1.4 线段垂直平分线与角平分线（第2课时 角平分线的性质）（教学课件）数学苏科版2024八年级上册

1.4 线段垂直平分线与角平分线 第2课时 角平分线的性质 第一章 三角形 学 习 目 标 1 2 3 经历探索角的轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特性，发展空间观念． 掌握角平分线的性质定理及其逆定理，并能应用它们进行计算、证明． 通过探索、猜测、证明的过程，进一步发展推理能力． 操作引入 在一张薄纸上画∠AOB，折叠画出角平分线． B A O 新知探究 角平分线上的任意一点P到角两边的距离有什么关系？如何证明？ B A O C D P ● 证明：∵ PC⊥OA，PD⊥OB， ∴ ∠PCO＝∠PDO＝90 °. ∵OP是∠AOB的角平分线 ∴∠COP＝∠DOP 在△COP和△DOP中， ∴ △PCO ≌△PDO(AAS). ∴PC＝PD. 新知归纳 角平分线上的点到角两边的距离相等． 角平分线的性质定理： 任意一点 新知归纳 符号语言： O A B P C D P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC＝PD （角平分线上的点 到角两边的距离相等）. ● 用途： 证明线段相等. 注意：一定要表明是两条垂线段. 讨论交流 如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点一定在这个角的平分线上吗？如何证明？ O B A C D Q ● 证明：连接OQ． ∵QC⊥OA，QD⊥OB， ∴∠OCQ＝∠ODQ＝90°． 在Rt△OCQ 和Rt△ODQ 中， ∴ Rt△OCQ≌Rt△ODQ (HL)． ∴ ∠COQ∠DOQ． ∴ 点Q在∠AOB 的平分线上． 新知归纳 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线性质定理的逆定理： 角平分线是到角两边距离相等的点的集合. 新知归纳 ∵QC＝QD，QC⊥OA，QD⊥OB， ∴点Q在∠AOB的平分线上 . （角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）. 符号语言： 用途： 确定点在角平分线上，即可以判定角平分线. O A B Q C D 注意：一定要表明是两条垂线段. 典例分析 例1 如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．求证：点P在∠C的平分线上． P A B D E F N M C AD是∠BAC的平分线 PF＝PN BE是∠ABC的平分线 PF＝PM PM＝PN 点P在∠C的平分线上 典例分析 例1 如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．求证：点P在∠C的平分线上． P A B D E F N M C 证明：过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分 别为F，M，N． ∵AD平分∠BAC，点P在AD上，PF⊥AB，PN⊥AC． ∴PF＝PN（角平分线的性质定理）. 同理PF＝PM． ∴ PM＝PN． ∵PM⊥BC，PN⊥AC， ∴点P在∠C的平分线上（角平分线的性质定理的逆定理）. 归纳总结 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 已知角平分线时，常考虑将角平分线上的点到角两边的距离作出来. 典例分析 例2 利用网格画图： (1) 在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等； A B C ● P 典例分析 例2 利用网格画图： (2) 在射线AP上找一点Q，使QB＝QC. A B C ● P ● Q 典例分析 例3 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF． A F E C B D 1 2 3 4 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4. ∴DE＝DF，AE＝AF（角平分线的性质定理）. ∴点D、A在EF的垂直平分线上 （线段垂直平分线性质定理的逆定理）. ∴AD垂直平分EF. 讨论交流 如图，把直尺的一边落在∠AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD；再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF，CD与EF相交于点P．连接OP，OP是∠AOB的平分线吗？为什么？ A B O C D E F P ● M N 解：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB， 垂足分别为M，N． ∵尺的宽度相等， ∴PM＝PN． 在Rt△OPM 和Rt△OPN 中， ∴ Rt△OPM≌Rt△OPN (HL)． ∴ ∠POM＝∠PON． ∴ OP平分∠AOB． M N 新知巩固 1．如图，判断△ABC的外角∠BAD，∠ABE的平分线的交点是否在∠C的平分线上，并证明你的结论. A B C D E F O ● 解：△ABC的外角平分线的交点在∠C的平分线上. 证明：如图，∠BAD，∠ABE的平分线OA、OB交 于点O．过O点作OF⊥CD，OM⊥AB，ON⊥CE， 垂足分别为F，M，N. ∵点O在∠BAD的平分线上，OF⊥AD， OM⊥AB. ∴OF＝OM. 同理OM＝ON. ∴OF＝ON. ∵OF⊥CD，ON⊥CE， ∴点O在∠ACB的平分线上.　 新知巩固 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，求证：D是BC的中点． A B C D E F 证明： 连接AD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF， ∴AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD． 在△BAD和△CAD中， ∴ △BAD ≌△CAD(SAS). ∴BD＝CD. ∴D是BC的中点． 新知巩固 3．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE＝CF． A B C D E F 证明：∵D为∠BAC的角平分线上一点，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF． ∵D为BC的垂直平分线上一点， ∴BD＝CD． 在Rt△BDE 和Rt△CDF中， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL)． ∴ BE＝CF． 思维提升 如图，直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处？画出它的位置. l1 l2 l3 思维提升 P1 P2 P3 P4 l1 l2 l3 课堂小结 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 两距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段的长度相等. 判定定理 两相等：两条垂线段的长度相等; 两距离：点到角两边的距离； 一个点：角平分线上的点. 常用辅助线：过角平分线上一点向角两边作垂线段. 感谢聆听！ $$