16.1.2幂的乘方与积的乘方（第2课时 积的乘方）（3大题型，大单元分层作业）数学人教版2024八年级上册

16.1.2（第2课时）积的乘方（解析版） 目 录 类型一、积的乘方运算 1 类型二、积的乘方逆运算 7 类型三、混合运算 12 类型一、积的乘方运算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 6．已知n是正整数，且，则 ． 7．若，则 ． 8．计算的结果是 ． 9．计算： （1） ； （2） ． 10．一个正方体的棱长为，用科学记数法表示它的体积是 ． 11．填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 12．计算： ． 13．计算： 14．计算：． 15．计算： 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．计算： (1)； (2)． 类型二、积的乘方逆运算 18．计算所得结果是（    ） A．1 B． C． D． 19．已知，则（   ） A．1 B．2021 C． D． 20．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 21．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 22．计算的值是（   ） A． B． C． D． 23．计算是（      ） A．8 B． C． D． 24．（    ） A． B．1 C． D．2015 25．计算：的结果是 ． 26． ． 27．填空：（ ）n． 28．计算：＝ ． 29．计算： 30．计算：． 类型三、混合运算 31．已知，求的值． 32．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 33．（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 34．按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 35．（1）计算：； （2）化简：； （3）计算：； （4）计算：． 36．先化简，再求值：，其中． 37．计算： 1．数是一个 位数． 2．下图是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出n的值． 1．已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法： ①； ②当，，，时，在的所有因数中，能被整除但不能被整除的共有个； ③若，是大于的整数，则满足条件的的最小值为． 正确的有（    ）个 A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.1.2（第2课时）积的乘方（解析版） 目 录 类型一、积的乘方运算 1 类型二、积的乘方逆运算 7 类型三、混合运算 12 类型一、积的乘方运算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选D． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则是解决本题的关键． 利用幂的乘方法则计算A，利用合并同类项法则计算B，利用同底数幂的乘法法则计算C，利用积的乘方法则计算D，根据计算结果得结论． 【详解】解：A．，故选项A计算错误； B．，故选项B计算错误； C．，故选项C计算正确； D．，故选项D计算错误． 故选：C． 3．下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，合并同类项，幂的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断A、B、C的正确性；根据积的乘方法则可判断D的正确性． 【详解】解：A、，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故正确，符合题意； D、，故错误，不符合题意． 故选：C ． 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因式乘方的积，即（m为正整数）． 直接根据积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解： 故选：C 6．已知n是正整数，且，则 ． 【答案】184 【分析】本题考查幂的运算，根据积的乘方对式子化简，再逆用幂的乘方进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 7．若，则 ． 【答案】2016 【分析】本题考查积的乘方的运算法则．先根据积的乘方运算法则将展开，再结合已知条件进行计算． 【详解】解：∵， ， 故答案为：2016． 8．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，表示，利用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积，即（m为正整数）． （1）根据积的乘方的运算法则计算即可； （2）根据积的乘方的运算法则计算即可． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 10．一个正方体的棱长为，用科学记数法表示它的体积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，科学记数法的表示形式． 先根据积的乘方求出正方体的体积，再根据科学记数法的表示形式作答即可． 【详解】解：一个正方体的棱长为， 则它的体积是， 故答案为：． 11．填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数的乘方的积，即（m为正整数）． （1）根据积的乘方运算法则计算即可； （2）根据积的乘方运算法则计算即可； （3）根据积的乘方运算法则计算即可； （4）根据积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：； （4）． 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算是解决本题的关键． 先由积的乘方运算求解，再根据同底数幂的乘法运算进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 13．计算： 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，根据相关运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 14．计算：． 【答案】0 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项法则，解题关键在于掌握运算法则． 先根据幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则化简，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 15．计算： 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据积的乘方，幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积，即（m为正整数）． （1）直接根据积的乘方运算法则计算即可； （2）直接根据积的乘方运算法则计算即可； （3）直接根据积的乘方运算法则计算即可； （4）直接根据积的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，涉及同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）先计算乘法，然后再计算加法； （2）先计算乘方，然后再计算加法即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 类型二、积的乘方逆运算 18．计算所得结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，积的乘方． 逆用同底数幂的乘法将化为，再根据积的乘方计算即可． 【详解】 ， 故选：C 19．已知，则（   ） A．1 B．2021 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是幂的乘方逆运算、积的乘方的逆运算的应用及代数式求值，先得出，进而求出，再整体法代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 20．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是乘方运算的含义，积的乘方运算的逆运算，把原式化为，再计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 21．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方的逆用． 逆用幂的运算将原式化为，进而逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】 故选：B 22．计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，利用积的乘方的逆运算法则计算即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 23．计算是（      ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，掌握其运算法则是关键． 根据积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 24．（    ） A． B．1 C． D．2015 【答案】C 【分析】该题考查了积的乘方，根据积的乘方逆运算解答即可． 【详解】解： ， 故选：C． 25．计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方的逆用，逆用积的乘方和幂的乘方进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为： 26． ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的运算，涉及同底数幂的乘法逆运算，积的乘方逆运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将原式变形为，再结合同底数幂的乘法逆运算，积的乘方逆运算继续变形为，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 27．填空：（ ）n． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，积的乘方逆运算，熟练掌握幂的乘方逆运算与积的乘方逆运算的运算法则是解题的关键．根据幂的乘方逆运算与积的乘方逆运算即可得出答案． 【详解】解：根据幂的乘方逆运算对等式右边变形： ， 根据积的乘方逆运算继续变形： ， 故答案为：． 28．计算：＝ ． 【答案】 【分析】此题考查了积的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据积的乘方逆运算法则法则计算即可得出结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 29．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂乘法的逆运算和积的乘方的逆运算法则，是解题的关键． 根据同底数幂乘法的运算法则和积的乘方的逆运算法则将原式变形为，据此求解即可． 【详解】解： ． 30．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方逆运算．利用积的乘方逆运算，即可求解． 【详解】解： 类型三、混合运算 31．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用． 先逆用积的乘方得到，即，求出代入计算即可． 【详解】解：， ， 解得， ∴原式 ． 32．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的混合运算，幂的乘方和积的乘方． （1）先算乘方，然后再算乘法； （2）先算乘方和乘法，再算加法； （3）先算乘法和乘方，再算加减法； （4）先算积的乘方，再算加法． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 33．（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了幂的混合运算，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴ ． 34．按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1)64 (2)56 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，整理，再将整体代入运算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解： 当， 则原式． （2）解： 当， 则原式． 35．（1）计算：； （2）化简：； （3）计算：； （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及整式的乘法运算． （1）首先计算零指数幂、负整数指数幂和乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可； （2）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方运算，积的乘方运算，最后再合并同类项即可； （3）根据完全平方公式计算即可； （4）根据即可计算． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 36．先化简，再求值：，其中． 【答案】，12 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 37．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先计算积的乘方，同底数幂的乘法，最后合并即可． 【详解】解：原式 ． 1．数是一个 位数． 【答案】十/10 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆用、积的乘方的逆用等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先将数变形为，再根据积的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解：数 ， 所以数是一个十位数， 故答案为：十． 2．下图是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出n的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据积的乘方运算的逆用即可求解； （2）根据积的乘方运算的逆用、同底数幂的乘法、幂的乘方进行计算即可． 本题主要考查了幂运算，掌握相关运算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ∴， ∴． 1．已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 【详解】解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 2．表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法： ①； ②当，，，时，在的所有因数中，能被整除但不能被整除的共有个； ③若，是大于的整数，则满足条件的的最小值为． 正确的有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方等．分别求出，，，以此类推即可判断①，求出，列出能被整除但不能被整除的因数，即可判断②，根据求出，结合题意即可求出满足条件的的最小值，判断③，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ， 以此类推，，故①说法错误； ∵，，，， ∴， ∴， 故能被整除但不能被整除的因数有：，，，共有个，故②说法错误； ∵，， ∴， 即， ∵是大于的整数， ∴， ∵，， ∴满足条件的的最小值为，③说法正确． 故选：B． 1 / 1 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