向量为 C．在方向上的投影向量为 D．在方向上的投影向量为 7．（24-25高三上·江苏常州·期末）在四棱柱中，，，为底面的中心，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知空间四边形ABCD，下列条件中一定能推出的是（     ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量是 10．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，是的中点，在上，且，则向量与向量所成角的余弦值为 ．    四、解答题 11．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 12． （21-22高二·湖南）已知在标准正交基下，向量，，，求向量在上的投影． 13．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 14．（24-25高二上·四川广安·阶段练习）． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 15．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 16．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$