精品解析：黑龙江省黑河市2025-2026学年高二上学期九校期初联考数学试题

2025~2026学年度上学期九校学期初联考高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第4节一第7节，必修第二册第六章一第八章，选择性必修第一册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 9 3. 已知在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 21 5. 如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C 若，，则 D. 若，，，则 8. 已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若两个不同平面，的法向量分别是，，则 B. 若，，，则点在平面内 C. 已知，，则与方向相同的单位向量是 D. 若，，是空间的一组基，则向量，，也是空间的一组基 10. 已知复数，则下列说法正确是（ ） A. 的虚部为 B. C. 在复平面内对应的点位于第三象限 D. 11. 已知的面积为S，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各条件能推出 的是（ ） A. B. C. ，且 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是___________． 13. 已知，则___________． 14. 已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且四边形是边长为的正方形，若四棱锥的体积的最大值为6，则球的表面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数. （1）求的最小正周期，图象的对称中心； （2）求的单调递减区间. 16. 已知， （1）求与的夹角； （2）若，且，求的值． 17. 如图，在菱形中，，是线段的中点，将沿折起到的位置． （1）若，证明：平面平面； （2）若二面角是，求点到平面的距离． 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）已知. （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）当时，求的周长. 19. 如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度上学期九校学期初联考高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第4节一第7节，必修第二册第六章一第八章，选择性必修第一册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用共轭复数的概念进行求解. 【详解】共轭复数, 故选:D 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示方法，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，因为， 可得，解得. 故选：C. 3. 已知在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理，代入数值即可求得的值. 【详解】由余弦定理得. 故选：B. 4. 已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合棱台的体积公式，准确计算，即可求解. 【详解】由棱台的体积公式，可得. 故选：B. 5. 如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法进行计算. 【详解】由题意，得 ． 故选：D． 6. 将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的变换规则计算可得. 【详解】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到， 将的图象向右平移个单位长度得到. 故选：D 7. 已知，，是三个不同平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 若，，，则或者异面，故A错误， 对于B, 若，，则或者，故B错误， 对于C, 若，，则或者，相交，故C错误， 对于D, 若，，，则,D正确， 故选：D 8. 已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的范围，由条件结合正弦函数的图象列不等式求结论． 【详解】∵，∴时，， ∵在区间内有最大值，但无最小值， 令，结合图象， ∴，解得． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若两个不同平面，的法向量分别是，，则 B. 若，，，则点在平面内 C. 已知，，则与方向相同的单位向量是 D. 若，，是空间的一组基，则向量，，也是空间的一组基 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据平面法向量的位置关系，可得平面的位置关系，可得答案； 对于B，根据三个向量之间的线性关系，可得答案； 对于C，利用空间向量的坐标表示，求得其模长，结合单位化，可得答案； 对于D，根据空间中基底的定义，结合条件，可得答案. 【详解】因为，，所以，所以，故A错误； 因为， 所以，，共面，即点在平面内，故B正确； 因为，，所以， 所以与方向相同的单位向量是，故C错误； 若为共面向量，则存在不全零的实数使得， 故， 而，，是空间的一组基， 故，矛盾，故不共面，故为一组基底，故D正确. 故选：BD. 10. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. 在复平面内对应的点位于第三象限 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据三角函数诱导公式化简复数，再根据复数的相关概念逐一分析选项. 【详解】根据三角函数诱导公式化简，，所以. 对于A选项，的虚部为，所以A选项正确. 对于B选项，已知，则. 所以，B选项正确. 对于C选项，在复平面内， 对应的点为，该点位于第一象限，而不是第三象限，所以C选项错误. 对于D选项， 则，所以D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知的面积为S，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各条件能推出 的是（ ） A. B. C. ，且 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正弦定理可得A错误；由正弦定理和两角和的正弦可得B正确；由正弦和余弦定理可得C正确；由三角形面积公式，余弦定理，辅助角公式，基本不等式可得D正确. 【详解】A：由正弦定理可得， 所以或，故A错误； B：由正弦定理和可得， ， 化简可得， 因为，且， 所以，故B正确； C：因为， 则由正弦定理可得， 又余弦定理可得， 因为，所以，故C正确； D：因为， 又， 所以， 即，即， 当且仅当时取等号， 所以， 又， 所以， 此时由前面取等条件可得，，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系点关于平面的对称点的坐标变换特征求解即可. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为， 故答案为： 13. 已知，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两角和差的余弦公式得出，最后利用切化弦即可. 【详解】由得，， 则. 故答案为： 14. 已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且四边形是边长为的正方形，若四棱锥的体积的最大值为6，则球的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设球心到平面的距离为，球的半径为，根据四棱锥的体积的最大值以及外接球的几何性质列式计算求出半径，即可求得答案. 【详解】设球心到平面的距离为，球的半径为， 由题意可知，当到平面的距离最大，即到平面的距离为时， 四棱锥的体积最大， 即， 又在球面上，设它们所在的小圆的圆心为， 则 则，即，解得， 故球的表面积为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数. （1）求的最小正周期，图象的对称中心； （2）求的单调递减区间. 【答案】（1）；. （2），. 【解析】 【分析】（1）根据周期公式求周期，令，，求得对称轴； （2）根据余弦函数单调区间求法求出单调区间. 【小问1详解】 的最小正周期为； 令，，解得，， 故的图象的对称中心为. 【小问2详解】 令，， 解得，， 故的单调递减区间为，. 16. 已知， （1）求与的夹角； （2）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，列出方程，求得，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）由且，利用，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由， 因为，可得， 所以，解得， 又由，且，所以， 即向量与的夹角为. 【小问2详解】 解：由且， 可得， 因为，且，可得，解得. 17. 如图，在菱形中，，是线段的中点，将沿折起到的位置． （1）若，证明：平面平面； （2）若二面角是，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）本题可先根据菱形的性质和已知条件得出，，进而证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明平面平面； （2）利用等体积法，通过已知条件求出相关线段长度，进而求出点到平面的距离. 【小问1详解】 在菱形中，因为，是线段的中点，则，. 根据余弦定理可得， 由折叠可知， ，又，则，所以是直角三角形，. 已知，，所以. 因为，，，平面，所以平面.又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 在中，因为，所以是直角三角形，，又因为，所以. 连接，则是直角三角形，. 由（1）可知，是直角三角形，，，所以. 因为，所以是二面角的平面角.即. 又因为，，所以是等边三角形，点到平面的距离为. 设点到平面的距离为，因为，所以，即，解得，即点到平面的距离为. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）已知 （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）当时，求的周长. 【答案】（1） （2）（i）或；（ii） 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和为，联立即可求解； （2）（i）由余弦定理即可求解；（ii）首先得，结合，，三角形内角和定理、两角和的正弦公式以及正弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以； 【小问2详解】 （ⅰ）因为，，， 所以由余弦定理有，即， 化简得，解得或， （ⅱ）当时，由正弦定理有， 因，所以，所以， 所以， 而， 所以， 由正弦定理有，即，解得， 所以的周长为. 19. 如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 分析】（1）要证明线面平行，可通过证明线线平行即可证明线面平行，即证明. （2）（i）先根据已知条件确定球的球心位置，然后根据球的表面积求出球的半径，最后可求出三棱锥的体积.（ii）先建立空间直角坐标系，然后利用向量的坐标、向量夹角的余弦公式即可求出线面角的正弦值的最大值. 【小问1详解】 证明：因为，分别是，的中点，所以． 因为平面平面，所以平面． 【小问2详解】 （ⅰ）如图，连接． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点， 所以点是外接圆的圆心． 因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上． 又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心． 因为球的表面积，所以球的半径， 所以，，， 所以三棱锥的体积． （ⅱ）如图，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则． 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为， 则. 令，则， 当时，， 当且仅当，即时取等号． 综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $