精品解析：山东省烟台栖霞市观里中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题

2023－2024学年度初中数学9月月考卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列函数中，是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的意义分别进行分析即可，形如：y=()或或的函数是反比例函数． 【详解】A. ，是一次函数，不是反比例数，故该选项不正确，不符合题意； B. ，是反比例函数，故该选项正确，符合题意； C. ，是一次函数，不是反比例数，故该选项不正确，不符合题意； D. ，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键．y=()或或的函数是反比例函数． 2. 在，， ，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦的定义可得，即可求出． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求一个角的余弦值，解题的关键是掌握余弦等于邻边与斜边之比，正弦等于对边与斜边之比． 3. 函数与()在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质：解题的关键是分两种情况确定答案，分和两种情况确定正确的选项即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交轴于负半轴，随着的增大而增大，A选项错误，C选项符合； 当时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交轴于正半轴，随着的增大而减小，B、D均错误； 故选：C． 4. 如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 1，1， C. 1，1， D. 1，2， 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用直角三角形的性质结合勾股定理的逆定理进而分析得出答案． 【详解】解：A、∵，不能构成三角形，故选项错误； B、∵，是等腰直角三角形，故选项错误； C、底边上的高是，可知是顶角，底角的等腰三角形，故选项错误； D、解直角三角形可知是三个角分别是的直角三角形，其中，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理，直角三角形的判定等． 5. 如图，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数的图象上，菱形的面积为12，则k的值为 （　　） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】过点C作于点D，根据菱形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，根据菱形的面积可得的面积，根据反比例函数系数k的几何意义可得k的值． 【详解】解：过点C作于点D， 在菱形中，，， ∴， ∵菱形的面积为12，点B在y轴的正半轴上， ∴的面积为6， ∴的面积为3， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，菱形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义和菱形的性质是解题的关键． 6. 已知α为锐角，且，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由为锐角，，根据，即可求得，则可求得的度数，继而求得的值． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值．此题难度不大，解题的关键是熟记几个特殊角的三角函数值，注意整体思想的应用． 7. 已知反比例函数，则当时，的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用反比例函数的增减性即可求得答案． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴当时，y随x的增大而减小， 当时，，当时，， ∴当时，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键，即在中，当时，在每个象限内，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． 8. 如图，点在正方形网格的格点上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，取格点，连接交于，则，设，则，利用勾股定理求出，可得结论. 【详解】解：如图，取格点，连接交于，则A、C、D三点共线，且， 设，则， 在中，， ． 故选D． 【点睛】本题考查求角的正弦值、勾股定理与网格问题，根据网格构造直角三角形是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，点，以线段为边作正方形，且点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可． 【详解】解：∵一次函数中，当x＝0时，y＝0＋3＝3， ∴A（0，3）， ∴OA＝3； ∵当y＝0时，0＝， ∴x＝−2， ∴B（−2，0）， ∴OB＝2； 过点C作CE⊥x轴于E， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC， ∵∠CBE＋∠ABO＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°， ∴∠CBE＝∠BAO． 在△AOB和△BEC中，， ∴△AOB≌△BEC（AAS）， ∴BE＝AO＝3，CE＝OB＝2， ∴OE＝2＋3＝5， ∴C点坐标为（-5，2）， ∵点C在反比例函数（x＜0）图象上， ∴k＝−5×2＝−10． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用． 10. 如图，在矩形中，点E在上，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，再根据正切函数的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴，， ∵矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在中，，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据勾股定理求得的长度，再根据余弦的概念，即可解答． 【详解】解：如图： 在中，由勾股定理可得：， ． 故答案为：. 【点睛】本题考查了勾股定理，求角的余弦值，熟知余弦的概念是解题的关键． 12. 已知函数是反比例函数，且它的图象在第一、三象限，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数的定义得到，解方程求出或，再根据反比例函数经过的象限得到，即可求出． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， 解得或， 又∵该反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的定义和反比例函数图象与系数的关系，一般地，形如的函数叫做反比例函数；对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． ． 13. 如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，，，，过B作于E，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，，，，过B作于E， ∴， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴A，C两港之间的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 14. 双曲线有三个点若，则的大小关系用小于号连接表示是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线中可判断出此函数的图象在一，三象限，在每个象限内，随的增大而增大，结合，即可得出结论． 【详解】解：∵双曲线中 ∴此函数的图象在一，三象限，在每个象限内，随的增大而增大， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的图象与系数的关系以及反比例函数的增减性是解此题的关键． 15. 如图，在中，，，是的中点，是的中点，，则线段的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据含角的直角三角形的性质可知，进一步可知，根据等腰三角形的性质可知，，根据，求出的长，再根据，即可求出的长． 【详解】解：，， ，， 是的中点， ， ， 是的中点， 平分，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，特殊角的三角函数，熟练掌握这些知识是解题的关键． 16. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且，的值等于，则的值为 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】首先过点作轴于，过点作轴于，易得，又由点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，即可得，，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得，进而求出的值． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于， ， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法． 三、解答题 17. 计算： （1）sin245°+tan30°×cos60°； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据sin45°，tan30°，cos60°代入求解即可； （2）根据sin30°，sin60°，cos45°，tan60°，tan45°=1，代入求解即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式， ． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，以及相关运算，能够牢记特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 18. 已知反比例函数的图象经过点A(2，6). (1)求这个反比例函数的解析式； (2)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ (3)点B(3，4)，C(5，2)，D(，)是否在这个函数图象上？为什么？ 【答案】(1)；(2)这个函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；(3)点B，D在函数的图象上，点C不在这个函数图象上. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）根据反比例函数的性质求解； （3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】(1)设这个反比例函数的解析式为， 因为在其图象上，所以点的坐标满足， 即，，解得， 所以，这个反比例函数解析式为； (2)这个函数的图象位于第一、三象限， 在每一个象限内，随的增大而减小； (3)因为点，满足，所以点，在函数的图象上，点的坐标不满足，所以点不在这个函数图象上. 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；然后解方程，求出待定系数；最后写出解析式．也考查了反比例函数的性质． 19. 如图，中，，于点D若，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，则，由正切函数定义即可得比例式，进而可求得，最后根据正切函数定义求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ，， ，即． ． 故． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形的性质和锐角三角函数的定义是解题关键． 20. 如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A（-1，n）、B（2，-1）． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积； （3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时的x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式是y=-；一次函数的解析式是y=-x+1； （2）C（1，0），△AOB的面积为1.5； （3）x＜-1或0＜x＜2． 【解析】 【分析】（1）把B（2，-1）代入y=求出m，即可得出反比例函数的解析式，把A（-1，n）代入y=-求出n，即可得出A的坐标，把A、B的坐标代入y=kx+b得出方程组，求出k=-1，b=1，即可得出一次函数的解析式； （2）求出C的坐标，根据三角形的面积公式求出即可； （3）根据A、B的坐标结合图形即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵把B（2，-1）代入y=得：m=-2． ∴反比例函数的解析式是y=-； 把A（-1，n）代入y=-得：n=2， ∴A（-1，2）， 把A、B的坐标代入y=kx+b得：， 解得：， ∴一次函数的解析式是y=-x+1； 【小问2详解】 解：∵把y=0代入y=-x+1得：0=-x+1，解得x=1， ∴C（1，0）， ∴△AOB的面积S=S△AOC+S△BOC=×1×2+×1×1=1.5； 【小问3详解】 解：由函数图象得： 一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是x＜-1或0＜x＜2． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积等知识点的应用． 21. 水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=600，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米． （1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？ （2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度． 【答案】解：（1）需要填土石方立方米. （2）加固后的大坝背水坡面DE的坡度为. 【解析】 【分析】（1）分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G．在Rt△ABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；以CE为底，DG为高即可求出△CED的面积，再乘以大坝的长度，即为所需的填方体积. （2）在Rt△CDG中，由勾股定理求CG的长，即可得到GE的长；Rt△DEG中，根据DG、GE的长即可求得坡角的正切值，即坡面DE的坡比. 【详解】解：（1）如图，分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G． 在Rt△ABF中，AB=16米，∠B=60°， ， ∴，即DG=． 又∵CE=8，∴. 又∵需加固的大坝长为150，∴需要填方：. 答：需要填土石方立方米. （2）在Rt△DGC中，DC=，DG=， ∴.∴GE=GC+CE=32. ∴DE的坡度. 答：加固后的大坝背水坡面DE的坡度为. 22. 喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序，即需要将电热水壶中的水烧到，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温与时间成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度与时间近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于． （1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量的取值范围； （2）从水壶中的水烧开降到就可以进行泡制绿茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？ 【答案】（1）当加热烧水，函数关系式为；当停止加热，得与的函数关系式为；段， （2）从烧水开到泡茶需要等待分钟 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型． （1）将点的坐标代入反比例函数的一般形式利用待定系数法确定反比例函数的解析式，然后求得点和点的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）将代入反比例函数的解析式，从而求得答案． 【小问1详解】 解：设停止加热时，设， 由图可知，将代入得：，解得：， ， 当时，得：； 当时，得，解得：， 点坐标为， 点坐标为， 设当加热烧水时，设， 由图及题意可知，将代入得：，解得：， 当加热烧水，函数关系式为； 当停止加热，得与的函数关系式为； 段，； 【小问2详解】 解：把代入，得，（分钟）； 从烧水开到泡茶需要等待分钟． 23. 文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，因塔建于天宁寺内，又名天宁寺塔；文峰塔建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，风格独特，具有上大下小的特点．由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见． 活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点C处用高1.6m的测角仪测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进12m到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你相关数据求出文峰塔的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，，．） 【答案】文峰塔的高度约为38米 【解析】 【分析】延长交于点G，设米，在中，求出的长，进而得出的长，中，利用，进行求解即可． 【详解】解：延长交于点G． 由题意得：米，米，． 设米．在中，， ∴（米）． ∴米． 在中，， ∴，解得． 经检验：是原方程的根． ∴（米）． 答：文峰塔的高度约为38米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形，熟记锐角三角函数的定义． 24. 如图，在中，，轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交于点D．已知，． （1）若，求的值； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出点坐标即可得出答案； （2）首先表示出，点坐标，进而利用反比例函数图象的性质求出点坐标，然后利用勾股定理即可求得的长 此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象的性质，正确得出方程，解一元一次方程是解题关键． 【小问1详解】 解：作，垂足为E， ∵， ∴． 在中，，， ∴, ∵， ∴C点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， 故答案为：12． 【小问2详解】 解：设A点的坐标为， ∵，， ∴， ∴D，C两点的坐标分别为：，． ∵点C，D都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴C点的坐标为：， ∴． 故答案为：． 25. 如图，在中，，于点D，点E是上的一点，，，，求的长和的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，由同角的余角相等可得，从而得出，解直角三角形得出，由勾股定理可得，设，则，再由勾股定理计算得出，从而得出，最后由正切的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023－2024学年度初中数学9月月考卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列函数中，是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 在，， ，则的值是（　　） A. B. C. D. 3. 函数与()在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 1，1， C. 1，1， D. 1，2， 5. 如图，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数的图象上，菱形的面积为12，则k的值为 （　　） A. B. 6 C. D. 3 6. 已知α为锐角，且，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数，则当时，的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，点在正方形网格的格点上，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，点，以线段为边作正方形，且点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 20 10. 如图，在矩形中，点E在上，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在中，，则___________． 12. 已知函数是反比例函数，且它的图象在第一、三象限，那么________． 13. 如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为_____． 14. 双曲线有三个点若，则的大小关系用小于号连接表示是________． 15. 如图，在中，，，是的中点，是的中点，，则线段的长为_________． 16. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且，的值等于，则的值为 ______ ． 三、解答题 17. 计算： （1）sin245°+tan30°×cos60°； （2） 18. 已知反比例函数的图象经过点A(2，6). (1)求这个反比例函数的解析式； (2)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ (3)点B(3，4)，C(5，2)，D(，)是否在这个函数图象上？为什么？ 19. 如图，中，，于点D若，，求的值． 20. 如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A（-1，n）、B（2，-1）． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积； （3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时的x的取值范围． 21. 水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=600，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米． （1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？ （2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度． 22. 喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序，即需要将电热水壶中的水烧到，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温与时间成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度与时间近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于． （1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量的取值范围； （2）从水壶中的水烧开降到就可以进行泡制绿茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？ 23. 文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，因塔建于天宁寺内，又名天宁寺塔；文峰塔建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，风格独特，具有上大下小的特点．由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见． 活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点C处用高1.6m的测角仪测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进12m到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你相关数据求出文峰塔的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，，．） 24. 如图，在中，，轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交于点D．已知，． （1）若，求的值； （2）连接，若，求的长． 25. 如图，在中，，于点D，点E是上的一点，，，，求的长和的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $