精品解析：辽宁省大连市经济技术开发区第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度上学期高二期中考试试卷 数 学 命题人：战新颜 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点到其准线的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 在棱长为1的正方体中，（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 方程表示的图形是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 点 D. 直线和直线 4. 已知双曲线的一条渐近线过点，是的左焦点，且，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知直线恒过点，点的坐标为，直线上有一动点，当取得最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设A，B为双曲线Γ：的左，右顶点，F为双曲线Γ右焦点，以原点O为圆心，为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线的一个交点为M，连接AM，BM，则tan∠AMB=（ ） A. 4 B. C. 2. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（ ） A. 的一个方向向量为 B. 直线与两坐标轴围成三角形的面积为 C. 与直线垂直 D. 与直线平行 10. 已知曲线，则（ ） A. 当时，则的焦点是， B. 当时，则的渐近线方程为 C. 当表示双曲线时，则的取值范围为 D. 存在，使表示圆 11. 正四棱锥中，底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°，下列结论正确的是（ ） A. 直线与 、与所成的角相等 B. 侧棱与底面所成角的正切值为 C. 该四棱锥的体积为 D. 该四棱锥的外接球的表面积为 12. 如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，下列四个判断中，正确命题为（ ） A. 两个椭圆的离心率相等 B. 到，，，四点的距离之和为定值 C. 曲线关于直线，均对称 D. 曲线所围区域面积必小于36 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 两圆和的公切线有______条． 14. 过抛物线焦点的直线交于两点，线段中点到轴距离为1，则_____． 15. 平面α的一个法向量，点在内，则平面外点到平面的距离为_____． 16. 如图A､B､C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6km，C在A的北偏东30°，两地相距4km，在某时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为1km/s，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的点P的坐标______. 四、解答题：本题共6小题，17题10，18-22题，每小题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知直线l经过两直线：和：的交点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若点，到直线的距离相等，求直线的方程． 18. 如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点， （1）求C点到平面的距离. （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 19. 已知抛物线：的焦点到双曲线的渐近线距离为，且抛物线的焦点与椭圆：的右焦点F重合，直线与椭圆相交于A，B两点，若. （1）求抛物线的标准方程； （2）求椭圆的标准方程. 20. 如图，在四棱锥中，，，，. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 21. 如图，在四棱锥中，四边形 是矩形，是正三角形，且平面平面 ，，为棱 的中点，四棱锥的体积为． （1）若 为棱的中点，求证：平面； （2）在棱上是否存在点 ，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 22. 设圆的圆心为A，直线l过点，F是圆A上的任意一点，线段BF的垂直平分线与AF交于E点. （1）求出点E的轨迹方程； （2）设点E的轨迹为曲线，直线l交曲线于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期高二期中考试试卷 数 学 命题人：战新颜 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点到其准线的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得解； 【详解】解：抛物线的焦点为，准线方程为， 所以焦点到准线的距离； 故选：A 2. 在棱长为1的正方体中，（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算得，即可得结果． 【详解】． 故选：B． 3. 方程表示的图形是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 点 D. 直线和直线 【答案】D 【解析】 【分析】将原方程因式分解得出，可得选项． 【详解】方程可化为，即， 故或，即方程表示的图形是直线和直线． 故选：D． 【点睛】本题考查曲线与方程的关系，属于基础题． 4. 已知双曲线的一条渐近线过点，是的左焦点，且，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一条渐近线过点，可确定，再结合，，推得为等边三角形，从而确定，可求得双曲线方程. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，点在一条渐近线上，如图示： 所以，则，且两条渐近线的倾斜角分别为60°，120°， 则 , 又，（为坐标原点），所以为等边三角形，从而, 由，，解得，，所以双曲线的方程为, 故选：A. 5. “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先分析曲线的图形，再结合直线与该曲线的位置关系，再判断 “” 与 “直线与曲线恰有1个公共点” 之间的条件关系. 【详解】曲线表示圆心，半径为的圆的上半部分（包括与轴的交点）， 直线的斜率为1，在轴上的截距为， 当直线与曲线恰有1个公共点时，该直线与曲线相切或有一个交点， 如图所示： 相切时，圆心到直线距离等于2，则， 即或（舍去，因为当时与下半部分相切，不符合题意）. 由图象可知，有一个交点时，. 综上可知，当直线与曲线恰有1个公共点时，或. 于是，当“”时，直线“与曲线恰有1个公共点”，则充分性成立； 当直线与曲线恰有1个公共点时，或，则必要性不成立. 所以， “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 6. 已知直线恒过点，点的坐标为，直线上有一动点，当取得最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出定点M，作出图像，求出M关于直线对称后的点，||为的最小值，求出直线的方程，与直线方程联立，即可解出P的坐标﹒ 【详解】直线：，即， 令，求得，，可得该直线恒过点 直线：上有一动点，点的坐标为， 故､都在直线：的上方. 点关于直线：的对称点为，则||为的最小值： 直线方程为，即. 把直线方程和直线：联立方程组，求得， 可得当取得最小值时，点的坐标为. 故选：B 7. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程，再结合即可求解出a、b，进而求出面积. 【详解】设，，则有，两式作差得：， 即， 弦中点坐标为，则， 又∵，∴，∴， 又∵，∴可解得，， 故椭圆的面积为. 故选：C 8. 设A，B为双曲线Γ：的左，右顶点，F为双曲线Γ右焦点，以原点O为圆心，为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线的一个交点为M，连接AM，BM，则tan∠AMB=（ ） A. 4 B. C. 2. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求点的坐标，并判断轴，这样中，直接求解. 【详解】，以原点O为圆心，为半径的圆的方程是， 设点是圆与渐近线在第一象限的交点， ，解得：，即 ，轴， 中， 故选：A 【点睛】本题考查圆与双曲线的方程，双曲线的渐近线，三角函数的简单综合问题，意在考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（ ） A. 的一个方向向量为 B. 直线与两坐标轴围成三角形的面积为 C. 与直线垂直 D. 与直线平行 【答案】AC 【解析】 【分析】根据点斜式求得直线的方程，结合直线的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意直线的斜率为，直线方程为，即， 它与直线重合，D错误； ，因此是直线的一个方向向量，A正确； 在直线方程中令得，令得， 直线与两坐标轴围成三角形的面积为，B错误； 由于，C正确 故选：AC 10. 已知曲线，则（ ） A. 当时，则的焦点是， B. 当时，则的渐近线方程为 C. 当表示双曲线时，则的取值范围为 D. 存在，使表示圆 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过的值或取值范围，判断曲线的形状，转化求解即可. 【详解】对于A，当时，曲线，则的焦点是，，所以A正确； 对于B，当时，曲线，则的渐近线方程为，所以B正确； 对于C，当表示双曲线时，，解得：或，所以C不正确； 对于D，当，即时，曲线表示圆，所以D正确. 故选：ABD. 11. 正四棱锥中，底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°，下列结论正确的是（ ） A. 直线与、与所成的角相等 B. 侧棱与底面所成角的正切值为 C. 该四棱锥的体积为 D. 该四棱锥的外接球的表面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据异面成角的概念，直线与、与所成的角分别为，，再根据正四棱锥的特点，即可判断选项A是否正确；对于B，由题意可证平面，则是侧棱与底面所成角，在即可求出侧棱与底面所成角的正切值，即可判断选项B是否正确；对于C，利用体积公式即可求出该四棱锥的体积，进而判断选项C是否正确；对于D，利用球心和顶点连线，构造直角三角形，利用勾股定理求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积，即可判断选项D是否正确. 【详解】连结，，交于点，连结，取中点，连结、，如下图所示： 对于A，因为，所以直线与所成角为， 因为，所以与所成的角为， ∵，，∴， ∴直线与、与所成的角相等，故A正确； 对于B，∵平面，∴是侧棱与底面所成角， ∵正四棱锥中，底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°， ∴，，，，， ∴侧棱与底面所成角的正切值为，故B错误； 对于C，该四棱锥的体积为，故C错误； 对于D，由题意可知正四凌锥中外接球的球心在上， 设外接球的球心为，连接 ， 设该四棱锥的外接球半径为， 在中，, 由勾股定理，可得，解得， ∴该四棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查了考查空间中异面直线成角、线面角、锥体的体积以及锥体的外接球等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题． 12. 如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，下列四个判断中，正确命题为（ ） A. 两个椭圆的离心率相等 B. 到，，，四点的距离之和为定值 C. 曲线关于直线，均对称 D. 曲线所围区域面积必小于36 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的离心率公式可判断A，由椭圆的定义可判断B，由椭圆的对称性可判断C，由椭圆的顶点可判断D. 【详解】对于A，椭圆的离心率， 椭圆的离心率，所以，故A正确； 对于B，易知分别为椭圆的两个焦点， 分别为椭圆的两个焦点， 若不在两个椭圆的交点上，则距离之和不为定值，故B错误； 对于C，两个椭圆关于直线均对称， 则曲线关于直线均对称，故C正确； 对于D，易得椭圆的上、下顶点分别为， 椭圆的左、右顶点分别为， 所以曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 两圆和的公切线有______条． 【答案】3 【解析】 【分析】求出圆心距，和半径比较判断出两圆位置关系即可得出. 【详解】由题可知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 则圆心距， 所以两圆外切，则公切线有3条. 故答案为：3. 14. 过抛物线焦点的直线交于两点，线段中点到轴距离为1，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】焦点为F，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足为A′，B′，M′，求出，即得解. 【详解】抛物线的准线方程为. 设焦点为F，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足为A′，B′，M′， 则有， ∵M到y轴距离为1，∴， 所以． 故答案为：3 15. 平面α的一个法向量，点在内，则平面外点到平面的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用点到平面的距离公式即可求解. 【详解】因为，，， 所以点到平面的距离. 故答案为： 16. 如图A､B､C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6km，C在A的北偏东30°，两地相距4km，在某时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为1km/s，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的点P的坐标______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件分析可得点在线段的垂直平分线上，再结合双曲线的定义可得点在以､为焦点的双曲线的左支上，联立方程即可得解. 【详解】由题意，点，，即， 则线段的中点为，直线的斜率， 则线段的中垂线的斜率，故其方程为，即， 因为B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号， 所以，. 设，由可得点在线段的垂直平分线上， 又，则点在以､为焦点的双曲线的左支上， 故该双曲线的方程为，即， 由，解得. 所以点的坐标为. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，17题10，18-22题，每小题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知直线l经过两直线：和：的交点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若点，到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）求得两直线的交点，结合直线的斜率，即可求得直线方程； （2）讨论直线与点之间的位置关系，在不同情况下求对应直线的方程即可. 【小问1详解】 联立直线的方程：，解得， 设直线斜率为，则， 所以方程为：. 【小问2详解】 当在同侧，则//，即， 所以方程为：，即； 当在两侧，则中点在上， 所以，即； 综上所述，直线的方程为或. 18. 如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点， （1）求C点到平面的距离. （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间坐标系，利用点到平面的距离公式求解即可； （2）利用线面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，两两垂直， 于是建立如图所示的空间直角坐标系, 则，，，， ∴，，. 设平面的一个法向量为， 即，令，则. 所以点C到平面的距离. 【小问2详解】 设直线与平面所成的角为， ， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 19. 已知抛物线：的焦点到双曲线的渐近线距离为，且抛物线的焦点与椭圆：的右焦点F重合，直线与椭圆相交于A，B两点，若. （1）求抛物线的标准方程； （2）求椭圆的标准方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离公式，结合题意，即可求得参数以及抛物线方程； （2）根据椭圆的定义，结合题意，即可求得以及椭圆方程. 【小问1详解】 抛物线：的焦点为， 双曲线的一条渐近线为， 根据题意可得：，解得， 故抛物线的标准方程为：. 【小问2详解】 取椭圆的左焦点为，连接，如下所示： 根据椭圆的对称性可得四边形为平行四边形， 故，解得， 根据题意，，又，解得， 故椭圆的标准方程为：. 20. 如图，在四棱锥中，，，，. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，由题可得四边形为菱形，利用线面垂直的判定定理可证； （2）过作于点，过作于点，由线面垂直的判定定理可证平面，则即为所求二面角，再结合条件即求. 【小问1详解】 取中点，连接，则， ∴四边形为为平行四边形，又∵， ∴平行四边形为菱形， ∴， ∴，∴，又∵，， ∴平面. 【小问2详解】 过作于点，又∵平面， ∴，∵， ∴平面，过作于点，连接， ∴， ∴平面，则即为所求二面角， 由题知为边长为1的等边三角形， ∴，在中，， ∴，即， ∴，， ∴二面角的正弦值为. 21. 如图，在四棱锥中，四边形 是矩形，是正三角形，且平面平面 ，，为棱 的中点，四棱锥的体积为． （1）若 为棱的中点，求证：平面； （2）在棱上是否存在点 ，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明:取中点，连接， 分别为的中点， ， 底面四边形 是矩形，为棱 的中点， ，． ，， 故四边形是平行四边形， ． 又平面，平面， 平面． （2）存在点 ，位于靠近点的三等分点处满足题意.证明如下： 假设在棱上存在点 满足题意， 在等边中，为 的中点，所以， 又平面平面 ，平面平面，平面， 平面 ，则是四棱锥的高． 设，则，， ，所以. 以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 故，，． 设， ． 设平面PMB的一个法向量为， 则 取． 易知平面的一个法向量为，， ， 故存在点 ，位于靠近点的三等分点处满足题意. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，得到，然后利用线面平行的判定定理得到平面；（2）假设在棱上存在点 满足题意，建立空间直角坐标系，设，根据平面与平面的夹角的余弦值为，则两平面法向量所成角的余弦值的绝对值等于，求出，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 设圆的圆心为A，直线l过点，F是圆A上的任意一点，线段BF的垂直平分线与AF交于E点. （1）求出点E的轨迹方程； （2）设点E的轨迹为曲线，直线l交曲线于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，结合椭圆的定义可得点的轨迹方程； （2）当直线斜率不存在时，可求得四边形的面积为；当直线斜率存在时，设其方程为，利用弦长公式求出与，进而求出四边形面积关系式，利用函数的有界性即可求出面积的取值范围. 【小问1详解】 圆的标准方程为，得，半径. 由线段BF的垂直平分线与AF交于E点，可得. 因为，且， 由椭圆的定义可知点的轨迹是以，为两焦点的椭圆， 又， 则点的轨迹方程为：. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，即方程为，，， 四边形的面积为. 当直线斜率存在时，设的方程为，，. 由，得. 恒成立， 由韦达定理可得，. . 过点且与垂直的直线：， 因点到的距离为，则. 因,故四边形的面积为： . 又，则， 故四边形的面积取值范围为. 综上，四边形面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $