第3章代数式进阶单元卷 2025-2026学年人教版数学七年级上册

第3章 代数式（进阶） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列式子符合代数式书写要求的是(    ) A. B. C. D. 2.李奶奶买了一筐草莓，连筐共，其中筐将草莓平均分给位小朋友，每位小朋友可分得(    ) A. B. C. D. 3.代数式的意义是  (    ) A. 与的倍的差的平方 B. 的倍与的平方的差 C. 与的差的平方的倍 D. 的倍与的差的平方 4.下面每组的两个量中，成反比例的是(    ) A. 和互为倒数 B. 圆柱的高一定，体积和底面积 C. 被减数一定，减数与差 D. 除数一定，商和被除数 5.能用代数式表示含义的是  (    ) A. 妈妈在超市购买物品共需元，结账时买塑料袋又花了元，妈妈共花了多少元 B. 一个长方形的长是米，宽是米，这个长方形的周长是多少米 C. 小明骑自行车以千米时的速度行驶小时后，所行驶的路程是多少千米 D. 一套商品房原价为万元，现提价，那么现在的售价是多少万元 6.若个不同的正整数，，，满足，则的值为  (    ) A. B. C. D. 7.某商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过元时，所购买的商品按原价打折后，再减少元”若某商品的原价为元，则购买该商品实际付款的金额是  (    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 8.下列代数式，满足表中条件的是(    ) 代数式的值 A. B. C. D. 9.下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是． A. B. C. D. 10.用棋子按下列方式摆放图形，依照此规律，第个图形比第个图形多摆放棋子(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.若，则            ． 12.已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，则的值为          ． 13.按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是          ． 14.当时，多项式的值为，则当时，该多项式的值为          ． 15.某公园的门票价格是：成人票每张元，学生票每张元．一个旅行团有成人人，学生人，用代数式表示该旅行团应付的门票费为          元；当，时，该旅行团应付的门票费为          元． 16.如图，用代数式表示图中阴影部分的周长是          ． 17.对于有理数，，定义新运算，其中，也是有理数．已知，则的值为          ． 18. 【问题探究】当，取不同数值时，试计算及的值，填入下表： ，的值 ， ， ，                                                                   【规律发现】请你再任意给，各取一个数值，并计算及的值： 当          ，          时，          ，          ；本题答案不唯一 我发现的规律是          ． 【结论运用】用你发现的规律计算：． 三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 当、时，求下列代数式的值： ； ． 20.本小题分 已知一个长方体的体积是，它的长是，宽是，高是． 用式子表示与的关系； 与成什么比例关系？ 当时，求的值． 21.本小题分 铜钱是我国的早期货币，外圆内方的构造彰显了数学之美，如示意图。铜钱外部的圆半径为，里边正方形的边长为。 请用含有，的式子表示图中阴影部分的面积 当，，则图中阴影部分的面积是多少 22.本小题分 如图，甲、乙两人看成点分别在数轴和的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动． 若都对或都错，则甲向东移动个单位，同时乙向西移动个单位； 若甲对乙错，则甲向东移动个单位，同时乙向东移动个单位； 若甲错乙对，则甲向西移动个单位，同时乙向西移动个单位． 经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率； 从如图的位置开始，若完成了次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对次，且他最终停留的位置对应的数为，试用含的代数式表示，并求该位置距离原点最近时的值； 从如图的位置开始，若进行了次移动游戏后，甲与乙的位置相距个单位，直接写出的值． 23.本小题分 先阅读下列材料，然后解决后面的问题． 材料：一个三位自然数，若十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称这个三位数为“正态数”例如：，因为，所以是“正态数”． 材料：如果一个数是两个连续正整数与的积，即，则称这个数为“邻积数”例如：，因为，所以是一个“邻积数”． 填空：最大的“正态数”是          ，           填“是”或“不是”“邻积数”． 求既是“正态数”又是“邻积数”的数． 24.本小题分 某数学实验小组同学在探究“关于的二次三项式的性质为常数”时，进行了如下活动． 【实验操作】取不同的的值，计算代数式的值． 根据上表，求出，的值，并补充完整表格； 【观察猜想】实验小组组员通过观察表格，提出以下猜想：同学甲说：“代数式的值随的增大而增大．”同学乙说：“不论取何值，代数式的值一定不大于” 请你也提出一个合理的猜想：          ； 【验证猜想】我们知道，猜想可能是正确的，也可能是错误的． 请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确？若不正确，请举出反例；若正确，请说明理由． 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 代数式（进阶） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列式子符合代数式书写要求的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  2.李奶奶买了一筐草莓，连筐共，其中筐将草莓平均分给位小朋友，每位小朋友可分得(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意． 根据题意，求出草莓的重量，再除以即可． 【解答】 解：由题意得：每位小朋友可分得的重量为：， 故选：． 3.代数式的意义是  (    ) A. 与的倍的差的平方 B. 的倍与的平方的差 C. 与的差的平方的倍 D. 的倍与的差的平方 【答案】D  4.下面每组的两个量中，成反比例的是(    ) A. 和互为倒数 B. 圆柱的高一定，体积和底面积 C. 被减数一定，减数与差 D. 除数一定，商和被除数 【答案】A  5.能用代数式表示含义的是  (    ) A. 妈妈在超市购买物品共需元，结账时买塑料袋又花了元，妈妈共花了多少元 B. 一个长方形的长是米，宽是米，这个长方形的周长是多少米 C. 小明骑自行车以千米时的速度行驶小时后，所行驶的路程是多少千米 D. 一套商品房原价为万元，现提价，那么现在的售价是多少万元 【答案】D  【解析】解：、根据题意得：元．故本选项不符合题意； B、根据题意得：米故本选项不符合题意； C、根据题意得：千米故本选项不符合题意； D、根据题意得：万元．故本选项符合题意； 故选D． 利用式子表示的意义逐一分析探讨得出答案即可． 本题考查了代数式的概念和表示，正确掌握列代数式的法则是解题的关键． 6.若个不同的正整数，，，满足，则的值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了代数式求值和有理数的运算，根据题意找到等量关系是解题的关键． 根据正整数的特征得到，再计算即可． 因为，，，是个不同的正整数， ，且， 所以， 即． 所以， 即． 7.某商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过元时，所购买的商品按原价打折后，再减少元”若某商品的原价为元，则购买该商品实际付款的金额是  (    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A  【解析】解：由题意可得，若某商品的原价为元， 则购买该商品实际付款的金额是：元． 故选：． 根据题意可知，购买该商品实际付款的金额某商品的原价元，依此列式即可求解． 本题考查列代数式，解答本题的关键明确题意，列出相应的代数式． 8.下列代数式，满足表中条件的是(    ) 代数式的值 A. B. C. D. 【答案】C  9.下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是． A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由图可得，图中阴影部分的面积为，故选项A符合题意；，故选项B不符合题意；，故选项C不符合题意；，故选项D不符合题意．故选A． 10.用棋子按下列方式摆放图形，依照此规律，第个图形比第个图形多摆放棋子(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D  【解析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 解：设第个图形的棋子数为． 第个图形，； 第个图形，； 第个图形，； 则第个图形比第个图形多枚棋子． 故选：． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.若，则            ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． 根据非负数的性质可求出、的值，再将它们代入中求解即可． 【解答】 解：因为， 所以，， 所以，， 所以． 故答案为． 12.已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，则的值为          ． 【答案】或  【解析】解：、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为， ，，， 当时，； 当时，； 故答案为：或 根据相反数，倒数和绝对值得出，，，再代入求出答案即可． 本题考查了相反数，绝对值，倒数和有理数的混合运算等知识点，能求出、和是解此题的关键． 13.按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是          ． 【答案】  14.当时，多项式的值为，则当时，该多项式的值为          ． 【答案】  15.某公园的门票价格是：成人票每张元，学生票每张元．一个旅行团有成人人，学生人，用代数式表示该旅行团应付的门票费为          元；当，时，该旅行团应付的门票费为          元． 【答案】 16.如图，用代数式表示图中阴影部分的周长是          ． 【答案】  【解析】解：根据题意可得， ， 所以阴影部分的周长为， 故答案为： 阴影部分的周长，由一个大半圆弧加上个小半圆弧组成，求出大半圆弧长和个小半圆弧长之和即可． 本题考查了列代数式知识点，难度不大，根据题意列出合适代数式即可． 17.对于有理数，，定义新运算，其中，也是有理数．已知，则的值为          ． 【答案】  【解析】解：因为，所以，所以， 所以 ． 18. 【问题探究】当，取不同数值时，试计算及的值，填入下表： ，的值 ， ， ，                                                                   【规律发现】请你再任意给，各取一个数值，并计算及的值： 当          ，          时，          ，          ；本题答案不唯一 我发现的规律是          ． 【结论运用】用你发现的规律计算：． 【答案】(1)24;12;-27;24;12;-27  (2)1;0;1;1;a2-b2＝(a+b)(a-b)  (3)78.352-21.652＝(78.35+21.65)×(78.35-21.65)＝100×56.7＝5670．  【解析】 略   当，时，，，根据上述计算可得，；  略 三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 当、时，求下列代数式的值： ； ． 【答案】(1)解：当a＝5，b＝－2时，原式＝（5-4）（5+4）=1×9＝9．  (2)解：当a＝5，b＝－2时，原式＝52-2×5×（-2）+（-2）2​​​​​​​＝49．  【解析】 此题考查代数式求值，将，代入所求代数式计算即可．  此题考查代数式求值，将，代入所求代数式计算即可． 20.本小题分 已知一个长方体的体积是，它的长是，宽是，高是． 用式子表示与的关系； 与成什么比例关系？ 当时，求的值． 【答案】(1)xy＝10  (2)y与x成反比例关系  (3)y＝5  21.本小题分 铜钱是我国的早期货币，外圆内方的构造彰显了数学之美，如示意图。铜钱外部的圆半径为，里边正方形的边长为。 请用含有，的式子表示图中阴影部分的面积 当，，则图中阴影部分的面积是多少 【答案】(1)解:由题意可得,图中阴影部分的面积为​​​​​​​-。  (2)当a=3,b=1时,原式=3-=26。 因此,图中阴影部分的面积是26。 22.本小题分 如图，甲、乙两人看成点分别在数轴和的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动． 若都对或都错，则甲向东移动个单位，同时乙向西移动个单位； 若甲对乙错，则甲向东移动个单位，同时乙向东移动个单位； 若甲错乙对，则甲向西移动个单位，同时乙向西移动个单位． 经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率； 从如图的位置开始，若完成了次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对次，且他最终停留的位置对应的数为，试用含的代数式表示，并求该位置距离原点最近时的值； 从如图的位置开始，若进行了次移动游戏后，甲与乙的位置相距个单位，直接写出的值． 【答案】解：经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的， 必须甲胜乙错， 因为一共有四种情形，都对或都错，甲对乙错，甲错乙对， ． 由题意． 时，离原点最近． 不妨设甲连续次正确后两人相距个单位， 则有，解得或． 如果次中，有次两人都对都错，则有，解得或， 如果次中，有次两人都对都错，则有，解得或， ， 综上所述，满足条件的的值为或．  【解析】利用概率公式计算即可． 利用两点之间的距离公式计算即可． 不妨设甲连续次正确后两人相距个单位，则有，解得或如果次中，有次两人都对都错，则有，解得或，如果次中，有次两人都对都错，则有，解得或，探究规律，可得结论． 本题考查概率公式，数轴，代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 23.本小题分 先阅读下列材料，然后解决后面的问题． 材料：一个三位自然数，若十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称这个三位数为“正态数”例如：，因为，所以是“正态数”． 材料：如果一个数是两个连续正整数与的积，即，则称这个数为“邻积数”例如：，因为，所以是一个“邻积数”． 填空：最大的“正态数”是          ，           填“是”或“不是”“邻积数”． 求既是“正态数”又是“邻积数”的数． 【答案】(1)990;是  (2)解：设一个“正态数”的个位数为x，百位数为y，则其可表示为. 又， 当或时，这个“正态数”就是邻积数. 是非负整数，是正整数，当时，，对应的“生态数”是132； 当时，，对应的“生态数”是110. 既是“正态数”又是“邻积数”的数是132，110. 24.本小题分 某数学实验小组同学在探究“关于的二次三项式的性质为常数”时，进行了如下活动． 【实验操作】取不同的的值，计算代数式的值． 根据上表，求出，的值，并补充完整表格； 【观察猜想】实验小组组员通过观察表格，提出以下猜想：同学甲说：“代数式的值随的增大而增大．”同学乙说：“不论取何值，代数式的值一定不大于” 请你也提出一个合理的猜想：          ； 【验证猜想】我们知道，猜想可能是正确的，也可能是错误的． 请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确？若不正确，请举出反例；若正确，请说明理由． 【答案】(1)由题表，得解得所以 a的值为－1，b的值为2，即原代数式可化为－x2＋2x＋3．当x＝2时，－x2＋2x＋3＝－22＋2×2＋3＝3；当x＝3时，－x2＋2x＋3＝－32＋2×3＋3＝0．补全表格略．  (2)答案不唯一，如：当x＜1时，ax2＋bx＋3的值随x的增大而增大  (3)甲同学的猜想不正确．反例：当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝3．所以甲同学的猜想不正确．乙同学的猜想正确．理由如下：由（1），得ax2＋bx＋3＝－x2＋2x＋3＝－（x2－2x＋1）＋4＝－（x－1）2＋4．因为－（x－1）2≤0，所以－（x－1）2＋4≤4．所以不论x取何值，代数式ax2＋bx＋3的值一定不大于4．  第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $