第五章 第12周 一元一次方程的应用&问题解决策略：直观分析-【一本】2025-2026学年新教材七年级数学上册周末小测卷（北师大版2024）

一初中数学周末小测卷七年级上册BS版 第 12周 一元一次方程的应用&问题解决策略：直观分析 ©时间：45分钟 8分值：100分 8得分： ☑答案：P55 基础测·教材变式 弥 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.新考法数学文化《孙子算经》中有这样一道题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车 n 䃼 各几何？”其大意是：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人共乘一车，最 终剩余9人无车可乘问：共有多少个人？多少辆车？设共有x辆车，则所列方程为 () A5+2=29 B.3(x-2)=2x+9 C号-2=+9 2 D.3(x-2)=2x-9 2.一个长方形的周长是40cm,若将长减少8cm,宽增加2cm,长方形就变成了正方形，则正方形的边 长为 A.9 cm B.8 cm C.7 cm D.6 cm 3回易错题同学们听过《乌鸦喝水》的故事吧！如图，一只乌鸦口渴了，它发现不远处有两个圆柱形水 製 瓶，两个水瓶里的水是同等体积，它稳稳地停在水瓶口处准备痛快地喝水了.根据图中给出的信息， 封 可直接列出方程 AxX(x=xX()'×(x-5) BπX(8)x=πX()×(z+5) 5 cm cm x cm C.πX82x=πX62X(x十5) cm 6 cm D.πX82x=πX62X5 4.一艘轮船往返A,B两港口之间，逆水航行需要3h,顺水航行需要2h,水速是3km/h,则轮船在静 水中的速度是 () A.18 km/h B.15 km/h C.12 km/h D.20 km/h 线 5.程大位所编著的《直指算法统宗》中有这样一道题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分 一个，大、小和尚各几丁.其大意是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人 分1个，那么正好分完，问大、小和尚各有多少人，则 () A.大和尚有25人，小和尚有75人 B.大和尚有75人，小和尚有25人 C.大和尚有50人，小和尚有50人 D.大、小和尚各有100人 二、填空题（每小题3分，共12分） 6.某校教师举行茶话会，若每桌坐10人，则恰好空出一张桌子；若每桌坐8人，则有4人没有座位.设 该校准备的桌子数为x,则所列方程为 7.把一个半径为3cm的铁球熔化后，能铸造 个半径为1cm的小铁球（球的体积公式为V= 青R 8.如图，根据小新和妈妈的对话可知，n的值为 今年我的年龄是 我今年8岁. 你的4倍，n年后 我的年龄是你的 3倍。 小新妈妈 9.某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，该商场决定将这批服装按标价的八折销 售.若打折后每件服装仍能获利30%，则这批服装每件的标价为 元 三、解答题（共25分） 10.(8分)如图，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为3cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去 一个宽为4cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，求原正方形的面积， 3 cm 4cm王 11.(8分)已知A,B两地相距420km,一辆慢车从A地出发，每小时行驶60km,一辆快车从B地出 发，每小时行驶90km.若慢车出发1h后，快车沿射线BA的方向从B地出发，两车同向而行，问： 快车出发几小时后追上慢车？ 12.(9分)我国古代名著《增删算法统宗》中有这样一道题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六 竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿. 每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完.请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数 。31。 一初中数学周末小测卷|七年级上册BS版 能力测·迁移运用 一、选择题（每小题3分，共9分） 13.如图，一个长方形的周长为26cm,如果这个长方形的长减少4cm,宽增加3cm,就可以围成一个 正方形，那么这个长方形的长和宽分别为 () 增加3cm王 减少 4cm A.11 cm,2 cm B.10 cm,3 cm C.8 cm,5 cm D.7 cm,6 cm 14.□易错题某商场为换季大清仓，以每件120元的价格出售两件衬衫，其中一件盈利20%，另一件亏 损20%，那么在这次买卖中该商场 () A.不亏不赚 B.亏了10元 C.赚了10元 D.赚了20元 15.易错题据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如 图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如，图中第2根上的一个绳结表示5 个，第3根上的一个绳结表示25个)，用来记录采集到的野果的个数.若这位老者一共采集到42个 野果，则在第2根绳子上的打结数是 第3根第2根第1根 A.5 B.4 C.3 D.2 二、填空题（每小题3分，共6分） 16.新考法数学文化用绳子量井深，把绳子折3折来量，井外余绳子4m;把绳子折4折来量，井外余绳 子1m,则这口井深 m. 17.甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400m,乙每秒跑2m,甲每秒跑3m,现在 甲、乙两人在跑道上从相距16m处同时同向出发，经过 s后两人首次相遇， 三、解答题（共33分） 18.(9分)《九章算术》是我国古代的数学专著，此专著中有这样一道题：“今有共买羊，人出五，不足四 十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”这道题的大意是：今有若干人共买一头羊，若每人出 5钱，则相差45钱；若每人出7钱，则相差3钱.求买羊的人数和这头羊的价格 。32。 19.(12分)某家超市正在开展促销活动，促销方案如下表： 商品原价 优惠方案 不超过500元 不打折 超过500元但不超过1000元 全部打八折 超过1000元 全部打七五折 若王老师在此次促销活动中付款780元，则他购买的商品原价是多少元？ 弥 书 思维测·拓展创新 封 20.回易错题(12分)如图，实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱体容器（容器足够高），它们的 底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端距容器底 5cm),现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm,若每分钟同时向乙和丙中注人相同量的水，开 始注水1mi,乙的水位上升cm,求：开始注水多久后，甲与乙的水位高度之差为0.5cm? 甲乙丙 线一初中数学周未小测卷」七年级上册BS版 解得x=33。…7分 答：该林场原来的林木总蓄积是33万立方米.…8分 12解：-2x2+x-3-(-2xr+2x-5） -2x+7x-3t2-是x+5 2x+2, 即用手掌捂住的多项式为2x十2.………3分 (2②)解方程3x-5=-x十3，得x=2,则-2x+2= X2+2=1.…6分 1 (3)因为用手掌括住的多项式的值与多项式号x十1的 值互为相反数，所以-2x+2-2x十1=0，解得x=3。 …9分 13.A根据题意可知，2m一3=1，所以2m一3=士1，解 得m=2或m=1.因为m一2≠0，所以m≠2，所以m=1. 易错警示 在一元一次方程中未知数的系数不能为零，这一条 件在做填空题时容易遗漏，导致答案错误， 14.C设△的质量为z.根据甲天平可得，m十n=n十2z①， 根据乙天平可得，m十z=m十2n②.根据等式的基本性 质1，将①的两边同时减去n,得m=2z③，根据等式的 基本性质1，将②的两边同时减去m,得之=2n④，根据 等式的基本性质2，将④的两边同时乘2，得2z=4n,所 以m=4n. 15.A当x>0时，x>-x,所以-x=3x十4，解得x=-1 (不符合题意，舍去)； 当x<0时，x<-x,所以x=3x十4，解得x=一2.综 上，方程min{x,一x}=3x十4的解为x=一2. 6.6或4由x一3x=3,得z3因为z是正整数 是整数，所以x=1或x=3,所以整数a的值是6或4. 易错警示 运用分类讨论的思想解决一元一次方程的整数解问 题时，要考虑全面，避免遗漏答案。 17.1当x=2时，N=3x-a=4,所以3×2-a=4,解得 a=2.当x=c时，M=2x-1=2c-1=b,N=3x-a 3c-2=b,所以2c-1=3c-2,解得c=1. 18.解：解3(2-x)=2x十1，得x=1.…4分 因为关于x的方程。+”。3-x和32-)=2z十 1的解相同， 所ym1+m。=,…6分 3 獬得m=3,…8分 即的值为3.…9分 19.解：设每块条形石的质量是xkg. 由题意，得20x十3×60=20x十x十60，…4分 獬得x=120,…8分 所以大象的质量为20×120+3×60=2580(kg).… …11分 答：每块条形石的质量是120kg,大象的质量是2580kg. …12分 20.解：(1)解方程2x=4,得x=2. 把x=2代入mx=m+1,得2m=m十1， 解得m=1.…3分 2)解方程2x=a十1，得x=生解方程3近a=一2， 得x=a2 3· 因为关于x的两个方程2x=a十1与3x-a=一2是同 解方程， 所u士-8g, 3 解得a=一7.… …7分 (3)解方程5r+号 (m十1)=mm,得x= 3mm-34m-34 15 3m+1D,得 1 解方程2x一mn= 3mn-19m-19 x= 6 因为关于x的两个方程5x十m+1D=m与2红 当王老师购买的商品原价超过1000元时，设他购买的 2n=2(m十1)是同解方程， 商品原价是y元. 所以3mn-34m-34_3mn-19m-19 15 6 …9分 依题意，得0.75y=780,…8分 所以mm-3m-3=0, 解得y=1040.…10分 综上所述，他购买的商品原价是975元或1040元， 所以mm=3(m十1)，所以n=3+3 m ……12分 因为m,n是正整数， 20.解：因为甲、乙、丙三个圆柱体的底面半径之比为 所以m=3,n=4或m=1,n=6.…12分 1：2:1, 第②周一元一次方程的应用& 所以它们的底面积之比为1：4：1， 所以注入相同的水量时，水面高度之比为4：1：4. 问题解决策略：直观分析 因为注水1min,乙的水位上升6cm, 5 1.B2.C3.B4.B5.A 6.10(x-1)=8x+47.278.49.325 所以注水1mi,丙的水位上升号×4-号(cm）.… 10.解：设原正方形的边长为xcm. …3分 由题意，得3x=4(x一3)，…4分 设开始注水tmin后，甲与乙的水位高度之差为0.5cm. 獬得x=12,…7分 当乙的水位低于甲的水位时， 所以原正方形的面积为12×12=144(cm2).…8分 3 …5分 11.解：设快车出发xh后追上慢车. 1名-0.5，解得4=号 根据题意，得90x=60(x十1)十420，…4分 当甲的水位低于乙的水位且甲的水位不变时， 獬得x=16.… …7分 名4-1=05，解得1=号 9 答：快车出发16h后追上慢车.…8分 因为9×号 =6>5, 12.解：设牧童人数为x. 根据题意，得6x十14=8x,…4分 所以此时丙容器已向乙容器溢水 獬得x=7.…8分 因为5÷9-2m,吾×是-(m, 答：牧童人数为7.…9分 13.B14.B 即经过号min丙容器中的水到达管子底部，乙的水位上 15.C16.817.16或384 开c 18.解：设买羊的人数为x 根据题意，得5x十45=7x十3，…4分 所以+2xx(）-1=0.5解得4-器 … 獬得x=21,…6分 …8分 所以7x十3=150.…8分 当甲的水位低于乙的水位，乙的水位到达管子底部，甲 答：买羊的人数为21，这头羊的价格为150钱.…9分 的水位上升时， 19.解：分两种情况讨论： 当王老师购买的商品原价超过500元但不超过1000元 因为乙的水位到达管子底部的时间为+(5一-) 时，设他购买的商品原价是x元 6÷2 1 4(min), 依题意，得0.8x=780,…3分 解得x=975.…5分 所以5-1-2x×(-》 =0.5, 。55。 一初中数学周末小测卷|七年级上册BS版 解得t=171 由题意，得2m一1=3m,…6分 40 …11分 獬得m=一1.… 8分 综上所述，开始注水号min,28mm,0 33 171 min后，甲与乙 21.解：设分配x名工人加工杯盖，则分配(19一x)名工人加 工杯身. 的水位高度之差为0.5cm.…12分 根据题意，得16x=22(19一x),…4分 易借警示 在解决较复杂的应用题时，需运用分类讨论的思想 獬得x=11,…5分 对每种情况逐一列方程进行求解， 所以19-x=8.…7分 答：分配11名工人加工杯盖，8名工人加工杯身，才能恰 第团章 综合检测·培优卷 好使每天加工的杯盖和杯身刚好配套.…8分 1.B2.A3.D4.C5.A6.C 解题大招 解决配套问题的方法 7.C8.A9.B10.C11.-112.7.5 在配套问题中，若m件甲产品与n件乙产品配套，则 13.x=-314.515.1616.3 满足的等量关系为甲产品的数量Xn=乙产品的数 17.解：(1)移项，得7x十3x=16-6. 量X,可根据该等量关系列出方程求解 合并同类项，得10x=10. 22.解：(1)根据题意，得(-2)⊕3=(-2)-2X3=-8. 方程的两边都除以10，得x=1.…4分 …4分 (2)去分母，得3(3一x)一2(x一8)=6. (2)由题意，得x-3-2(x十1)=一1.…6分 去括号，得9-3x-2.x十16=6. 去括号，得x一3一2x一2=一1.…8分 移项，得-3x-2x=6-16-9. 移项、合并同类项，得一x=4.…9分 合并同类项，得-5x=一19. 方程的两边都除以一1，得x=一4.…10分 方程的两边都除以一5，得x=19 23.解：(1)设奉节到宜昌的水上距离为xkm. …8分 3分 18.解：将x=-3代入原方程，得2-（■+3）=一2， 根据题意，得_350一工二1， ...... …2分 解得x=210. 所以■十3=4，… …5分 答：奉节到宜昌的水上距离为210km.…5分 所以■=1，…7分 (2)不能。 即被墨迹盖住的数字是1.…8分 理由，210+350-21015+14=29(h).…8分 10 19.解：(1)设前8场比赛中胜了x场，则平了(8-1一x)场. 因为29>24，所以李白不能在一日之内从白帝城到达江 根据题意，得3x+1×(8-1-x)=17, 陵.…10分 解得x=5. 24.解：(1)设容器内B型号的钢球的个数为x. 答：前8场比赛中胜了5场. …4分 根据题意，得8X1十2x=60一30，…3分 (2)这支球队前8场比赛得了17分，在后面的6场比赛 解得x=11. 中如果全胜，那么将获得最高分，最高得17十3×6= 答：容器内B型号的钢球的个数为11.…5分 17+18=35(分).…8分 (2)当容器内的钢球为A型号的钢球和B型号的钢 20.解：解方程4x-2m=3x-1,得x=2-1.…2分 球时， 解方程x=2x-3m,得x=3m.…4分 设此时容器内有A型号的钢球个，则有B型号的钢 。56。 球(10一m)个.根据题意，得m+2(10一m)=56-30, 解得m=一6（不合题意，舍去）；…8分 当容器内的钢球为B型号的钢球和C型号的钢球时， 设此时容器内有B型号的钢球n个，则有C型号的钢球 (10-n)个. 根据题意，得2n十3(10-n)=56-30, 獬得n=4,所以10一n=6.…11分 答：此时容器内有B型号的钢球4个和C型号的钢球 6个… …12分 第六章数据的收集与整理 第③周丰富的数据世界&数据的收集 1.B2.C3.D4.D5.D6.定量 7.③8.抽样调查9.100 10.解：(1)同学的身高情况.…2分 (2)所有同学.……4分 (3)同学的身高.…6分 (4)全面调查. …8分 11解：(1)总体是该校七年级全体学生本学年的考试成绩， ………2分 个体是该校七年级每一名学生本学年的考试成绩，… …4分 样本是抽取的这20名学生本学年的考试成绩。…6分 (2)不具有代表性.理由：因为选取的样本是从1个班抽 取的，具有片面性，所以不具有代表性。 …8分 12.解：(1)小明的抽样不合理.理由：全年级学生被抽到的机 会不相等，样本不具有代表性，所以小明的抽样不合理. …3分 小刚的抽样不合理理由：样本容量太小，样本不具有广 泛性，所以小刚的抽样不合理。…6分 (2)因为样本容量为100，一共有25个班级，所以每个班 级抽取的学生人数为100÷25=4，所以数学兴趣小组可 以从25个班各随机抽取学号为9,19,29,39的4名同学 进行调查（答案不唯一）…9分 13.D14.C15.A16.1017.36 18.解：(1)篮球…3分 (2)围棋…6分 (3)由于参加篮球组的人数最多，所以建议学校开展篮 球课外小组训练（答案不唯一，合理即可）…9分 19.解：(1)小亮的调查是抽样调查.…2分 (2)调查的总体是该中学七年级10个班的学生一周中收 看电视节目所用的时间，… …4分 个体是每名学生一周中收看电视节目所用的时间， … …6分 样本容量是60。… …8分 (3)因为抽样太片面，所以调查结果不能反映该中学七 年级学生平均一周中收看电视节目所用的时间.（答案不 唯一，合理即可)…12分 20.解：(1)①由题图可以发现，横、纵坐标相同的点只有(90， 90),故答案为90.… …4分 ②第一次活动成绩低于80分，第二次活动成绩高于90 分的情况只有第一次低于75分，第二次高于95分的点， 如图，“○”圈出的就是代表乙的点. 第二次活动成绩/分 100 95% 90 80 75 70 0707580859095100第一次活动成绩/分 ………8分 (2)由题图可以发现，两次活动平均成绩在70≤≤x<75 范围附近的有6个点，所以A错误，两次活动平均成绩 在75≤x<80范围附近的有1个点，所以C错误.故答案 为B.…12分 第④周数据的表示 1.C2.D3.C4.D5.C6.折线 7.16%8.89.0.910.54 11.54% 12.解：(1)360°×(1-40%-31%-16%-8%)=18°， 答：扇形统计图中“阅读”所对应扇形的圆心角度数为18° …2分