47 专项突破提升(三) 线段与角度计算中的思想方法-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年新教材七年级上册数学（北师大版2024）

专项突破提升(三)　线段与角度计算中的思想方法 (时间：90分钟　满分：140分) 类型一　利用逐段计算法求线段长 1．(4分)若已知线段AB的长为2 cm，延长线段AB到点C，使AC＝3AB，再反向延长线段AB到点D，使BD＝2BC，则线段CD的长度为 12 cm. 2．(8分)如图，已知线段AB＝12 cm，M是AB的中点，点N在AB上，NB＝2 cm，求线段MN的长． 解：因为AB＝12 cm，M是线段AB的中点， 所以BM＝AB＝6 cm. 又因为NB＝2 cm， 所以MN＝BM－NB＝6－2＝4(cm)． 类型二　利用方程思想计算线段长 3．(4分)如图，已知点B，C把线段AD分成2∶5∶3三部分，若E为AD的中点，CE＝6，则BE的长是 9 ． 4．(10分)如图，线段AB＝24，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．设点P的运动时间为x s. (1) 6 s后，PB＝2AM； (2)当点P在线段AB上运动时，试说明2BM－PB为定值； (3)当点P在线段AB的延长线上运动时，N为BP的中点，求MN的长度． 解：(1)因为M为AP的中点， 所以AM＝AP＝x， PB＝AB－AP＝24－2x. 因为PB＝2AM， 所以24－2x＝2x， 解得x＝6， 即6 s后，PB＝2AM. 故答案为6. (2)易知AM＝x，BM＝24－x，PB＝24－2x， 所以2BM－PB＝2(24－x)－(24－2x)＝24， 即2BM－PB为定值24. (3)当点P在线段AB的延长线上运动时， 易知PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x－24. 因为N为BP的中点， 所以PN＝PB＝x－12. 所以MN＝PM－PN＝x－(x－12)＝12. 类型三　利用分类讨论思想求线段长 5．(4分)已知C是线段AB的三等分点，E是线段BC的中点．若CE＝6，则AB的长为(　A　) A．18或36 B．18或24　 C．24或36 D．24或48 6．(4分)已知线段AB＝5，点C在直线AB上，AC＝2，则BC的长为(　C　) A．3 B．7 C．3或7 D．5或7 类型四　利用整体思想求线段长 7．(12分)(1)如图，已知点C在线段AB上，线段AC＝10，BC＝6，M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长度． (2)根据(1)的计算过程与结果，设AC＋BC＝a，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？请用一句简洁的语言表达你发现的规律． (3)若把(1)中的“点C在线段AB上”改为“点C在直线AB上”，结论又如何？ 解：(1)因为M，N分别是AC，BC的中点， 所以CM＝AC＝5，CN＝BC＝3. 所以MN＝CM＋CN＝5＋3＝8. (2)MN的长度为a. 规律：同(1)可得CM＝AC，CN＝BC， 所以MN＝CM＋CN＝AC＋BC＝(AC＋BC)＝a， 即MN的长度等于AC与BC长度和的一半． (3)①当点C在线段AB上时，则MN＝AC＋BC＝5＋3＝8. ②当点C在线段AB的延长线上时，则MN＝AC－BC＝5－3＝2. 类型五　利用“化动为静法”求线段长 8．(4分)在数轴上点A对应的数为－2，B是数轴上的一个动点，当动点B到原点O的距离与到点A的距离之和为6时，则点B对应的数为 －4或2 ． 9．(12分)如图，A，B两点在数轴上，点A对应的数为－10，OB＝4OA，点M以每秒2个单位长度的速度从点A开始向左运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B开始向左运动．(点M和点N同时出发) (1)数轴上点B对应的数是 40 ；线段AB的中点C对应的数是 15 ． (2)经过几秒，点M，N到原点的距离相等． (3)当点M运动到什么位置时，点M与点N相距20个单位长度？ 解：(1)因为点A对应的数为－10， 所以OA＝10. 因为OB＝4OA，所以OB＝40. 所以数轴上点B对应的数是40，线段AB的中点C对应的数是15. 故答案为40；15. (2)设经过x s，点M，N对应的数分别为－10－2x，40－3x. 根据题意可知，分两种情况： ①如图，当点M，N在点O两侧时， 则10＋2x＝40－3x，解得x＝6. ②如图，当点M，N在点O左侧且重合时， 则10＋2x＝3x－40， 解得x＝50. 综上，经过6 s或50 s，点M，N到原点的距离相等． (3)设经过y s，则点M，N对应的数分别为－10－2y，40－3y， ①当点M在点N的左侧时， 则40－3y－(－10－2y)＝20， 解得y＝30. 此时点M，N对应的数分别为－70，－50，符合题意． ②当点N在点M的左侧时， 则－10－2y－(40－3y)＝20， 解得y＝70. 此时点M，N对应的数分别为－150，－170，符合题意． 所以当点M运动到－70或－150的位置时，点M与点N相距20个单位长度． 类型六　利用和差倍分关系求角度 10．(4分)如图，∠AOB＝90°，OA平分∠COD，OE平分∠BOD.若∠BOE＝23°，则∠BOC的度数是(　B　) A．113° B．134° C．136° D．144° 11．(4分)如图，已知OM平分∠AOB，ON平分∠COD.若∠MON＝50°，∠BOC＝10°，则∠AOD＝ 90° ．(填度数) 类型七　利用方程思想求角度 12．(4分)如图，已知OM，OA，ON是∠BOC内的三条射线，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，且∠AOB＋∠MON＝120°，则∠MON＝ 40° ．(填度数) 13．(8分)如图，已知OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOE＝140°，∠BOC比∠COD的2倍还多10°，那么∠AOB的度数是多少？ 解：设∠COD的度数为x， 因为OD是∠COE的平分线， 所以∠COE＝2∠COD＝2x. 因为∠BOC比∠COD的2倍还多10°， 所以∠BOC＝2x＋10°. 因为OB是∠AOC的平分线， 所以∠AOB＝∠BOC，∠AOC＝2∠BOC＝4x＋20°. 因为∠AOE＝140°， 所以2x＋4x＋20°＝140°， 解得x＝20°. 所以∠BOC＝2x＋10°＝50°. 所以∠AOB是50°. 14．(12分)如图，已知∠AOB＝90°，射线OC绕点O从OA的位置开始，以每秒4°的速度按顺时针方向旋转；同时，射线OD绕点O从OB的位置开始，以每秒1°的速度按逆时针方向旋转．当OC与OA成180°时，OC与OD同时停止旋转． (1)当OC旋转10 s时，∠COD＝ 40° ；(填度数) (2)当OC与OD的夹角是30°时，求旋转的时间； (3)当OB平分∠COD时，求旋转的时间． 解：(1)当OC旋转10 s时， 因为射线OC绕点O从OA的位置开始，以每秒4°的速度按顺时针方向旋转， 所以∠AOC＝(4×10)°＝40°. 因为射线OD绕点O从OB的位置开始，以每秒1°的速度按逆时针方向旋转， 所以∠BOD＝(1×10)°＝10°. 所以∠COD＝90°－40°－10°＝40°. 故答案为40°. (2)设转动t s时，OC与OD的夹角是30°. ①如图1，当OC在∠AOB的内部时， 由题意，得4t＋t＝90－30，解得t＝12. 图1 ②如图2，当OC在∠AOB的外部时， 由题意，得4t＋t＝90＋30，解得t＝24. 图2 综上，旋转的时间是12 s或24 s. (3)如图3，设转动m s时，OB平分∠COD， 图3 由题意，得4m－90＝m， 解得m＝30. 所以旋转的时间是30 s． 类型八　巧用整体思想求角度 15．(12分)如图，OC是∠AOB内部的一条射线，且OM，ON分别平分∠AOC与∠BOC. (1)若∠AOC＝120°，∠BOC＝30°，求∠MON的大小； (2)若∠AOC＝α，∠BOC＝β，试用含α，β的代数式表示∠MON，并直接写出∠AOB与∠MON的数量关系． 解：因为OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC， 所以∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC． (1)因为∠AOC＝120°，∠BOC＝30°， 所以∠MON＝∠COM＋∠CON＝×120°＋×30°＝75°. (2)因为∠AOC＝α，∠BOC＝β， 所以∠MON＝∠COM＋∠CON＝(α＋β)＝(∠AOC＋∠BOC)＝∠AOB. 所以∠MON＝(α＋β)，∠AOB＝2∠MON. 16．(12分)将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起． (1)若∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为 145° ； (2)若∠ACB＝144°42′，则∠DCE的度数为 35°18′ ；(写成度、分、秒的形式) (3)猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由． 解：(3)∠ACB与∠DCE互补．理由如下： 因为∠ACD＝90°，∠ECB＝90°， 所以∠ACE＋∠DCE＋∠DCB＋∠DCE＝180°. 因为∠ACE＋∠DCE＋∠DCB＝∠ACB， 所以∠ACB＋∠DCE＝180°， 即∠ACB与∠DCE互补． 类型九　利用分类讨论思想求角度 17．(10分)已知∠AOB＝30°，自∠AOB的顶点O引射线OC，同时使∠AOC∶∠AOB＝4∶3，求∠BOC的度数． 解：因为∠AOB＝30°，∠AOC∶∠AOB＝4∶3， 所以∠AOC＝40°. 当OB在∠AOC的外部时，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝40°＋30°＝70°； 当OB在∠AOC的内部时，∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝40°－30°＝10°. 综上，∠BOC的度数为70°或10°. 18．(12分)已知∠AOB＝60°，∠AOC＝40°，OE平分∠AOB，OF平分∠AOC，求∠EOF的度数． 解：分两种情况：①如图1，当OC在∠AOB外部时， 图1 因为∠AOB＝60°，∠AOC＝40°， OE平分∠AOB，OF平分∠AOC， 所以∠AOE＝∠AOB＝30°， ∠AOF＝∠AOC＝20°， 所以∠EOF＝∠AOF＋∠AOE＝50°. ②如图2，当OC在∠AOB内部时， 图2 因为∠AOB＝60°，∠AOC＝40°， OE平分∠AOB，OF平分∠AOC， 所以∠AOE＝∠AOB＝30°， ∠AOF＝∠AOC＝20°， 所以∠EOF＝∠AOE－∠AOF＝30°－20°＝10°. 综上，∠EOF的度数为50°或10°. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $