精品解析：陕西省咸阳市渭城区第二初级中学2024-2025学年 九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年陕西省咸阳市渭城二中九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，即可解答，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．在求二次函数图象的顶点坐标时，要熟记顶点坐标公式． 根据二次函数的顶点坐标公式解答即可． 【详解】解：的二次项系数，一次项系数，常数项， ，即，，即， 二次函数图象的顶点坐标是 故选：C． 3. 如图所示，的三个顶点在上，其中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 根据等腰三角形的性质和圆心角、弧、弦的关系即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴ 故选：A． 4. 如图，在中，，那么边的长是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正弦的定义，根据正弦三角函数的定义可得． 【详解】解：∵在中，， ∴ 故选：C． 5. 下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③平面上任意三点能确定一个圆；④圆的内接正六边形的中心角为其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形与圆，圆的认识，正确记忆相关知识点是解题关键．根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断． 【详解】根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是弦，故①正确， 弧是圆上任意两点间的部分，半圆是弧的一种特殊情况，但弧不一定是半圆，故②错误， 当平面上的三点在同一条直线上时，不能确定一个圆，只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，故③错误， 根据圆内接正多边形中心角公式：(n为边数)，可知圆的内接正六边形的中心角为，故④正确， 正确的个数为， 故选：． 6. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则关于的一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 先利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，则方程的解为，，由于关于的一元二次方程可看作关于的一元二次方程，所以或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：由二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为， 即抛物线与轴的一个交点坐标为， ∵抛物线对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 即方程的解为，， ∵关于的一元二次方程可看作关于的一元二次方程， ∴或， 解得，， 即关于的一元二次方程的解为，， 故选：D． 7. 如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理是解题的关键．由垂径定理可得，再根据圆的性质可得，再根据勾股定理列方程求得，即，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵是的直径，弦于点， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴， ∴的面积是． 故选：A． 8. 已知二次函数的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（ ） x … 0 2 3 4 … y … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时， D. 若，是图象上两点，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先利用交点式求出抛物线解析式，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可对B进行判断；利用抛物线与轴的交点坐标为可对C进行判断；根据二次函数的增减性可对D进行判断． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为，开口向上，所以A选项不符合题意； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，所以B选项不符合题意； ∵抛物线与轴的交点坐标为，且开口向上， ∴当时，，所以C选项不符合题意； ∵，是函数图象上两点， ∴当时，，当时，， ∴，所以选项D符合题意， 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 9. 半径为4，点A到点O距离为3，则点A在______（填“上”“内”或“外”）． 【答案】内 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系：在圆上，在圆外，在圆内判断即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴点在圆内， 故答案为：内． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系：在圆上，在圆外，在圆内． 10. 将抛物线向上平移5个单位长度得到的新抛物线的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键；根据“上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：抛物线向上平移5个单位长度得到的新抛物线的表达式为：，即． 故答案为：． 11. 如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键． 由交于点E，得，因为，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：交于点E， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为_________________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，先求得与y轴的交点，再结合抛物线求得点B和点C，即可求得． 【详解】解：∵抛物线与y轴交于点A， ∴A点坐标为． 当时，， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， ∴． 故答案为：10． 13. 如图，在扇形中，平分交于点C，点D为半径上一动点，连接．若，，则阴影部分图形周长的最小值为______．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，求弧长，等边三角形的判定和性质，在上取，连接，，设与交于点F，连接，证明点C与点E关于对称，得出，得出，求出，得出最小时，即最小，此时阴影部分周长最小，根据两点之间线段最短，得出当B、D、E三点共线时，最小，即阴影部分周长最小，再证明为等边三角形，求出最小值即可． 【详解】解：如图，在上取，连接，，设与交于点F，连接， ∵平分交于点C， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴点C与点E关于对称， ∴， ∴． ∵， ∴当最小时，阴影部分周长最小． ∵， ∴当最小时，最小． ∴当三点共线时，最小，即最小值为长． ∵， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴阴影部分图形周长的最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂，根据运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 15. 已知抛物线的表达式为，求该抛物线与x轴的交点坐标． 【答案】和 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 通过解方程得到抛物线与x轴的交点的横坐标． 【详解】解：当时，， 解得，， 抛物线与x轴的交点的坐标为和 16. 如图，某超市门口要修建一座跨度为24米的人行天桥即米，，天桥架空高度为6米与之间的距离为6米，若天桥两边的斜坡，的坡度均为，求人行天桥的桥面的长度． 【答案】人行天桥的桥面的长度为6米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；作出辅助线，根据坡度比例，进行计算可得米，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点D作于点E，过点C作于点F， 由题意得：，米， ∵天桥两边的斜坡，的坡度均为， ∴, ∴米， ∵米， ∴米， ∴人行天桥的桥面的长度为6米． 17. 尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹） 【答案】 即为所求： 【解析】 【分析】此题主要考查了复杂作图以及三角形的外接圆作法等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据三角形外接圆的作法，作任意两边垂直平分线得出圆心，连接，再以的长度为半径，画圆，进而得出外接圆． 【详解】略 18. 如图，四边形的面积为，扇形的半径为4，圆心角为，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，不规则图形的面积，先根据扇形面积公式：求出扇形的面积，然后根据阴影部分的面积=四边形的面积-扇形的面积求解即可． 【详解】解：∵扇形的半径为4，圆心角为， ∴扇形的面积为， 又四边形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 19. 已知二次函数（m为常数）． （1）求二次函数的图象与x轴的公共点的个数； （2）若点在二次函数的图象上，求二次函数的表达式． 【答案】（1）二次函数的图象与x轴有2个公共点 （2） 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴交点问题，待定系数法求抛物线解析式．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系和待定系数法求抛物线解析式是解题的关键． （1）令，则：，利用根的判别式判定一元二次方程根的情况，即可得出结论； （2）用待定系数法求出抛物线解析式即可． 【小问1详解】 解：令，则， 由题意知：，，， ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图象与x轴有2个公共点． 【小问2详解】 解：将点代入中得 ， 解得∶， ∴二次函数的表达式为． 20. 如图，在中，，，点D在上，点E在上，过点E作交边于点F，连接并延长交的延长线于点G，，且，求的长． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查等角的余角相等，正切的定义，根据同角的余角相等得到，即可得到，然后根据正切的定义求出长即可． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，即， 解得， ∴的长为4． 21. 如图，四边形内接于，，点在的延长线上，连接，，．求证：是的切线． 【答案】 证明：连接，如图， ， 是的直径， ，， ， ， ，即， ， 为的半径， 是的切线． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定定理，同弧所对的圆周角相等，90度的圆周角所对的弦是直径，先证明是的直径，再证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】略 22. 如图，无人机从A处测得大楼底端点D处的俯角，测得大楼顶端点C处的俯角．已知点A、B、C、D都在同一平面上，无人机所处高度．求该大楼 的高度． 参考数据：． 【答案】大楼的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，先解直角三角形得到，过C作于H，则四边形是矩形，则，解得到，则． 【详解】解：∵， ∴， 如图所示，过C作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 答：大楼的高度为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的抛物线的对称轴为，与直线交于点，连接求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，求出点坐标是解题的关键． 先求出一次函数解析式，得出点坐标，再求出抛物线的对称轴，进而求出点的坐标，最后根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：将代入，得， ∴点坐标为， 将点代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为， 令，则， 解得， ， ∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∴点的横坐标为， 将代入得，， ， ． 24. 如图，是的直径，点，在上，过点作的切线与的延长线交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∴， ∵点是的切点， ∴， 在中，， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，由圆周角定理得到，根据切线的性质得到，根据直角三角形两锐角互余，直径所对圆周角为直角得到，由此即可求解； （2）设，则，由解得，在中，由勾股定理得到，则，，，再证明，得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∵， ∴， 解得，， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，． 【点睛】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，直径所对圆周角是直角，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的管家． 25. 如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？ 【答案】（1）；（2）能安全通过 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式； （2）令x＝10，求出y与6作比较． 【详解】（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10）， 设抛物线解析式为：， 将点B（0，4）代入，得：， 解得：， 故该抛物线解析式为； （2）根据题意，当x＝6+4＝10时，y16+106， ∴这辆货车能安全通过． 【点评】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 26. 【问题提出】 （1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 ； 【问题探究】 （2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值． 【答案】（1）12；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查轨迹圆及利用轨迹圆求最小值，涉及圆的基本知识，正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识；确定动点轨迹是解题的关键． （1）直接利用点到直线的所有连线中垂线段最短即可求解； （2）根据题意得点的轨迹在以为直径的圆上部分，连接，交圆于点，此时的即为的最小，然后根据正方形的性质及勾股定理即可求解； （3）连接，根据题意得：，以为直径作圆Q，，得出点E在以为直径作圆Q上，然后结合图形确定当点Q、E、C三点共线时，取得最小值，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： 由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径不变， 可知此时最大， 最大值为， 故答案为：12； （2）根据题意得是定值，， ∴点的轨迹在以为直径的圆上部分，如图， 连接，交圆于点， 此时的即为的最小， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）如图，连接， 根据题意得：， 以为直径作圆Q，， ∴点E在以为直径作圆Q上， 连接， 当点Q、E、C三点共线时，取得最小值， ∵，，． ∴，， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年陕西省咸阳市渭城二中九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，的三个顶点在上，其中，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，那么边的长是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5. 下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③平面上任意三点能确定一个圆；④圆的内接正六边形的中心角为其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则关于的一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（ ） x … 0 2 3 4 … y … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时， D. 若，是图象上两点，则 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 9. 半径为4，点A到点O距离为3，则点A在______（填“上”“内”或“外”）． 10. 将抛物线向上平移5个单位长度得到的新抛物线的表达式为______． 11. 如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为_________________． 13. 如图，在扇形中，平分交于点C，点D为半径上一动点，连接．若，，则阴影部分图形周长的最小值为______．（结果保留） 三、解答题：本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算：． 15. 已知抛物线的表达式为，求该抛物线与x轴的交点坐标． 16. 如图，某超市门口要修建一座跨度为24米的人行天桥即米，，天桥架空高度为6米与之间的距离为6米，若天桥两边的斜坡，的坡度均为，求人行天桥的桥面的长度． 17. 尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹） 18. 如图，四边形的面积为，扇形的半径为4，圆心角为，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和） 19. 已知二次函数（m为常数）． （1）求二次函数的图象与x轴的公共点的个数； （2）若点在二次函数的图象上，求二次函数的表达式． 20. 如图，在中，，，点D在上，点E在上，过点E作交边于点F，连接并延长交的延长线于点G，，且，求的长． 21. 如图，四边形内接于，，点在的延长线上，连接，，．求证：是的切线． 22. 如图，无人机从A处测得大楼底端点D处的俯角，测得大楼顶端点C处的俯角．已知点A、B、C、D都在同一平面上，无人机所处高度．求该大楼 的高度． 参考数据：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的抛物线的对称轴为，与直线交于点，连接求的面积． 24. 如图，是的直径，点，在上，过点作的切线与的延长线交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？ 26. 【问题提出】 （1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 ； 【问题探究】 （2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $