2.4 有理数的乘方（7题型+针对训练）2025-2026学年七年级数学上册【北师大版2024】

第二章 有理数及其运算 2.4 有理数的乘方 命题1：乘方的概念理解……………………………………………………………1 命题2：有理数的乘方运算…………………………………………………………2 命题3：有理数乘方的逆运算………………………………………………………4 命题4：乘方运算中的符号规律……………………………………………………7 命题5：乘方的应用…………………………………………………………………9 命题6：用科学记数法表示绝对值大于1的数……………………………………10 命题7：将科学记数法表示的数写回原数…………………………………………12 针 对 训 练…………………………………………………………………………14 命题1：乘方的概念理解 1．表示的意义是（    ） A．5个相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 【答案】B 【分析】本题考查乘方的定义，掌握定义是解决问题的关键．利用乘方的定义判断即可． 【详解】解：是5个2相乘的相反数． 故选：B ． 2．对于式子，下列说法不正确的是（    ） A．指数是3 B．底数是 C．幂为8 D．表示3个相乘的积 【答案】C 【详解】解：A：中，指数是3，故A说法正确，不符合题意； B：中，底数是，故B说法正确，不符合题意； C：，故幂为，故C说法错误，符合题意； D：，故表示3个相乘的积，故D说法正确，不符合题意； 故选：C． 3．“”可以写成（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的定义，利用乘方的定义解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 4．的底数是 ，指数是 ． 【答案】 3 【详解】解：的底数是，指数是3． 故答案为：，3． 5．把写成乘方的形式为 ，把写成乘方的形式为 ． 【答案】 【分析】根据乘方的定义，个相同因数相乘可表示为，分别分析两个式子中相同因数及个数来转化为乘方形式．本题主要考查了乘方的定义，熟练掌握乘方是个相同因数相乘的简便表示形式是解题的关键． 【详解】解：， ． 故答案为：， ． 命题2：有理数的乘方运算 6．计算：（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 故选：A． 7．计算的结果是（    ） A．10 B． C．5 D．25 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的含义是解答本题的关键． 利用乘方的意义计算即可． 【详解】解： 故选：D． 8．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算．利用乘方的运算法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C不符合题意； D．，故D符合题意； 故选：D． 9．计算： ． 【答案】9 【详解】解：； 故答案为：9． 10． 的平方等于9，立方得的数是 ，立方等于本身的数是 ． 【答案】 0和 【分析】本题考查了有理数的乘方，解题关键是理解有理数的乘方． 利用有理数的乘方即可求解． 【详解】解：的平方等于9，立方得的数是，立方等于本身的数是0和， 故答案为：，，0和． 11．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查负数的指数运算，需注意括号的位置对结果符号的影响．解题步骤分为：1.判断底数是否包含负号；2.根据指数奇偶性确定符号；3.计算数值部分．根据运算步骤计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3） ． 12．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，解题关键在于计算时符号的确定与理解乘方的意义，从而简便运算. （1）先算乘方，再算乘法. （2）由乘方的意义拆分第一项，再简便运算即可. 【详解】（1）解： （2）解： 命题3：有理数乘方的逆运算 13．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 14．，由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【答案】B 【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解． 【详解】解： ＝1×8 ＝8 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键． 15．《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，弄懂题意并掌握乘方的运算法则是解答的关键． 【详解】解：根据题意，第一天后剩尺， 两天之后剩（尺）， 第三天后剩（尺）， … 第n天后剩（尺）， 第五天后这个“一尺之棰”还剩（尺）． 故选：D． 16．已知，则x＝ ． 【答案】3 【分析】本题考查有理数乘方运算，根据有理数乘方运算计算即可． 【详解】∵， ∴ 故答案为：3． 17．已知，且，则 ． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方的逆运用，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方的逆运用，熟练掌握有理数的乘方的逆运用是解题的关键． 18．已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 【答案】(1)3，2，1 (2)216 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，熟知乘方运算法则是正确解决本题的关键． （1）先根据，可得，即可求出n，a； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵，即，且a为正整数， ∴． 故答案为：3，2，1； （2）解：原式． 19．阅读计算： 阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4… 回答下列三个问题： (1)验证：（4×0.25）100＝　　；4100×0.25100＝　　． (2)通过上述验证，归纳得出：（ ）n＝　　；（ ）n＝　　． (3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014． 【答案】(1)1，1； (2)ab，anbn，abc，anbncn； (3)﹣0.125 【分析】（1）先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法． （2）根据有理数乘方的定义求出即可； （3）根据根据阅读材料可得（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125），再计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：（4×0.25）100＝1100＝1； 4100×0.25100＝1， 故答案为：1，1． （2）解：（ab）n＝anbn，（abc）n＝anbncn， 故答案为：ab，anbn，abc，anbncn． （3）解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125） ＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125） ＝（﹣1）2014×（﹣0.125） ＝1×（﹣0.125） ＝﹣0.125 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，主要考查学生的计算能力，理解阅读材料是解题的关键． 命题4： 乘方运算中的符号规律 20．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2020 【答案】B 【分析】根据负数的偶次方结果为正，从而可得答案． 【详解】解：， 故选B 【点睛】本题考查的是负数的乘方运算的符号确定，熟记负数的奇次方结果为负，负数的偶次方结果为正是解本题的关键． 21．在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，，0中，只有0是非负数． 故选：A． 22．任何一个有理数的偶次幂必是（　　） A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 【答案】D 【分析】根据乘方的性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何次幂都是0，从而可判断． 【详解】解：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何次幂都是0， 故任何一个有理数的偶数次幂必是非负数． 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方，正数与负数，有理数，解答的关键是对有理数的乘方的性质的掌握． 23． ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算．根据有理数的乘方运算法则计算，即可． 【详解】解：． 故答案为： 24． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法法则和符号处理是解题关键．运用同底数幂的乘法法则以及“奇负偶正”的符号处理方法运算即可． 【详解】解： 故答案为：． 命题5： 乘方的应用 25．2024年全市共接待国内游客约55510800人次，其中数据55510800可表示为（   ） A．55510.8万 B．5551.08万 C．555.108万 D．55.5108万 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，根据，1万解答即可得． 【详解】解：万， 故选：B． 26．在理想的实验环境下，某种细菌每过20分钟就能由1个分裂成2个．经过1个小时，这种细菌由1个分裂成（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，利用有理数的乘方法则列式计算即可． 【详解】解：∵某种细菌每过20分钟就能由1个分裂成2个， ∴经过1个小时，这种细菌分裂3次， ∴经过1个小时，这种细菌由1个分裂成个． 故选：D． 27．某种霉菌的繁殖速度是每天增加一倍，若经过15天霉菌能长满整个缸面，则长满半个缸面需要（    ） A．11天 B．12天 C．13天 D．14天 【答案】D 【详解】经过天后，长满整个缸面， 经过天后，长满半个缸面答， 故选D. 28．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（   ） A． B．2 C．1 D．44 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，定义运算，掌握用幂的意义推导定义运算是解题的关键． 根据，得出，根据，得出，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选： A． 29．若，则 ． 【答案】 【详解】 ， ，， ，， 将，代入中得： ， 故答案为：． 30．在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”，当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了 天 【答案】516 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意以及图形分析，根据满七进一求解是解题的关键． 【详解】解：绳结表示的数为， 故答案为：516； 命题6： 用科学记数法表示绝对值大于1的数 31．原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽原子钟的精度达到了万年误差不超过．数据万用科学记数法表示为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握“把一个大于的数表示成的形式，其中，是正整数”是解题的关键. 【详解】解：万 用科学记数法表示为 因此，万用科学记数法表示为， 故答案为：B. 32．2025年春晚红包互动活动中，融入了许多科技与文化元素．据统计，全球观众参与春晚红包互动总次数达120亿次，这些互动产生的数据量约为（字节），将产生的数据量用科学记数法表示为（    ）字节． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数；当原数绝对值小于1时，是负数．由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：因为， 所以用科学记数法表示为． 故选D． 33．年春节，电影《哪吒之魔童闹海》火爆世界，截至月底，该电影全球总票房已达到亿，跃居动画电影票房第一名．它以精湛制作、深刻主题打破中国影史纪录，成为国漫新里程碑．其中亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：将亿用科学记数法表示为． 故选：C． 34．截止年月日，哪吒之魔童闹海全球票房约亿，位居全球动画电影票房第一．将数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决． 【详解】解：亿， ， 故选：C． 35．截止年年底某市有城镇污水处理厂座，总规模为日处理污水万吨．数据“”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决． 【详解】解：， 故答案为：． 36．染色体是细胞核中遗传物质的载体，由于易被碱性染料染成深色而命名．据报道，号染色体共有超过个碱基对，将用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决． 【详解】解：， 故答案为：． 命题7： 将科学记数法表示的数写回原数 37．据统计，2025年吉林省某生态保护区越冬候鸟达只，表示的原数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数，解决本题的关键是要熟练掌握将科学记数法表示的数还原原数的方法． 把的小数点向右移动4位即可表示出原数． 【详解】解：， 故选C． 38．中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一．若每人每天浪费水L，那么万人每天浪费的水就有L，那么的原数为（　　） A．3200000 B．320000 C．32000 D．3200 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，理解科学记数法是正确解答的前提． 的原数就是，计算出结果即可． 【详解】解：， 故选：B． 39．2021年我国发布的《中国应对气候变化的政策与行动》白皮书指出，2020年我国碳排放强度（单位国内生产总值二氧化碳排放）比2015年下降18.8%，比2005年下降48.4%，超额完成了我国向国际社会承诺的“到2020年下降40%~45%”的目标，累计少排放二氧化碳约58亿吨，基本扭转了二氧化碳排放快速增长的局面．其中数据58亿用科学记数法表示为，则数据所表示的原数应为（    ） A．58000000 B．580000000 C．5800000000 D．58000000000 【答案】C 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数还原；指数为正整数，只要把用科学记数法表示的数中的小数点向右移9位即可得到原数． 【详解】解：； 故选：C． 40．一个数用科学记数法表示为，则这个数的整数数位有（    ） A．7位 B．6位 C．3位 D．1位 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，时，是几，小数点就向后移几位． 【详解】解：， 用科学记数法表示为，则这个数有个整数位． 故选：B． 41．，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2月9日，的累计下载量已超过亿次，周活跃用户规模高达人．其中表示的原数中，7的后面有 个零． 【答案】6 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值较大的数，解题的关键是对科学记数法表示的数进行还原． 对科学记数法表示的数进行还原即可． 【详解】解：，即原数7的后面有6个0． 故答案为：6． 42．2022年2月4日北京冬奥会开幕式上“雪花”图案惊艳世界，展现了“和面个同，天天与共”、一起同本来的是取后可此在千克左右，这个数用科学记数法表示为，则n的值是 ． 【答案】7 【分析】根据科学记数法的表示方法，反推即可求解； 【详解】解：=0.00000025， ∴n=7， 故答案为：7． 针对训练： 1．月球到地球的平均距离约为380000千米，这个数据用科学记数法表示为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，n比原整数位数少1，解题的关键是准确确定a与n值． 【详解】解：， 故选：B． 2．下列各对数中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方，熟练掌握负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数是解题的关键．根据乘方的运算法则算出各自的结果，再比较即可得到答案． 【详解】解：A、，，两者不相等，故不符合题意； B、，，两者不相等，故不符合题意； C、，，两者相等，故符合题意； D、，，两者不相等，故不符合题意； 故选：C． 3．下列各组数中，互为相反数的有（     ）组 ①和 ②和 ③和   ④和 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，化简绝对值，有理数的乘方，先化简各数，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①和，互为相反数，符合题意； ② 和 ，相等，不是互为相反数，不符合题意； ③ 和 ，不是互为相反数，不符合题意； ④ 和 ，互为相反数，符合题意； 互为相反数的有组 故选：B． 4．所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘方的应用． 根据题意可知每经历一个半衰期，质量变为原来的，由此可得经历个半衰期后的质量． 【详解】解：， ∴经历了个半衰期后的质量为． 故选：D． 5．若，，且，则（   ） A．5 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘方，减法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 利用绝对值的代数意义求出、的值，结合，即可确定出的值． 【详解】解：∵， 或， ∵， 或， 当时，，舍去； 当时，，； 当时，，舍去； 当时，，． 则的值为或． 故选：C． 6．如图为小明的答卷，每小题20分，他的得分应是（  ） ①绝对值最小的数是0 ② ③的相反数是6 ④的底数是 ⑤的倒数是 A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，化简多重符号，相反数，有理数幂以及倒数，根据相关知识点逐一进行判断，求出正确的数量再乘以20，即可得出结果． 【详解】解：绝对值最小的数为0，故①正确； ，故②正确； 的相反数是6，故③正确； 的底数是，故④错误； 的倒数是，故⑤正确； 故小明的得分为（分）； 故选C． 7．一根1米长的竹叶，第一次被熊猫吃掉一半，第二次吃掉剩下的一半．如此吃下去，第五次后剩下的竹叶长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方；根据题意列出相对应的算式并计算是解题的关键．根据每剪一次，绳子剩下一半列算式求解． 【详解】解：一根1米长的竹叶，第一次被熊猫吃去一半，还剩米； 第二次吃去剩下的一半，还剩米， 第三次吃去剩下的一半，还剩米， 如此吃下去，第五次后剩下的竹叶长度为米， 故选：B． 8．在互联网时代，利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个学生身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生的编号，其编号为，如图第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，编号为（其中），表示该生的编号为28，下面表示编号为10的学生的识别图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了有理数乘方的应用，正确理解题中的转换方法，利用有理数的乘方法则逐项计算是解题的关键；根据编号的转换方法，将四个选项中的识别图案转换成编号，取其编号为10的选项即可得出结论． 【详解】 解：A、； B、； C、； D、． 故选：C． 9．计算： ． 【答案】16 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序是解题的关键； 先计算乘方，除法转化为乘法，再进行乘法运算． 【详解】解： ， ． 故答案为：16． 10． ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的意义以及乘法的意义，根据幂的意义以及乘法的意义分别列式，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 11．若 、 互为倒数，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了倒数、乘方，根据乘积为的两个数互为倒数，可知，所以可得，根据乘方的定义可知． 【详解】解： 、 互为倒数， ， ， . 故答案为： ． 12．这组数字的第7个数是 ． 【答案】 【分析】根据题意，先确定数的符号：根据数的属性与序号的关系确定，再确定分子是常数1，确定分母的规律，解答即可． 本题考查了有理数乘方的规律探索，熟练掌握规律探索是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第1个数为：，第2个数为：， 第3个数为：，第4个数为：， 故第n个数为， 当时，第7个数是． 故答案为：． 13．《孙子算经》有一道题的大意为“现在出门看见九道堤岸，每道堤上有九棵树，每棵树有九根树枝，每根树枝上有九个果子，每个果子上有九只鸟，每只鸟有九只雏鸟，每只雏鸟有九根羽毛，每根羽毛有九种颜色．问：每种各有多少？”这个问题中雏鸟共有 只． 【答案】 【分析】本题考查数的计算，理解题意列出算式是解决问题的关键．由题意列出算式计算即可． 【详解】解：∵九道堤岸，每道堤上有九棵树，每棵树有九根树枝，每根树枝上有九个果子，每个果子上有九只鸟，每只鸟有九只雏鸟， ∴共有雏鸟只． 故答案为：． 14．下列说法： ①符号相反的数互为相反数； ②当时，； ③如果， 那么； ④几个有理数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数； ⑤数轴上的点不都表示有理数．     其中正确的说法有 (填写序号) 【答案】②⑤/⑤② 【分析】本题考查相反数、绝对值、数轴表示数、乘方、多个有理数的乘法，对每个选项进行判断是得出正确答案的前提． 根据相反数、绝对值、数轴表示数以及有理数的乘法和乘方运算等知识综合进行判断即可． 【详解】解：符号相反，但绝对值不等的两个数就不是相反数，例如5和，因此①不正确； 当时，即或，也就是a是正数或负数，因此，所以②正确； 例如，而，因此③不正确； 几个非0的有理数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数，因此④不正确； 数轴上的点不都表示有理数，因此⑤正确； 综上所述，正确的结论有②⑤， 故答案为：②⑤． 15．古代《易经》一书中记载，在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是那个时期的一族人记录他们从到达一个新地方以后捕获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一．根据图示可知，他们捕获猎物的数量是 ． 【答案】558 【分析】本题以数学文化为载体，主要考查了进位制等基础知识和运算能力．解题的关键是会将七进制转化成十进制．由题可知，捕获猎物的条数的七进制数为1425，化为十进制数即可． 【详解】解：由题可知，捕获猎物的条数的七进制数为1425， 化为十进制为：； 故答案为：558． 16．如果有理数a，b满足，则   的值为∶ ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，有理数的混合运算，根据非负性求出的值，代入式子中，利用裂项相加法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式 ； 故答案为：． 17．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，底数表示相同的因数；指数3表示相同因数的个数 (2)，底数表示相同的因数，指数4表示相同因数的个数 (3)，底数表示相同的因数，指数5表示相同因数的个数 【分析】此题考查的是有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数乘方的意义． （1）首先仔细观察给出的几个因数，先处理符号，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义； （2）首先仔细观察给出的几个因数，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义； （3）首先仔细观察给出的几个因数，先处理符号，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． 【详解】（1）解：原式， 底数表示相同的因数；指数3表示相同因数的个数； （2）解：原式， 底数表示相同的因数，指数4表示相同因数的个数； （3）解：原式 底数表示相同的因数，指数5表示相同因数的个数． 18．用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． (1)求的值； (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 【答案】(1) (2)①；；②交换 【分析】本题考查新定义运算，读懂题意，理解新定义运算法则，代值求解是解决问题的关键． （1）理解新定义运算，按照当时，都有，代值计算即可得到答案； （2）①理解新定义，根据新定义当时，都有；当时，都有分别计算和即可得到答案；②由①中的计算结果即可得到这个运算满足乘法交换律． 【详解】（1）解：当时，都有， 当时，， ； （2）解：①当时，都有， 当时，， ； 当时，都有， 当时，， ； ②由上述计算结果可知，， 这个计算结果说明了这个运算满足交换律， 故答案为：②交换． 19．阅读材料，求值：． 解：设， 将等式两边同时乘以2得： 将下式减去上式得 即 请你仿照此法计算： (1) (2)（其中n为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值； （2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值． 本题考查了乘方计算，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘以2得： 将下式减去上式得 即； （2）解：设， 将等式两边同时乘以3得： 将下式减去上式得 即． 20．如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解乘方的意义是解题关键． （1）仿照小明的做法画出图形求解即可； （2）仿照小亮的做法验证即可； （3）仿照小亮的做法求解即可； 【详解】（1）解：， （2）解：设， 则， 因为，所以． （3）解：设， 则， 因为， 所以． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数及其运算 2.4 有理数的乘方 命题1：乘方的概念理解……………………………………………………………1 命题2：有理数的乘方运算…………………………………………………………1 命题3：有理数乘方的逆运算………………………………………………………2 命题4：乘方运算中的符号规律……………………………………………………3 命题5：乘方的应用…………………………………………………………………3 命题6：用科学记数法表示绝对值大于1的数……………………………………4 命题7：将科学记数法表示的数写回原数…………………………………………5 针 对 训 练…………………………………………………………………………5命题1：乘方的概念理解 1．表示的意义是（    ） A．5个相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 2．对于式子，下列说法不正确的是（    ） A．指数是3 B．底数是 C．幂为8 D．表示3个相乘的积 3．“”可以写成（    ） A． B． C． D． 4．的底数是 ，指数是 ． 5．把写成乘方的形式为 ，把写成乘方的形式为 ． 命题2：有理数的乘方运算 6．计算：（   ） A．4 B． C． D． 7．计算的结果是（    ） A．10 B． C．5 D．25 8．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 9．计算： ． 10． 的平方等于9，立方得的数是 ，立方等于本身的数是 ． 11．计算： (1)； (2)； (3)． 12．计算： (1)． (2)． 命题3：有理数乘方的逆运算 13．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 14．，由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 15．《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 16．已知，则x＝ ． 17．已知，且，则 ． 18．已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 19．阅读计算： 阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4… 回答下列三个问题： (1)验证：（4×0.25）100＝　　；4100×0.25100＝　　． (2)通过上述验证，归纳得出：（ ）n＝　　；（ ）n＝　　． (3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014． 命题4： 乘方运算中的符号规律 20．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2020 21．在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．任何一个有理数的偶次幂必是（　　） A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 23． ． 24． 命题5： 乘方的应用 25．2024年全市共接待国内游客约55510800人次，其中数据55510800可表示为（   ） A．55510.8万 B．5551.08万 C．555.108万 D．55.5108万 26．在理想的实验环境下，某种细菌每过20分钟就能由1个分裂成2个．经过1个小时，这种细菌由1个分裂成（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 27．某种霉菌的繁殖速度是每天增加一倍，若经过15天霉菌能长满整个缸面，则长满半个缸面需要（    ） A．11天 B．12天 C．13天 D．14天 28．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（   ） A． B．2 C．1 D．44 29．若，则 ． 30．在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”，当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了 天 命题6： 用科学记数法表示绝对值大于1的数 31．原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽原子钟的精度达到了万年误差不超过．数据万用科学记数法表示为（   ）. A． B． C． D． 32．2025年春晚红包互动活动中，融入了许多科技与文化元素．据统计，全球观众参与春晚红包互动总次数达120亿次，这些互动产生的数据量约为（字节），将产生的数据量用科学记数法表示为（    ）字节． A． B． C． D． 33．年春节，电影《哪吒之魔童闹海》火爆世界，截至月底，该电影全球总票房已达到亿，跃居动画电影票房第一名．它以精湛制作、深刻主题打破中国影史纪录，成为国漫新里程碑．其中亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 34．截止年月日，哪吒之魔童闹海全球票房约亿，位居全球动画电影票房第一．将数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 35．截止年年底某市有城镇污水处理厂座，总规模为日处理污水万吨．数据“”用科学记数法表示为 ． 36．染色体是细胞核中遗传物质的载体，由于易被碱性染料染成深色而命名．据报道，号染色体共有超过个碱基对，将用科学记数法可表示为 ． 命题7： 将科学记数法表示的数写回原数 37．据统计，2025年吉林省某生态保护区越冬候鸟达只，表示的原数是（   ） A． B． C． D． 38．中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一．若每人每天浪费水L，那么万人每天浪费的水就有L，那么的原数为（　　） A．3200000 B．320000 C．32000 D．3200 39．2021年我国发布的《中国应对气候变化的政策与行动》白皮书指出，2020年我国碳排放强度（单位国内生产总值二氧化碳排放）比2015年下降18.8%，比2005年下降48.4%，超额完成了我国向国际社会承诺的“到2020年下降40%~45%”的目标，累计少排放二氧化碳约58亿吨，基本扭转了二氧化碳排放快速增长的局面．其中数据58亿用科学记数法表示为，则数据所表示的原数应为（    ） A．58000000 B．580000000 C．5800000000 D．58000000000 40．一个数用科学记数法表示为，则这个数的整数数位有（    ） A．7位 B．6位 C．3位 D．1位 41．，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2月9日，的累计下载量已超过亿次，周活跃用户规模高达人．其中表示的原数中，7的后面有 个零． 42．2022年2月4日北京冬奥会开幕式上“雪花”图案惊艳世界，展现了“和面个同，天天与共”、一起同本来的是取后可此在千克左右，这个数用科学记数法表示为，则n的值是 ． 针对训练： 1．月球到地球的平均距离约为380000千米，这个数据用科学记数法表示为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 2．下列各对数中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．下列各组数中，互为相反数的有（     ）组 ①和 ②和 ③和   ④和 A．1 B．2 C．3 D．4 4．所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（   ）． A． B． C． D． 5．若，，且，则（   ） A．5 B． C．或 D．或 6．如图为小明的答卷，每小题20分，他的得分应是（  ） ①绝对值最小的数是0 ② ③的相反数是6 ④的底数是 ⑤的倒数是 A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 7．一根1米长的竹叶，第一次被熊猫吃掉一半，第二次吃掉剩下的一半．如此吃下去，第五次后剩下的竹叶长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．在互联网时代，利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个学生身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生的编号，其编号为，如图第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，编号为（其中），表示该生的编号为28，下面表示编号为10的学生的识别图案是（　　） A． B． C． D． 9．计算： ． 10． ． 11．若 、 互为倒数，则 ． 12．这组数字的第7个数是 ． 13．《孙子算经》有一道题的大意为“现在出门看见九道堤岸，每道堤上有九棵树，每棵树有九根树枝，每根树枝上有九个果子，每个果子上有九只鸟，每只鸟有九只雏鸟，每只雏鸟有九根羽毛，每根羽毛有九种颜色．问：每种各有多少？”这个问题中雏鸟共有 只． 14．下列说法： ①符号相反的数互为相反数； ②当时，； ③如果， 那么； ④几个有理数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数； ⑤数轴上的点不都表示有理数．     其中正确的说法有 (填写序号) 15．古代《易经》一书中记载，在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是那个时期的一族人记录他们从到达一个新地方以后捕获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一．根据图示可知，他们捕获猎物的数量是 ． 16．如果有理数a，b满足，则   的值为∶ ． 17．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． (1)； (2)； (3)． 18．用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． (1)求的值； (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 19．阅读材料，求值：． 解：设， 将等式两边同时乘以2得： 将下式减去上式得 即 请你仿照此法计算： (1) (2)（其中n为正整数） 20．如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $