第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：因式分解+分式全部内容）-2025-2026学年湘教版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：因式分解+分式全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台”是唐代诗人李白《北风行》中的诗句．据测定，新降雪的密度约为0.05，将数据“0.05”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南湘潭·期中）在、、、、、中分式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B．1 C． D．3 5．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）下列由左边到右边的变形，不属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·湖南湘潭·期末）将用提公因式法进行因式分解，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·湖南湘潭·单元测试）分解因式，正确的步骤是（   ） A．先提公因式，再用平方差公式： B．直接用平方差公式： C．先提公因式，再用完全平方公式： D．不能分解 8．（2025·湖南·模拟预测）“” 是化简的部分解题步骤，则“ ”上可以填（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·湖南湘潭·单元测试）甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以的速度行走，另一半时间以的速度行走；而乙用的速度走了一半的路程，另一半的路程以的速度行走（a，b均大于0，且），则（    ） A．甲先到达 B．乙先到达 B地 C．甲、乙同时到达B地 D．甲、乙谁先到达B地不确定 10．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年月份的水费是元，而今年5月的水费则是元．已知小丽家今年5月的用水量比去年月的用水量多，求该市去年居民用水的价格．设去年居民用水价格为，根据题意列方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）分式方程的解是 ． 12．（25-26八年级上·湖南湘潭·课后作业）若，则 ． 13．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）多项式中各项的公因式是 ． 14．（2025八年级上·湖南常德专题练习）已知 ，，，则多项式的值为 ． 15．（24-25八年级上·湖南张家界·期末）若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为 ． 16．（2025八年级上·湖南湘潭·专题练习）某地为优化教育资源，现改造寄宿制学校，改造工程中，先由甲工程队承建，工作一段时间后，为了按期完成任务，乙工程队加入工作，共同工作80天后，正好按期完成，已知，甲工程队单独做这项工程，要比工期多100天，乙工程队单独做这项工程，要比工期多40天，则这项工程的工期是 天． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）因式分解： (1)； (2)； 18．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）求证：当n为整数时，是8的倍数． 19．（2025·湖南岳阳·模拟预测）涵涵解方程过程如下： 解：去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 解得：， 经检验是方程的增根，原方程无解． 你认为涵涵的解法是否正确？若不正确，请写出你的解答过程． 20．（25-26八年级上·湖南湘潭·单元测试）阅读与思考：将式子分解因式．这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图所示： 这种分解二次三项式的方法叫“十宇相乘法”．请认真观察，分析理解后，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______． 21．（24-25八年级上·湖南张家界·期末）利用完全平方公式可将二次三项式分解成，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式． (1)补全以下分解因式的过程： 解： (2)请你在理解上述方法的基础上，解决下列问题： ①运用“配方法”分解因式：． ②对于，请你在下面已有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解： 22．（24-25八年级上·湖南常德·期末）下面是小亮学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：小丽与小明为艺术节做小红花，小明比小丽每小时多做2朵．已知小明做100朵与小丽做90朵所用时间相等，小明、小丽每小时各做小红花多少朵？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：小明做100朵用的时间小丽做90朵用的时间 解法二 设…等量关系：小明每小时做的朵数小丽每小时做的朵数 任务： (1)解法一所列方程中的表示______，解法二所列方程中的表示______； A．小明每小时做朵 B．小丽每小时做朵 C．小明做了小时 (2)请选择一种解法求出小明、小丽每小时各做小红花的朵数． 23．（25-26八年级上·湖南湘潭·单元测试）【阅读学习】已知，求的值． 解：由知， 所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． 【类比探究】已知，请利用上述方法求的值； 【拓展延伸】已知，求的值． 24．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解，有个学生解答过程如下： 解：设． 原式    （第一步）     （第二步）     （第三步）     （第四步） 根据以上解答过程回答以下问题： (1)该同学第二步到第三步的变形运用了______（填选项）； A．提取公因式            B．平方差公式             C．两数和的完全平方公式        D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______． (3)上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法．请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：因式分解+分式全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台”是唐代诗人李白《北风行》中的诗句．据测定，新降雪的密度约为0.05，将数据“0.05”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法，将0.05克每立方厘米转换为千克每立方厘米，需利用单位换算关系，并结合科学记数法表示． 【详解】解：1克（g） 千克（kg）， 因此，， ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖南湘潭·期中）在、、、、、中分式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式概念，关键是掌握分式的分母必须含有字母．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：、、是分式，有3个， 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘除、合并同类项及积的乘方，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】A、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确运算为 ，故A错误； B、合并同类项时，系数相加，字母部分不变，正确运算为 ，故B错误； C、同底数幂相除，底数不变，指数相减，正确运算为，故C错误； D、积的乘方，每个因式分别乘方，运算为：，与选项一致，故D正确． 故选：D． 4．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根问题是解题的关键．先把分式方程化为整式方程，然后再根据增根可进行求解． 【详解】解：由化简可得：， ∵关于x的分式方程有增根， ∴增根为， ∴， 解得：； 故选：D． 5．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）下列由左边到右边的变形，不属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：、，左边为多项式，右边是与的乘积，属于因式分解，不符合题意； 、，右边为与的和，未完全转化为积的形式，不属于因式分解，符合题意； 、，左边是完全平方式，分解为的平方，属于因式分解，不符合题意； 、，利用平方差公式分解为两个一次因式的乘积，属于因式分解，不符合题意； 故选：B． 6．（24-25八年级上·湖南湘潭·期末）将用提公因式法进行因式分解，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，要确定多项式的公因式，需找出各项的系数最大公约数和公共因式，系数3和的最大公约数为3，公共因式为，因此公因式为． 【详解】确定系数公因式：第一项系数为3，第二项系数为，最大公约数为3； 确定公共因式：两项均含有因式； 组合公因式：将系数公因式3与公共因式相乘，得到公因式， 故选：C． 7．（25-26八年级上·湖南湘潭·单元测试）分解因式，正确的步骤是（   ） A．先提公因式，再用平方差公式： B．直接用平方差公式： C．先提公因式，再用完全平方公式： D．不能分解 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法和公式法进行因式分解即可． 【详解】解：分解因式时，先提公因式得，再用平方差公式分解得， 故选：A． 8．（2025·湖南·模拟预测）“” 是化简的部分解题步骤，则“ ”上可以填（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题干完成通分后，再根据同分母的分式加减法运算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 9．（25-26八年级上·湖南湘潭·单元测试）甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以的速度行走，另一半时间以的速度行走；而乙用的速度走了一半的路程，另一半的路程以的速度行走（a，b均大于0，且），则（    ） A．甲先到达 B．乙先到达 B地 C．甲、乙同时到达B地 D．甲、乙谁先到达B地不确定 【答案】A 【分析】本题考查分式的应用．设从A地到B地的路程为s，甲走完全程所用时间为，乙走完全程所用时间为，根据题意，分别表示出甲、乙所用时间的代数式，然后再作比较即可． 【详解】解：设从A地到B地的路程为s，甲走完全程所用时间为，乙走完全程所用时间为， 由题意得，， 解得，， a，b均大于0，且， ， ， 甲先到达， 故选A． 10．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年月份的水费是元，而今年5月的水费则是元．已知小丽家今年5月的用水量比去年月的用水量多，求该市去年居民用水的价格．设去年居民用水价格为，根据题意列方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据题意列出方程，关键找准等量关系．设去年水价为，今年水价上涨，即今年价格为．根据用水量差为5立方米列方程． 【详解】解：设去年水价为，今年水价上涨，即今年价格为． 根据题意，知去年12月用水量为，今年5月用水量为． 因为小丽家今年5月的用水量比去年月的用水量多，所以可列方程为 ． 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可． 【详解】解： 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入后得：， ∴分式方程的解为． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·湖南湘潭·课后作业）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的乘方运算，熟练掌握乘方的运算法则是关键，根据分式乘方运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）多项式中各项的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的概念，掌握多项式中各项都含有相同的数字因数，相同的字母，相同字母的指数也相同是解题的关键．观察多项式的数字因数，字母，根据一个因式能同时整除几个多项式，这个因式叫做这几个多项式的公因式，即可求解． 【详解】解：多项式中各项的公因式是， 故答案为：． 14．（2025八年级上·湖南常德专题练习）已知 ，，，则多项式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，先求出，，，再将所求代数式变形为，再代入计算可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·湖南张家界·期末）若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为 ． 【答案】2或3 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，解一元一次不等式，解分式方程等知识点，正确求出一元一次不等式组的解集和分式方程的解是解题的关键． 根据关于x的不等式组恰有两个整数解得到，求出的范围，再解分式方程得到，然后结合分式方程的增根问题，得到且，即可求解整数． 【详解】解：， 由①得； 由②得， ∵关于x的不等式组恰有两个整数解， ∴， 解得， 解分式方程得， ∵解为正数， ∴， ∴， 当时，解得， 那么时，方程有增根， ∴且， ∴整数a的值为或， 故答案为：或． 16．（2025八年级上·湖南湘潭·专题练习）某地为优化教育资源，现改造寄宿制学校，改造工程中，先由甲工程队承建，工作一段时间后，为了按期完成任务，乙工程队加入工作，共同工作80天后，正好按期完成，已知，甲工程队单独做这项工程，要比工期多100天，乙工程队单独做这项工程，要比工期多40天，则这项工程的工期是 天． 【答案】200 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，正确熟知两队每天完成的工作量及实际工作的天数是解题的关键． 设该项工程的工期是x天，则甲单独做这项工程，需要天，乙需要天，则甲工程队每天完成总工作量的，乙工程队每天完成总工作量的．完成这项工程，甲用了x天，乙实际用了80天，据此列方程求解即可． 【详解】解：设该项工程的工期是x天，则甲单独做这项工程，需要天，乙需要天，则甲工程队每天完成总工作量的，乙工程队每天完成总工作量的． 根据题意可得：，解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 所以该项工程的工期是200天． 故答案为：200． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． （1）先提取，再由平方差公式进行因式分解； （2）先提取，再由完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）求证：当n为整数时，是8的倍数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由平方差公式可分解因式为，然后问题可求解 【详解】证明： ， ∴当n为整数时，是8的倍数． 19．（2025·湖南岳阳·模拟预测）涵涵解方程过程如下： 解：去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 解得：， 经检验是方程的增根，原方程无解． 你认为涵涵的解法是否正确？若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】不正确，见解析 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的方法，方程两边同时乘，把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后再进行检验即可． 【详解】解：涵涵的解法不正确，正确的解答过程如下： ， 方程两边同时乘，得， 解得：， 检验：把代入，得， ∴分式方程的解为． 20．（25-26八年级上·湖南湘潭·单元测试）阅读与思考：将式子分解因式．这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图所示： 这种分解二次三项式的方法叫“十宇相乘法”．请认真观察，分析理解后，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______． 【答案】(1) (2)7，，2， 【分析】本题考查的是因式分解的应用， （1）仿照题中十字相乘法将原式分解即可； （2）把分为两个整数相乘，其和即为整数的值，写出即可． 【详解】（1）解： ； （2）若可分解为两个一次因式的积， 则整数p的所有可能值是． 21．（24-25八年级上·湖南张家界·期末）利用完全平方公式可将二次三项式分解成，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式． (1)补全以下分解因式的过程： 解： (2)请你在理解上述方法的基础上，解决下列问题： ①运用“配方法”分解因式：． ②对于，请你在下面已有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解： 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题主要考查了乘法公式， （1）根据完全平方和（差）公式进行因式分解．即可计算得出结果； （2）根据题意对算式进行配方，然后，利用平方差公式进行因式分解，即可得出结果； 首先，将代数式，进行分组，然后，结合提公因式和平方差公式，得到，进一步整理即可得出结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）① 原式 ； ② ． 22．（24-25八年级上·湖南常德·期末）下面是小亮学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：小丽与小明为艺术节做小红花，小明比小丽每小时多做2朵．已知小明做100朵与小丽做90朵所用时间相等，小明、小丽每小时各做小红花多少朵？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：小明做100朵用的时间小丽做90朵用的时间 解法二 设…等量关系：小明每小时做的朵数小丽每小时做的朵数 任务： (1)解法一所列方程中的表示______，解法二所列方程中的表示______； A．小明每小时做朵 B．小丽每小时做朵 C．小明做了小时 (2)请选择一种解法求出小明、小丽每小时各做小红花的朵数． 【答案】(1)A，C (2)小明每小时做小红花20朵，小丽每小时做18朵 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，理解题意是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）选择一个方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由小明做100朵用的时间小丽做90朵用的时间，可得：解法一所列方程中的表示小明每小时做朵，由小明每小时做的朵数小丽每小时做的朵数可得： 解法二所列方程中的表示小明做了小时； 故答案为：A，C； （2）解：选择解法一，根据题意， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ， 答：小明每小时做小红花20朵，小丽每小时做18朵． 选择解法一，根据题意， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ， 答：小明每小时做小红花20朵，小丽每小时做18朵． 23．（25-26八年级上·湖南湘潭·单元测试）【阅读学习】已知，求的值． 解：由知， 所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． 【类比探究】已知，请利用上述方法求的值； 【拓展延伸】已知，求的值． 【答案】类比探究：；拓展延伸： 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 类比探究：已知等式“取倒数”求出的值，原式“取倒数”后，将的值代入计算即可； 拓展延伸：已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】解：类比探究： 由知， ∴，即， ∴， ∴ ， 故． 拓展延伸： 根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， ∵， ∴． 24．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解，有个学生解答过程如下： 解：设． 原式    （第一步）     （第二步）     （第三步）     （第四步） 根据以上解答过程回答以下问题： (1)该同学第二步到第三步的变形运用了______（填选项）； A．提取公因式            B．平方差公式             C．两数和的完全平方公式        D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______． (3)上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法．请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不彻底， (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键． （1）利用完全平方公式判断即可得解； （2）检查第四步结果，利用完全平方公式进一步分解即可得解； （3）仿照阅读材料中的方法将原式分解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，该同学第二步到第三步的变形运用了两数和的完全平方公式， 故选：C； （2）解：该同学因式分解的结果不彻底，若不彻底，则该因式分解的最终结果为； （3）解：设， 则原式 ． 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