精品解析：天津市实验中学滨海育华学校2025-2026学年高三上学期暑期验收（开学）考试数学试题

2025-2026学年第一学期高三年级暑期验收（数学）试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 经验回归直线是由成对样本数据中的两点确定的 B. 如果两个变量的相关程度越强，则相关系数越接近于1 C. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% 7. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.7，此运动员两次均击中9环的概率为0.56，则在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率，（ ） A. 0.392 B. 0.56 C. 0.8 D. 0.9 10. 设为随机变量，若，当时，的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 11. 已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数与其导函数的定义域均为，且，则，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 已知命题：，，则是_____________________ 14. 函数的定义域是_______． 15. 在的展开式中，常数项为______． 16. 哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、两个结界兽、四大龙王共8个人物手办，小明随机购买3个盲盒（3个盲盒内人物一定不同），求在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，四大龙王有且仅有一位的概率为______；记小明抽到的龙王盲盒个数为X，则E（X）＝______． 17. 小轩操场跑步，一周2次，一次跑5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.3，跑6圈的概率为0.7；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4．小轩一周跑11圈的概率为_________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为，则的期望_________． 18. 已知函数的单调递增区间为_____． 19. 若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为________． 20. 函数，若恰有三个零点，则实数a的取值范围是______． 三、解答题 21. 2025年蛇年春晚舞台上，由中国某科技企业制造的人形机器人 Umitrer Al 扭秧歌表演《秧BOT》成为一大亮点，引发世界热议，这一节目完美的展示了中国的科技进步与文化自信，更为人形机器人的创新发展注入新的动力，而谐波减速器作为人形机器人的核心部件，其重要性不言而喻.某企业为了测试某型号谐波减速器运行情况必须对其中三项不同运行指标甲、乙、丙进行通过量化检测：假设该谐波减速器运行情况的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为 指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响. （1）求该型号谐波减速器运行情况量化得分不低于8分的概率； （2）记该型号谐波减速器运行情况的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望. 22. 某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答． （1）若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率； （2）若恰好抽选了 1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率； （3）若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与均值． 23. 已知函数的导函数为，且满足. （1）求及的值； （2）求在点处的切线方程. 24. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高三年级暑期验收（数学）试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出集合，再应用交集定义求解. 【详解】，， 则. 故选：C. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求一元二次不等式和绝对值不等式的解集，再根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系． 【详解】由，解得或，即， 又，则，解得，即， 又因为是的真子集， 所以“”是“”的必要而不充分条件． 故选：B． 3. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 4. 已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义判断可得结论． 【详解】因为的定义域为R，又因为，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是奇函数，符合题意． 故选：D． 5. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构建函数，，利用两函数的单调性进行比较. 【详解】由是上的减函数，所以有，则； 函数为上的减函数，所以有， 所以，故. 故选：D 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 经验回归直线是由成对样本数据中的两点确定的 B. 如果两个变量的相关程度越强，则相关系数越接近于1 C. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% 【答案】C 【解析】 【分析】根据回归方程、相关系数的意义、残差平方和、独立性检验的知识对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，经验回归直线是通过最小二乘法，使所有样本点到直线的误差平方和最小来确定的， 并非由成对样本数据中的两点确定，所有A错误； 对于B，如果两个变量的相关程度越强，当是正相关时，相关系数越接近于1； 当是负相关时，相关系数越接近于，并非只接近1，所以B错误； 对于C，残差平方和是衡量回归模型拟合效果的一个重要指标，残差平方和越小， 说明模型对数据的拟合效果越好，所以C正确； 对于D，在独立性检验中，计算得到，而， 因为，所以不能推断出犯错误的概率不超过0.5%，所以D错误. 故选：C. 7. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由散点图的特征，结合相关系数的定义即可得到答案． 【详解】由散点图的趋势可知，，，， 又图一的散点图比图三的散点图更为集中，则，所以， 又图二的散点图比图四的散点图更为集中，则，所以， 所以． 故选：D． 8. 某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布的期望和方差性质计算可判断AB选项，再由期望值性质可判断C选项，由二项分布定义可求出对应概率可判断D选项. 【详解】对于A，因为服从二项分布，所以，即A正确； 对于B，由二项分布可得，因此B正确； 对于C，易知，即C正确； 对于D，显然，可知D错误. 故选：D 9. 经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.7，此运动员两次均击中9环的概率为0.56，则在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率，（ ） A. 0.392 B. 0.56 C. 0.8 D. 0.9 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率计算公式可得答案. 【详解】设第一次击中9环为事件A，第2次击中9环为事件B， 由题可得， 则在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为. 故选：C 10. 设为随机变量，若，当时，的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】随机变量服从正态分布，且满足， ，解得：. 故选：A 11. 已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分离参数法求解不等式恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可得到结果. 【详解】由题知，当，恒成立， 即恒成立， 令，， 则， 令，得，令，得， 所以在上递增，在上递减， 所以， 所以. 故选：A 12. 已知函数与其导函数的定义域均为，且，则，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，通过求导结合条件分析的单调性，由可得，将所求不等式转化为，利用单调性可得答案. 【详解】令，则， 因为， 所以当时，，，在上为增函数， 当时，，，在上为减函数， 因为，所以， 所以，故， 因为等价于，等价于， 所以，故，即不等式的解集是. 故选：B. 二、填空题 13. 已知命题：，，则是_____________________ 【答案】， 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】命题：，， 则是：，. 故答案为：，. 14. 函数的定义域是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用给定的函数有意义列式，求出定义域即可. 【详解】要使原函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 15. 在的展开式中，常数项为______． 【答案】 【解析】 【分析】写出的展开式通项公式，求出常数项为. 【详解】展开式通项公式为， 令得，所以常数项为. 故答案为： 16. 哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、两个结界兽、四大龙王共8个人物手办，小明随机购买3个盲盒（3个盲盒内人物一定不同），求在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，四大龙王有且仅有一位的概率为______；记小明抽到的龙王盲盒个数为X，则E（X）＝______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】先求出从8个人物手办中，随机购买3个盲盒的买法和包含哪吒和至少一位龙王的买法，再利用古典概率公式求出各事件的概率，再依据条件概率公式，求出结果. 【详解】空1：事件：随机购买3个盲盒，含哪吒且不包含敖丙，， 事件：随机购买3个盲盒，恰有四个龙王中的一个： 包含哪吒且不包含敖丙的条件下，四大龙王有且仅有一位的概率为： 空2：每个盲盒抽到龙王的概率为：,每个盲盒未抽到龙王的概率为：， 则抽到与未抽到龙王服从二项分布： 故答案为：①；② 17. 小轩操场跑步，一周2次，一次跑5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.3，跑6圈的概率为0.7；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4．小轩一周跑11圈的概率为_________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为，则的期望_________． 【答案】 ①. 0.65## ②. 3.4 【解析】 【分析】设出事件，利用全概率公式求出小轩一周跑11圈的概率；再求出一周至少跑11圈的概率，得到，利用二项分布求期望公式进行求解. 【详解】设一周跑11圈为事件A，第一次跑5圈为事件B，第二次跑5圈为事件C， 则， 故 ； 一周跑10圈的概率为，故一周至少跑11圈的概率为， 故，故. 故答案为：0.65，3.4 18. 已知函数的单调递增区间为_____． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域，再利用二次函数、对数函数及复合函数单调性求出递增区间. 【详解】函数有意义，，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 19. 若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由分布列的性质可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件. 【详解】随机变量的分布列如表所示， ， ， ，当且仅当时取等号， 的最小值为． 20. 函数，若恰有三个零点，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别将两段函数的零点求出来，然后分情况讨论的范围和零点个数，最后可求出范围. 【详解】因为函数为分段函数，第一段函数为. 令，则，解得. 第二段函数为. 要使得第二段函数有零点，则. ①当时，第一段函数有两个零点，那么为了满足题目要求，第二段函数只有一个零点， 所以在上只有一个零点. 此时抛物线开口向下，对称轴为，所以，解得. 所以满足题意. ②当时，第一段函数只有一个零点，那么为了满足题目要求，第二段函数有两个零点， 此时在上有两个零点. 所以. 当时，，，解得，或者， 且满足，解得. 此时的范围为. 当时，，解得，或者， 此时的范围为空集. 综上，的范围为. 故答案为：. 三、解答题 21. 2025年蛇年春晚舞台上，由中国某科技企业制造的人形机器人 Umitrer Al 扭秧歌表演《秧BOT》成为一大亮点，引发世界热议，这一节目完美的展示了中国的科技进步与文化自信，更为人形机器人的创新发展注入新的动力，而谐波减速器作为人形机器人的核心部件，其重要性不言而喻.某企业为了测试某型号谐波减速器运行情况必须对其中三项不同运行指标甲、乙、丙进行通过量化检测：假设该谐波减速器运行情况的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为 指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响. （1）求该型号谐波减速器运行情况量化得分不低于8分的概率； （2）记该型号谐波减速器运行情况的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望. 【答案】（1）； （2）分布列为： 0 1 2 3 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）设甲通过量化检测为事件A，乙通过量化检测为事件B，丙通过量化检测为事件C，得分不低于8分为事件D，由题可得，据此可得答案； （2）由题可得随机变量ξ的可能值为：，据此可得分布列及期望. 【小问1详解】 设甲通过量化检测为事件A，乙通过量化检测为事件B， 丙通过量化检测为事件C，得分不低于8分为事件D， 由已知，，， 由题，； 【小问2详解】 由题可得随机变量ξ的可能值为：. 则； ； ； . 则分布列为： 0 1 2 3 则. 22. 某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答． （1）若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率； （2）若恰好抽选了 1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率； （3）若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与均值． 【答案】（1） （2） （3）分布列： 【解析】 【分析】（1）由古典概型即可求解； （2）判断题干所求为条件概率，利用条件概率公式即可求解； （3）列出所有符合的组合情况，计算的分布列与均值即可. 【小问1详解】 若逐个抽选，恰好第一个抽选的是男生的情况为男生所占人数总比例，即概率为. 【小问2详解】 记事件 为恰好抽选了 1名男生与1名女生，事件为这2人都是高二学生.由题知男生总共人，女生总共人. ，， 由条件概率可得. 【小问3详解】 因为恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，可能的情况包含“1名高一男学生与1名高二男学生” 、“1名高一男学生与1名高二女学生”、 “1名高一女学生与1名高二男学生”、“1名高一女学生与1名高二女学生”. 抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，则的可能取值为. ； . 则的分布列为 则均值. 23. 已知函数的导函数为，且满足. （1）求及的值； （2）求在点处的切线方程. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设，代入即可求，进而求出. （2）根据导数的几何意义，结合（1）的结果，应用点斜式写出切线方程. 【小问1详解】 由题设，，故，可得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知：切点为且切线斜率为， 所以切线方程为，即. 24. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $