第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）（考试范围：因式分解+分式全部内容）-2025-2026学年湘教版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：因式分解+分式全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解定义：将多项式化为几个整式乘积的形式，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式乘积的形式即可得到答案，熟记常见因式分解方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、中，左边为两个二项式相乘，展开后得到右边多项式，属于整式乘法运算，不符合因式分解定义，不符合题意； B、中，左边多项式变形后仍含“”的加减项，未完全转化为整式积的形式，不符合因式分解定义，不符合题意； C、中，左边多项式通过完全平方公式转化为，符合因式分解定义，符合题意； D、中，左边为单项式与二项式的乘积，展开后得到右边多项式，属于整式乘法运算，不符合因式分解定义，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）计算，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值． 将分子因式分解后约分化简即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算法则，利用同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A选项：，而原式错误地写为，故A错误； B选项：，原式仅对平方，未对平方，故B错误； C选项：幂的乘方运算法则为底数不变、指数相乘，即，故C正确； D选项：同底数幂相除，底数不变、指数相减，即，原式错误地写为，故D错误． 故选：C． 4．（24-25八年级上·湖南株洲·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的逆用，提公因式法分解因式，解题的关键是掌握相应的运算法则，将原式提取公因数进行化简，利用指数运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 5．（24-25八年级上·湖南湘潭·阶段练习）把多项式分解得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题涉及因式分解的概念，因式分解是把一个多项式在一个范围内化为几个整式的积的形式．对于本题，先提取公因式，再利用立方差公式进行分解． 【详解】解： 提取公因式，得 即 分解因式，得 故选：D． 6．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）利用“提公因式法”对多项式进行因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查提公因式法分解因式，直接提公因式即可，注意分解因式要彻底． 【详解】解： ． 故选：D． 7．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）有一并联电路，两电阻阻值分别为，，总电阻为R，三者的关系为：．若已知R、，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查异分母的分式的加减运算．利用，求出，再求出倒数即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：D． 8．（2025八年级上·湖南永州·专题练习）为了增加下一年的收成，刘伯伯决定加大种植面积，将能种植棵玉米的亩矩形土地向外开垦，长宽都扩大为原来的倍，种植玉米数量变为原来的倍，则此时单位面积的种植数量和以前相比会（   ） A．增加 B．不变 C．减小 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了分式的应用，设原来矩形土地的长宽分别为、，则扩大后的矩形土地的长宽分别为，，则原来土地面积为，扩大后的土地面积为，然后根据单位面积的种植数量总种植数总面积表示出扩大前后单位面积的种植数量，再比较即可解答． 【详解】解：设原来矩形土地的长宽分别为、，则扩大后的矩形土地的长宽分别为，， 原来土地面积为， 扩大后的土地面积为， 扩大后种植玉米的数量为：， 原来单位面积的种植数量为：， 现在单位面积的种植数量为：， 所以此时单位面积的种植数量和以前相比会不变， 故选：B． 9．（2025·湖南邵阳·模拟预测）小华一家自驾车去某地旅游，手机导航系统推荐了两条线路，线路①全程90千米，线路②全程110千米，汽车在线路②上行驶的平均时速比线路①上行驶的平均时速快50千米/时，线路②的用时预计比线路①用时少半小时．设汽车在线路①上行驶的平均速度为x千米/时，则可列出正确方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系成为解题的关键． 设线路①的平均速度为千米/时，则线路②的平均速度为千米/时．根据线路①的时间减去线路②的时间等于半小时列出方程即可． 【详解】解：设线路①的平均速度为千米/时，则线路②的平均速度为千米/时，则线路①的时间为小时，线路②的时间为小时． 由题意可得： ． 故选A． 10．（25-26八年级上·湖南株洲·阶段练习）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（     ）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式法因式分解以及整数的奇偶性分析．理解“智慧数”的定义是解题的关键． 根据“智慧数”的定义，通过对中、的取值分析来判断各个结论是否正确． 【详解】解：∵1不能表示成两个正整数m，n的平方差，故①错误； 设能被4整除的正整数为（为正整数且）， ，令， 将两式相加可得：，即， 解得：， 将代入，解得． 为正整数且， 、为正整数， 除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， 故②正确； 假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为正整数）． 与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数； 若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是； 被4除余2的正整数都不是“智慧数”． 故③正确； 综上所述，正确的结论是②③． 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式． 提公因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 12．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）已知，则式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法． 根据同底数幂的除法法则求出的值，进而计算的值即可． 【详解】， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·湖南岳阳·课后作业）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解分两种情况，分别求的值即可． 【详解】解：， 整理得：， 解得：， ∵分式方程无解， 当分式方程有增根时，，则， 此时， 解得：； 当整式方程无解时，， 解得：， 综上可知，的值为或， 故答案为：或． 14．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是 ． 【答案】④ 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：①中不是整式，它不是因式分解； ②是乘法运算，它不是因式分解； ③中等号左边是单项式，它不是因式分解； ④符合因式分解的定义，它是因式分解． 故答案为：④． 15．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）若实数，，，满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与因式分解，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 把和合并，利用完全平方公式化简后求解即可． 【详解】解：∵， ∴可得：， 整理可得：， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·湖南永州·期中）某中学组织学生乘车前往实践基地参加活动，计划租m辆车（），如果每辆车13人，则有4人上不了车；如果有一辆车不坐人，那么正好平分到其他车上，则计划组织 名学生参加此次活动． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，根据题意求出每辆车乘坐人数为（人），故是整数，所以只有或，求出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，有一辆车不坐人正好平分到其他车上时，每辆车乘坐人数为： （人）， 故是整数， ∴或， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时， ， 故答案应为：． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（2025八年级上·湖南益阳·专题练习）把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法分解因式是解题关键． （1）提公因式进行因式分解即可； （2）提公因式进行因式分解即可； （3）利用平方差公式进行因式分解即可； （4）利用平方差公式进行因式分解即可； （5）利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ； （5）解： ． 18．（2025八年级上·湖南娄底·模拟预测）解方程 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，正确的变形，化简原方程是解题的关键；先把原分式方程化简为，整理得，再按照分式方程的一般步骤求解即可． 【详解】解：原分式方程可化为， 整理得， 等式两边同乘以，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 所以原分式方程的解为． 19．（2025·湖南松江·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； 第4个等式： ； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)直接写出你猜想的第n个等式，并证明该等式．（用含字母n的式子表示等式） 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）根据题目中给出的等式寻找规律得到每一部分的规律总结出整个式子的规律，通过规律即可得到第5个等式； （2）根据上面得到的规律，将规律数替换成n，使之由特殊到一般规律即可； 本题考查了数与代数式中的规律，读懂题意，找出等量关系以及利用整式的乘法公式进行化简证明是解题的关键． 【详解】（1）解：第5个等式：； 故答案为： （2）解：猜想：， 证明：左边 右边． 20．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）下面是小颖同学解分式方程的过程．请认真阅读并完成相应的任务． 解∶方程两边同乘______， 得．…………第一步 去括号，得．…………第二步 移项、合并同类项，得．……………………第三步 系数化为1，得．……………………第四步 (1)第一步中横线处应填______，这一步的目的是______，其依据是______； (2)小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步．请你写出这一步，并说明这一步不能缺少的理由． 【答案】(1)，去分母，等式的性质2 (2)检验：当时，，所以原分式方程无解，理由见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤． （1）观察已知条件所给的解方程的步骤，根据去分母，等式的基本性质进行解答即可； （2）按照解分式方程的一般步骤解方程，求出方程的解即可，注意要检验是否有增根． 【详解】（1）解：第一步中横线处应填，这一步的目的是去分母，其依据是等式的性质2； 故答案为：；去分母；等式的性质2 （2）解：检验：当时，， 所以原分式方程无解． 理由：因为方程的解可能使最简公分母为0，产生增根． 所以分式方程必须检验． 21．（25-26八年级上·湖南益阳·课后作业）阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根与无解问题，涉及分式方程的解法、整式方程的求解及分类讨论思想的应用．解题的关键是明确增根的定义（使公分母为 0 的整式方程的根，非原分式方程的根）和分式方程无解的两种情况（产生增根导致无解；整式方程本身无解导致分式方程无解）． （1）先确定公分母并化为整式方程，将增根代入整式方程，求解 m 的值； （2）先找出所有可能的增根（使公分母为 0 的 x 值），再分别将增根代入整式方程，求解对应的 m 值； （3）分两种情况讨论：一是整式方程产生增根导致分式方程无解，利用（2）的结果；二是整式方程化为一元一次方程时，x 的系数为 0 导致整式方程无解，进而分式方程无解，综合两种情况得 m 的值． 【详解】（1）解：去分母，得． 整理，得． 若增根为，则， 解得． （2）解：若原分式方程有增根，则， 所以或． 当时，，解得； 当时，， 解得， 所以若原分式方程有增根，则． （3）解：由（2）知，当时，原分式方程有增根，即无解； 去分母后的整式方程为． 当时，整式方程无解． 综上，若原分式方程无解，则或． 22．（25-26八年级上·湖南株洲·单元测试）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：如图① 由答图①知． （2）解：如图②． 由答图②可知． 23．（25-26八年级上·湖南怀化·单元测试）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出C关于D的“雅中值”． (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的的值之和． 【答案】(1)不是的“雅中式”，理由见解析 (2)，所有符合条件的的值之和为 【分析】本题主要考查了分式的减法，熟练掌握分式的减法法则是解题关键． （1）直接计算的值，根据“雅中式”的定义即可得； （2）根据题意可得，计算分式的减法即可得，代入可得，然后根据的值均为整数求解即可得． 【详解】（1）解：不是的“雅中式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴不是的“雅中式”． （2）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵为整数，且“雅中式”的值也为整数， ∴的所有可能的值为， ∴的所有可能的值为（舍去）， ∴所有符合条件的的值之和为． 24．（24-25八年级上·湖南湘潭·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）这个三角形为等边三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用、等边三角形的定义，解决本题的关键是利用正确方法将式子进行因式分解． （1）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （2）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （3）由可得，求出，因为三角形的三边长分别是a、b、c，所以这个三角形是等边三角形． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2） ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由：， ， ， 即， ，， ，， 这个三角形是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：因式分解+分式全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）计算，结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖南株洲·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C．0 D． 5．（24-25八年级上·湖南湘潭·阶段练习）把多项式分解得（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）利用“提公因式法”对多项式进行因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）有一并联电路，两电阻阻值分别为，，总电阻为R，三者的关系为：．若已知R、，则为（   ） A． B． C． D． 8．（2025八年级上·湖南永州·专题练习）为了增加下一年的收成，刘伯伯决定加大种植面积，将能种植棵玉米的亩矩形土地向外开垦，长宽都扩大为原来的倍，种植玉米数量变为原来的倍，则此时单位面积的种植数量和以前相比会（   ） A．增加 B．不变 C．减小 D．不确定 9．（2025·湖南邵阳·模拟预测）小华一家自驾车去某地旅游，手机导航系统推荐了两条线路，线路①全程90千米，线路②全程110千米，汽车在线路②上行驶的平均时速比线路①上行驶的平均时速快50千米/时，线路②的用时预计比线路①用时少半小时．设汽车在线路①上行驶的平均速度为x千米/时，则可列出正确方程为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·湖南株洲·阶段练习）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（     ）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）因式分解： ． 12．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）已知，则式子的值是 ． 13．（25-26八年级上·湖南岳阳·课后作业）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 14．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是 ． 15．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）若实数，，，满足，，则 ． 16．（24-25八年级上·湖南永州·期中）某中学组织学生乘车前往实践基地参加活动，计划租m辆车（），如果每辆车13人，则有4人上不了车；如果有一辆车不坐人，那么正好平分到其他车上，则计划组织 名学生参加此次活动． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（2025八年级上·湖南益阳·专题练习）把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5)． 18．（2025八年级上·湖南娄底·模拟预测）解方程 19．（2025·湖南松江·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； 第4个等式： ； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)直接写出你猜想的第n个等式，并证明该等式．（用含字母n的式子表示等式） 20．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）下面是小颖同学解分式方程的过程．请认真阅读并完成相应的任务． 解∶方程两边同乘______， 得．…………第一步 去括号，得．…………第二步 移项、合并同类项，得．……………………第三步 系数化为1，得．……………………第四步 (1)第一步中横线处应填______，这一步的目的是______，其依据是______； (2)小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步．请你写出这一步，并说明这一步不能缺少的理由． 21．（25-26八年级上·湖南益阳·课后作业）阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值． 22．（25-26八年级上·湖南株洲·单元测试）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 23．（25-26八年级上·湖南怀化·单元测试）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出C关于D的“雅中值”． (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的的值之和． 24．（24-25八年级上·湖南湘潭·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $