精品解析：贵州省遵义市红花岗区第十二中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

遵义市第十二中学2023-2024学年第二学期期中学业水平质量监测 八年级数学试题卷 全卷共4页，分值150分，时间120分钟 一、选择题（本题12小题，每小题3分，共36分） 1. 二次根式有意义，那么（ ） A. x>-1 B. x>1 C. x≥-1 D. x≥1 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是( ) A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，15 3. 下列各式中，运算正确的是（　　） A. ＝﹣2 B. +＝ C. ×＝4 D. 2﹣ 4. 下面性质中，平行四边形不一定具备的是（ ） A 邻角互补 B. 邻边相等 C. 对边平行 D. 对角线互相平分 5. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 6. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 下列说法不正确的是（　　） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 一个角是直角的平行四边形是正方形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 9. 若a+b=,ab=1,则式子的值为( ) A. B. C. D. 10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD，若AC＝12，BD＝16，则对边之间的距离为( ) A. B. C. D. 11. 如图是边长为的正方形纸片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：）错误的是（ ） A B. C. D. 12. 如图，在正方形中，，点分别在边和上，，，则的长是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题4小题，每小题4分，共16分） 13. 比较大小：______（请填写“>”、“<”或“=”）． 14. 如图，在△ABC中，AB=AC，CD是高线，E是AC的中点，若AB=4，则DE=__． 15. 当时，化简的结果为________. 16. 如图，▱ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为_____． 三、解答题（本题共9小题，共98分） 17. 计算： （1） ； （2）． 18. 已知，，求代数式的值： （1）； （2） 19. 下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A． 求作：直线AD，使得AD// l． 作法：如图2， ①直线l 上任取两点B，C，连接AB； ②分别以点A，C 为圆心，线段BC，AB 长为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点D； ③作直线AD． 直线AD 就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接CD． ∵ AB ＝________，BC ＝________， ∴ 四边形ABCD 为平行四边形（_________）（填推理依据）． ∴ AD// l． 20. 小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD． ∴AB＝AD，CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明． 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 21. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． （1）应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示2的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点C表示的数是_________； （2）应用场景2——解决实际问题．如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽6尺，求竹竿长． 22. 王华同学要证明命题“对角线相等的平行四边形是矩形”是正确的，她先作出了如图所示的平行四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证． 已知：如图1，在平行四边形ABCD中，        ，求证：平行四边形ABCD是        ． （1）在方框中填空，以补全已知和求证； （2）按王晓想法写出证明过程； 证明： 23. 某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现在要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． （1）长方形的周长是多少？ （2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为5元的地砖，要铺完整个通道，预算为660元，经费是否够用？ 24. 阅读材料,在平面直角坐标系中,已知x轴上两点A（x1，0），B（x2，0）的距离记作AB=|x1﹣x2|；若A,B是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离,如图,过A，B分别向x轴、y轴作垂线AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分别是M1、N1、M2、N2，直线AN1交BM2于点Q，在Rt△ABQ中，AQ=|x1﹣x2|，BQ=|y1﹣y2|,∴AB2=AQ2+BQ2=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2，由此得到平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式为： （1）AB= ． （2）直接应用平面内两点间距离公式计算点A（1,﹣3），B（﹣2,1）之间的距离为 ； （3）根据阅读材料并利用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 25. （1）【课本再现】如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点O转动，则下列结论正确的是______（填序号即可）． ①；②；③四边形的面积总等于；④连接，总有． （2）【类比迁移】 如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； （3）【拓展应用】 如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 遵义市第十二中学2023-2024学年第二学期期中学业水平质量监测 八年级数学试题卷 全卷共4页，分值150分，时间120分钟 一、选择题（本题12小题，每小题3分，共36分） 1. 二次根式有意义，那么（ ） A. x>-1 B. x>1 C. x≥-1 D. x≥1 【答案】D 【解析】 【分析】根据（a0）即可解答． 【详解】解：由题意得：x−10， ∴x1， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握（a0）是解题的关键． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是( ) A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，15 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理：a 2 +b 2 =c 2 ，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【详解】解：A、∵4 2 +5 2 ≠6 2 ，∴不能构成直角三角形； B、∵1 2 +1 2 = ，∴能构成直角三角形； C、∵6 2 +8 2 ≠11 2 ，∴不能构成直角三角形； D、∵5 2 +12 2 ≠152 ，∴不能构成直角三角形． 故选B． 【点睛】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理． 3. 下列各式中，运算正确的是（　　） A. ＝﹣2 B. +＝ C. ×＝4 D. 2﹣ 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的加减法法则对B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断． 【详解】解：A、＝2，故原题计算错误； B、+＝+2＝3，故原题计算错误； C、＝＝4，故原题计算正确； D、2和不能合并，故原题计算错误； 故选：C 【点睛】此题主要考查了二次根式的运算及性质，熟练掌握二次根式的性质及加减法运算法则是解题关键． 4. 下面性质中，平行四边形不一定具备的是（ ） A. 邻角互补 B. 邻边相等 C. 对边平行 D. 对角线互相平分 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质逐项判断即可． 【详解】因为平行四边形的对角相等，邻角互补，所以A正确，不符合题意； 因为平行四边形的对边平行且相等，邻边无法判断，所以B不正确，符合题意；C正确，不符合题意； 因为平行四边形的对角线互相平分，所以D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，即平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分． 5. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A、＝=，不是最简二次根式； B、＝，不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、＝3，不是最简二次根式； 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解题关键． 6. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，如图所示，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴较小的内角为，   故选： ． 7. 如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形及平行线的性质可得，再由角平分线及等量代换得出，利用等角对等边可得，结合图形即可得出线段长度． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∴， ∵AE平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查 平行四边形及平行线的性质，利用角平分线计算，等角对等边等，理解题意，熟练运用平行四边形的性质是解题关键． 8. 下列说法不正确的是（　　） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 一个角是直角的平行四边形是正方形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确； B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确； C、一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法错误； D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定；熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定是解题的关键． 9. 若a+b=,ab=1,则式子的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将化简，再将a+b=，ab=1代入计算. 【详解】==， ∵a+b=，ab=1， ∴原式=-3， 故选：B 【点睛】此题考查二次根式的化简，异分母分式的加法法则，正确计算是解题的关键. 10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD，若AC＝12，BD＝16，则对边之间的距离为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行四边形ABCD 的对角线AC 平分∠BAD 可证出平行四边形ABCD是菱形，再利用菱形面积的两种求法建立方程即可求出答案. 【详解】解：如图所示，过点A作AH⊥BC于H，设AC、BD交于点O， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC， 在平行四边形ABCD中， ∵AD//BC, ∴∠ACB=∠DAC， ∴AB=AC， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB=BD=8，OC=AC=6， ∴BC＝， ∵， 即， ∴AH=. 故选C. 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质.利用菱形面积的两种求法建立方程是解题的关键. 11. 如图是边长为的正方形纸片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：）错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题主要考查了正方形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是得出所裁剪三角形的最大边的长不能超过正方形的对角线的长． 在正方形中，过两顶点的线段的最大长度即为对角线的长，据此结合边长求出对角线的长度；接下来比较所得三角形中最大边长与对角线长度的大小关系，从而得出答案． 【详解】解：沿正方形的两个顶点裁剪三角形，所得三角形的最大边的长不能超过正方形的对角线的长． ∵正方形的边长为 ， ∴正方形对角线的长为． ， ， ∴选项D中裁剪的长度所标的数据错误． 故选：D． 12. 如图，在正方形中，，点分别在边和上，，，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：由正方形的性质得出∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=BC=CD=AD=1，证明Rt△ABE≌Rt△ADF得出∠BAE=∠DAF，求出∠DAF=15°，在AD上取一点G，使∠GFA=∠DAF=15°，则AG=FG，∠DGF=30°，由直角三角形的性质得出DF=FG=AG，DG=DF，设DF=x，则DG=x，AG=FG=2x，则2x+x=1，解得：x=2-，得出DF=2-，即可得出结果． 法二：由正方形性质得出∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=BC=CD=AD=1，证明Rt△ABE≌Rt△ADF得出∠BAE=∠DAF，求出，连接AC，过点E，作EG⊥AC，交AC于点G，设 ，则 ， ，由 列方程即可得出结果． 【详解】法一：解：四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在上取一点，使，如图所示： ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ； 法二：解：连接AC，过点E，作EG⊥AC，交AC于点G， 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∵ ∴ 在 中，设， 则， ∵ ∴ 解得： ∵ ∴ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题（本题4小题，每小题4分，共16分） 13. 比较大小：______（请填写“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小比较，将两个无理数平方即可比较出大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在△ABC中，AB=AC，CD是高线，E是AC的中点，若AB=4，则DE=__． 【答案】2 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】∵AB=AC，AB=4， ∴AC=4． 在△ABC中，CD是高线， ∴∠ADC=90°， 又∵E是AC的中点， ∴DE=AC=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．也考查了三角形的高． 15. 当时，化简的结果为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简，然后进行分母有理化即可． 【详解】∵a＜-b＜1， ∴a+b＜0，b+1＞0， ∴原式= ， 故答案为． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质：是解题的关键． 16. 如图，▱ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长到点H，使，连接，可求，进一步证是等边三角形，，为定角，由中位线定理，；当时，最小，此时，，勾股定理求得，中，． 【详解】如图，延长到点H，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，最小，此时，， ，解得， 中， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查中位线的性质，垂线段最短，三角形内角和定理，等腰三角形性质，等边三角形判定和性质，等腰直角三角形，勾股定理，添加辅助线构造中位线，寻求线段间的数量关系是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共98分） 17. 计算： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答 （2）先把二次根式进行化简，再从左往右依次进行计算即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序、准确地进行计算，是解题的关键． 18. 已知，，求代数式的值： （1）； （2） 【答案】（1） （2）17 【解析】 【分析】（1）（解法1）先求得，，再利用平方差公式得到，然后代值求解；（解法2）直接代入利用完全平方公式计算也可； （2）（解法1），，利用完全平方公式得到，然后代值求解即可．（解法2）直接代入利用完全平方公式计算也可； 【小问1详解】 解法一：，， ，， 解法二：原式= = = 【小问2详解】 解法一：，， ，， ． 解法二： 原式= = 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟记完全平方公式和平方差公式并灵活运用是解答的关键． 19. 下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A． 求作：直线AD，使得AD// l． 作法：如图2， ①在直线l 上任取两点B，C，连接AB； ②分别以点A，C 为圆心，线段BC，AB 长为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点D； ③作直线AD． 直线AD 就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接CD． ∵ AB ＝________，BC ＝________， ∴ 四边形ABCD 为平行四边形（_________）（填推理的依据）． ∴ AD// l． 【答案】（1）见解析；（2），，两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据作法画出图形即可； （2）根据“两组对边分别相等四边形是平行四边形”进行证明即可． 【详解】（1）如图所示， （2）证明：连接CD． ∵ AB ＝CD，BC ＝AD， ∴ 四边形ABCD 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）． ∴ AD// l． 故答案为：，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定． 20. 小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD． ∴AB＝AD，CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明． 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 【答案】赞成小洁的说法，补充证明见解析 【解析】 【分析】先由OB＝OD，证明四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直，从而可得结论． 【详解】解：赞成小洁的说法，补充 证明：∵OB＝OD， 四边形是平行四边形， AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，掌握“菱形的判定方法”是解本题的关键． 21. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． （1）应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示2的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点C表示的数是_________； （2）应用场景2——解决实际问题．如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽6尺，求竹竿长． 【答案】（1） （2）10尺 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据实数与数轴关系解答； （2）竹竿长x尺，则门高尺，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，，，， 在中，， ∴， ∴点C表示的数为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：竹竿长x尺，由题意，竹竿，门高尺，门宽尺，， 在中， ∴， ∴， 解得， 答：竹竿长10尺． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、实数与数轴，理解题意，熟练掌握勾股定理是解答的关键． 22. 王华同学要证明命题“对角线相等的平行四边形是矩形”是正确的，她先作出了如图所示的平行四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证． 已知：如图1，在平行四边形ABCD中，        ，求证：平行四边形ABCD是        ． （1）在方框中填空，以补全已知和求证； （2）按王晓的想法写出证明过程； 证明： 【答案】（1）AC＝BD，矩形；（2）证明详见解析. 【解析】 【分析】(1)根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得答案； (2)根据全等三角形判定与性质，可得∠ADC与∠BCD的关系，根据平行四边形的邻角互补，可得∠ADC的度数，根据矩形的判定，可得答案． 【详解】(1)解：在平行四边形ABCD中，AC=BD，求证：平行四边形ABCD是 矩形； (2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝BC. 在△ADC和△BCD中，∵AC＝BD，AD＝BC，CD＝DC， ∴△ADC≌△BCD∴∠ADC＝∠BCD. 又∵AD∥CB， ∴∠ADC＋∠BCD＝180°. ∴∠ADC＝∠BCD＝90°. ∴平行四边形ABCD是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，利用全等三角形的判定与性质得出∠ADC=∠BCD是解题关键． 23. 某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现在要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． （1）长方形的周长是多少？ （2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为5元的地砖，要铺完整个通道，预算为660元，经费是否够用？ 【答案】（1） （2）经费不够用 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）用空白部分的面积乘以单价得出所需费用，再与经费比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵长方形的长为，宽为， ∴长方形的周长为： ． 答：长方形的周长是． 【小问2详解】 由题意，知 ∵, ∴经费不够用． 24. 阅读材料,在平面直角坐标系中,已知x轴上两点A（x1，0），B（x2，0）的距离记作AB=|x1﹣x2|；若A,B是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离,如图,过A，B分别向x轴、y轴作垂线AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分别是M1、N1、M2、N2，直线AN1交BM2于点Q，在Rt△ABQ中，AQ=|x1﹣x2|，BQ=|y1﹣y2|,∴AB2=AQ2+BQ2=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2，由此得到平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式为： （1）AB= ． （2）直接应用平面内两点间距离公式计算点A（1,﹣3），B（﹣2,1）之间的距离为 ； （3）根据阅读材料并利用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 【答案】(1);(2)5；（3） 【解析】 【详解】分析:(1)通过作铅垂线构造直角三角形,利用勾股定理进行求解即可, (2)根据(1)结论代入两点坐标计算即可,(3) 代数式+的最小值表示在x轴上找一点P（x,0）,到A（0,2），B（3,1）的距离之和最小,可以通过作对称转化为两点间线段距离最短,再利用两点之间距离公式计算即可求解. 详解:（1）∵AB2=AQ2+BQ2=|x1﹣x2|2+|y1﹣y2|2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2, ∴AB=,故答案为． （2）∵A（1,﹣3）,B（﹣2,1）, ∴AB==5,故答案为5． （3）代数式+的最小值表示在x轴上找一点P（x,0）,到A（0,2），B（3,1）的距离之和最小,如图, 作A关于x轴的对称点A′,连接BA′与x轴的交点即为所求的点P．此时PA+PB最小, ∵A′（0,﹣2）,B（3,1）, ∴PA+PB=PA′+PB=BA′==3 ∴代数式+的最小值为3． 点睛:本题主要考查利用勾股定理求平面直角坐标系中任意两点之间的距离,解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理. 25. （1）【课本再现】如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点O转动，则下列结论正确的是______（填序号即可）． ①；②；③四边形的面积总等于；④连接，总有． （2）【类比迁移】 如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； （3）【拓展应用】 如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，求线段的长度． 【答案】（1）①②③④；（2），理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）证明，可得结论； （2）猜想：，连接，延长交于，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）设分两种情形：①当点E在线段上时，②当点E在延长线上时，分别利用勾股定理构建方程求解． 【详解】解：（1）如图1中，连接． ∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴，故②正确， ∴，故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①②③④； （2），理由如下： 如图2中，连接， ∵O为矩形中心， ∴， 延长交于， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵在中， ∴； （3）设， ①当E在之间时，如图3 ， ， 在中，， ， 又由（2）易知， ， ， 解得：， ； ②当E在延长线上时，如图4 同理可论：， 设，则， 即：， 解得：， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$