精品解析：黑龙江省鸡西市文成中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

2025-2026年度第一学期开学考试试题 高二数学 考试时间：75分钟 试卷分值：150分 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】由，得：，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D. 2. 已知向量，，那么向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线的充要条件计算即可判断. 【详解】向量，，则存在，使得 故只有向量符合. 故选：A. 3. 在中，，则边上的中线长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求的长度，再利用中线长定理求解即可. 【详解】由余弦定理可得， 由中线长定理知边上的中线长为， 故选：B 4. 甲乙两人向同一目标射击一次，已知甲命中目标的概率0.4，乙命中目标的概率为0.5.假设甲乙两人命中率互不影响，求目标被命中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令事件表示“甲命中目标”，事件表示“乙命中目标”，事件表示“目标被命中”，则. 【详解】令事件表示“甲命中目标”，事件表示“乙命中目标”，事件表示“目标被命中”， 则， 所以 ， 故选：C 5. 在中，角所对的边分别为，若， 则的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理进行边化角化简可得，根据余弦值求出，代入上式可求得外接圆半径从而求出外接圆面积. 【详解】由题意及正弦定理得 (R为的外接圆半径)，即， 又及，知， ，解得， 所以外接圆面积. 故选：C 6. 在直三棱柱中，，，，则这个直三棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出三棱柱的外接球的半径，再利用球的表面积公式的应用求出结果． 【详解】直三棱柱中，，， 所以，由正弦定理可得，所以， 即△的外接圆的半径为，所以三棱柱的外接球的半径， 所以． 故选：． 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是 B. 用抽签法从含有20个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则个体甲和乙被抽到的概率均为0.2 C. 一组数据4，3，2，6，5，8的60%分位数为6 D. 若样本数据，，…，的平均数为2，则数据，，…，的平均数为3 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数的概念求解判断A；由简单随机抽样的概念判断B；由百分位数的定义判断C；由平均数的性质判断D. 【详解】8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是，故A正确； 用抽签法从含有20个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则每个个体抽到的概率均为，故B正确； 数据4，3，2，6，5，8由小到大排列：2，3，4，5，6，8， ∵6×60%＝3.6，∴这组数据的60%分位数为第4个数 5，故C错误； 若样本数据，，…，的平均数为2，则数据，，…，的平均数为，故D正确. 故选：C. 8. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西，另一灯塔在船的南偏西，则这只船的速度是每小时（ ） A. 5海里 B. 海里 C. 10海里 D. 海里 【答案】C 【解析】 【分析】画出示意图，在直角中，求得，进而求得这艘船的速度. 【详解】如图所示，由题意知，所以, 可得， 在直角中，， 所以这艘船的速度为（海里/小时）. 故选：C. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”，则（ ） A. A与C互斥 B. B与D对立 C. A与相互独立 D. B与C相互独立 【答案】AD 【解析】 【分析】根据互斥的意义判定A；利用对立事件定义判断B； 利用独立事件的概率公式判断C、D. 【详解】事件A：两枚骰子的点数之和为5， 则为（1,4）（4,1）（2,3）（3,2） 事件C：表示“两枚骰子的点数相同， 则为（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6） 故事件A与事件C互斥，所以A正确； 事件中与事件D会出现相同的情况，例如（2,1）（4,3）等 故事件中与事件D不对立，故B不正确； 事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数” 事件D的对立事件表示“掷出的点数都是偶数点” 所以,, 所以 故C不正确； ,, 所以 故D正确； 故选：AD. 10. 下列关于平面向量的说法中错误的是（ ） A. 设，为非零向量，若，则 B. 设，为非零向量，若，则的夹角为锐角 C. 设，，为非零向量，则 D. 若点G为的外心，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量的运算结合数量积公式即可判断选项ABC，结合向量的线性运算即可判断D. 【详解】对于A，若， 则，可得， 又，为非零向量，所以，A正确； 对于B，若，且，为非零向量， 所以，夹角为锐角或者同向，B错； 对于C，与共线，与共线，C错； 对于D，若点为的重心， 延长交于，可得为中点， 即有， 即有， 而为的外心，与重心性质不符，D错.    故选：BCD 11. 如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点．则下列结论正确的是（ ） A. 若为中点，则平面 B. 若为中点，则平面 C. 不存在点，使得 D. PQ与平面所成角正弦值的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理可判断A；利用线面垂直的判定定理可判断B；当Q与B重合时，结合平面，可证，判读C；利用线面角的定义求出PQ与平面所成角的正弦值的最值，可判断D. 【详解】对于A，连接，由于为中点，为线段的中点， 故，而平面，平面， 故平面，A正确； 对于B，在正方体中，连接，则， 又平面，平面，故， 而平面，故平面， 由A的分析可知，故平面，B正确； 对于C，在正方体中，为线段的中点，也为为线段的中点， 当Q与B重合时，平面， 连接，则， 又平面，平面，故， 而平面，故平面， 而平面，故，即 即存在点，使得，C错误； 对于D，不妨设正方体棱长为2，作，垂足为H，则H为的中点， 由于平面平面，平面平面， 且平面，故平面，且， 则为PQ与平面所成角， 当Q与B重合时，取到最大值BH，此时PB即为PQ最大值， 此时PQ与平面所成角的正弦值取到最小值，为， 而,故； 作，垂足为G，则，， 当Q与G重合时，取到最小值即为HG，此时PG长即为PQ的最小值， 此时PQ与平面所成角的正弦值取到最大值，为， 即PQ与平面所成角的正弦值的取值范围为，D正确， 故选：ABD 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项D的判断，解答时要能根据线面角的定义，确定角的正弦值取到最值时的点Q的位置，从而解直角三角形求出正弦值. 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的平均分数为________分． 【答案】76.2 【解析】 【分析】根据平均值计算方法求解. 【详解】样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值， 取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可． 所以平均成绩为 ． 故答案为：76.2. 13. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知分别求出和，再根据平面向量数量积的运算律求解即可． 【详解】由得，， 因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为， 所以，即， 所以， 所以， 故答案为：． 14. 如图，四棱锥所有棱长都为2，E为线段SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据线面平行的性质定理得出线线平行，再根据图形特征计算边长即可求出周长. 【详解】因为四边形ABCD为菱形，所以. 因为平面SAB，平面SAB，所以平面SAB. 因为平面CDE，平面平面，所以，则. 因为E为SA的中点，所以F为SB的中点，所以. 因为是边长为2的等边三角形，所以，且， 同理可得，因此四边形DEFC的周长为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知，． （1）若，，且、、三点共线，求的值 （2）当为何值时，有与垂直 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出、的坐标，由、、三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值； （2）依题意可得，根据数量积的坐标表示计算可得． 【小问1详解】 ，， ，， ，，三点共线， 与共线， ，解得； 【小问2详解】 ，， 与垂直， ，解得． 16. 如图，在正方体中，点E为的中点． （1）求证：平面； （2）若，从正方体中截去三棱锥后，求剩下的几何体的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）由等积法求出三棱锥的体积，即可求解 【小问1详解】 连接，交于点，连接， 因为分别为的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为， , 所以从正方体中截去三棱锥后，剩下的几何体的体积 17. 杭州亚运会期间，某大学有名学生参加体育成绩测评，将他们的分数单位：分按照，，，，分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值及这组数据的第百分位数； （2）按分层随机抽样的方法从分数在和内的学生中抽取人，再从这人中任选人，求这人成绩之差的绝对值大于分的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为可求出的值，再利用百分位数的定义求这组数据的第百分位数即可； （2）利用古典概型的概率公式求解． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，， 解得， 因为，， 所以这组数据的第百分位数位于，设其为， 则， 解得，即这组数据的第百分位数为； 【小问2详解】 由题可知，从分数在内的学生中抽取人，记为，， 则分数在内的学生中抽取人，记为，，，， 从中任选人，则所有可能结果有：，，，，，，，， ，，，，，，共个， 满足这人成绩之差的绝对值大于分的有，，，，，，，共个， 故所求的概率． 18. 如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为，，，，，，． （1）求证：平面ADE； （2）求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值； （3）求点F到平面ABCD的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行判定定理可得平面BCF，平面BCF，再由面面平行的判定定理和性质定理可得答案； （2）即为二面角的平面角，作于O，由线面垂直的判定定理可得平面ADE，平面CDEF，连结CO，直线AC与平面CDEF所成角为，求出正弦值即可； （3）由（2）得平面CDEF，又，可得答案． 【小问1详解】 ∵四边形ABCD是矩形，∴， 平面BCF，平面BCF，所以平面BCF， ∵，平面BCF，平面BCF，所以平面BCF， ，∴平面平面ADE，∵平面BCF，∴平面ADE； 【小问2详解】 ∵，，∴即为二面角的平面角， ∴， 又，平面ADE， 所以平面ADE，作于O，因为平面ADE， 所以，又，平面CDEF， 所以平面CDEF，连结CO， 所以直线AC与平面CDEF所成角为， ，，所以． 直线AC与平面CDEF所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由（2）得平面CDEF，又，所以距离，又由已知可得 ，，，所以． 19. 甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．设甲每次购买这种物品的数量为m，乙每次购买这种物品所花的钱数为n． （1）若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少； （2）设两次购买这种物品的价格分别为元，元（，，且），甲两次购物的平均价格记为，乙两次购物的平均价格记为．通过比较，的大小，说明问甲、乙谁的购物策略比较经济合算． 【答案】（1）; （2）第二种购物方式比较划算． 【解析】 【分析】（1）甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，由两次所花钱数除以购物数量可得平均价格； （2）利用平均数计算公式，分别计算出平均数，即可表示出来．再利用作差法比较两种购物方式中，哪种划算． 【小问1详解】 设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为， 所以甲两次购买这种物品平均价格为：， 乙两次购买这种物品平均价格为：； 小问2详解】 甲两次购物时购物量均为，则两次购物总花费为， 购物总量为，平均价格为． 设乙两次购物时用去的钱数均为，则两次购物总花费，购物总量为， 平均价格为， ， ， ， 故：第二种购物方式比较划算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度第一学期开学考试试题 高二数学 考试时间：75分钟 试卷分值：150分 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，那么向量可以是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则边上的中线长为（ ） A 1 B. C. D. 2 4. 甲乙两人向同一目标射击一次，已知甲命中目标概率0.4，乙命中目标的概率为0.5.假设甲乙两人命中率互不影响，求目标被命中的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角所对的边分别为，若， 则的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在直三棱柱中，，，，则这个直三棱柱外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是 B. 用抽签法从含有20个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则个体甲和乙被抽到的概率均为0.2 C. 一组数据4，3，2，6，5，8的60%分位数为6 D. 若样本数据，，…，的平均数为2，则数据，，…，的平均数为3 8. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西，另一灯塔在船的南偏西，则这只船的速度是每小时（ ） A. 5海里 B. 海里 C. 10海里 D. 海里 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”，则（ ） A. A与C互斥 B. B与D对立 C. A与相互独立 D. B与C相互独立 10. 下列关于平面向量的说法中错误的是（ ） A. 设，为非零向量，若，则 B. 设，为非零向量，若，则的夹角为锐角 C. 设，，为非零向量，则 D. 若点G为的外心，则 11. 如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点．则下列结论正确的是（ ） A. 若为中点，则平面 B. 若为中点，则平面 C. 不存在点，使得 D. PQ与平面所成角的正弦值的取值范围为 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的平均分数为________分． 13. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则______． 14. 如图，四棱锥的所有棱长都为2，E为线段SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为__________. 四、解答题 15. 已知，． （1）若，，且、、三点共线，求的值 （2）当为何值时，有与垂直 16. 如图，在正方体中，点E为的中点． （1）求证：平面； （2）若，从正方体中截去三棱锥后，求剩下几何体的体积． 17. 杭州亚运会期间，某大学有名学生参加体育成绩测评，将他们的分数单位：分按照，，，，分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值及这组数据的第百分位数； （2）按分层随机抽样的方法从分数在和内的学生中抽取人，再从这人中任选人，求这人成绩之差的绝对值大于分的概率． 18. 如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为，，，，，，． （1）求证：平面ADE； （2）求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值； （3）求点F到平面ABCD的距离． 19. 甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．设甲每次购买这种物品的数量为m，乙每次购买这种物品所花的钱数为n． （1）若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少； （2）设两次购买这种物品价格分别为元，元（，，且），甲两次购物的平均价格记为，乙两次购物的平均价格记为．通过比较，的大小，说明问甲、乙谁的购物策略比较经济合算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $