专题04 圆的方程及应用（期中真题汇编，辽宁专用）高二数学上学期

专题04 圆的方程及应用 6大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线和圆的位置关系 考点03 定点定值问题 考点04 和圆有关的最值问题 考点05 公切线问题 考点06 公共弦问题 地 城 考点01 圆的方程 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁沈阳东北育才学校·月考)在中，点，点，点满足，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)火电厂的冷却塔常用的外形之一是旋转单叶双曲面，可以看成是由双曲线绕其虚轴旋转所成的曲面的一部分（如图1），它的优点是对流快､散热效果好.某火电厂的冷却塔设计图纸比例（长度比）为（图纸上的尺寸单位：），图纸中单叶双曲面的方程为（如图2），则该冷却塔的占地面积为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·辽宁鞍山第一中学·期中)已知圆是圆上的动点，点，为线段的中点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期中)已知是圆：上任意一点，若的取值与无关，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期中)N为圆上的一个动点，平面内动点满足且，则动点M运动的区域面积为（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期中)若圆关于直线对称，则 ． 二、填空题 8．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)已知点，点B，C是直线与圆的交点，则经过点A，B，C的圆的方程是 ． 地 城 考点02 直线和圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)已知直线与圆相切，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)已知直线与圆相离，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)过点的直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期中)已知直线，其中，则以下命题正确的有（   ） A．直线l的倾斜角为 B．直线l的斜率为 C．若是直线l上的任意一点，则 D．当时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为1 三、填空题 6．(24-25高二上·辽宁大连王府高级中学·)已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点.若，其中为坐标原点，则原点到直线的距离是 . 四、解答题 7．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)在平面直角坐标系中，已知点，点满足.记的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知点，设点M，N在上，点M，N与点不重合，且直线MN不与轴垂直，记分别为直线AM，AN的斜率. （ⅰ）对于给定的数值入（且，若，证明：直线MN经过定点； （ⅱ）记（ⅰ）中的定点为Q，求点的轨迹方程. 8．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)已知圆关于直线对称，且经过点和. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆交于两点，若（为坐标原点），求直线的方程. 地 城 考点03 定点定值问题 一、解答题 1．(24-25高二上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知半径为2的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程. (2)已知，为圆上任意一点，问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求出定点坐标及定值；若不存在，请说明理由. (3)在（2）的条件下，若点，试求的最小值. 2．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)已知圆的圆心在以点为端点的线段的垂直平分线上，圆的所有过点的弦中最短弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点，并求出该定点的坐标. 地 城 考点04 最值问题 1、 解答题 1．(24-25高二上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知直线与圆的交点为、，点是圆上一动点，设点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)已知圆的半径为，圆的半径为，且，，点为圆上的动点，过点作圆的切线，切点分别为、.若的最小值为，最大值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)已知且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．5 二、多选题 4．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)已知直线和圆以下四个命题表述正确的是（   ） A．直线恒过点 B．直线与圆恒有两个交点 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上恰有4点到直线的距离为1 5．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)已知点，过点的直线交圆于两点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为1 B．满足的弦有且只有2条 C．当最小时，圆上的点到直线的距离最小值为0 D．当最小时，圆上的点到直线的距离最大值为 地 城 考点05 公切线问题 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期中)圆：与圆：的公切线的条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)圆和圆的公切线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期中)已知与有且有只有两条公切线，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)若与相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则实数的值是（    ） A． B． C．5 D． 二、填空题 5．(24-25高二上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)下列命题 ①若两直线与平行，则实数的值为1 ②圆上的动点与定点所连线段的中点的轨迹方程为 ③若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 ④已知动点在直线上，圆，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为4 正确的是 （请填序号） 三、解答题 6．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期中)瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的三个顶点分别为，，，直线l经过点. (1)求的欧拉线方程； (2)已知直线l与的外接圆M相离，点P为直线l上的动点，过点P作圆M的两条切线PR，PS，切点分别为R，S，当四边形的面积的最小值为时，求直线l的方程. 7．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)已知三点、、. (1)求过、、三点的圆的一般方程； (2)过点的直线与圆交于点，且，求直线的方程. 地 城 考点06 公共弦问题 一、多选题 1．(24-25高二上·辽宁大连第八中学·期中)下列给出的命题正确的是（   ） A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 B．直线的一个方向向量为 C．圆与圆的公共弦所在直线方程是 D．对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中），则，，，四点共面 2．(23-24高二上·辽宁大连第八中学·期中)已知圆：与圆相交于两点，直线 ，点在直线上，点在圆上，则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．的最小值是2 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是． 三、填空题 3．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的一般式方程为 ． 4．(24-25高二上·辽宁普通高中·期中)已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆的方程及应用 6大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线和圆的位置关系 考点03 定点定值问题 考点04 和圆有关的最值问题 考点05 公切线问题 考点06 公共弦问题 地 城 考点01 圆的方程 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁沈阳东北育才学校·月考)在中，点，点，点满足，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷 【分析】设，根据，得到点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（除去与轴的两个交点），然后数形结合得到点到直线的距离最大值为，求出面积的最大值即可. 【详解】由题意，设，则， 由得， 化简得， 故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（除去与轴的两个交点）, 故点到直线的最大距离为， 所以的面积最大值为. 故选：B. 2．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)火电厂的冷却塔常用的外形之一是旋转单叶双曲面，可以看成是由双曲线绕其虚轴旋转所成的曲面的一部分（如图1），它的优点是对流快､散热效果好.某火电厂的冷却塔设计图纸比例（长度比）为（图纸上的尺寸单位：），图纸中单叶双曲面的方程为（如图2），则该冷却塔的占地面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省普通高中部分学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】根据题意，令，求得图纸上底面的轨迹为圆，再求得实际圆的半径以及面积即可. 【详解】令，可得出，这是一个半径为 的圆， 根据比例尺得出实际圆的半径长为 ，所以占地面积为. 故选：B. 3．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】由圆的方程可得到圆心坐标以及半径， 设，运用向量的数量积运算可得，从而，可知表示圆上的点到原点的距离，根据圆的性质即可得到答案. 【详解】圆的圆心，半径， 设，∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵点在圆上，∴表示圆上的点到原点的距离， 又，， ∴，即，得， 因此的取值范围为. 故选：A. 4．(24-25高二上·辽宁鞍山第一中学·期中)已知圆是圆上的动点，点，为线段的中点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】设，表达出，代入中，求出点的轨迹方程. 【详解】设，由于为线段的中点，， 故， 将代入中，得 ， 化简得. 故选：A 5．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期中)已知是圆：上任意一点，若的取值与无关，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省锦州市某校2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷 【分析】根据给定条件，求出的取值范围，再结合式子特征推理求出的范围. 【详解】依题意， ，当且仅当或时取等号， 因此，即， 则， 要的取值与无关，当且仅当， 此时， 由，得，所以实数的取值范围是. 故选：D 6．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期中)N为圆上的一个动点，平面内动点满足且，则动点M运动的区域面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】根据题意，，即点在以半径为直径的圆上，由此可得动点运动的区域面积为两个弓形，利用扇形面积公式可求得最后结果. 【详解】因为点在圆上，，即， 所以点在以半径为直径的圆上， 所以点在圆内部，又，所以动点运动的区域面积为如图的两个弓形， 易知，则， 所以动点运动的区域面积为. 故选：D.    7．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期中)若圆关于直线对称，则 ． 【答案】/0.25 【来源】辽宁省锦州市某校2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷 【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求出并验证即得. 【详解】圆的圆心为， 依题意，点在直线上，即，解得， 此时圆，即，符合题意， 所以. 故答案为： 二、填空题 8．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)已知点，点B，C是直线与圆的交点，则经过点A，B，C的圆的方程是 ． 【答案】 【来源】辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中阶段测试数学试卷 【分析】由题设圆的方程为：，代入，即可求得方程. 【详解】因点B，C是直线与圆的交点， 则设过B，C的圆的方程为：，代入， 则，则过过点A，B，C的圆的方程是： . 故答案为： 地 城 考点02 直线和圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】根据方程表示圆和点在圆外建立不等式组，解之即可求解. 【详解】因为表示圆， 所以，解得， 又过点向圆引两条切线，所以点在圆外， 有，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 2．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)已知直线与圆相切，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】辽宁省普通高中部分学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】根据圆心到直线的距离等于半径求解即可 【详解】由题意，得圆心坐标为，因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径， 所以，解得. 故选：B 3．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)已知直线与圆相离，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省县级重点高中协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】根据方程表示圆以及直线与圆的位置关系得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】将圆的方程化为标准方程可为， 则，解得或，圆心为，半径为， 因为直线与圆相离，则， 整理可得，即，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 4．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)过点的直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省辽南协作体名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 【分析】作出图形，分析可知，当时，的面积最大，利用几何法求出圆心到直线的距离，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，即可得出直线的方程. 【详解】由可得，可得， 所以，曲线表示为圆的上半圆，且该半圆的半径为，   ， 当且仅当时，等号成立， 此时，原点到直线的距离为， 由图可知，直线的斜率存在，且， 则直线的方程为，即， 由点到直线的距离公式可得，因为，解得， 因此，直线的方程为，即. 故选：A. 二、多选题 5．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期中)已知直线，其中，则以下命题正确的有（   ） A．直线l的倾斜角为 B．直线l的斜率为 C．若是直线l上的任意一点，则 D．当时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为1 【答案】CD 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可. 【详解】对于A，直线的倾斜角的取值范围为，与角的范围不同，故A错误； 对于B，当或时，，此时直线不存在斜率，故B错误； 对于C，易知原点到直线的距离为， 则无论为何值，直线总与相切，则，故C正确； 对于D，若直线与两坐标轴都相交，则截距分别为，， 则与两坐标轴围成的三角形的面积为，故D正确. 综上所述，DC正确。 故选：CD 三、填空题 6．(24-25高二上·辽宁大连王府高级中学·)已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点.若，其中为坐标原点，则原点到直线的距离是 . 【答案】 【来源】辽宁省大连市王府高级中学2024-2025学年高二上学期第二学段考试数学试题 【分析】求出直线的方程，与圆的方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示，列式求出，进而求出点到直线距离. 【详解】依题意，直线：，设， 由消去得， 则，，， 于是，解得， 当时，方程中，符合题意， 所以的方程为，原点到直线的距离是. 故答案为： 四、解答题 7．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)在平面直角坐标系中，已知点，点满足.记的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知点，设点M，N在上，点M，N与点不重合，且直线MN不与轴垂直，记分别为直线AM，AN的斜率. （ⅰ）对于给定的数值入（且，若，证明：直线MN经过定点； （ⅱ）记（ⅰ）中的定点为Q，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）点的轨迹方程为直线（除去点） 【来源】辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中阶段测试数学试卷 【分析】（1）根据，代入两点间距离公式即可求解； （2）（ⅰ）联立直线与的方程，结合，可求出即可证明直线恒过定点；（ⅱ）消去，即可求出点的轨迹方程. 【详解】（1）设，由得， 整理得，所以的方程为. （2）设直线MN的方程为：，其中. 点M，N满足： 所以满足：，即. 从而. （ⅰ）证明：因为， 所以，整理得，其中（即直线MN不经过点）. 所以直线MN的方程为：，且直线MN不经过点. 所以直线MN过定点 . （ⅱ）解：由得（其中）, 所以点的轨迹方程为直线（除去点）. 8．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)已知圆关于直线对称，且经过点和. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆交于两点，若（为坐标原点），求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）圆心在直线上，且在的垂直平分线上，联立两直线方程求得圆心，半径，即可得圆的标准方程； （2）由题意点在圆上，求出，则得切线斜率，由点斜式方程求出切线方程； （3）由题意可知直线的斜率一定存在，故可设直线，与圆的方程联立，根据韦达定理，结合数量积的运算求出即可. 【详解】（1）因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 因为圆经过点，所以圆心在的垂直平分线上， 因为，中点为， 所以的垂直平分线方程为，即， 则，所以圆心为， 半径，所以圆的标准方程为. （2）因为，所以点在圆上， 又，则切线斜率为， 所以切线方程为，即为， 所以过点且与圆相切的直线方程为. （3）由题意可知直线的斜率一定存在，故可设直线， 设， 则， 则， 故，， 因为 ， 则，解得或（舍去）， 所以直线的方程为. 地 城 考点03 定点定值问题 一、解答题 1．(24-25高二上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知半径为2的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程. (2)已知，为圆上任意一点，问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求出定点坐标及定值；若不存在，请说明理由. (3)在（2）的条件下，若点，试求的最小值. 【答案】(1) (2)， (3) 【来源】辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题 【分析】（1）设圆C的圆心坐标为，根据直线与圆相切，可求得圆心，进而得到方程； （2）假设存在定点B，设，表示出，进而求解； （3）结合（2）可得，进而转化为P、B、三点共线问题. 【详解】（1）由题意设圆C的圆心坐标为，则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以， 故圆的标准方程为；. （2）假设存在定点B，设，如图， 设，则， 则 ， 当，即或（舍去）时，为定值，且定值为， 故存在定点B使得为定值， B的坐标为； （3）由（2）知，故，从而， 当且仅当P、B、三点共线时，最小， 且， 所以的最小值为. 2．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)已知圆的圆心在以点为端点的线段的垂直平分线上，圆的所有过点的弦中最短弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【来源】辽宁省普通高中部分学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】（1）根据点坐标分别求得和线段的中点坐标，设线段的垂直平分线斜率为，则，求得，再应用点斜式即可求得线段垂直平分线的方程，从而得.易知当弦垂直于时，弦长最短，代入弦长公式即可求得，从而得到圆的方程. （2）根据题意知直线的斜率存在，设其方程为，将直线与圆的方程联立并化简，设，列出韦达定理.通过点坐标可得直线的方程，令，可得点，同理得，再利用中点公式求的中点纵坐标并化简即可. 【详解】（1）设线段的垂直平分线斜率为，则，所以. 又线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为，即， 则圆心的坐标在上，所以. 因为，圆的所有过点的弦中最短弦长为， 易知最短弦垂直于，所以,所以， 则圆的方程为. （2）证明：显然直线的斜率存在，设其方程为， 与圆的方程联立并消去得， 设，则， 直线的方程为，令，得，所以. 同理得， 所以线段的中点纵坐标为 ， 所以线段的中点坐标为，是一个定点. 地 城 考点04 最值问题 1、 解答题 1．(24-25高二上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知直线与圆的交点为、，点是圆上一动点，设点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题 【分析】由直线方程可得过定点，再由平面向量的线性运算可得，结合坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，则圆心，， 设，且直线过定点， 所以，， ， 所以 . 故选：A 2．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)已知圆的半径为，圆的半径为，且，，点为圆上的动点，过点作圆的切线，切点分别为、.若的最小值为，最大值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省县级重点高中协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】作出图形，连接，分析可知，，，根据，，化简可得出的值. 【详解】因为，， 所以，当线段的长度取最大值时，取最小值，即最小， 当线段的长度取最小值时，取最大值，即最大， 如图，连接， 直线与圆分别交于、两点， 当且仅当点与重合时，取最大值，当点与点重合时，取最小值， 且，， 由，得， 由，得， 所以，，整理可得， 故选：C. 3．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)已知且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．5 【答案】D 【来源】辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中阶段测试数学试卷 【分析】由三角换元代入计算，结合正弦型函数的值域，即可得到结果. 【详解】令， 则，其中， 因为，则， 所以的最大值为. 故选：D 二、多选题 4．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)已知直线和圆以下四个命题表述正确的是（   ） A．直线恒过点 B．直线与圆恒有两个交点 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上恰有4点到直线的距离为1 【答案】ABD 【来源】辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】对于A，整理直线方程，分离出参数，建立方程组，可得答案；对于B，由圆的标准方程把定点坐标代入圆的方程，可得答案；对于C，当时，直线被圆截得的弦长最短，求解可得答案；对于D，求得圆心到直线的距离可得答案. 【详解】对于A，由，则， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，由，所以在圆内，直线与圆恒有两个交点故B正确； 对于C，由知圆心，半径为， 当时，直线被圆截得的弦长最短，又， 最短弦长为，故C错误； 对于D，当，直线的方程为， 圆心到直线的距离， 圆上恰有4点到直线的距离为1，故D正确. 故选：ABD. 5．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)已知点，过点的直线交圆于两点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为1 B．满足的弦有且只有2条 C．当最小时，圆上的点到直线的距离最小值为0 D．当最小时，圆上的点到直线的距离最大值为 【答案】BCD 【来源】辽宁省辽南协作体名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 【分析】根据圆的几何性质判断ACD；设出直线的方程，结合圆的几何性质表示出，进而解方程判断B. 【详解】由圆，则圆心，半径为， 由于，所以点在圆内部. 当时，，故A错误， 此时圆上的点到直线的距离最小为0， 圆上的点到直线的距离最大为，故CD正确； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，则. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 所以， 当时，即， 整理得，由于， 则方程有两个不相等的实数根， 则满足的弦有且只有2条，故B正确. 故选：BCD. 地 城 考点05 公切线问题 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期中)圆：与圆：的公切线的条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【来源】辽宁省锦州市某校2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷 【分析】根据给定条件，确定两圆的位置关系即可得解. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 则，因此圆与圆外切， 所以圆与圆外切有3条公切线. 故选：B 2．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)圆和圆的公切线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【来源】辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中阶段测试数学试卷 【分析】将圆的一般方程转化成标准方程，结合圆心距判断两圆位置关系，进而求解. 【详解】由题意得，圆，即以为圆心，为半径的圆， 圆，即以为圆心，为半径的圆， 则， 故， 因此两圆相交，则有2条公切线. 故选：B. 3．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期中)已知与有且有只有两条公切线，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】根据两圆的公切线条数确定两圆相交，由圆心距计算即可. 【详解】由，， 则可得，且两圆的半径分别为， 又两圆只有两条公切线，故该两圆相交， 即，显然， 则，解之得. 故选：A 4．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)若与相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则实数的值是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【来源】辽宁省辽南协作体名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 【分析】由题意画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时，满足过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解． 【详解】如图所示，由圆的几何性质知：当两圆在点A处的切线互相垂直时，切线分别过对方圆心， 在中，由已知条件知，， 所以，由于，则. 故选：B. 二、填空题 5．(24-25高二上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)下列命题 ①若两直线与平行，则实数的值为1 ②圆上的动点与定点所连线段的中点的轨迹方程为 ③若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 ④已知动点在直线上，圆，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为4 正确的是 （请填序号） 【答案】②③④ 【来源】辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题 【分析】根据直线平行的条件判断①，根据转移法求轨迹方程判断②，转化为两圆相交可求半径范围判断判断③，转化为三角形面积后再转化为求的最值即可利用圆心到直线的距离得解判断④. 【详解】当两直线与平行，则， 解得或，经检验，或时，两直线不重合， 故实数的值为1或，故①错误； 设，则，代入圆的方程可得，故②正确； 圆上恰有两点到点的距离为1， 问题转化为以为圆心，半径为1的圆与圆相交即可， 所以， 解得，故③正确； 因为, 所以当最小时，四边形面积有最小值，由圆的性质知，的最小值即为 圆心到直线的距离，所以四边形面积的最小值为，故④正确. 