精品解析：天津市咸水沽第二中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

高三数学 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. {2} C. D. 2. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 设，则（　　） A. B. C. D. 4. 根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ）. A. 变量与不独立 B. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C. 变量与独立 D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 5. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（ ） A. 480种 B. 1560种 C. 2640种 D. 640种 7. 若函数是上的减函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，母线为，则圆台的表面积为（　　） A. B. C. D. 9. 若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 的展开式中第4项的系数是___________（用数字作答）. 11. 已知随机变量服从，若，则______. 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 13. 已知甲､乙､丙三人参加射击比赛，甲､乙､丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为__________；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为__________. 14. 已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________． 15. 已知是定义在上的奇函数，且对于任意的均有．当时，，则______． 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）求点到直线的距离 （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 巴东一中组织庆五一教职工篮球活动，我们年级有10名教职工参加，其中有6名理科教师、4名文科教师，为活动的需要，要从这10名教师中随机抽取3名教职工去买比赛服装. （1）已知10名教师中有2名班主任，求抽取的3名中至少有1名班主任的概率； （2）设表示抽取的3名教师中文科教师的人数，求的分布列及数学期望. 19. 如图，是边长为3的正方形，平面平面，，，，． （1）求证：面面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的大小为60°？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 20. 已知函数． （1）时，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）证明不等式恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. {2} C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集和补集的定义可求. 【详解】， 由题设有，故， 故选：C. 2. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义求解作答. 【详解】在中，，则，必有， 而，满足，此时是直角三角形，不是等腰三角形， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 设，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】由于，故， ，因此， 故选：D 4. 根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ）. A. 变量与不独立 B. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C. 变量与独立 D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 【答案】C 【解析】 【分析】根据卡方独立性检验可得 【详解】由表可知当时，， 因为，所以分类变量与相互独立， 因为， 所以分类变量与相互独立，这个结论犯错误的概率不超过， 故选：C 5. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 6. 将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（ ） A. 480种 B. 1560种 C. 2640种 D. 640种 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算分组方法，再按照分组分配的方法，列式求解. 【详解】首先将6名志愿者分成1，1，1，3，或1，1，2，2两种分组形式， 1，1，1，3的分组包含种情况， 1，1，2，2的分组包含种情况， 这样分组后再分配到4个不同社区共有种方法. 故选：B 7. 若函数是上的减函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数单调性的性质可以得到关于的不等式组，解这个不等式组即可求出的取值范围. 【详解】因为函数是上的减函数，所以有，解得，故本题选A. 【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性求参数问题，数形结合是解题的关键. 8. 已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，母线为，则圆台的表面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆台的表面积公式直接计算即可. 【详解】设圆台的上、下底面圆的半径分别为和，母线为， 则由题意有：， 所以圆台的表面积为： ， 故选：B. 9. 若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 的展开式中第4项的系数是___________（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项求解. 【详解】由题知，展开式的通项为：， 第项为，系数为. 故答案为： 11. 已知随机变量服从，若，则______. 【答案】0.4## 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性即可求解. 【详解】由题，. 故答案为：. 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求导，将代入导函数求得斜率，写出切线方程即可. 【详解】由，得，当时，， 则曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 已知甲､乙､丙三人参加射击比赛，甲､乙､丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为__________；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为__________. 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】记甲､乙､丙三人射击一次命中分别为事件，则每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为，由互斥事件、对立事件、独立事件概率公式计算可得，然后由条件概率公式计算在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率． 【详解】记甲､乙､丙三人射击一次命中分别为事件，由题意， 则每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为 , 记三人中恰有两人命中为事件，“三人中恰有两人命中的前提下，甲命中”为事件， 则， ， ， 故答案为：；． 14. 已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图像，运用数形结合的思想可求得答案. 【详解】解：：首先画出函数的图像，令有两个不同的交点，根据图像分析，如果有两个不同的交点，． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对应函数的零点问题，就是函数与轴的交点，或可以将方程进行化简，转化为两个函数的交点问题，一般转化为两个简单，易画的函数． 15. 已知是定义在上的奇函数，且对于任意的均有．当时，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求出的周期，再根据已知条件求出，，，的值，进而可得的值，再根据周期性计算即可求解. 【详解】因为，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以 所以，所以的周期为， 当时，， 所以，，， 在中，令可得，所以， ，， 所以， 因为， 所以 ， 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【小问1详解】 因为，即，而，代入得，解得：． 【小问2详解】 由（1）可求出，而，所以，又，所以． 【小问3详解】 因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）求点到直线的距离 （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出等腰三角形腰上的高即可求出点到直线的距离. （2）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （3）利用向量法可求出点P到平面的距离． 【小问1详解】 三棱锥中，平面，平面，则， 又，，，则， ，， 于是等腰腰上的高， 由，分别是棱，的中点，得，是的中位线， 所以点到直线的距离为. 【小问2详解】 依题意：以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 又，，分别是棱，，的中点，， 得， 则，设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，， 点P到平面的距离， 所以点P到平面的距离为. 18. 巴东一中组织庆五一教职工篮球活动，我们年级有10名教职工参加，其中有6名理科教师、4名文科教师，为活动的需要，要从这10名教师中随机抽取3名教职工去买比赛服装. （1）已知10名教师中有2名班主任，求抽取的3名中至少有1名班主任的概率； （2）设表示抽取的3名教师中文科教师的人数，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 3 期望为 【解析】 【分析】（1）根据排列组合求解个数，结合古典概型以及对立事件的概率公式即可求解， （2）利用超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，由期望公式计算期望. 【小问1详解】 由于10名教师中有2名班主任，则10名教师中有8名不是班主任， 若抽取的3名中没有班主任，则有种抽法，从10名教师中随机抽取3名教职工的方法有种， 故抽取的3名中至少有1名班主任的概率为 【小问2详解】 的所有可能取值有：0，1，2，3， 故的分布列为： 0 1 2 3 故期望为： 19. 如图，是边长为3的正方形，平面平面，，，，． （1）求证：面面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的大小为60°？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在点，使得平面与的夹角的大小为，此时. 【解析】 【分析】（1）由平面平面，证得平面，得到，再由为正方形，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）以为原点，建立的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）假设在线段上存在符合条件的点，设，得到，求得平面的一个法向量和向量，利用向量的夹角公式列出方程，求得的值，即可得到答案. 【小问1详解】 证明：因为平面平面，平面平面， 平面，且，所以平面， 又因为平面，所以， 由四边形为正方形，可得， 又由，且平面，所以平面. 【小问2详解】 解：因为两两垂直，所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，可得， 所以， 设直线与平面所成角为，则 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 解：假设在线段上存在符合条件的点，设， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 由（1）知平面，所以为平面的一个法向量，即， 则， 整理得，解得或（舍去）， 故在线段上存在符合条件的点，使得平面与平面的夹角的大小为，此时. 20. 已知函数． （1）时，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）证明不等式恒成立． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出切点坐标，用导数的几何意义求出切线斜率即可求解； （2）求出导函数后对的值进行分情况讨论即可求； （3）用切线不等式可证得结果. 【小问1详解】 时，，依题意切点坐标为， ，所以函数在处的切线的斜率为， 故函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 时，，单调递增， 时，，单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 要证恒成立，即证恒成立， 令，，由（2）可知， 在上单调递增，在上单调递减， 所以恒成立， 即有时恒成立，当且仅当时取“=”号， 亦有即恒成立，当且仅当，即时取“=”号. 所以一方面，当且仅当，即时取“=”号， 另一方面恒成立，当且仅当时取“=”号， 所以恒成立，原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $