第五章 ☆问题解决策略：转化 ——教案 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

该初中数学教学设计聚焦图形的轴对称中“转化”策略的应用，以曹冲称象等经典故事导入，自然衔接生活情境与数学问题，引导学生从两点间最短路径问题出发，逐步构建“轴对称转化”的认知框架，形成由具体到抽象、由已知到未知的学习支架。 本资料突出核心素养导向，融合数学眼光、思维与语言三大维度，如通过将军饮马问题培养学生几何直观和空间观念，借助“两条线段差最大”探究发展推理能力与创新意识，用真实工厂选址问题强化模型意识与应用能力。教学环节环环相扣，注重小组合作与反思总结，既提升学生解决复杂问题的能力，又帮助教师精准把握学情，优化教学策略，实现教与学的双向促进。

北师版（2024） 七年级下册 第5章 图形的轴对称 第五章 图形的轴对称 ☆ 问题解决策略：转化 一、教学指导思想 在北师大版（2024）七年级下册第五章图形的轴对称“问题解决策略 - 转化”的教学中，遵循2022年新课标与新教材要求。以核心素养为导向，借由转化策略培养学生多种关键能力。如在探究轴对称图形性质时，把复杂图形关系简化，让学生在抽象、推理与直观理解中，提升数学核心素养。紧密依托新教材，以其内容为基石。像讲解图形性质，将图形全等转化为对应点关系，助学生构建知识体系；利用教材实例，把生活问题转化为数学模型，强化知识运用。突出学生主体地位，设计启发性情境，激发学生主动探索转化策略。例如在图形折叠问题上，让学生动手实践、小组协作，自主运用转化策略解决问题，教师适时引导总结。实施多元评价，兼顾学习结果与过程。通过课堂提问、小组互评、作业评估等，全面了解学生对转化策略的掌握程度，针对问题及时指导，推动学生全面发展。 二、内容分析 本节课作为第五章最后一节，通过利用轴对称转化去解决实际问题，是在加深对轴对称的理解和应用的同时学习转化这种常用的问题解决策略。 在知识体系里，它承接已学的轴对称图形基础概念和性质，为后续深入学习特殊轴对称图形奠基。比如学生掌握基本图形的轴对称特征后，运用转化策略，能更好理解等腰三角形的特性。契合新课标的能力培养要求，在图形轴对称问题解决中，“转化”策略助力学生提升多种核心素养。像解决图形折叠问题时，将折叠后的复杂图形关系转化为已知的轴对称性质来分析，学生的抽象、推理、直观想象能力都得到锻炼。新教材通过生活实例和典型问题渗透转化策略。如在选址优化的实际问题中，把实际场景转化为数学模型，借助轴对称知识求解最短路径，让学生感受数学与生活的联系，明白转化能将复杂问题简单化。同时，这部分内容着重培养学生解决问题与创新思维。面对不同的图形轴对称问题，鼓励学生尝试不同转化方式，如计算组合图形面积时，通过不同的分割、拼接转化，培养学生创新与发散思维，增强运用数学知识解决实际问题的能力。 本课主要研究基于应用轴对称进行转化的问题，但是不只这种问题蕴含转化。比如，《问题解决策略：归纳》中，“从几种特殊情形出发，找到一般规律”，是特殊到一般的转化；《问题解决策略：直观分析》中，“借助表格和示意图直观分析问题”，是抽象到直观的转化；《问题解决策略：特殊化》中，“借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般的问题”，是一般到特殊的转化。再比如解一元一次方程，本质上就是由繁到简的转化；数形结合思想，就是由数到形或由形到数的转化；分类讨论思想，就是由整体到局部的转化。所以，除了掌握以轴对称为背景的运用转化策略的问题，还要从根本上理解转化思想。 三、学情分析 通过之前的学习，学生已理解两点间距离的意义，掌握 “两点之间线段最短”“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”“三角形的任意两边之和大于第三边”“三角形的任意两边之差小于第三边”等基本事实；通过本章前两节的学习，学生已理解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形，会用图形的轴对称去认识、理解和表达现实世界中相应的现象；通过之前的几何学习，学生已经能用几何语言表述和推导几何问题中的数量关系和变化规律，能想到通过添加辅助线解决问题，形成了一定的量感和初步的几何直观。 在学习本节课之前，学生先后学习了三种“问题解决策略”——归纳、直观分析和特殊化，经历过运用归纳和类比等方法去发现、推理数学关系与规律的过程，积累了一定的学习和探究“问题解决策略”的经验；通过之前的学习，学生具有用数学的概念、语言、方法解决和阐释现实问题的经验和意识，也有很多运用转化思想的经验（比如推导图形面积、画线段图解应用题等）；学生在以前的数学学习中已经经历很多合作学习的过程，具有一定的合作学习的经验，具备一定的合作与交流的能力。 四、教学目标 1．进一步经历借助转化策略解决问题的过程，了解转化策略的意义、适用条件和一般步骤，体会转化策略在分析问题、解决问题中的价值，发展推理能力。 2．积累利用转化策略解决不同知识领域问题的经验，明确转化策略的意义、适用条件和一般操作步骤，提高分析问题、解决问题的能力。 五、教学重难点 教学重点：掌握转化策略在图形轴对称问题中的运用，学会常见转化模型，形成解题方法和策略。 教学难点：从复杂情境提取可转化信息，克服思维定式，灵活运用转化策略。 6、 教学过程 （一）创设情境，感知“转化” 1.活动内容 （1）谁能讲讲《曹冲称象》的故事？ （2）故事中有没有数学问题？ （3）这个问题是利用什么策略解决的？ 除了曹冲称象，还有不少体现转化思想的小故事： 阿基米德鉴定皇冠：将鉴定皇冠是否掺假的难题，转化为测量物体体积并对比的问题 。司马光砸缸：把“让人离开水”的难题转化为“让水离开人”，成功解决危机 。乌鸦喝水：乌鸦把够不着水的难题，转化为利用石子占据空间使水位上升的问题。 （二）问题解决，感悟“转化” 1.展示问题： 如图1，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间。你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短? 图1 图2 上述问题可以抽象成怎样的数学问题？试着写一写、画一画。 如图2，A，B两点在直线l的同一侧，在直线l上确定一个点C，使AC +CB最短。 2. 分析问题 （1）问题中有哪些关键词或者关键条件？ 预设1：两条线段和“最短”。 预设2：两点在直线的“同一侧”。 （2）关于“最短”，有哪些相关知识? 预设1：两点之间线段最短； 预设2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 （3）关于“同一侧”，如果没有这个限定条件，还有什么其他情况？其他情况你会解决吗？ 预设1：两点在直线的两侧（异侧）。 预设2：直线经过两点或其中一点。 （4）两点在直线的“同一侧”的情况，又怎么解决呢？ 3.拟定计划、解决问题 师生共同完成问题1的规范解答过程。 4.反思过程，积累经验：先学生交流感想感悟，后教师点拨，结合问题，感悟转化策略及其特征。 5.故事背景介绍——将军饮马问题：古希腊一位将军要从A地出发到河边去 饮马，然后再回到驻地B。他想让自己走的路程最短，但不知道在河边的什么地方饮马才合适。于是他向古希腊著名学者海伦请教，海伦经过思考后给出了答案，这就是后来著名的“将军饮马问题”。 （三）问题迁移，类比“转化 1.类比转化，提出问题 观察已解决的“两条线段和最小”问题，你能提出类似的数学问题吗? 图3 图4 预设1：“两条线段和最大”问题——问题2 预设2：“两条线段差最小”问题——问题3 预设3：“两条线段差最大”问题——问题4 2.学生以小组为单位，分析解决问题解决问题4：“两条线段差最大”问题 首先，学生分组探究，要求： ①前两分钟，各组员独立探究，能独立解决问题的同学写出解答过程； ②两分钟后，已解决问题的同学和没有解题思路的同学进行交流分享。 然后，组间汇报交流，要求： ①汇报时要交流该做法的思维起点是什么（即是怎么想到的）； ②组内成员分工合作，既讲解解题思路，又展示解题过程，看哪个组条理更清晰、思维更严密、表述更规范。 3.总结经验 问题4是“两条线段差最大问题”，有了前面问题1的解决经验，先从“两点在直线同侧”这一较容易解决的情形入手，再利用轴对称转化，去解决“两点在直线异侧”的情形。通过让学生归纳问题4的解决策略，让学生进一步体会转化这一策略，以及轴对称在转化中的作用。 （四）问题回顾，深悟“转化” 1.活动内容 （1）本节课重点探究并解决了哪些问题？是用什么知识、什么策略解决的？ （2）解决实际问题一般要经历哪些步骤？ （3）你积累了哪些经验？有哪些收获和感悟？ 2.活动内容 所谓转化，是指一种研究对象在一定条件下转换为另一种研究对象的思维方式。“转化”就是通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法，将未知解法或难以解决的问题进行变换，转换为已知知识范围内已经解决或容易解决的问题。所以，解题的过程实际就是转化的过程。可以说，转化是解决数学问题的最基本策略，也是最基本的数学思想，在数学中用处最为广泛。 那么，在以前的数学学习中，我们在哪里应用过转化呢？ （五）问题延伸，熟用“转化” 1.必做：教材Ｐ137－138 第1，2题； 2.选做： （1）教材Ｐ1138 第4题 （2）联系生活实际，你能在本节课问题的基础上提出新的实际问题并解决吗? 试一试，或者和同组的伙伴讨论。如下（学生尽可能自己生成） 如图，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，其入口在C处、出口在D处。工作人员每天进入工厂大门后，先到储物柜取物品，然后再到车间。你认为该取物柜应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程（大门到C处，再经过D到车间的距离总和）最短? 如果车间、大门在道路的两侧呢？ 图5 七、板书设计 八、教学反思 教学过程中，关注学生在各个环节的参与度和表现，及时收集学生的反馈信息。分析学生在理解转化策略、提取可转化信息和运用策略解决问题时遇到的困难，思考教学方法是否有效，教学节奏是否合理。针对教学中存在的问题，如部分学生对转化策略理解不深、小组讨论效果不佳等，及时调整教学策略，优化教学方法，在后续教学中加强针对性练习和指导，以提高教学质量，更好地促进学生数学核心素养的发展。 1 学科网（北京）股份有限公司 $