1.3 乘法公式（第1课时）—平方差公式 教案 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

该初中数学教学设计聚焦平方差公式这一核心知识点，通过从具体多项式乘法运算出发，引导学生观察、猜想、验证，逐步抽象出公式结构，构建从特殊到一般的认知路径，形成有效的学习支架。 本资料亮点突出，融合数学眼光、思维与语言三大核心素养。以“以盈补虚”古法引入几何验证，强化数形结合的数学眼光，让学生直观理解公式本质；通过五类变式练习精准剖析公式结构，发展推理能力和运算能力；借助老爷爷换地情境问题，培养学生用数学语言表达现实关系的应用意识。教学方法科学，环节层层递进，既助力学生突破难点，又为教师提供可复制、易操作的优质课例。

北师版（2024）七年级下册 第一章 整式的乘除 1.3乘法公式（第1课时）—平方差公式 一、教学指导思想 以新课标为指引，立足学生数学核心素养培育，聚焦平方差公式教学。通过创设生活情境与数学问题，引导学生经历观察、猜想、验证等探究过程，自主发现平方差公式结构特征，理解公式推导逻辑，掌握公式本质，提升逻辑推理与数学抽象能力。教学中，注重分层任务设计，兼顾不同层次学生需求，鼓励合作交流，让学生在互助学习中深化对公式的理解与应用。同时，结合具体实例，引导学生体会平方差公式在简化计算、解决实际问题中的便捷性，感受数学与生活的紧密联系，培养数学应用意识，为后续整式运算及数学知识的学习筑牢基础，实现知识学习与能力发展的协同提升 。 二、内容分析 北师大版七年级下册整式乘除章节中，平方差公式是整式乘法知识体系的关键一环。它建立在幂运算、整式乘法等基础之上，通过(x + 2)(x - 2)等具体多项式乘法运算，引导学生从特殊到一般归纳出(a + b)(a - b) = a2 - b2，培养数学抽象与归纳能力。 该公式具有承上启下的重要作用。既为特殊多项式乘法提供简便算法，提升运算效率；又为后续因式分解、分式化简、一元二次方程求解奠定基础，其推导思路也为完全平方公式的学习提供借鉴。同时，在学习过程中，学生观察、推理及数学建模能力得到锻炼，对理解数学规律、运用数学知识解决问题具有重要意义。 三、学情分析 七年级学生在学习平方差公式前，已掌握有理数运算、字母表示数、整式的加减运算，且熟悉幂的运算性质和多项式乘多项式法则，具备一定的代数运算基础与符号意识，能完成基本的整式乘法计算，这为推导平方差公式提供了知识保障。但学生对数学规律的自主探究能力尚在发展阶段，从具体运算中抽象出一般性公式仍存在一定难度，在归纳总结平方差公式的结构特征时，可能难以精准识别公式中的“a”“b” ，易混淆相同项与相反项。 同时，该阶段学生好奇心强，乐于参与实践操作与小组讨论活动，但在运用平方差公式进行复杂运算时，可能因公式结构理解不深，出现公式滥用、变形错误等问题。此外，将平方差公式灵活应用于实际问题解决，对学生数学建模能力要求较高，也是学习过程中的一大挑战。 四、教学目标 1.经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发抽象能力、推理能力、运算能力。 2.通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用。在平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力，为完全平方公式的学习奠定基础，积累活动经验。 五、教学重难点 教学重点：能准确的运用公式进行简单的计算 教学难点：能探索平方差公式并能进行灵活运用 6、 教学过程 （一）自学任务检查 课前布置学生自学，课本18页内容，并完成随堂练习。 1.想一想：这些计算有什么特点？你发现了什么规律？ ①（x ＋1)( x－ 1） =x2-x+x-1=x2－1 ②（m＋ 2)( m－2）=m2-2m+2m-22=m2 －4 ③（2m＋1)( 2m－1)=(2m)2-2m+2m-12=4m2－1 ④（5y＋z)(5y－z)=(5y)2-5yz+5yz-z2= 25y2 －z2 总结平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差 平方差公式的本质是一种多项式乘法的简便运算 （二）分析问题、探索新知 活动一：平方差公式的验证 1.代数方法验证 2.几何方法验证 “同学们，2000多年前的中国数学家在《九章算术》中记载了一种神奇的计算方法——‘以盈补虚’，意思是把多余的部分割下来，填补到不足的地方，让复杂的图形或数字变得简单。今天我们就来当一回古代小算术家，用这种智慧破解数学密码！” 几何探秘（动手操作）： 发放边长为 a 和 b（a > b）的正方形卡纸，让学生将小正方形贴在大正方形的一角，观察剩余的“L”型区域。 提问： 如何用大正方形和小正方形的面积表示剩余部分的面积？ a2 - b2 如果把“L”型剪开，能否拼成一个规则的长方形？（沿虚线剪开，拼接成一个长为 a + b、宽为 a - b 的长方形） 数学史联结： “这种‘割补术’就是《九章算术》中‘以盈补虚’的核心思想，古人通过图形变换发现了一个重要规律：两个数的平方差等于它们的和与差的乘积。 “今天我们沿着古人的足迹，用拼图和计算发现了平方差公式。从2000年前的算筹到现在的符号代数，数学的核心始终是‘用简单规律解释复杂世界’。接下来，我们将用这个公式破解更多数学谜题！” 活动二：平方差公式的变式分析 平方差公式 （a+b)(a-b） 相同项 相反项 注意事项 1.系数变 （2a+3)(2a-3） 2a 3 2a的平方带括号（2a)2 2.位置变 （3-2a)(2a+3） 3 2a (相同项)2-(相反项)2前后分清 3.符号变 （3-2a)(-3-2a） -2a 3 负数项要带括号 (-2a)2 4.指数变 （3+a2)(a2-3） a2 3 幂的平方要带括号 (a2)2 幂的乘方，积的乘方法则 5.项数变 （a+b+3)(a+b-3 a+b 3 多项式整体带括号（a+b)2 活动三：平方差公式的应用 1.判断下面计算是否正确 （1）= （ ） （2）（3x－y）（－3x+y）=9x2－y2 （ ） （3）（-m+n）（－m－n）=m2－n2 （ ） 注意：1.先把要计算的式子与公式对照; 2.哪个是相同项?哪个是相反项? 2.当堂检测（100分） （1） (5＋6x)(5－6x) ； （2）(x－2y)(x+2y)； （3） (－m+n)(－m－n)； （4） ； （5）（ab+8）（ab－8） 3.纠错 错误题目 正确步骤 错误题目 正确步骤 错误原因 错误原因 活动四：技能强化，问题解决 1.根据你自己的问题，请同组100分的同学编题目练习。 2.从前，有个村庄里住着一位勤劳的老爷爷，他有一块边长为a米的正方形良田，日子虽不富裕但也能自给自足。村里的地主觊觎这块地已久，想出了个诡计。 这天，地主带着家丁气势汹汹地找到老爷爷，假惺惺地说：“你这块地太方正了，不好规划。我愿意和你交换，把你的地两边各增加b米，另外两边各减少b米，面积不变，还更规整，你肯定不亏！”老爷爷虽然没读过书，但心里明白这其中必有蹊跷，却也不知如何反驳，急得满脸通红。你能帮老爷爷解决这个问题吗？ （三）课堂小结 师生共同回顾总结，梳理同类项以及合并同类项的核心知识、学习方法及活动经验，构建完整知识体系。 （四）布置作业 必做：习题1.3 1题 选做： 一位果农有一块长为(a + 4)米，宽为(a - 4)米的矩形果园。 (1) 用平方差公式计算果园的面积； (2) 若在果园四周围上篱笆，篱笆长度为60米，求a的值，并计算果园实际面积 。 七、板书设计 八、教学反思 本次平方差公式教学，在目标达成、方法运用等方面有成果，也存在不足。 成功之处在于教学目标明确且达成度良好。借助实例引导学生推导公式，多数学生掌握了公式推导和简单计算，提升了逻辑推理能力。几何验证环节通过图形剪拼，让学生直观理解公式，有效渗透了数形结合思想，激发了学习兴趣。课堂练习从基础到应用，逐步巩固知识，帮助学生加深对公式的记忆与运用。 但教学中也有不少问题。时间安排不合理，拓展内容耗时过多，导致学生自编题目练习时间不足，影响了知识的巩固和思维拓展。此外，分层教学落实不到位，基础薄弱的学生在难题面前吃力，却未得到及时有效的指导。 后续教学要强化公式结构剖析，增加对比练习，帮助学生精准识别公式中的各项。合理规划时间，平衡教学内容，保证每个环节的教学质量。完善分层教学，针对不同层次学生设计个性化教学方案，为基础薄弱的学生提供更多辅导，全面提升教学效果。 1 学科网（北京）股份有限公司 $