故答案为：②③④ 三、解答题 6．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期中)瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的三个顶点分别为，，，直线l经过点. (1)求的欧拉线方程； (2)已知直线l与的外接圆M相离，点P为直线l上的动点，过点P作圆M的两条切线PR，PS，切点分别为R，S，当四边形的面积的最小值为时，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或. 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）根据点的位置判定形状，根据欧拉线定义计算即可； （2）由直线过定点设其方程，根据直线与圆的位置关系结合对称性确定四边形的面积取最小值时直线的参数即可. 【详解】（1）易知， 即显然为等腰直角三角形，其外心为斜边中点，垂心为直角顶点， 即其欧拉线过，所以该欧拉线方程为：； （2）易知，外接圆的半径为2，， 根据题意不妨设直线方程为， 四边形的面积， 显然时，而，亦即此时， 即时取最小值， 则M到l的距离为，显然或， 即直线l的方程为或.    7．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)已知三点、、. (1)求过、、三点的圆的一般方程； (2)过点的直线与圆交于点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【来源】辽宁省辽南协作体名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 【分析】（1）设过、、三点的圆的一般方程为，将这三点的坐标代入圆的方程，可得出关于、、的方程组，解出这三个量，即可得出所求圆的一般方程； （2）求出圆心坐标和半径，利用勾股定理计算出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，直接验证即可；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程. 【详解】（1）解：设过、、三点的圆的一般方程为， 则有，解得， 因此，过、、三点的圆的一般方程为. （2）解：由（1）可知，外接圆的标准方程为， 圆心为，半径为， 因为，则圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，圆心到直线的距离为，合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即，则， 解得，此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 地 城 考点06 公共弦问题 一、多选题 1．(24-25高二上·辽宁大连第八中学·期中)下列给出的命题正确的是（   ） A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 B．直线的一个方向向量为 C．圆与圆的公共弦所在直线方程是 D．对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中），则，，，四点共面 【答案】BC 【来源】辽宁省大连市第八中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 【分析】利用空间向量线面关系可判断选项A；由直线的方向向量可判断选项B；由两圆方程相减即可判断选项C；由空间四点共面的推论即可判断选项D. 【详解】对于A，因为， 所以由空间向量线面关系得，直线平行平面或直线在平面内，故A错误； 对于B，直线的方向向量为，且直线的斜率， 所以直线的方向向量为， 又因为，且， 所以是直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，联立圆,圆的方程得， 两个方程相减得，故两圆的公共弦所在直线方程为，故C正确； 对于D，由空间四点共面的推论可知：若, 且时，四点共面，故D错误. 故选：BC. 2．(23-24高二上·辽宁大连第八中学·期中)已知圆：与圆相交于两点，直线 ，点在直线上，点在圆上，则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．的最小值是2 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是． 【答案】ACD 【来源】辽宁省大连市第八中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】确定圆心和半径，判断两圆相交，两圆方程相减得到A正确，线段的长为，B错误，的最小值为到直线的距离减去，C正确，当最小值时，切线长最小，D正确. 【详解】圆：，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 圆心距，，两圆相交.    对选项A：直线的方程为，即， 正确； 对选项B：圆心到直线的距离为， 故，错误； 对选项C：的最小值为到直线的距离减去，即，正确； 对选项D：为圆的切线，连接，， 则，当最小值时，切线长最小， 最小值为到直线的距离为，所以，正确； 故选：ACD 三、填空题 3．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的一般式方程为 ． 【答案】 【来源】辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】由题意可得圆C的圆心坐标和半径，进而求出和的中点坐标，可得过点的圆的方程，则为两圆的公共弦，利用两圆的方程相减即可求解. 【详解】由题意，圆C的标准方程为， 圆心坐标为，半径为， 则，的中点为， 因为是圆C的两条切线，切点分别为， 所以，则共圆， 所以过点的圆的方程为， 其中为该两圆的公共弦，由两圆的方程相减， 得直线的方程，即. 故答案为： 4．(24-25高二上·辽宁普通高中·期中)已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则 ． 【答案】 【来源】辽宁省普通高中2024-2025学年高二上学期11月期中调研测试数学试题（1） 【分析】先求两个圆的公共弦所在直线方程，利用勾股定理求出弦长的表达式，结合不等式性质求最值，进而可得答案. 【详解】与相减， 可得两圆的公共弦所在线的方程为：， 由圆：可得，圆的半径为4， 圆心到AB直线的距离为， ，因为， 所以，时等号成立， 又因为的最小值为， 所以，解得. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $