江苏省扬州市江都区第三中学2024-2025学年八年级上学期段考数学试卷（10月份）

2024-2025学年江苏省扬州市江都三中八年级（上）段考数学试卷（10月份） 一、选择题（每题3分，共计24分，把正确答案填在答题纸相应的位置上.） 1．（3分）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A．浙江大学 B．北京大学 C．中国人民大学 D．清华大学 2．（3分）若等腰三角形中有一个角等于80°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A．100° B．80° C．80°或20° D．50°或80° 3．（3分）到三角形三条边距离相等的点是（　　） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 4．（3分）如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（3分）下列尺规作图求作BC上点D，使得△ACD的周长等于AC+BC正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°．首先以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若BG＝2，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（　　） A．无法确定 B． C．1 D．2 7．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（　　）个． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 8．（3分）在△ABC中，BA＝BC，AC＝10，S△ABC＝70，D为AB上一动点，连接CD，过A作AE⊥CD于点E，连接BE，则BE的最小值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题（每空3分，共30分，将答案填在答题纸相应的位置上.） 9．（3分）成轴对称的两个图形　 　 是全等的（填“一定”或“不一定”）． 10．（3分）利用轴对称作图解决“将军饮马问题”的依据是 　 　 ． 11．（3分）已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则第三边长是 　 　 ． 12．（3分）一个三角形的三边为2、7、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　 　 ． 13．（3分）如图，△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，∠D＝65°，则∠C的度数为 　 　 ． 14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为　 　 ． 15．（3分）已知△ABC中，若AB＝4，AC＝2，则BC边上的中线AD的取值范围为 　 　 ． 16．（3分）如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是34cm2，AB＝18cm，BC＝16cm，则DE＝ 　 　 cm． 17．（3分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2＝AA1，若只能摆放4根小棒，则θ的范围为 　 　 ． 18．（3分）如图，已知：正方形ABCD，AB＝5，点E，F分别是BC，DC上的点，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝45°，△CEF的周长为 　 　 ． 三、解答题（共96分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上.） 19．（8分）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′． （2）△ABC的面积为 　 　 ． （3）在直线l上找一点P，使PB+PC的值最小． （4）在直线l上找一点M，使|MC﹣MB|值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹） 20．（8分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，DF∥AC，ED∥AB，AB＝DE．求证： （1）△ABC≌△DEF； （2）EC＝BF． 21．（8分）如图，已知∠AOB＝30°，其内部有一点P，OP＝12，在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于点O），使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值． 22．（8分）如图，已知：AD平分∠BAC，DG⊥BC，CG＝BG，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F． （1）求证：CF＝BE； （2）若AB＝6，AC＝4，求BE的长． 23．（10分）如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BE是边AC上的中线，BD＝CE，DF⊥BE于点F． （1）求证：BF＝EF； （2）若∠AEB＝66°，求∠C的度数． 24．（10分）如图，在等边△ABC中，AO是∠BAC的平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE． （1）求证：AD＝BE； （2）已知AC＝9，求点O到BE之间的距离． 25．（10分）如图，在等边三角形ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到了D、E处，设DC与BE的交点为F． （1）BE与CD有何数量关系？为什么？ （2）问蜗牛在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，求出∠BFC的大小． 26．（10分）如图，在△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，在△ACE中，AC＝AE，∠EAC＝90°，CD，BE相交于点F．求证： ①DC⊥BE； ②求∠AFD的度数． 27．（12分）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”． （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的等角分割线． （3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，若△ACD是等腰三角形，请求出∠ACB的度数． 28．（12分）已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝20cm，∠ABC＝30°，CD⊥AB交BA延长线于点D，AF为CA的延长线，点P从A点出发以每秒2cm的速度在射线AF上向右运动，连接BP，以BP为边，在BP的左侧作等边三角形BPE，连接AE． （1）如图1，当BP⊥AC时，求证：△ABP≌△ACD； （2）当点P运动到如图2位置时，此时点D与点E在直线AP同侧，求证：AP＝AB+AE； （3）在点P运动过程中，连接DE，当点P运动多少秒时，线段DE长度取到最小值． 2024-2025学年江苏省扬州市江都三中八年级（上）段考数学试卷（10月份） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A D B C A D 一、选择题（每题3分，共计24分，把正确答案填在答题纸相应的位置上.） 1．（3分）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A．浙江大学 B．北京大学 C．中国人民大学 D．清华大学 【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误； B、是轴对称图形，故正确； C、不是轴对称图形，故错误； D、不是轴对称图形，故错误． 故选：B． 2．（3分）若等腰三角形中有一个角等于80°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A．100° B．80° C．80°或20° D．50°或80° 【解答】解：∵等腰三角形中有一个角等于80°， ∴①若80°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为80°； ②若80°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°﹣80°×2＝20°． ∴这个等腰三角形的顶角的度数为：80°或20°． 故选：C． 3．（3分）到三角形三条边距离相等的点是（　　） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 【解答】解：中线交点即三角形的重心，三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍，B错误； 高的交点是三角形的垂心，到三边的距离不相等，C错误； 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等，D错误； ∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴要到三角形三条边距离相等的点，只能是三条角平分线的交点，A正确． 故选：A． 4．（3分）如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：①当AC＝AD时，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）； ②当∠ABC＝∠ABD时，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）； ③当BC＝BD时，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）； 故选：D． 5．（3分）下列尺规作图求作BC上点D，使得△ACD的周长等于AC+BC正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当AB的垂直平分交BC于点D时， ∴DA＝DB， ∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC． 故选：B． 6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°．首先以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若BG＝2，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（　　） A．无法确定 B． C．1 D．2 【解答】解：由尺规作图步骤可得，BG平分∠ABC， ∵∠B＝60°， ∴∠ABG＝∠CBG＝30°， 又∠C＝90°， ∴， ∴点G到AB的距离等于GC， ∵P为边AB上一动点， ∴GP⊥AB时，GP最小， ∴GP的最小值为1， 故选：C． 7．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（　　）个． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称． 故选：A． 8．（3分）在△ABC中，BA＝BC，AC＝10，S△ABC＝70，D为AB上一动点，连接CD，过A作AE⊥CD于点E，连接BE，则BE的最小值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：过点B作BH⊥AC于H，连接EH，如图， ∵BA＝BC，BH⊥AC， ∴AH＝CHAC＝5， ∵S△ABC＝70， ∴， ∵AE⊥CD， ∴EH为Rt△AEC的斜边AC上的中线， ∴EHAC＝5， ∵BE≥BH﹣EH（当且仅当B、E、H共线时取等号），即BE≥14﹣5＝9， ∴BE的最小值为9． 故选：D． 二、填空题（每空3分，共30分，将答案填在答题纸相应的位置上.） 9．（3分）成轴对称的两个图形　一定　 是全等的（填“一定”或“不一定”）． 【解答】解：成轴对称的两个图形一定是全等的． 故答案为：一定． 10．（3分）利用轴对称作图解决“将军饮马问题”的依据是 　两点之间线段最短　 ． 【解答】解：依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短． 11．（3分）已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则第三边长是 　6　 ． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为3，底边长为6时， ∵3+3＝6， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长为6，底边长为3时， ∵3+6＝9＞6， ∴能组成三角形； 综上所述：第三边长是6， 故答案为：6． 12．（3分）一个三角形的三边为2、7、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　13　 ． 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴x＝6，y＝7， ∴x+y＝7+6＝13． 故答案为：13 13．（3分）如图，△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，∠D＝65°，则∠C的度数为 　35°　 ． 【解答】解：∵△ABC≌△DBE，∠D＝65°， ∴∠BAC＝∠D＝65°， ∵∠ABC＝80°， ∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝35°， 故答案为：35°． 14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为　9　 ． 【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E， ∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB， ∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN， ∴BM＝ME，EN＝CN， ∴MN＝ME+EN， 即MN＝BM+CN． ∵BM+CN＝9 ∴MN＝9， 故答案为：9． 15．（3分）已知△ABC中，若AB＝4，AC＝2，则BC边上的中线AD的取值范围为 　1＜AD＜3　 ． 【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE， ∵BD＝CD，∠ADC＝∠BDE，AD＝DE， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝2， 在△AEB中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， 即2＜2AD＜6， ∴1＜AD＜3， ∴AD的取值范围是1＜AD＜3， 故答案为：1＜AD＜3． 16．（3分）如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是34cm2，AB＝18cm，BC＝16cm，则DE＝ 　2　 cm． 【解答】解：过点D作DF⊥BC于F，如图所示： ∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF， ∵△ABC的面积是34cm2， ∴S△ABC＝S△ABD+S△CBD＝34cm2， ∴AB•DEBC•DF＝34， 又∵AB＝18cm，BC＝16cm， ∴18•DE16•DE＝34， 解得：DE＝2（cm）． 故答案为：2． 17．（3分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2＝AA1，若只能摆放4根小棒，则θ的范围为 　18°≤θ＜22.5°　 ． 【解答】解：如图， ∵AA1＝A1A2， ∴∠AA2A1＝∠A， ∴∠A2A1A3＝∠AA2A1+∠A＝2∠BAC＝2θ， ∵A1A2＝A2A3， ∴∠A2A1A3＝∠A2A3A1＝2θ， ∴∠A3A2A4＝∠A+∠A2A3A1＝θ+2θ＝3θ， ∵A2A3＝A3A4， ∴∠A3A2A4＝∠A3A4A＝3θ， ∴∠A4A3C＝∠A3A4A+∠BAC＝4θ， 同理∠A5A4B＝∠A5A6A＝5θ， ∵只能摆放4根小棒， ∴4θ＜90°且5θ≥90°， 解得：18°≤θ＜22.5°， 故答案为：18°≤θ＜22.5°． 18．（3分）如图，已知：正方形ABCD，AB＝5，点E，F分别是BC，DC上的点，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝45°，△CEF的周长为 　10　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝BC＝DC，∠B＝∠ADF＝∠BAD＝90°， 如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG， 由旋转得AG＝AE，DG＝BE，∠EAG＝90°，∠DAG＝∠BAE， ∵∠EAF＝45°， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠GAF＝∠EAF， ∵∠ADG＝∠B＝90°， ∴∠ADG+∠ADF＝180°， ∴点G、点D、点F在同一条直线上， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∴△CEF的周长＝EF+CF+CE ＝FG+CF+CE ＝FD+DG+CF+CE ＝DF+BE+CF+CE ＝（BE+CE）+（DF+CF） ＝BC+CD， ∵正方形ABCD的边长为5， ∴△CEF的周长＝BC+CD＝5+5＝10． 故答案为：10． 三、解答题（共96分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上.） 19．（8分）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′． （2）△ABC的面积为 　5　 ． （3）在直线l上找一点P，使PB+PC的值最小． （4）在直线l上找一点M，使|MC﹣MB|值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹） 【解答】解：（1）如图△A′B′C′即为所求： （2）； 故答案为：5； （3）如图，连接BC′交于点P，则点P即为所求； 由对称知，PC＝PC′，则PB+PC＝PB′+PC最小值为线段B′C的长； （4）如图，点M即为所求． 此时|MC﹣MB|的最大值为线段BC的长． 20．（8分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，DF∥AC，ED∥AB，AB＝DE．求证： （1）△ABC≌△DEF； （2）EC＝BF． 【解答】（1）证明：∵DF∥AC， ∴∠DFE＝∠ACB， ∵ED∥AB， ∴∠E＝∠B， 在△DFE和△ACB中， ， ∴△DFE≌△ACB（AAS）； （2）解：由（1）可得，△DFE≌△ACB， ∴BC＝EF， ∴BC﹣CF＝EF﹣CF， ∴BF＝EC． 21．（8分）如图，已知∠AOB＝30°，其内部有一点P，OP＝12，在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于点O），使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值． 【解答】解：如图，分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，PC，PD，P1C，P2D，OP1，OP2， ∴CP＝CP1，OP＝OP1＝12，DP＝DP2，OP＝OP2，∠POC＝∠P1OC，∠POD＝∠P2OD， ∵∠AOB＝30°， ∴∠P1OP2＝∠POC+∠P1OC+∠POD+∠P2OD＝60°， ∴△OP1P2是等边三角形， ∴P1P2＝OP1＝12， ∴△PCD周长为PC+CD+PD＝P1C+CD+P2D≥P1P2， 当P1、C、D、P2四点共线时，△PCD周长取最小值，最小值为12． 22．（8分）如图，已知：AD平分∠BAC，DG⊥BC，CG＝BG，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F． （1）求证：CF＝BE； （2）若AB＝6，AC＝4，求BE的长． 【解答】（1）证明：连接CD，BD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC， ∴DE＝DF， ∵DG⊥BC，CG＝BG， ∴CD＝BD， 在Rt△CDF和Rt△BDE中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）， ∴CF＝BE； （2）解：在Rt△ADF和Rt△ADE中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）， ∴AE＝AF， ∴AB﹣BE＝AC+CF， ∴BE+CF＝AB﹣AC＝6﹣4＝2， ∵CF＝BE， ∴BE＝1． 23．（10分）如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BE是边AC上的中线，BD＝CE，DF⊥BE于点F． （1）求证：BF＝EF； （2）若∠AEB＝66°，求∠C的度数． 【解答】（1）证明：连接DE， ∵AD是边BC上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵E是斜边AC上的中点， ∴， ∵BD＝CE， ∴BD＝DE， ∵DF⊥BE， ∴BF＝EF； （2）由（1）的结论可知：DE＝EC， ∴∠C＝∠EDC， ∵BD＝DE， ∴∠DBE＝∠DEB， 由外角的性质得：∠EDC＝∠DBE+∠DEB＝2∠DEB， ∴∠C＝∠CDE＝2∠DEB＝2∠CBE， ∵∠AEB＝∠CBE+∠C＝3∠CBE， 又∵∠AEB＝66°， ∴3∠CBE＝66°， ∴∠CBE＝22°， ∴∠C＝2∠CBE＝44°． 24．（10分）如图，在等边△ABC中，AO是∠BAC的平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE． （1）求证：AD＝BE； （2）已知AC＝9，求点O到BE之间的距离． 【解答】（1）证明：∵△ABC和△CDE为等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，AB＝AC＝BC， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中． ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE； （2）解：∵AO是∠BAC的平分线，△ABC是等边三角形， ∴，BO＝CO，AB＝AC， 由（1）可知△ACD≌△BCE， ∴∠CBE＝∠CAD＝30°， 设O到BE的距离为h， 则， ∵BC＝AC＝9， ∴， ∴， 即点O到BE的距离为． 25．（10分）如图，在等边三角形ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到了D、E处，设DC与BE的交点为F． （1）BE与CD有何数量关系？为什么？ （2）问蜗牛在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，求出∠BFC的大小． 【解答】解：（1）BE＝CD，理由如下： ∵AB＝BC＝CA，两只蜗牛速度相同，且同时出发， ∴CE＝AD；∠A＝∠BCE＝60°， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（SAS）， ∴BE＝CD； （2）DC和BE所成的∠BFC的大小不变．理由如下： ∵△ACD≌△CBE， ∴∠FBC＝∠ACD， ∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠BCD＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD＝180°﹣∠ACB＝120°， ∴∠BFC的大小不变，∠BFC＝120°． 26．（10分）如图，在△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，在△ACE中，AC＝AE，∠EAC＝90°，CD，BE相交于点F．求证： ①DC⊥BE； ②求∠AFD的度数． 【解答】①证明：∵∠DAB＝90°，∠EAC＝90°， ∴∠DAC＝∠BAE， ∵AC＝AE，AD＝AB， ∴△ACD≌△AEB（SAS）， ∴∠CDA＝∠EBA， ∵∠ABD+∠ADB＝90°， ∴∠ADF+∠FDB+∠ABD＝∠ABF+∠FDB+∠ABD＝90°， ∴∠BFD＝90°， ∴DC⊥BE； ②解：过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N， ∵DC⊥BE， ∴∠EFD＝90°， ∵△ACD≌△AEB， ∴CD＝BE，S△ACD＝S△AEB， ∵， ∴AM＝AN， 又AN⊥BE，AM⊥CD， ∴∠DFA＝∠AFE， ∴AF平分∠DFE， ∴． 27．（12分）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”． （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的等角分割线． （3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，若△ACD是等腰三角形，请求出∠ACB的度数． 【解答】解：（1）∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC， ∴∠ACD＝∠B， 则△ABC与△ACD是“等角三角形”， ∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠BDC， ∴∠DCB＝∠A， 则△ABC与△BCD是“等角三角形”， ∵∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠BDC，∠DCB＝∠A ∴△ACD与△CBD是“等角三角形”． （2）在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°则∠ACB＝80°， ∵CD为角平分线， ∴， ∴∠ACD＝∠A， 则CD＝DA， ∵∠DCB＝∠A，∠B＝60°， ∴∠BDC＝80°， 则∠BDC＝∠ACB， ∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，∠B＝∠B， ∴CD为△ABC的等角分割线． （3）①当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝42°， ∵CD是△ABC的等角分割线， ∴∠ACB＝84°， ②当DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝69°， ∵CD是△ABC的等角分割线， ∴∠BCD＝∠A＝42°， 则∠ACB＝69°+42°＝111°， ③当AC＝DC时，∠ADC＝∠A＝42°，则∠BDC＝180°﹣42°＝138°＝∠ACB， 那么∠B＝180°﹣42°﹣138°＝0°（舍去）， 故∠ACB的度数为84°或111°． 28．（12分）已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝20cm，∠ABC＝30°，CD⊥AB交BA延长线于点D，AF为CA的延长线，点P从A点出发以每秒2cm的速度在射线AF上向右运动，连接BP，以BP为边，在BP的左侧作等边三角形BPE，连接AE． （1）如图1，当BP⊥AC时，求证：△ABP≌△ACD； （2）当点P运动到如图2位置时，此时点D与点E在直线AP同侧，求证：AP＝AB+AE； （3）在点P运动过程中，连接DE，当点P运动多少秒时，线段DE长度取到最小值． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BP⊥AC， ∴∠ADC＝∠APB＝90°， 在△ABP和△ACD中， ， ∴△ABP≌△ACD（AAS）； （2）证明：如图，在PA上取一点T，使得AT＝AB， ∵AB＝AC，∠ABC＝30°， ∴∠ACB＝∠ABC＝30°， ∴∠BAP＝∠ABC+∠ACB＝60°， ∵AT＝AB，∠BAP＝60° ∴△BAT是等边三角形， ∴BA＝BT，∠BTA＝∠ABT＝60°， ∵△BPE是等边三角形， ∴BE＝PE，∠EBP＝60°， ∴∠1+∠2＝60°，∠3+∠2＝60°， ∴∠1＝∠3． 在△EAB和△PTB中 ∴△EAB≌△PTB（SAS）， ∴PT＝AE， ∴AP＝AT+PT＝AE+AB； （3）解：如图3中，设运动时间为t秒 由（2）可证∠EAP＝60°，所以点E在与AF成60°的射线l上运动，当DE⊥l时，ED取到最短．此时∠EAD＝60°，∠EDA＝30°， 在Rt△ACD中，∠DCA＝30°，∠CDA＝90°， ∴AD10cm． 在Rt△ADE中，∠EDA＝30°，∠DEA＝90°， ∴AE5cm． ∴AP＝AB+AE＝20+5＝25cm ∴t＝25÷2＝12.5． ∴运动时间为12.5秒时，线段DE长度取到最小值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/9 16:33:58；用户：15151889565；邮箱：15151889565；学号：23757877 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $