精品解析：湖南省 长沙市师大附中集团联考2025-2026学年九年级上学期数学第一次月考试题

2026届九年级第一次质量调研检测 数学试题 注意事项： 1.答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2.必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4.请注意卷面，保持字体工整、笔迹清䀿、卷面清洁； 5.答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本试卷时量120分钟，满分120分. 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 2025年暑期，一部战争历史题材电影《南京照相馆》上映．根据网络平台数据，截至8月11日，电影《南京照相馆》票房超22亿元，刷新中国影史暑期档历史片票房纪录．22亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ） A. 5，8，9 B. 4，5，6 C. 1，，2 D. 3，5， 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 直线与轴交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员各进行10次射击测试，他们测试的平均成绩相同，方差分别是，，，，则这四名射击运动员中成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 已知等边的边长为4，则其面积为（ ） A. 4 B. C. D. 7. 如图，四边形是平行四边形，下列结论正确的是（ ） A. 当平行四边形是矩形时， B. 当平行四边形是菱形时， C. 当平行四边形是正方形时， D. 当平行四边形是菱形时， 8. 近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长．2023年某地区人工智能核心产业规模为50亿元，2025年达到72亿元．设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，取最大值2 D. 当时，随的增大而增大 10. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：4x2–1=_______________． 12. 甲参加某商场员工招聘，通过计算机、语言表达和商品知识三项测试，成绩分别为：80、90、94，若相应分别按的比例计算成绩，则甲的综合得分为______分． 13. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E是边的中点，若的周长为，则的周长为__________． 14. 若关于x的一元二次方程x2﹣ax+2＝0有两个相等的实数根，则a的值为_________． 15. 函数与的图象如图所示，则__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．已知点F的坐标为，且矩形中，则点E的横坐标为_____． 三、解答题：（共72分，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在菱形中，，点E为对角线上一点，连接．延长至F，使，连接．求证：． 20. 夏季是溺水事故的高发期，各学校积极开展防溺水安全教育活动.为了解学生对防溺水知识的掌握水平，某校从全校学生中随机抽取了部分学生进行测试（成绩为百分制，用x表示），测试成绩分成A，B，C，D四个等级且成绩在80分以上（含80分）的为优秀，将数据整理为如下不完整的统计图表： 防溺水知识测试成绩频数分布表 组别 分数段 频数 A 6 B m C 15 D 24 防溺水知识测试成绩扇形统计图 C组学生的成绩：81，82，82，84，85，85，86，87，87，88，88，89，89，89，89. 根据以上信息解决下列问题： （1）本次调查样本容量为__________； （2）表格中m的值为__________，本次调查数据的中位数为__________； （3）请估计全校2500名学生中成绩达到优秀的人数. 21. 如图，在矩形中，点E，F分别在，上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，，求的长． 22. 白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、饮白露茶、吃龙眼等习俗．某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千克成本为8元，原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克．根据销售经验，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克． （1）若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售多少千克？ （2）高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，每千克龙眼售价应定为多少元？ 23. 梅溪湖音乐喷泉，位于梅溪湖文化艺术中心之间的水面上，是国内独具特色的大型音乐喷泉，也是亚洲最长的音乐喷泉，喷泉可随着音乐的节奏律动，与绚丽的灯光融合变幻出无穷的水幕．若某一个泉眼喷出水流的轨迹是一条拋物线，垂直于水平面的喷水管高出地面1米，水流从A处喷出，喷出的抛物线形水柱在与喷水管底部水平距离为2米处达到最高，此时水柱高度为5米．如图所示，以喷水管底部的位置O点为原点，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为了使水落下后全部进入湖中，喷水管离岸边至少多少米？ 24. 我们约定：若将抛物线（，）在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到函数的图象，则称函数为二次函数，（，）的“W”函数，抛物线的顶点经过翻折后得到的点称为其“W”函数图象的“平衡点”．根据该约定，解答下列问题： （1）二次函数的“W”函数图像如图所示，请你判断下列关于该函数的“W”函数说法是否正确（在题后相应括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①图象的“平衡点”是，与x轴的交点是和；（ ） ②当时，函数取最小值1；（ ） ③当或时，y随x的增大而减小．（ ） （2）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数图象的顶点为点A，它的“W”函数图象的“平衡点”为点B，函数图象与x轴交于不同两点C，D.当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，求实数k的值； （3）在（2）问条件下，若当时，二次函数的“W”函数的值随x的增大而增大，求实数h的取值范围． 25. 如图1，正方形的边长为4，连接，点E为线段上任意一点（不与B，D重合），过点E作分别交，于点G，F．取的中点H，连接． （1）若，则__________，__________； （2）如图2，连接，交于点M，连接.求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点N，连接． ①探究，，之间的数量关系，并说明理由； ②若，则__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届九年级第一次质量调研检测 数学试题 注意事项： 1.答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2.必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4.请注意卷面，保持字体工整、笔迹清䀿、卷面清洁； 5.答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本试卷时量120分钟，满分120分. 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 2025年暑期，一部战争历史题材电影《南京照相馆》上映．根据网络平台数据，截至8月11日，电影《南京照相馆》票房超22亿元，刷新中国影史暑期档历史片票房纪录．22亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中可以用整数位数减去 1 来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于 10 时，是正数；当原数的绝对值小于 1 时，是负数．根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：22亿用科学记数法表示为． 故选：B． 2. 以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ） A. 5，8，9 B. 4，5，6 C. 1，，2 D. 3，5， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据较小的两个数的平方和等于最大数的平方，则这些线段能构成直角三角形，否则不能构成直角三角形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故不能构成直角三角形； B、，故不能构成直角三角形； C、，故不能构成直角三角形； D、，故能构成直角三角形； 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算和二次根式的加法运算，掌握相关运算法则是解题关键．逐个选项判断即可． 【详解】A．，正确，故本选项符合题意； B．，与不能合并，错误，故本选项不符合题意； C．，错误，故本选项不符合题意； D．，与不能合并，错误，故本选项不符合题意． 故选：A． 4. 直线与轴交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握轴上的点的纵坐标为，轴上的点的横坐标为 0 ． 由题意把代入直线即可求得结果． 【详解】解：在中，当时，， 则直线与轴的交点坐标是， 故选：A． 5. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员各进行10次射击测试，他们测试的平均成绩相同，方差分别是，，，，则这四名射击运动员中成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义即可得出结论． 【详解】解：∵，，，，且， ∴乙的方差最小， ∴成绩最稳定的是乙． 故选：B． 6. 已知等边的边长为4，则其面积为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和三角形的面积公式，过点作于点，运用等边三角形的性质得出，由勾股定理得，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 过点作于点，如图， ∴， 由勾股定理得 ∴． 故选：C． 7. 如图，四边形是平行四边形，下列结论正确的是（ ） A. 当平行四边形是矩形时， B. 当平行四边形是菱形时， C. 当平行四边形是正方形时， D. 当平行四边形是菱形时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质是解决问题的关键．由矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质分别进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A. 当平行四边形是矩形时，，，故该选项不正确，不符合题意； B. 当平行四边形是菱形时，，故该选项不正确，不符合题意； C. 当平行四边形是正方形时，，故该选项正确，符合题意； D. 当平行四边形是菱形时，，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 8. 近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长．2023年某地区人工智能核心产业规模为50亿元，2025年达到72亿元．设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，关键是找准数量关系．设年平均增长率为x．2023年到2025年连续增长两年，由题可列方程． 【详解】解：设年平均增长率为x．2023年到2025年连续增长两年，由题意可得： ． 故选：B 9. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，取最大值2 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的性质，先把函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线开口向下，故选项A正确，不符合题意； ∴抛物线的对称轴为直线，故选项B正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴当时，取最大值2，故选项C正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 10. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过P作于M，得到，勾股定理求出，证明出四边形为平行四边形，设，再根据勾股定理求出，最后求出面积． 【详解】解：过P作于M， 由作图得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， 设， 在中，， 即：， 解得：， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了基本作图，平行四边形的判定定理，二次根式的混合运算，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：4x2–1=_______________． 【答案】（2x+1）（2x–1） 【解析】 【分析】利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式=（2x+1）（2x－1）． 故答案为：（2x+1）（2x–1）． 【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 12. 甲参加某商场员工招聘，通过计算机、语言表达和商品知识三项测试，成绩分别为：80、90、94，若相应分别按的比例计算成绩，则甲的综合得分为______分． 【答案】90 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义进行求解即可． 本题主要考查了求加权平均数，熟知加权平均数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，甲的综合得分为分， 故答案为：90． 13. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E是边的中点，若的周长为，则的周长为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，正确得出是的中位线是解题关键． 直接利用平行四边形的性质得出，再结合已知得出是的中位线，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴是的中点， ， 又 ∵点是的中点， ∴是的中位线， ， ∵的周长， ∴的周长． 故答案是：8． 14. 若关于x的一元二次方程x2﹣ax+2＝0有两个相等的实数根，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣a）2﹣4×1×2＝0， 解得：a＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 15. 函数与的图象如图所示，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．解题关键是：利用两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式这一性质，先求出交点坐标（通过将已知的x值代入其中一个函数求出y值，得到交点坐标），再将交点坐标代入另一个函数，从而求出未知系数的值． 【详解】解：当时， 把，代入得： 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．已知点F的坐标为，且矩形中，则点E的横坐标为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】首先由点A坐标和长度求出长，然后根据折叠性质可知，，在中求出，再根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，由题意四边形，四边形都是矩形， ∴，． ∵点A的坐标为， ∴， ∴． 在中，， ∴, ∴D点坐标为，E点纵坐标为10， 由折叠性质可知． 则， 设，则，． 在中，根据勾股定理得：， 即． 解得． ∵， ∴点E的横坐标为3． 三、解答题：（共72分，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，立方根，负整数指数幂，二次根式的性质化简，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先化简零次幂，立方根，负整数指数幂，以及运用二次根式的性质化简，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程运用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， . 解得，． 19. 如图，在菱形中，，点E为对角线上一点，连接．延长至F，使，连接．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，再证出是等边三角形，，则可得，然后根据定理即可得证． 【详解】略 20. 夏季是溺水事故的高发期，各学校积极开展防溺水安全教育活动.为了解学生对防溺水知识的掌握水平，某校从全校学生中随机抽取了部分学生进行测试（成绩为百分制，用x表示），测试成绩分成A，B，C，D四个等级且成绩在80分以上（含80分）的为优秀，将数据整理为如下不完整的统计图表： 防溺水知识测试成绩频数分布表 组别 分数段 频数 A 6 B m C 15 D 24 防溺水知识测试成绩扇形统计图 C组学生的成绩：81，82，82，84，85，85，86，87，87，88，88，89，89，89，89. 根据以上信息解决下列问题： （1）本次调查样本容量为__________； （2）表格中m的值为__________，本次调查数据的中位数为__________； （3）请估计全校2500名学生中成绩达到优秀的人数. 【答案】（1）50 （2）5，89 （3）全校2500名学生中成绩达到优秀的大约有1950人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表与扇形统计图，中位数，样本估计总体，解题的关键是： （1）根据抽样调查和普查的区别即可得出答案，利用A组频数除以其所占百分比即可求出样本容量； （2）根据样本容量减去其余各组频数即可求出m，根据中位数的定义求解即可； （3）根据样本估计总体列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：本次抽样调查样本容量为， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：， ∵排序后，中位数为第25、26个数的平均数，， ∴第25、26个数在组， 组数据从小到大为：81，82，82，84，85，85，86，87，87，88，88，89，89，89，89， ∴第25、26个数为 89，89， ∴中位数为， 故答案为：5，89； 【小问3详解】 解：（人）. 答：全校2500名学生中成绩达到优秀的大约有1950人． 21. 如图，在矩形中，点E，F分别在，上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：在矩形中，，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质和判定，平行四边形的判定，勾股定理，关键是掌握平行四边形的判定，应用勾股定理解三角形． （1）利用矩形性质可得，，进而可得，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出结论； （2）过点作于点，构造，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点E作于点H，如图所示， ， 四边形是矩形，，，， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得． 22. 白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、饮白露茶、吃龙眼等习俗．某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千克成本为8元，原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克．根据销售经验，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克． （1）若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售多少千克？ （2）高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，每千克龙眼售价应定为多少元？ 【答案】（1）龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克 （2）为了销售量尽可能大，每千克龙眼售价应定为14元 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意． （1）根据“原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克”列式计算即可． （2）设每千克龙眼售价为x元，根据利润数量每千克的利润，列方程解答即可． 【小问1详解】 解：（千克）． 答：若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克． 【小问2详解】 解：设每千克龙眼售价为x元， 由题意得， 解得，， 要保证销售量尽可能大， 每千克龙眼售价应定为14元． 23. 梅溪湖音乐喷泉，位于梅溪湖文化艺术中心之间的水面上，是国内独具特色的大型音乐喷泉，也是亚洲最长的音乐喷泉，喷泉可随着音乐的节奏律动，与绚丽的灯光融合变幻出无穷的水幕．若某一个泉眼喷出水流的轨迹是一条拋物线，垂直于水平面的喷水管高出地面1米，水流从A处喷出，喷出的抛物线形水柱在与喷水管底部水平距离为2米处达到最高，此时水柱高度为5米．如图所示，以喷水管底部的位置O点为原点，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为了使水落下后全部进入湖中，喷水管离岸边至少多少米？ 【答案】（1） （2）为了使水落下后全部进入湖中，喷水管离岸边至少米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意并列出二次函数表达式是解决本题的关键． （1）根据题意运用待定系数法求解即可； （2）根据题意令，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得抛物线经过点，且顶点为点， 设抛物线的函数表达式为， 将代入表达式得，解得：， 抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：将代入函数表达式得， 解得，， ，不符合题意，故舍去， 为了使水落下后全部进入湖中，喷水管离岸边至少米． 24. 我们约定：若将抛物线（，）在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到函数的图象，则称函数为二次函数，（，）的“W”函数，抛物线的顶点经过翻折后得到的点称为其“W”函数图象的“平衡点”．根据该约定，解答下列问题： （1）二次函数的“W”函数图像如图所示，请你判断下列关于该函数的“W”函数说法是否正确（在题后相应括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①图象的“平衡点”是，与x轴的交点是和；（ ） ②当时，函数取最小值1；（ ） ③当或时，y随x的增大而减小．（ ） （2）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数图象的顶点为点A，它的“W”函数图象的“平衡点”为点B，函数图象与x轴交于不同两点C，D.当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，求实数k的值； （3）在（2）问条件下，若当时，二次函数的“W”函数的值随x的增大而增大，求实数h的取值范围． 【答案】（1）①√；②×；③√ （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与x轴的交点坐标，正方形的判定与性质等，熟练掌握相关知识点，根据题中函数定义求解是解题的关键； （1）先求出二次函数的顶点、与x轴的交点横坐标，由题中定义可得它的“W”函数图象的“平衡点”， 与x轴的交点坐标，由此可判定①，再结合图象可判定②和③； （2）先用含的式子表示出线段，的长，再由以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形，可得，代入含的式子解方程即可； （3）先确定二次函数的“W”函数的值随x的增大而增大的图象部分，再分类讨论，综合可得结果． 【小问1详解】 二次函数，顶点为， 它的“W”函数图象的“平衡点”为． 当时，，解得，， 它的“W”函数图象与x轴的交点是和，故说法①正确； 由图知，当或时，函数取最小值0，故说法②错误； 由图知，当或时，y随x的增大而减小，故说法③正确； 故答案为：①√；②×；③√． 【小问2详解】 由关于x的二次函数可得其图象顶点A的坐标为， 由对称可得它的“W”函数图象的“平衡点”B的坐标为， ， 当时，， 解方程得，， ， 由对称可得线段AB与线段CD互相垂直平分， 当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，， 即，解得，， ， ． 【小问3详解】 当时，， 解得，， 如图，作抛物线的对称轴交抛物线的“W函教”图象于点B，分两种情况： ①由图象可知，在图象CB段，“W”函数的值随x的增大而增大， 则， 解得． ②由图象可知，在图象点D的右侧，“W”函数的值随x的增大而增大， 则， 解得． 综上所述，实数h的取值范围为或． 25. 如图1，正方形的边长为4，连接，点E为线段上任意一点（不与B，D重合），过点E作分别交，于点G，F．取的中点H，连接． （1）若，则__________，__________； （2）如图2，连接，交于点M，连接.求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点N，连接． ①探究，，之间的数量关系，并说明理由； ②若，则__________． 【答案】（1）， （2） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 在正方形和矩形中， ，，， ∴， ∴，， ∵，H是的中点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 即． （3） ①，理由如下： 如图，连接AF，延长CD至K，使， 由（2）知，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴. ② 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，； （2）可证得，从而，，进而得出结论； （3）①连接，延长至K，使，可证得，从而，，进而证得，从而，进一步得出结论； ②设，则，，，在中，由勾股定理得方程，求得x的值，可证得． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴, ∵H为的中点， ∴， ∴． 故答案为：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①略 ②设，则，，， 在中，由勾股定理得， ， ∴，解得， ∴， 由①知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $