专题05 椭圆方程及其性质（期中真题汇编，辽宁专用）高二数学上学期

专题05 椭圆方程及其性质 4大高频考点概览 考点01 椭圆的方程 考点02 焦点三角形 考点03 椭圆的离心率 考点04 椭圆中的最值和范围问题 地 城 考点01 用空间向量证明位置关系 一、单选题 1．(22-23高二上·河南濮阳南乐县第一高级中学·月考)若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2．(24-25高二下·辽宁七校协作体·)“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．(24-25高二上·辽宁铁岭西丰县第二高级中学·期中)若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·辽宁沈阳东北育才学校双语校区·期中)已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期中)已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·辽宁鞍山第一中学·期中)已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)椭圆的长轴长为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．(24-25高二上·河南许昌·期末)若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 10．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)0．现有圆锥顶点为，底面所在平面为，母线PM与底面直径MN的长度都是2.点是PM的中点，平面经过点与所成二面角（锐角）为.已知平面与该圆锥侧面的交线是某椭圆（或其一部分），则该椭圆长轴的长可能是（   ） A． B．1 C． D．2 三、解答题 11．(24-25高二上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)1．分别求适合下列条件的曲线方程 (1)已知圆经过三点，，，求圆的方程； (2)经过点，两点的椭圆的标准方程； (3)已知椭圆的离心率为，短轴长为，求其标准方程； 四、填空题 12．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)2．已知点在椭圆上，点，则的取值范围是 . 地 城 考点02 焦点三角形 一、单选题 1．(23-24高二上·辽宁高级中学·期中)已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高二上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)设椭圆的焦点为、，点在椭圆上，则（   ） A．焦点、坐标为， B．的最大值为7，最小值为1 C． D．为直角三角形的顶点有4个 3．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，为的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的直线方程是 C．直线的斜率为 D．的周长是8 三、填空题 4．(23-24高二上·辽宁朝阳建平县实验中学·期中)已知焦点为，的椭圆的方程为，且，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为 ． 5．(24-25高二上·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则 . 地 城 考点03 椭圆的离心率 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)若椭圆的离心率为，则（   ） A．1 B．4 C．1或4 D．以上都不对 二、填空题 2．(24-25高二上·辽宁大连王府高级中学·)如图所示，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD满足，，，若点，分别为焦点在轴上的椭圆：的上、下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，设椭圆的离心率为，则 . 3．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)已知椭圆的右焦点是，过点作直线交椭圆于点，过点与直线垂直的射线交椭圆于点，，且三点共线（其中是坐标原点），则椭圆的离心率为 ． 地 城 考点04 椭圆中的最值和范围问题 一、填空题 1．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)已知椭圆的一个焦点为，点是上关于原点对称的两点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·辽宁沈阳东北育才学校双语校区·期中)已知圆，点在椭圆运动，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高二上·辽宁名校联合体·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（    ） A． B． C．当点不在轴上时，从点向轴作垂线，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为 D．的最大值为 三、解答题 5．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)已知椭圆的长轴端点是和，离心率是. (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，求点到点的距离的取值范围. 6．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)设分别是直线和上的动点，且，设为坐标原点，动点满足. (1)求动点的轨迹方程： (2)设分别为轨迹上的两个动点，且. （i）求证：为定值； （ii）求面积的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 椭圆方程及其性质 4大高频考点概览 考点01 椭圆的方程 考点02 焦点三角形 考点03 椭圆的离心率 考点04 椭圆中的最值和范围问题 地 城 考点01 用空间向量证明位置关系 一、单选题 1．(22-23高二上·河南濮阳南乐县第一高级中学·月考)若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【来源】河南省濮阳市南乐县第一高级中学2022-2023学年高二上学期第二次月考文科数学试题 【分析】根据椭圆的定义且焦点在轴，列出相应方程组，从而可求解. 【详解】由题知表示焦点在y轴上的椭圆， 则有：，解得或，故D正确. 故选：D. 2．(24-25高二下·辽宁七校协作体·)“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【来源】辽宁省七校协作体2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题 【分析】利用方程表示椭圆求得，可得“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件. 【详解】由方程表示椭圆，可得，解得， 因为， 所以“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件. 故选：B. 3．(24-25高二上·辽宁铁岭西丰县第二高级中学·期中)若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省铁岭市西丰县第二高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 【分析】根据焦点在轴上的椭圆上的方程特征得到不等式组，求出答案. 【详解】由题意，得，解得. 故选：C. 4．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省普通高中部分学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】设，结合中点坐标公式并由代入法即可求解. 【详解】设点，根据中点的坐标公式可得， 代入椭圆方程得，其中. 故选：B 5．(24-25高二上·辽宁沈阳东北育才学校双语校区·期中)已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】 辽宁省沈阳市东北育才学校双语校区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，，利用椭圆的定义，结合图象得到，然后由即可求出的最大值. 【详解】如图,    由，得，，则， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， 当且仅当为线段与椭圆的交点，且为射线与圆的交点且、方向相同时， 上述不等式中的两个等号同时成立， 故的最大值为. 故选：B. 6．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期中)已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省锦州市某校2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷 【分析】根据给定条件，利用椭圆方程的特征列式计算得解. 【详解】椭圆的焦点在轴上，则，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 7．(24-25高二上·辽宁鞍山第一中学·期中)已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】根据椭圆的标准方程，结合题意，建立方程组，可得答案. 【详解】由题意可得， 故选：C 8．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)椭圆的长轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】将椭圆方程化为标准方程，得出，从而可求出结果. 【详解】椭圆化为标准方程， ∴，∴椭圆的长轴长为. 故选：C. 二、多选题 9．(24-25高二上·河南许昌·期末)若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】BD 【来源】河南省许昌市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围，结合选项即可判断. 【详解】由于方程表示椭圆， 所以，解得或， 结合选项，可知的值可以为3和8. 故选：BD 10．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)0．现有圆锥顶点为，底面所在平面为，母线PM与底面直径MN的长度都是2.点是PM的中点，平面经过点与所成二面角（锐角）为.已知平面与该圆锥侧面的交线是某椭圆（或其一部分），则该椭圆长轴的长可能是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】ABC 【来源】辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中阶段测试数学试卷 【分析】当平面与圆锥的旋转轴所成角度大于母线与旋转轴所成角度，小于直角时，圆锥被平面所截得的截线形状为椭圆。本题中可以通过轴截面做出椭圆长轴长度的最大值和最小值，从而确定答案. 【详解】   如上图，做出过点的轴截面，由已知条件可知，平面与轴截面相交得到的线段最短为，最长为，当平面与圆锥面所截得的椭圆的长轴落在平面内时，长轴长或.根据已知的几何关系可以计算出，.当与圆锥所截得的椭圆的长轴不在图中所作的轴截面内时，长轴长度满足：. 对于A选项，长轴长度可以为； 对于B选项，，长轴长度可以为； 对于C选项，，长轴长度可以为； 对于D选项，，长轴长度不可能为. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：过点做出轴截面可以得出椭圆长轴长度的取值范围，与选项进行对照求解即可. 三、解答题 11．(24-25高二上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)1．分别求适合下列条件的曲线方程 (1)已知圆经过三点，，，求圆的方程； (2)经过点，两点的椭圆的标准方程； (3)已知椭圆的离心率为，短轴长为，求其标准方程； 【答案】(1) (2) (3)或 【来源】辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题 【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法求解； （2）设椭圆方程为代入点求解即可； （3）由题意求出即可得出标准方程. 【详解】（1）设圆的方程为， 由圆经过三点，，， 得，解得， 所以圆的方程为. （2）设椭圆方程为， 则有，解得， 所以所求椭圆方程为. （3）由得，又，故， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为或. 四、填空题 12．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)2．已知点在椭圆上，点，则的取值范围是 . 【答案】 【来源】辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中阶段测试数学试卷 【分析】构造椭圆，椭圆分别与椭圆有相同的短轴和长轴，同时是两椭圆的焦点，利用图形关系可求的取值范围. 【详解】由椭圆与椭圆有相同的短轴， 由椭圆与椭圆有相同的长轴， 又椭圆与椭圆有相同的焦点， 即点， 由椭圆方程可知椭圆在椭圆上及其内部， 椭圆在椭圆上及其内部， 当点在上时，， 因椭圆方程可知椭圆在椭圆上及其内部， 所以，当点在短轴的端点时取等号， 当点在上时，， 因椭圆方程可知椭圆在椭圆上及其内部， 所以，当点在长轴的端点时取等号， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：考查数形结合思想的应用，重点在于构知椭圆与原椭圆分别共长轴与短轴，并以为焦点，利用椭圆的定义可求解. 地 城 考点02 焦点三角形 一、单选题 1．(23-24高二上·辽宁高级中学·期中)已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题 【分析】根据椭圆的定义可得，，可得为直角三角形，进而可得解. 【详解】由，得，， 即，， 又， 则，， 所以为直角三角形，， 所以， 故选：B. 二、多选题 2．(24-25高二上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)设椭圆的焦点为、，点在椭圆上，则（   ） A．焦点、坐标为， B．的最大值为7，最小值为1 C． D．为直角三角形的顶点有4个 【答案】BC 【来源】辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题 【分析】根据椭圆的方程可得焦点坐标判断A；根据椭圆的性质判断 B；根据椭圆的定义判断C；根据为直角三角形确定M个数判断D. 【详解】由椭圆，可知，且焦点在轴上， 则，焦点坐标为 ，，故A错误； 由椭圆的性质知，的最大值为，最小值为，故B正确； 由椭圆的定义知，，故C正确； 因为，所以以为直径的圆与椭圆有4个交点，当为直角顶点时， 为直角三角形有4个，当或垂直轴时，为 直角三角形有4个，故为直角三角形的顶点共有8个，故D错误. 故选：BC 3．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，为的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的直线方程是 C．直线的斜率为 D．的周长是8 【答案】ACD 【来源】辽宁省辽南协作体名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 【分析】根据离心率可得，即得为等边三角形，根据等边三角形的性质和点斜式方程可判断B，结合椭圆焦点三角形可判断D，根据点差法可判断C. 【详解】由于，故A正确， 由于，故为等边三角形，故, 因此，, 因此直线的直线方程为，即，B错误, ,则， 故, ,故，故C正确， 对于D, 为等边三角形，且,故是的垂直平分线， 故，故D正确， 故选：ACD    三、填空题 4．(23-24高二上·辽宁朝阳建平县实验中学·期中)已知焦点为，的椭圆的方程为，且，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为 ． 【答案】 【来源】辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题 【分析】根据题意，利用椭圆的几何性质，求得，再由椭圆的定义，即可求解. 【详解】设椭圆F的焦距为2c，则，可得， 由椭圆的方程为，可得，解得， 所以的周长为. 故答案为：． 5．(24-25高二上·辽宁抚顺六校协作体·期中)已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则 . 【答案】6 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】利用求出，然后将转化为求解即可. 【详解】 设，由于， 而，则， 所以， ． 故答案为：6 地 城 考点03 椭圆的离心率 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)若椭圆的离心率为，则（   ） A．1 B．4 C．1或4 D．以上都不对 【答案】C 【来源】辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中阶段测试数学试卷 【分析】分焦点在轴和焦点在轴两种情况分别计算. 【详解】当焦点在轴上时，，解得； 当焦点在轴上时，，解得. 故选：C 二、填空题 2．(24-25高二上·辽宁大连王府高级中学·)如图所示，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD满足，，，若点，分别为焦点在轴上的椭圆：的上、下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，设椭圆的离心率为，则 . 【答案】/0.5 【来源】辽宁省大连市王府高级中学2024-2025学年高二上学期第二学段考试数学试题 【分析】由，可得，，，四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆的方程，将代入椭圆及圆的方程，可求出，即可求得离心率. 【详解】依题意，，，设，，连接， 由，，知，，，在以为直径的圆上，且， 又原点为圆的弦的中点，则圆心在的垂直平分线上， 即在轴上，有，由， 得，而， 于是， 当时，则0， 若，则四边形为矩形，则点也在椭圆上，与点不在椭圆上矛盾， 于是，则，圆的圆心坐标为， 圆的方程为，将代入得，又， 因此，所以椭圆的离心率. 故答案为： 3．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)已知椭圆的右焦点是，过点作直线交椭圆于点，过点与直线垂直的射线交椭圆于点，，且三点共线（其中是坐标原点），则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【来源】辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】先证明四边形是矩形，然后利用已知条件求出三边的比例，再利用椭圆的定义求出和与的关系式，最后利用即得离心率. 【详解】设椭圆的左焦点为. 由于三点共线，故由椭圆的对称性知， 而，故四边形是平行四边形.又因为，故四边形是矩形. 由于四边形是矩形，故， . 从而可设， 此时，解得， 所以，所认， 最后由，得到， 即，故.从而椭圆的离心率. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用矩形的性质和椭圆的定义研究的三边，从而避免直接直线与椭圆联立导致繁杂的计算. 地 城 考点04 椭圆中的最值和范围问题 一、填空题 1．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)已知椭圆的一个焦点为，点是上关于原点对称的两点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省普通高中部分学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】根据椭圆的定义，结合勾股定理，即可根据二次函数的性质求解. 【详解】取椭圆的另一个焦点为,连接，则四边形为平行四边形， 设，由椭圆的对称性得， 其中，即， 所以， 令， 所以当时，，当或3时，， 即的取值范围是. 故选：D    2．(24-25高二上·辽宁沈阳东北育才学校双语校区·期中)已知圆，点在椭圆运动，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】 辽宁省沈阳市东北育才学校双语校区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】设，依题意可得切点弦方程为，取的中点，连接，则，利用点到直线的距离公式及的范围计算可得. 【详解】设、、， 设切线上任意一点为，则，， 所以，即， 即切线的方程为， 同理可得切线的方程为， 所以且， 因为点、的坐标都满足方程， 所以直线的方程为， 取的中点，连接，则，， 又，即， 所以， 因为，所以，则， 所以. 故选：D. 3．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省县级重点高中协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】根据离心率公式可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为， 所以，，，则，可得， ，则， 因为，即，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 二、多选题 4．(24-25高二上·辽宁名校联合体·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（    ） A． B． C．当点不在轴上时，从点向轴作垂线，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为 D．的最大值为 【答案】ABC 【来源】辽宁省名校联合体2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题 【分析】根据直线方程、两点间距离公式可求得AB正确；利用相关点法可求得点轨迹，知C正确；根据椭圆定义将问题转化为求解的最大值，根据三角形三边关系可求得结果，知D错误. 【详解】对于A，由椭圆方程得：，，所在直线为， ，A正确； 对于B，，， ，B正确； 对于C，设，，则， ，即，，又在椭圆上， ，即点轨迹为，C正确； 对于D，由椭圆定义知：，， （当且仅当三点共线时取等号，即位于图中点的位置时取等号）， ，D错误. 故选：ABC. 三、解答题 5．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)已知椭圆的长轴端点是和，离心率是. (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，求点到点的距离的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中阶段测试数学试卷 【分析】（1）利用已知条件可求得，进而可求得椭圆方程； （2）设是椭圆上的任意一点，利用两点间的距离公可得，可求得点到点的距离的取值范围. 【详解】（1）由题意得：，解得：. 故椭圆的方程为： （2）设是椭圆上的任意一点，所以， 所以，其中. 所以. 故点到点的距离的取值范围是. 6．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)设分别是直线和上的动点，且，设为坐标原点，动点满足. (1)求动点的轨迹方程： (2)设分别为轨迹上的两个动点，且. （i）求证：为定值； （ii）求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【来源】辽宁省辽南协作体名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 【分析】（1）设，，根据题意列出式子，利用代入法即可求解； （2）（i）分斜率一个为0，一个不存在时，及斜率都存在且不为0来讨论，当斜率都存在且不为0时，设直线 ，直线 ，，联立直线方程与椭圆方程，得，，同理可得，，结合题意即可证明； （ii）由（i）知，，则，分斜率一个为0，一个不存在时，及斜率都存在且不为0来讨论，利用分离常数法及基本不等式即可求解. 【详解】（1）设，， 则，即， 又，则， 所以， 所以，即. 所以动点的轨迹方程为 . （2）（i）当斜率都存在且不为0时， 因为， 设直线 ，直线 ，， 由，得，， 同理得，， 故； 当斜率一个为0，一个不存在时，得； 综上可得为定值. （ii）当斜率都存在且不为0时， 由（i）知，， ， 又，当且仅当时取等， 所以， 当斜率一个为0，一个不存在时，， 所以面积的取值范围为. 【点睛】方法点睛：可以直接列出等量关系式可以用直接法求轨迹方程，解题步骤为： （1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等)； （2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程； （3）注意“多点”和“少点”，一般情况下，斜率和三角形顶点等约束条件. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $