专题06 双曲线和抛物线（期中真题汇编，辽宁专用）高二数学上学期

专题06 双曲线和抛物线 6大高频考点概览 考点01 双曲线定义和方程 考点02 双曲线焦点三角形 考点03 双曲线离心率 考点04 双曲线中的定值问题 考点05 抛物线的定义 考点06 直线和圆锥曲线位置关系 地 城 考点01 双曲线定义和方程 一、多选题 1．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)关于曲线，则（    ） A．曲线不可能表示直线 B．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则其焦距为 D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则其长轴长为 2．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)方程表示的曲线可以为（   ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 2、 单选题 3．(24-25高三上·湖南永州祁阳县第四中学·月考)已知分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则（   ） A．4 B．2 C．3 D．1 4．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期中)已知双曲线：的焦距为4，则（   ） A． B． C．2 D． 5．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 三、填空题 6．(24-25高二上·辽宁七校·期中)已知双曲线上一点P到左焦点的距离为12，那么点P到右焦点的距离为 . 三、解答题 7．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)已知点与点关于直线对称. (1)求点的坐标m，n（用表示）； (2)若点在曲线上，求点所在曲线的方程. 8．(24-25高二上·辽宁铁岭西丰县第二高级中学·期中)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)过点和． 地 城 考点02 双曲线焦点三角形 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点，若为直角三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)已知双曲线的两个焦点分别为、，点到其中一条渐近线的距离为，点是双曲线上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)已知是双曲线的两个焦点，点在上，且，若，则双曲线的方程为 . 4．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，为右支上的一点，点是线段上靠近点的三等分点，线段交轴于点，且、、三点共线，的周长为，则的值为 . 地 城 考点03 双曲线离心率 一、填空题 1．(24-25高二上·辽宁大连第八中学·期中)已知双曲线的渐近线方程为，则其离心率为 ． 2．(24-25高二上·辽宁沈阳东北育才学校双语校区·期中)已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为 . 3．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期中)已知，是双曲线：（，）的左、右顶点，，是双曲线上第二象限内的点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则双曲线的离心率为 ；当取得最大值时，则点的纵坐标为 ． 二、解答题 4．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与左支相交于、两点. (1)若，，求双曲线的方程： (2)若直线的斜率为，且，求双曲线的离心率. 地 城 考点04 双曲线中的定值问题 1、 解答题 1．(24-25高二上·辽宁大连王府高级中学·)已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 地 城 考点05 抛物线的定义 一、多选题 1．(23-24高二上·辽宁抚顺六校·期中)已知是抛物线C：的焦点，直线l为抛物线C的准线，过F的直线与C交于A，B两点，点，且AD⊥BD，则（    ） A． B．AB的中点到x轴的距离为1 C．以AB为直径的圆与准线l相切 D．直线AB的斜率为2 二、填空题 2．(24-25高二上·辽宁沈阳东北育才学校双语校区·期中)已知抛物线上一点到焦点的距离比它到直线的距离小，则 . 三、解答题 3．(23-24高二上·辽宁抚顺六校·期中)已知F是抛物线C：的焦点，点P在C上，点Q满足，点Q的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)过点F的直线l与曲线E交于M，N两点，，求直线l的方程． 地 城 考点06 直线和圆锥曲线位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)已知椭圆，分别为椭圆左右焦点，点，为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．存在点使得 B．的最大值为5 C．若直线与椭圆交于两点（均不同于点），则直线和直线的斜率之积为 D．△内切圆面积的最大值为 3．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左､右顶点分别为，直线与直线及轴分别交于点，则（    ） A．的周长为10 B．直线的斜率之积为定值 C．当时，线段的中点到直线的距离为 D．若，则的取值范围是 4．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，直线：与相交于，两点，点关于的对称点为，线段与交于点，四边形的周长为，，则（   ） A．的方程为 B．的面积为3 C． D．上的点到距离的最大值为 三、填空题 5．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于两点（点在第一象限），为的中点，双曲线的离心率为，若点到四边形的四个顶点的距离之和最小，则点的坐标为 . 四、解答题 6．(24-25高二上·辽宁大连王府高级中学·)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，抛物线：的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线在第一象限的一个公共点，且的面积为，其中为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的上顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点、，求证：直线DE过定点，并求出定点坐标； (3)在（2）的条件下，求的最大值. 7．(24-25高二上·辽宁抚顺六校协作体·期中)在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为. (1)求的方程. (2)已知点在上，且位于第一象限，点，，设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 8．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)已知圆的圆心为，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若这4个点均在轨迹上，直线过点且满足，求四边形面积的取值范围． 9．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)在平面直角坐标系中，，分别为双曲线的左､右焦点，已知，为双曲线上的两动点，若点的横坐标为3，则的长为. (1)求的方程； (2)设，，记的面积为，的面积为，若，求的取值范围； (3)已知点在轴上方，直线过双曲线的右焦点且与轴交于点，若的延长线与交于点，问是否存在轴上方的点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 10．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)0．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作两条直线，直线与交于两点. (1)若的面积为，求的方程； (2)若与交于两点，且的斜率是斜率的倍，求的最大值. 11．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)1．已知圆：，圆：，动圆与圆，圆均外切，线段与圆交于点，线段与圆交于点. (1)求动圆的圆心的轨迹方程； (2)证明：； (3)过的直线与点的轨迹交于，两点，为坐标原点，试判断的形状，并说明理由. 12．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)2．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为的上顶点，为的右顶点，，为直角三角形. (1)求的方程； (2)若直线：交于，两点，求面积的最大值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 双曲线和抛物线 6大高频考点概览 考点01 双曲线定义和方程 考点02 双曲线焦点三角形 考点03 双曲线离心率 考点04 双曲线中的定值问题 考点05 抛物线的定义 考点06 直线和圆锥曲线位置关系 地 城 考点01 双曲线定义和方程 一、多选题 1．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)关于曲线，则（    ） A．曲线不可能表示直线 B．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则其焦距为 D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则其长轴长为 【答案】BC 【来源】辽宁省普通高中部分学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】根据椭圆和双曲线的定义以及标准方程逐项判断即可. 【详解】对于A，当，时，方程为，即或，此时方程表示直线，故A错误； 对于B，因为曲线表示焦点在轴上的椭圆，则， 将椭圆方程化为标准形式，所以，则，故B正确； 对于C，因为曲线表示焦点在轴上的双曲线，则， 将方程化为，依题意，焦距，故C正确； 对于D，因为曲线表示焦点在轴上的椭圆，则， 将方程化为，依题意，椭圆长轴长为，故D错误. 故选：BC. 2．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)方程表示的曲线可以为（   ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】BCD 【来源】辽宁省县级重点高中协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】对的符号进行分类讨论即可得到答案. 【详解】因为二元二次方程不能转化为两个二元一次因式之积，故A不正确； 当时，该方程表示以原点为圆心的圆，故B正确； 当，，且时，该方程表示以原点为中心的椭圆，故C正确； 当时，该方程表示以原点为中心的双曲线，故D正确. 故选：BCD. 2、 单选题 3．(24-25高三上·湖南永州祁阳县第四中学·月考)已知分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则（   ） A．4 B．2 C．3 D．1 【答案】B 【来源】湖南省永州市祁阳县第四中学2024-2025学年高三上学期第一次月考（8月）数学试题 【分析】根据双曲线的定义及中垂线的性质求解 【详解】双曲线的实半轴长为， 延长交直线于点， 由题意有，， 又是中点， 所以， 故选：B. 4．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期中)已知双曲线：的焦距为4，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【来源】辽宁省锦州市某校2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷 【分析】利用双曲线方程与给定的焦距求出. 【详解】由双曲线：的焦距为4，得，所以. 故选：D 5．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【来源】辽宁省县级重点高中协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】分析可知，在以、为焦点的双曲线的右支上，建立平面直角坐标系，求出双曲线方程，将线段的垂直平分线方程与双曲线的方程联立，求出点的坐标，可求出直线的斜率及倾斜角，即可得出结论. 【详解】因为、同时接到信号，所以，，则点在线段的垂直平分线上， 因为、比处同时晚收到信号，所以有， 从而在以、为焦点的双曲线的右支上，所以，，，则， 如图，以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，正东方向为轴的正方向， 建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、，， 所以，双曲线的方程为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 联立，解得，即点， 从而，所以，直线的倾斜角为， 则在处测得的方向角为北偏东， 故选：A. 三、填空题 6．(24-25高二上·辽宁七校·期中)已知双曲线上一点P到左焦点的距离为12，那么点P到右焦点的距离为 . 【答案】2/22 【来源】辽宁省七校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷 【分析】根据双曲线的定义可求得结果. 【详解】已知双曲线，则， 设点P到右焦点的距离为， 根据双曲线上一点到两焦点距离差的绝对值等于可得，， 解得或，经验证均符合题意， 故答案为：2或22. 三、解答题 7．(24-25高二上·辽宁实验中学·期中)已知点与点关于直线对称. (1)求点的坐标m，n（用表示）； (2)若点在曲线上，求点所在曲线的方程. 【答案】(1)； (2). 【来源】辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中阶段测试数学试卷 【分析】（1）根据给定条件，利用对称特性列出方程组求解即得. （2）由（1）的结论，与联立消去即可得解. 【详解】（1）依题意，，解得. （2）依题意，，所以. 整理得：（其中）， 所以点所在曲线的方程为. 8．(24-25高二上·辽宁铁岭西丰县第二高级中学·期中)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)过点和． 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省铁岭市西丰县第二高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 【分析】（1）依题意设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入求出，即可得解； （2）设双曲线方程为，代入点的坐标得到方程组，解得、即可. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）依题意设双曲线方程为， 则，解得，所以双曲线方程为； 地 城 考点02 双曲线焦点三角形 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点，若为直角三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省县级重点高中协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】根据双曲线定义以及为直角三角形，可得，再结合，即可联立得到，进而求出离心率. 【详解】由题知，， 因为点为在第一象限上的一点，所以，则， 又为直角三角形，所以不可能为， 若，则， 即，可得，无解，此时不存在， 所以，即， 所以，即， 所以，. 故选：C. 2．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)已知双曲线的两个焦点分别为、，点到其中一条渐近线的距离为，点是双曲线上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省辽南协作体名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 【分析】利用点到直线的距离公式可得出，利用双曲线的定义、余弦定理可求得的值. 【详解】易知点，双曲线的渐近线方程为，即， 所以，焦点到渐近线的距离为， 设，，由双曲线的定义可得， 由余弦定理可得， 即，所以，. 故选：D. 二、填空题 3．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)已知是双曲线的两个焦点，点在上，且，若，则双曲线的方程为 . 【答案】 【来源】辽宁省普通高中部分学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】利用双曲线的定义结合焦点三角形的特征求解. 【详解】 设双曲线的标准方程为，， 由已知可得，即， 因为， 所以， 所以，故双曲线的方程为. 故答案为：. 4．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，为右支上的一点，点是线段上靠近点的三等分点，线段交轴于点，且、、三点共线，的周长为，则的值为 . 【答案】 【来源】辽宁省县级重点高中协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】分析可知点为的重心，为线段的中点，可得出，由双曲线的定义以及的周长可得出关于、的方程组，解出这两个量，可求出，进而可求得的值. 【详解】由题意可知，点为的重心， 又因为、、三点共线，所以，为线段的中点， 所以，，即，且， 由双曲线的定义可得，所以，，所以①， 将代入双曲线的方程可得，可得， 不妨设点在第一象限，则，② 结合①②可得，，， 在中，. 故答案为：. 地 城 考点03 双曲线离心率 一、填空题 1．(24-25高二上·辽宁大连第八中学·期中)已知双曲线的渐近线方程为，则其离心率为 ． 【答案】 【来源】辽宁省大连市第八中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 【分析】根据渐近线方程得到，然后根据的关系和离心率的公式计算即可. 【详解】由题意得，则，解得. 故答案为：. 2．(24-25高二上·辽宁沈阳东北育才学校双语校区·期中)已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为 . 【答案】 【来源】 辽宁省沈阳市东北育才学校双语校区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】分别在椭圆和双曲线中，利用焦点三角形中的余弦定理建立等量关系，再构造，利用基本不等式，即可求解. 【详解】设两曲线的半焦距为，由余弦定理得：， 在椭圆中，， 又，，， 则，即， 在双曲线中，， 又，，， 则，即， 从而，得，0 则，，即， 则，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用椭圆，双曲线定义及余弦定理得到，进而利用基本不等式求解即可. 3．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期中)已知，是双曲线：（，）的左、右顶点，，是双曲线上第二象限内的点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则双曲线的离心率为 ；当取得最大值时，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【来源】辽宁省锦州市某校2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷 【分析】由已知可得，设出点的坐标，利用斜率坐标公式列式计算出，进而求出离心率；利用基本不等式求出取得最大值的条件，再求出点的纵坐标. 【详解】依题意，，，双曲线：， 设， 则，，， 所以双曲线的离心率； 显然，则，当且仅当时取等号， 由，解得，而，则， 所以点的纵坐标为. 故答案为：2；      二、解答题 4．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与左支相交于、两点. (1)若，，求双曲线的方程： (2)若直线的斜率为，且，求双曲线的离心率. 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省辽南协作体名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 【分析】（1）由双曲线的定义结合已知条件可求出的值，由已知条件得出的值，可求出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）设，可得，在、中分别利用余弦定理，化简后可得出关于、的齐次等式，即可解得双曲线的离心率的值. 【详解】（1）解：由双曲线的定义可得，， 所以，， 因为，则， 由可知，，则， 所以，双曲线的方程为. （2）解：因为直线的斜率为，则，， 设，由可得， 在中，由余弦定理可得，① 在中，由余弦定理可得，② 由①②整理可得， 代入①式可得，所以，， 因此，双曲线的离心率为. 地 城 考点04 双曲线中的定值问题 1、 解答题 1．(24-25高二上·辽宁大连王府高级中学·)已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【来源】辽宁省大连市王府高级中学2024-2025学年高二上学期第二学段考试数学试题 【分析】（1）由虚轴长和渐近线方程求得和的值即可. （2）设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值即可得证. 【详解】（1）由双曲线：虚轴长为4，得， 双曲线的渐近线方程为，由直线为双曲线C的一条渐近线，得，则， 所以双曲线C的标准方程为. （2）由（1）知，，， 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，设， 由消去得， ，，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，为定值． 地 城 考点05 抛物线的定义 一、多选题 1．(23-24高二上·辽宁抚顺六校·期中)已知是抛物线C：的焦点，直线l为抛物线C的准线，过F的直线与C交于A，B两点，点，且AD⊥BD，则（    ） A． B．AB的中点到x轴的距离为1 C．以AB为直径的圆与准线l相切 D．直线AB的斜率为2 【答案】BCD 【来源】辽宁省抚顺市六校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】对于A：根据抛物线的焦点坐标运算求解即可；对于C：根据题意结合抛物线的定义分析判断；对于B：结合选项C可得以AB为直径的圆与准线l相切于点D，AB的中点的纵坐标为1，即可得结果；对于D：由选项B可得，结合抛物线方程运算求解. 【详解】对于选项A：由题意可知，则，故A错误； 对于选项B：设，，    由题意可知：抛物线C：的准线l：，且， 则以AB为直径的圆的半径，线段AB的中点坐标为， 则线段AB的中点到准线l的距离为， 所以以AB为直径的圆与准线l相切，故C正确； 对于选项B：因为D为l上的点，且，则以AB为直径的圆与准线l相切于点D， 所以AB的中点的纵坐标为1，即AB的中点到x轴的距离为1，故B正确； 对于选项D：由选项B可知：， 所以直线AB的斜率为，故D正确． 故选：BCD. 二、填空题 2．(24-25高二上·辽宁沈阳东北育才学校双语校区·期中)已知抛物线上一点到焦点的距离比它到直线的距离小，则 . 【答案】 【来源】 辽宁省沈阳市东北育才学校双语校区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】根据抛物线的定义得出抛物线的准线方程，即可求出的值. 【详解】由题意可知，抛物线上一点到焦点的距离和它到直线的距离相等， 故抛物线的准线方程为，所以，，解得. 故答案为：. 三、解答题 3．(23-24高二上·辽宁抚顺六校·期中)已知F是抛物线C：的焦点，点P在C上，点Q满足，点Q的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)过点F的直线l与曲线E交于M，N两点，，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或． 【来源】辽宁省抚顺市六校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】（1）设出，根据得到，代入抛物线方程，求出答案； （2）设直线l的方程为，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据弦长列出方程，求出或，得到直线方程. 【详解】（1）由题意得， 设，则， 所以，，， 所以， 由P在抛物线C上可得，即， 则曲线E的方程为． （2）显然当直线l的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求， 设直线l的方程为，设，， 代入，消去x得， 则，，， 所以 ， 所以或． 所以直线l的方程为或． 地 城 考点06 直线和圆锥曲线位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】由点差法结合已知可得，进而求出，根据椭圆上一点到焦点的距离的最小值为求得结果. 【详解】设，则， 两式作差得，即，即①， 因为点恰好是的中点，所以， 又因为直线的斜率为， 将它们代入①式得，解得， 又，则， 所以椭圆上一点到焦点的距离的最小值为． 故选：B． 二、多选题 2．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)已知椭圆，分别为椭圆左右焦点，点，为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．存在点使得 B．的最大值为5 C．若直线与椭圆交于两点（均不同于点），则直线和直线的斜率之积为 D．△内切圆面积的最大值为 【答案】BD 【来源】辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】设 ，根据平面向量数量积的坐标表示可得，即可判断A；根据椭圆的定义可得（当三点共线时等号成立），即可判断B；利用点差法和两点表示斜率公式计算可得，即可判断C；由三角形面积公式可得，求出的最大值即可判断D. 【详解】如图，，则. A：，设 ，则，即， ， 所以不成立，故A错误； B：由椭圆的定义知，，得，， 所以， 当且仅当三点共线时等号成立，所以的最大值为5，故B正确； C：设，则，由在椭圆上， 得，两式相减得， 即，又， 所以，故C错误； D：设内切圆的半径为， 则， 要使内切圆的面积取到最大值，需取到最大值， 当点位于椭圆的上或下顶点时，取到最大值，此时， 有，解得，所以内切圆的面积为，故D正确. 故选：BD 3．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左､右顶点分别为，直线与直线及轴分别交于点，则（    ） A．的周长为10 B．直线的斜率之积为定值 C．当时，线段的中点到直线的距离为 D．若，则的取值范围是 【答案】BD 【来源】辽宁省普通高中部分学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】计算出的周长即可判断选项A；求出直线的斜率之积即可判断选项B；通过将直线与联立表示出线段的中点到直线的距离为，代入即可判断选项C；设，由共线表示出，由共线得，借助韦达定理化简出 ，代入即可判断出选项D. 【详解】如图，椭圆，长轴长，短轴长，焦距， 对于A，直线过椭圆的左焦点为右焦点， 则的周长为，故A错误； 对于B，设，则， 所以，同理， 所以直线的斜率之积为，故B正确； 对于C，将直线与联立得， 设，则，， 线段的中点到直线的距离为， 当时，，故C错误； 设，由共线得，即， 同理由共线得，所以， 而，则， 所以 ，又，则，故D正确. 故选：BD. 4．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，直线：与相交于，两点，点关于的对称点为，线段与交于点，四边形的周长为，，则（   ） A．的方程为 B．的面积为3 C． D．上的点到距离的最大值为 【答案】BD 【来源】辽宁省县级重点高中协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】根据焦点三角形的周长可得，结合可得，，即可求解椭圆方程，进而可判断A，根据为等腰直角三角形，即可判断B，联立两直线方程可得,通过两点斜率公式计算的斜率可判断C，利用三角换元，结合三角函数的性质即可求解D. 【详解】由于，互相平分，故四边形为平行四边形，且周长为，故， 又,故, 将代入椭圆方程可得，解得， 故椭圆方程为，故A错误， 由于平分，是的中点，故, 继而可得,且为等腰直角三角形， 由于，故,则,故B正确， 对于C,，则方程为，直线，联立可得 由于， , 故C错误， 设上任意一点，则其到直线的距离为，其中，故当时，此时距离最大，为，D正确， 故选：BD 三、填空题 5．(24-25高二上·辽宁辽南协作体名校联盟·期中)已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于两点（点在第一象限），为的中点，双曲线的离心率为，若点到四边形的四个顶点的距离之和最小，则点的坐标为 . 【答案】 【来源】辽宁省辽南协作体名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 【分析】根据离心率可得，进而根据点差法可得直线的方程为，利用三点共线即可求解当是和的交点时，取到最值. 【详解】根据离心率为，故， 设,则， 故, 故，故， 故的方程为，令，，故直线与轴的交点为， 故,当且仅当三点共线时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号， 故，为定值，当且仅当是和的交点，等号取到， 故, 故答案为： 四、解答题 6．(24-25高二上·辽宁大连王府高级中学·)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，抛物线：的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线在第一象限的一个公共点，且的面积为，其中为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的上顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点、，求证：直线DE过定点，并求出定点坐标； (3)在（2）的条件下，求的最大值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，定点； (3). 【来源】辽宁省大连市王府高级中学2024-2025学年高二上学期第二学段考试数学试题 【分析】（1）求出抛物线的焦点，借助三角形面积求出点的坐标，再利用椭圆定义求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及垂直关系的坐标表示计算推理即得. （3）由（2）的信息，利用弦长公式求出长及最大值，再借助勾股定理及基本不等式求出最大值. 【详解】（1）设，由，得焦点，则， 由的面积为，得，解得， 而点在抛物线上，则，即， 于是， 所以，， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，椭圆：的上顶点，显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，， 由消去整理得， ，由，得， 而，则， 即，整理得， 则， 化简得，而，解得， 所以直线：恒过定点. （3）由（2）知，， 则 ， 令，则， 当且仅当，即时取等号，而， 则， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 7．(24-25高二上·辽宁抚顺六校协作体·期中)在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为. (1)求的方程. (2)已知点在上，且位于第一象限，点，，设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值， 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】（1）设，结合已知由中点坐标公式得到，，再代入圆方程即可求出； （2）设，由斜率定义表示出两直线的斜率，得到，然后结合点在椭圆上满足，代入化简即可； 【详解】（1）    设，由过点作轴的垂线段，为垂足可得， 设线段的中点， 由中点坐标公式可得，， 又点在圆上，所以，即， 所以的方程为. （2）    是定值， 设， 则， 所以， 因为点在椭圆上，所以，即， 所以， 8．(24-25高二上·辽宁沈阳郊联体·期中)已知圆的圆心为，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若这4个点均在轨迹上，直线过点且满足，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）由已知可得，由椭圆的定义可求轨迹方程； （2）由题意可得，设，联立方程组，利用根与系数的关系，可得，利用换元法与基本不等式可求 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 由点在的垂直平分线上，得， 所以， 的轨迹是以为焦点的椭圆 ，所以轨迹的方程为； （2）由题意可得四边形是平行四边形由椭圆的对称性可知直线与交于点所以四边形ABCD的面积，由题意可知直线斜率不为0 设， 联立． 恒成立，， ， 令，则，． 因为在上单调递增，所以， 当，即时，四边形的面积取得最大值6． 因为四边形面积大于0，所以四边形面积的取值范围． 【点睛】关键点点睛：利用椭圆的定义求椭圆的标准方程，以及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 9．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)在平面直角坐标系中，，分别为双曲线的左､右焦点，已知，为双曲线上的两动点，若点的横坐标为3，则的长为. (1)求的方程； (2)设，，记的面积为，的面积为，若，求的取值范围； (3)已知点在轴上方，直线过双曲线的右焦点且与轴交于点，若的延长线与交于点，问是否存在轴上方的点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【来源】辽宁省普通高中部分学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】(1)由双曲线基本性质列式计算可得； (2)由面积公式，结合不等式计算求解可得； (3)根据向量坐标表示计算求解可得. 【详解】（1）设，由点为双曲线上的一点，得① 因为，所以，得②， 又③，由①②③得，， 所以双曲线的方程为； （2）设，因为，， 所以，. 由，得， 即，又，则，解得， 所以， 即的取值范围是； （3）不存在轴上方的点使得成立. 理由如下： 设，，，， ①当直线的斜率大于零时，由图象对称性，可知，关于轴对称， 则，其中，，又，， 所以，，， 则， 同理， 由，得， 因此，所以， 设直线，由消去， 得，且， 所以，故， 又，所以，， 由，得，所以此时这样的点不存在. ②当直线的斜率小于零时，由图象对称性，可知，关于轴对称， 则，又， 所以此时这样的点不存在. 综上，不存在满足条件的点. 10．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)0．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作两条直线，直线与交于两点. (1)若的面积为，求的方程； (2)若与交于两点，且的斜率是斜率的倍，求的最大值. 【答案】(1)或 (2) 【来源】辽宁省普通高中部分学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】（1）设，与椭圆方程联立，然后由求解； （2）由（1）得到，进而得到，然后建立求解. 【详解】（1）解：由题意知，易知的斜率不为， 设， 联立，得， 所以. 所以， 由， 解得， 所以的方程为或. （2）由（1）可知， 因为的斜率是斜率的倍，所以， 得. 所以， ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 【点睛】思路点睛：本题第二问先由（1）利用弦长公式得到，再利用两直线的斜率关系得到，建立的数学模型而得解. 11．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)1．已知圆：，圆：，动圆与圆，圆均外切，线段与圆交于点，线段与圆交于点. (1)求动圆的圆心的轨迹方程； (2)证明：； (3)过的直线与点的轨迹交于，两点，为坐标原点，试判断的形状，并说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)钝角三角形 【来源】辽宁省县级重点高中协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）根据外切的性质即可得，根据双曲线的定义即可求解， （2）根据，即可结合双曲线定义求解， （3）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据向量数量积的坐标运算求解. 【详解】（1）设圆的半径为，圆的半径分别为，圆心为. 由于动圆与圆，圆均外切，所以, 因此, 因此点的轨迹为以为焦点，以的双曲线的右支， 即，故， 故双曲线方程为    （2）由于, 所以 由（1）知，，故， （3）为钝角三角形，利用如下： 设直线方程为， 联立， 由于双曲线表示右支，所以 设,则， 由于双曲线表示右支，所以，故， , 由于，所以，故， 因此，故为钝角，故为钝角三角形.    【点睛】关键点点睛：根据判断为钝角. 12．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)2．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为的上顶点，为的右顶点，，为直角三角形. (1)求的方程； (2)若直线：交于，两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省县级重点高中协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）根据，且，即可求解， （2）联立直线与椭圆方程可得韦达定理，即可根据面积公式得表达式，结合对勾函数的单调性即可求解最值. 【详解】（1）由题意可知：，且， 结合， 解得， 故椭圆的方程为， （2）联立方程， 设,则， 又直线恒过点，且点在椭圆内， 故 ， 令则， 故， 由于在单调递增，故， 故， 因此，故最大值为，此时， 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $