精品解析：福建省福州市第八中学2025-2026学年九年级上学期开门考数学试题

福州八中2025-2026学年九年级第一次适应性练习 数学 试卷 (命题人：陈少清 校对：余慧 审核人：陈少清) 班级 姓名 座号 成绩 ． 一．选择题(每题4分，共10小题，共40分) 1. 中国航天事业取得了举世瞩目的成就，2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，在“东方红一号”发射55载之际开启第20次神舟问天之旅．下列航天图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某点旋转后，能与原来的图形完全重合，这个图形就是中心对称图形，解决本题的关键就是根据中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：把图形绕任何一点旋转都不能与原图形重合，该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：把图形绕任何一点旋转都不能与原图形重合，该图形不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把图形绕任何一点旋转都不能与原图形重合，该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：如下图所示，把图形绕点旋转能与原图形重合，该图形是中心对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 2. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程整理后，配方得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程配方得：x2+6x+5+4-5=0，即（x+3）2=5． 故选：C． 【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 3. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】A 【解析】 【分析】主要考查了函数图象的平移，抛物线的顶点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据抛物线顶点的变换规律得到正确的选项 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是， 所以将顶点向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到顶点， 即将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数的图象． 故选：A． 4. 关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象与轴没有交点 D. 顶点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先将解析式化为顶点式，求出抛物线的对称轴和顶点坐标，结合抛物线的开口方向和顶点坐标可得出抛物线的增减性以及抛物线与轴的交点情况，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，故A选项和D选项不符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下， ∵顶点坐标为， ∴图象与轴有交点，故C选项符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故B选项不符合题意． 故选：C． 5. 如图，将绕点顺时针旋转变为，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质逐项分析即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，，故正确； 而与不一定平行，故D不一定正确， 故选：D． 6. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数、二次函数图象综合判断，由选项中图象可判断a，b符号不同，分类讨论求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， 当抛物线对称轴在y轴右侧时，， ，符号不同， 当，时，抛物线开口向上，直线上升，直线与轴交点在轴下方， 当，时，抛物线开口向下，直线下降，直线与轴交点在轴上方， 故选：B． 7. 根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（ ） 3 4 5 0.5 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 利用和所对应的函数值可判断抛物线与x轴的一个交点在和之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可判断关于x的方程的一个解x的范围． 【详解】解：∵时，，即； 时，，即， ∴抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴关于x的方程的一个解x的范围是． 故选：D． 8. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 9. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 10. 若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3－m,n)、D(, y2)、E(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是( ). A. y1< y2< y3 B. y1 < y3< y2 C. y3< y2< y1 D. y2< y3< y1 【答案】D 【解析】 【分析】由点A（m，n）、C（3−m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y2< y3< y1； 【详解】解答：解：∵经过A（m，n）、C（3−m，n）， ∴二次函数的对称轴x＝， ∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近， ∵|a|＞0， ∴y2< y3< y1； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键． 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11. 在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征，即横、纵坐标都互为相反数来求解． 【详解】解：点，关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 所以对称点是． 故答案为：． 12. 如图， 在中，， ，将绕点C顺时针旋转后得到， 使得点A恰好落在边上，则旋转的角度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，掌握以上性质是解题的关键．证明，，求出，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：，， ， ， 在中，， ， ， ∴在中，， 是旋转的角度为， 故答案为：． 13. 二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线， 则时，该函数的自变量x的取值范围是____________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数与不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．抛物线对称轴为直线， 由图象可知二次函数过和，结合图像数形结合即可解决题目． 【详解】解：∵对称轴为直线 由图象知，二次函数过和， ∵抛物线开口向下， ∴当时，或． 故答案为：或． 14. 福州三坊七巷是全国著名的A级景区，随着福州市的知名度提高，从2022年到2024年五一节接待旅客逐年增长，其中2022年五一节接待旅客约27.87万人次，2024年五一节接待旅客约87.08万人次，设旅客接待人数的年平均增长率为x，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设旅客接待人数的年平均增长率为x，根据两年的人数列出方程即可． 【详解】解：设旅客接待人数的年平均增长率为x，根据题意得， ， 故答案为：． 15. 我国三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法．例如求方程的正数解的步骤为： （1）将方程变形为； （2）构造如图1所示的大正方形，其面积是，其中四个全等的矩形面积分别为，中间的小正方形面积为； （3）大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即； （4）由此可得方程：，则方程的正数解为． 根据赵爽记载的方法，在图2中的三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）①②③中，能够得到方程的正数解的构图是______________（只填序号）． 【答案】③ 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、矩形面积的计算、正方形面积的计算等知识，正确理解求一元二次方程正数解的几何解法是解题的关键．按照例题正数解的步骤：方程可变形为，即可得出方程，则方程的正数解为，再结合图形判断即可． 【详解】方程可变形为， 构造的大正方形，其面积是， 其中四个全等的矩形面积分别为，中间的小正方形面积为； 大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即； 由此可得方程：， 则方程的正数解为， 能够得到方程的正数解的构图是③， 故答案为：③． 16. 如图，菱形的边长为8，， E是边 的中点， F是边上的一个动点， 将线段绕着点 E逆时针旋转得到， 连接，， 则的最小值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质与全等三角形，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，解直角三角形的综合运用，将线段的长度的最小转换到三角形中，根据三角形边长的关系求解是解题的关键． 取的中点N，连接、、、，证明，连接构造，在，证明，求出的长度即可，过点E作的延长线于H，在中，由菱形的性质可知，由此即可求出，的长度，在中即可求出的长，由此可以求出的最小值． 【详解】解：取的中点N，连接、、、，如图， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E是中点，点N是的中点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，则， 在中，， 过点E作的延长线于H，如图所示， 在中，， 由菱形可知， ∴，则，且， ∴， 则，， 在中，， ∴， 则的最小值为． 故答案为：． 三、解答题(本大题共9小题，共86分) 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解可得解； （2）利用因式分解法求解可得解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ∴，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上，坐标分别为，， （1）画出△ABC关于原点O对称的； （2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到，写出点坐标 （3）在x轴上找一点P，使的和最小，求出P点坐标 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求，． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称作图，旋转变换作图，轴对称作图，求一次函数解析式． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）作点B关于轴的对称点，再连接与轴的交点即为所求点P．再利用一次函数解析式求点坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 作点B关于轴的对称点，再连接与轴的交点即为所求点P， 由题意可得，， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 令得， ∴． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别是，，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵方程，， ∴， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系定理是解题的关键． （1）证明方程的根的判别式即可． （2）根据根与系数关系定理，得，结合计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵的两个实数根分别是，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 20. 如图，x轴上依次有六个点，且从点处向右上方沿抛物线．发出一个带光的点． （1）求抛物线顶点坐标； 并在图中补画出轴； （2）若抛物线上点，若，直接写出的取值范围为 ． 【答案】（1）， 补充图形如下 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合，二次函数的性质，顶点坐标的求法，抛物线上点的坐标的取值范围．求出顶点坐标，补全图形是解答关键． （1）将化为顶点式求出顶点坐标，再补全图形； （2）先求出时，，当时，，再结合抛物线的顶点坐标，进而得到取值范围． 【小问1详解】 解：， 抛物线顶点坐标是； 【小问2详解】 解：抛物线上点，若， ， 时，，当时，． 抛物线顶点坐标是， ． 故答案为：． 21. 如图，在中，， （1）尺规作图： 将绕点B按顺时针方向旋转得到，使得点C的对应点E恰好落在线段上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接的平分线交于点F，连接．求的长． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质； （1）先以为圆心，为半径画弧与的交点即为，再分别以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交点即为； （2）由（1）可得，，，，即可求出，再根据的平分线结合等腰三角形的三线合一得到，最后根据斜边中线得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， 由（1）可得，，，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点F，， ∴， ∴． 22. 小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … （1）求与的函数关系式； （2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ （3）当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【答案】（1） （2）网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【小问1详解】 解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； 【小问3详解】 解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：， 故答案为：． 23. 已知整数a，b，m，n满足． （1）求证：为非负数； （2）若m，n为两个连续的正整数，且，求证：c一定是奇数． 【答案】（1） 证明：因为， 所以， 所以 = = ， 因为， 所以， 所以为非负数． （2） 证明：因为， 且m，n为两个连续的正整数，且， 所以，， 所以 = = = ， 因为m，n为两个连续的正整数， 所以是奇数， 所以c一定是奇数． 【解析】 【分析】（1）因为，所以，将这个式子代入到中，可得原式，据此证明以为非负数； （2）因为m，n为两个连续的正整数，且，所以，，所以，因为m，n为两个连续的正整数，所以是奇数，据此得证． 本题考查了整式的混合运算、非负数的性质：偶次方、非负数的性质：算术平方根，解决本题的关键是先将要计算的式子进行化简． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，已知抛物线的顶点为，且通过点． （1）求顶点的坐标； （2）点为直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值； （3）在抛物线上存在一点，使得，求点坐标． 【答案】（1） （2）面积的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求解解析式，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，顶点式的运用，学会数形结合的解题方法，即可． （1）把点代入抛物线，即可； （2）设直线的解析式为：，求出解析式；当直线向上平移，与抛物线仅一个交点时，面积有最大值，且平移的解析式为，求出点的坐标，再根据，即可． （3）过点作交于点，过点作轴，分别过点，作于点，于点；得到，根据全等三角形的判定和性质，则，求出，，得到点的坐标，设直线的解析式为：，求出解析式，联立抛物线，延长交于点，过点作交于点，且轴，同理得到，求出，，得到点的坐标，设直线的解析式为：，求出解析式，联立抛物线，即可． 【小问1详解】 ∵抛物线的顶点为，且通过点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴顶点． 【小问2详解】 ∵，， ∴设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当直线向上平移，与抛物线仅一个公共点时，面积有最大值，且平移的解析式为， ∴， 整理得：， ∴， 解得：， ∴平移直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴点， 设直线与轴的交点为点， ∴， ∴， ∴ ∴． 【小问3详解】 过点作交于点，过点作轴，分别过点，作于点，于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∴点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵点在直线上， ∴直线的解析式为：， 联立抛物线， ∴， 解得：（舍去），， ∴点； 延长交于点，过点作交于点，且轴 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴点 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵点在直线上 ∴直线的解析式为：， ∴联立抛物线， ∴， 解得：（舍去），， ∴点； 综上所述，点或． 25. 如图，正方形中，点是平面内一点，以为直角边构建等腰直角三角形，且， ， 连接，交于点， 连接． （1）请探究与数量和位置的关系，并说明理由； （2）已知， 将绕点旋转一周， ①当 ，求的长 ②在旋转过程中， 当时， 且，请直接写出线段的长． 【答案】（1），，理由见解析 （2）① ；② 或 【解析】 【分析】（）证明，可得，，进而由三角形内角和定理得到，即可求证； （）①在上取，过点作于，可证，得到，，进而得到是等腰直角三角形，即得，设，则，在中，利用勾股定理可得，得到，再根据勾股定理即可求解；②分当三点共线时，和当重合时，两种情况，分别画出图形，利用勾股定理解答即可求解． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确画出图形并作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：，，理由如下： 如图，设相交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 即， ∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：①如图，在上取，过点作于，则， 由（）知，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴； ②如图，当时，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴三点共线， 又∵点在上， ∴点重合， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴； 如图，当重合时，，连接， ∴， ∴， ∴当重合时， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴； 综上，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州八中2025-2026学年九年级第一次适应性练习 数学 试卷 (命题人：陈少清 校对：余慧 审核人：陈少清) 班级 姓名 座号 成绩 ． 一．选择题(每题4分，共10小题，共40分) 1. 中国航天事业取得了举世瞩目的成就，2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，在“东方红一号”发射55载之际开启第20次神舟问天之旅．下列航天图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 3. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 4. 关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象与轴没有交点 D. 顶点坐标为 5. 如图，将绕点顺时针旋转变为，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) A. B. C. D. 7. 根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（ ） 3 4 5 0.5 A. B. C. D. 8. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10. 若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3－m,n)、D(, y2)、E(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是( ). A. y1< y2< y3 B. y1 < y3< y2 C. y3< y2< y1 D. y2< y3< y1 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11. 在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点是_____________ 12. 如图， 在中，， ，将绕点C顺时针旋转后得到， 使得点A恰好落在边上，则旋转的角度为_________． 13. 二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线， 则时，该函数的自变量x的取值范围是____________ 14. 福州三坊七巷是全国著名的A级景区，随着福州市的知名度提高，从2022年到2024年五一节接待旅客逐年增长，其中2022年五一节接待旅客约27.87万人次，2024年五一节接待旅客约87.08万人次，设旅客接待人数的年平均增长率为x，则可列方程为______． 15. 我国三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法．例如求方程的正数解的步骤为： （1）将方程变形为； （2）构造如图1所示的大正方形，其面积是，其中四个全等的矩形面积分别为，中间的小正方形面积为； （3）大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即； （4）由此可得方程：，则方程的正数解为． 根据赵爽记载的方法，在图2中的三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）①②③中，能够得到方程的正数解的构图是______________（只填序号）． 16. 如图，菱形的边长为8，， E是边 的中点， F是边上的一个动点， 将线段绕着点 E逆时针旋转得到， 连接，， 则的最小值是_____________． 三、解答题(本大题共9小题，共86分) 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上，坐标分别为，， （1）画出△ABC关于原点O对称的； （2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到，写出点坐标 （3）在x轴上找一点P，使的和最小，求出P点坐标 19. 已知关于x的方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别是，，且，求m的值． 20. 如图，x轴上依次有六个点，且从点处向右上方沿抛物线．发出一个带光的点． （1）求抛物线顶点坐标； 并在图中补画出轴； （2）若抛物线上点，若，直接写出的取值范围为 ． 21. 如图，在中，， （1）尺规作图： 将绕点B按顺时针方向旋转得到，使得点C的对应点E恰好落在线段上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接的平分线交于点F，连接．求的长． 22. 小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … （1）求与的函数关系式； （2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ （3）当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 23. 已知整数a，b，m，n满足． （1）求证：为非负数； （2）若m，n为两个连续的正整数，且，求证：c一定是奇数． 24. 如图，已知抛物线的顶点为，且通过点． （1）求顶点的坐标； （2）点为直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值； （3）在抛物线上存在一点，使得，求点坐标． 25. 如图，正方形中，点是平面内一点，以为直角边构建等腰直角三角形，且， ， 连接，交于点， 连接． （1）请探究与数量和位置的关系，并说明理由； （2）已知， 将绕点旋转一周， ①当 ，求的长 ②在旋转过程中， 当时， 且，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $