函数y=Asin(ωx+φ)（5大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习

函数y=Asin(ωx+φ) 题型一：“五点法”作函数的图象 【解题方法总结】 用“五点法”画函数 (x∈R)的简图，先作变量代换，令X=，再用方程思想由X取来确定对应的x值，最后根据x,y的值描点、连线、扩展，画出函数的图象. 例1．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 5 0 根据表格中的数据，函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数最值，可求得A值，根据周期公式，可求得值，代入特殊点，可求得值，即可得答案. 【解答过程】由题意得最大值为5，最小值为-5，所以A=5， ，解得，解得， 又，解得， 所以的解析式可以是 故选：A. 例2．用“五点法”作在的图象时，应取的五点为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】取内五个关键点，即分别令x＝0，，，π，2π即可． 【解答过程】∵， ∴周期T＝2π． 由“五点法”作图可知: 应描出的五个点的横坐标分别是x＝0，，π，，2π．代入解析式可得点的坐标分别为，∴B正确． 故选：B． 例3．小明用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 2 0 0 请你根据已有信息推算A，的值依次为（    ） A．2，2， B．2，2， C．2，， D．2，2， 【解题思路】根据“五点法”中五点对应的值计算． 【解答过程】由已知，， 解得． 故选：D. 题型二：三角函数间图象的变换 【解题方法总结】 可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换. 例4．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度 B．先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度 C．先横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度 D．先横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位长度 【解题思路】根据三角函数图象的变换，结合函数解析式，即可直接判断和选择. 【解答过程】将的图象上所有的点先横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象， 再向左平移个单位长度得到的图象. 故选：B. 例5．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据三角函数图象的变换求得，再求结果即可. 【解答过程】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象； 再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象； 故. 故选：C. 例6．（多选题）下列四种变换方式中能将函数的图象变为函数的图象的是（    ） A．向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 B．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍 C．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度 D．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度 【解题思路】根据三角函数图象平移规律和周期变换逐项判断可得答案. 【解答过程】， 对于A，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到的图象，故A正确； 对于B，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，故B错误； 对于C，将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，得到的图象，再向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确； 对于D，将函数的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，再向左平移个单位长度，得到的图象，故D错误． 故选：AC． 题型三：由部分图象求函数的解析式 【解题方法总结】 根据部分图象求出解析式中的A，，即可得解. 例7．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由函数图象得到、，即可求出，再根据函数过点及的取值范围，求出，即可得解. 【解答过程】解：由函数图象可得，，所以，又，解得， 所以，由函数过，所以， 所以，，所以，， 又，所以， 所以. 故选：B. 例8．已知函数（为常数，）的部分图像如图所示，若将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，所以，故， 因为，，所以，， 即 . 又因为，解得. 即. 将的图像向左平移个单位长度， 得到函数. 故选：A 例9．已知函数，，，的部分图象如图所示，则函数的解析式为_______________. 【答案】 【解析】由图象得到的最大值为，所以 将点、代入解析式， ，因为，，可得， 所以 故答案为：． 题型四：函数的对称性（对称轴、对称中心） 【解题方法总结】 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得 ，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 例10．已知函数，给出下列结论： ①函数的最小正周期为； ②是函数图像的一个对称中心； ③是函数图像的一条对称轴； ④将函数的图像向左平移个单位长度，即可得到函数的图像． 其中所有正确的结论的序号是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①③ 【解题思路】先得到函数，再利用正弦函数的性质判断. 【解答过程】解：， ，故①正确， 因为 ，所以函数的一个对称中心为 ，故②错误， 因为 ，所以是函数图像的一条对称轴，故③正确； 将函数的图像向左平移个单位长度，即可得到函数的图像，故④正确. 故选：A. 例11．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象关于点对称，则的最小值为______. 【答案】 【解析】由题可得， 的图象关于点对称， 所以，解得， ，故的最小值为. 故答案为：. 例12．（多选题）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．图象的一条对称轴方程是 C．图象的对称中心是， D．函数是偶函数 【解题思路】首先根据题意得到，再根据三角函数的性质和平移变换依次判断选项即可得到答案. 【解答过程】由函数的图象知： ，所以；即，解得，所以， 因为，所以，， 即，，因为，所以，. 对选项A，因为，故A错误. 对选项B，，故B正确． 对选项C，令，k∈Z，解得，， 所以的对称中心是，，故C错误． 对选项D，设， 则的定义域为R，， 所以为偶函数，故D正确. 故选：BD. 题型五：函数与三角恒等变换的综合应用 【解题方法总结】 对于给角求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化. 例13．已知函数 （1）求的值； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，求实数的最小值； （3）若时，的最小值为，求的最大值 【解题思路】先对函数解析式化简， （1）直接代入求解； （2）利用图形变换和诱导公式求出m的最小值； （3）利用正弦型函数的定义域和值域，即可求出的最大值. 【解答过程】 . （1）； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到，与重合， 所以，由m>0,所以当k=0时，； （3）当时，时， 因为的最小值为，所以可以取到，即， 所以，即的最大值为. 例14．记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于直线对称． (1)求的值； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的值域． 【解题思路】整理函数为正弦型函数，再根据对称性得取值情况，结合最小正周期的范围，转化为的取值范围，结合可得的值； 根据三角函数的图象变换得函数的解析式，再根据自变量的取值范围得函数的值域. 【解答过程】（1）解：， 所以． 因为函数图象关于直线对称，所以，， 所以，，因为函数的最小正周期T满足， 所以，解得，所以． （2）解：由（1）得，，所以 则． 因为，所以， ，， 在上的值域为． 例15．已知函数. (1)求函数在区间上的单调减区间； (2)将函数图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求的取值范围. 【解题思路】（1）先化简，再利用正弦函数的性质即可得到答案； （2）先利用题意的图象变换得到，再根据的性质得到不等式即可求解 【解答过程】（1）依题意可得 ， 当时，，则由得， 即在上单调递减， 所以函数在区间上的单调递减区间是； （2）由（1）知，，将函数图像向右移动个单位所得函数为， 于是得， 因为，，又在轴右侧的第50个最大值点为，在轴左侧的第50个最大值点为， 故，解得，所以. 所以的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $函数y=Asin(ox+Φ) 题型一：“五点法”作函数的图象y=Asin(ox十p) 【解题方法总结】 用“五点法”画函数y=Asin(ox十o)(x∈R)的简图，先作变量代换，令X=ox十p, 再用方程思想由X取0，号元子2x米确定对应的x值，最后根据xy的值描点、连线、扩 展，画出函数的图象。 例1.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(wx+p)(ω>0，|p<罗)在某一个周 期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx+p 0 要 21 磐 Asin(ωx+p) 0 5 -5 0 根据表格中的数据，函数f(x)的解析式可以是() A.f(x)=5sin(2x-若) B.f(x)=5sin(2x+晋) C.f(x)=5sin(2x) D.f(x)=5sin(2x+号) 例2.用“五点法”作y=2C0sx-1在[0,2π]的图象时，应取的五点为(） A.(0,1)(,0),(π-1)（警，0），(2π，1)B. (0,1)(受，-1)，（π，-3）（妥-1），(2π，1) C.(0,1)(π，-3(2π，1)(3π，-3)(4π，1)D. (0,1)（若，5-1)，（等0），（受，-1）（等，-2） 例3.小明用“五点法”画函数f(x)=Asin(wx+p(A>0,ω>0，|p<)在某一个周 期内的图象时列表并填入了部分数据，如下表： ωx+p 0 受 r 2π 中 最 登 y=Asin(ax+) 0 2 0 -2 0 请你根据已有信息推算A,①，P的值依次为() A.2,2,- B.2,2,晋 C.2,π，-吾 D.2,2,号 题型二：三角函数间图象的变换 【解题方法总结】 可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换 例4.为了得到函数y=cosx的图象，只需将函数y=sin(2x-晋)的图象上所有的点() A.先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移号个单位长度 B.先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移等个单位长度 C.先横坐标缩短到原来的倍，再向左平移号个单位长度 D.先横坐标缩短到原来的号倍，再向右平移琴个单位长度 例5.将函数f(x)=sin2x的图象先向右平移号个单位长度，再把所得函数图象上每一个 点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g()的值为() A.专 c.- 例6.（多选题）下列四种变换方式中能将函数y=cosx的图象变为函数y=cos(罕-2x) 的图象的是() A.向右平移器个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的号 B.向左平移号个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍 C.每个点的横坐标缩短为原来的专，再向右平移晋个单位长度 D.每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移琴个单位长度 题型三：由部分图象求函数的解析式 【解题方法总结】 根据部分图象求出解析式中的A,p,ω，即可得解. 例7.函数f(x)=Asin(ωx十p)(A>0,ω>0,4<晋)的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为() y 12 -2 A.f8=2sim(x-号) B.f☒=V2sim(2x+晋) c.fx=V2sin(x-晋) D.fx=V2sin(2x+晋) 例8.已知函数f(x)=Asin(ωx+p）(A,@,p为常数，o>0,A>0)的部分图像如图所示， 若将了(x)的图像向左平移兀个单位长度，得到函数g(x)的图像，则g(x)的解析式可以为 6 () 2 π 1 11元 12 12 -2 .g刘=25sm3x+到 B.8到=25cos3x+到 c.g=25sm3x-4到 D.g(x)=-2v2cos 例9.已知函数f(x)=Asin(ox+p),A>0,0>0,网<的部分图象如图所示，则函数 的解析式为 11π 12 题型四：函数的对称性（对称轴、对称中心） 【解题方法总结】 关于三角函数对称的几个重要结论： (1)函数y=sinx的对称轴为x=k红+C(k∈Z),对称中心为(kx.0k∈Z); (2)函数y=c0sx的对称轴为x=k红k∈Z),对称中心为低x+号0k∈2)： (3)函数y=mx函数无对称轴，对称中心为（经，0k∈Z): 4)求函数y三ASin(wr+)+b(w≠0)的对称轴的方法；令wr+中=+kπk∈Z),得 +kr-电 r=2 ”—《∈Z):对称中心的求取方法：令wr+中=k红keZ),得 x=kπ一电，即对称中心为π一电，). w w (5)求函数y=Acos(wx+φ)+b(w≠0)的对称轴的方法；令wx+中=kπ(k∈Z)得 元+k元-电 +k元-电 ，即对称中心为(2 w —,b)(k∈Z) 例10.已知函数f8)=V3 sinxcosx+sinx,给出下列结论： ①函数fx)的最小正周期为π： ②（五，一吉）是函数f(x)图像的一个对称中心： ③x=号是函数f(x)图像的一条对称轴； ④将函数f(x)的图像向左平移亚个单位长度，即可得到函数y=sin2x+专的图像. 其中所有正确的结论的序号是() A.①③④ B.②③④ C.①②③④ D.①③ 例1.将函数=cos-引 。>0)的图象向左平移元个单位长度得到函数gx的图 9 象.若函数g(x的图象关于点 后0对称，则。的最小值为 例12.（多选题）函数f(x)=3sin(ωx十p)(ω>0,0<p<T)的部分图象如图所示， 则() 3π A.f(x)=3sin(2x+ B.f(x)图象的一条对称轴方程是x=一 C.f(x)图象的对称中心是(kT-,0),k∈Z D.函数y=f(x+晋)是偶函数 题型五：函数y=Asin(ox十p)与三角恒等变换的综合应用 【解题方法总结】 对于给角求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角 的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的 基本关系对已知式进行转化. 例13.已知函数f(x)=2sin2x+cos(2x-号)-1 (1)求f(若)的值； (2)将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度，所得函数图象与函数 y=cos2x的图象重合，求实数m的最小值： (3)若x∈[6，号]时，f(x)的最小值为-1，求的最大值 例14.记函数f☒=sin2wx+V5 sinwxcoswxw>0的最小正周期为T.若 号<T<牙，且y=f(x)的图象关于直线x=晋对称， (1)求ω的值： (2)将函数y=f(x)的图象向左平移琴个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原 来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[-罗，0)上的值域. 例15.已知函数f(x)=4 sinxcos(x+号)+V5. (1)求函数f(x)在区间[一至，若]上的单调减区间： (2)将函数F(x)图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的 a(0<a<1)倍得到y=g(x)的图像，若y=g(x)在区间[-1,1]上至少有100个最 大值，求a的取值范围.