精品解析：上海市七宝中学2025-2026学年高三上学期开学练习数学试题

2025学年第一学期高三年级数学开学练习 考试时间120分钟，满分150分 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1. 若全集，集合，则______． 2. 双曲线的两条渐近线方程为______． 3. 已知某圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的母线长是___________. 4. 已知是等差数列的前项和，，则______． 5. 若事件与相互独立，且，则______． 6. 的展开式中的系数为____________． 7. 函数的最大值为________________． 8. 已知函数的图像是折线段，其中，函数的图像与轴围成的图形的面积为___________. 9. 在中，，，且，则______． 10. 已知圆心为、半径为1的圆上有三点、、．若，则______． (白本P30第14题) 11. 已知函数．若，有2个不同的实数根，则实数的取值范围为______． 12. 考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中至少有两个顶点是椭圆的顶点，则这样的等腰三角形的个数为______． 二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知为非零实数，且，则下列命题成立的是 A. B. C. D. 14. 已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，那么的值分别是 A. B. C. D. 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，．则当时，方程实根的个数为（ ） A. 508 B. 507 C. 506 D. 505 16. 对于函数，设：对任意的，均有，：对任意的，均有，：函数为偶函数，则（ ）. A. 、中仅是的充分条件 B. 、中仅是的充分条件 C. 、均是的充分条件 D. 、均不是的充分条件 三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． (白本P221第17题) 17. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． (蓝本题改编) 18. 已知为常数，函数． （1）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，判断函数在上的单调性，并求它的单调区间． (同周末卷1，19题) 19. 某学校有800名高中学生，其中男生512名，女生288名．按照分层抽样原则抽取了50名学生，被抽取的50名学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组[190,195]，图是频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． （1）求第七组的频率； （2）通过计算得到男生身高样本平均数为，方差为17，女生身高样本平均数为163.83cm，方差为30.03．求该50名高中学生身高的样本平均数和方差，并估计该校学生身高的总体方差．(结果精确到0.01) （3）若从身高属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的身高分别为，记事件，求． (蓝本P122，8题改编) 20. 已知抛物线，点为的焦点，为上互异的三点． （1）若，求的坐标； （2）过点的直线交抛物线于、两点，求的值(其中为坐标原点)； （3）若为等腰直角三角形，求面积的最小值． 21. 定义在R上的函数，若对任意的成立，则称函数是函数的“从属函数”． （1）若函数是函数的“从属函数”且是偶函数，求证：是偶函数； （2）若，求证：当时，函数是函数的“从属函数”； （3）设定义在R上的函数与，它们的图像各是一条连续的曲线，且函数是函数的“从属函数”．设：“函数在R上是严格增函数或严格减函数”；：“函数在R上为严格增函数或严格减函数”，试判断是的什么条件？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高三年级数学开学练习 考试时间120分钟，满分150分 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1. 若全集，集合，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定集合的范围，再根据补集的定义即可求出. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故答案为： 2. 双曲线的两条渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用渐近线方程直接求解. 【详解】，，，， 焦点在轴上，渐近线方程为. 故答案为：. 3. 已知某圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的母线长是___________. 【答案】2； 【解析】 【分析】设该圆锥的母线长为，根据侧面展开图为半圆，利用圆的面积公式得即可求圆锥的母线长. 【详解】设该圆锥的母线长为， ∴由题意，，解得. 故答案为： 4. 已知是等差数列的前项和，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式及等差数列性质求解即可. 【详解】在等差数列中，，， 所以，. 故答案为：. 5. 若事件与相互独立，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】应用条件概率公式及独立事件乘法求概率. 【详解】由题设. 故答案为： 6. 的展开式中的系数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于7，求的值，即可求得系数. 【详解】， 令，则， 所以. 故答案为： 7. 函数的最大值为________________． 【答案】 【解析】 【详解】此题考查三角函数最值问题的求法、诱导公式、两角差的余弦公式、二倍角余弦公式和正弦公式的逆向应用、两角和的正弦公式的逆向应用、三角函数的有界性的应用; 求三角函数的值域的类型有：（1）形如 这些函数可利用换元法求值域或最值；（2）形如 可构造出一个动点和一个定点的斜率求最值或值域；（3）形如的利用两角和与差的正弦、余弦公式的逆向应用，把函数化成形式求值域； ，所以函数的最大值是； 此题还可以考查求此函数的周期，单调区间以及给定区间上的值域或最值问题，函数的图像平移变换问题； 8. 已知函数的图像是折线段，其中，函数的图像与轴围成的图形的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得，从而，利用定积分可求得函数的图象与轴围成的图形的面积． 【详解】由题意可得，， ， 设函数的图象与轴围成的图形的面积为， 则 ． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：求曲边梯形的面积，常转化为定积分，其关键是找到原函数. 9. 在中，，，且，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】由正弦定理得，，由余弦定理得，再由一元二次方程的根求解即可． 【详解】，， 由正弦定理得，， 由，得， 得， 由余弦定理得，， 得， 得， 则为一元二次方程的两个根， 则， 得，或， 则或， 故答案为：或 10. 已知圆心为、半径为1的圆上有三点、、．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得结合模长即可求得，进而结合向量减法及数量积运算律可得. 【详解】∵，且， 两边平方， ∴，故， 则. 故答案为： (白本P30第14题) 11. 已知函数．若，有2个不同的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用有2个不同的实数根转化为有2个根，利用换元法结合函数图象求得的取值范围即可. 【详解】由题意可知有2个不同的实数根， 所以，， 设，则有2个不同的实数根， 所以当时，与的图象有2个不同的交点， 结合函数图象可得， 故答案为： 12. 考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中至少有两个顶点是椭圆的顶点，则这样的等腰三角形的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别以椭圆顶点连线为等腰三角形的腰或底，进行分类讨论，可得到答案. 【详解】设椭圆的左右顶点分别为，上下顶点分别为.分以下四种情况进行分析： （1）若等腰三角形的三个顶点都是椭圆的顶点，则这样的三角形有4个，分别为. （2）若三角形有且只有两个顶点在椭圆上，且是椭圆的左右顶点， 根据椭圆的对称性，设该等腰三角形的另一个顶点在第一象限，记为点,则有,显然不能构成等腰三角形. 所以当三角形的两个顶点是椭圆的左右顶点时，不能构成等腰三角形； （3）若三角形有且只有两个顶点在椭圆上，且是椭圆的上下顶点， 根据椭圆的对称性，设该等腰三角形的另一个顶点在第一象限，记为点,因为,,,, 所以当且仅当时，是等腰三角形.所以当三角形的两个顶点是椭圆的上下顶点时，可以构成的等腰三角形有4个； 检验：由题知： ,设,,由，得， 化简得：,解得：,所以有2个满足条件的点，即有2个满足条件的三角形. 同理当时，满足条件的三角形有2个. 所以当三角形只有两个顶点在椭圆上，且分别是椭圆的上下顶点时，可构成的等腰三角形共有4个. （4）若三角形有且只有两个顶点在椭圆上，且一个是椭圆的长轴的端点，一个是椭圆的短轴的端点.根据椭圆的对称性，可先讨论两个顶点分别是. 如图，当线段为等腰三角形的底时，线段的垂直平分线与椭圆交于两点，所以满足条件的三角形有2个. 所以，只有两个顶点是椭圆的顶点，且以为底的等腰三角形有2个. 同理,只有两个顶点是椭圆的顶点，且分别以，，为底的等腰三角形各有2个. 当线段为等腰三角形的腰时，由题知： ,设,,且, 若为等腰三角形的顶角，则，所以， 化简得：,解得：,所以不存在满足条件的点，即没有满足条件的三角形. 若为等腰三角形的顶角，则，所以，化简得：,解得：, 根据对称性，有2个满足条件的点，即有2个满足条件的三角形. 所以，只有两个顶点是椭圆的顶点，且以为腰的等腰三角形有2个. 同理，只有两个顶点是椭圆的顶点，且分别以为腰的等腰三角形各有2个. 综上所述，满足条件的等腰三角形共有：个. 故答案为：24. 二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知为非零实数，且，则下列命题成立的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若a<b<0,则a2>b2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成立 ,故选C. 14. 已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，那么的值分别是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用根与系数的关系列出方程组，根据复数相等运算即可得出所求结果. 【详解】因为（是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，所以，所以，解得. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的有关计算，解题的关键是熟练掌握复数相等的条件和一元二次方程根与系数的关系. 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，．则当时，方程实根的个数为（ ） A. 508 B. 507 C. 506 D. 505 【答案】B 【解析】 【分析】要解决这个问题，我们需要分析函数 和 的性质，通过研究它们的图象交点个数来确定方程 的实根个数. 【详解】对于函数，因为， 所以的图象关于直线对称. 当时，单调递减，当时，单调递增， 因为，所以， 所以，即的周期为8. 由，则的图象关于对称，又是奇函数， 则关于原点对称，由和的图象可知，在一个周期内，有两个交点 而，且在上有一个交点，故， 方程实根的个数为. 故答案选：B 16. 对于函数，设：对任意的，均有，：对任意的，均有，：函数为偶函数，则（ ）. A. 、中仅是的充分条件 B. 、中仅是的充分条件 C. 、均是的充分条件 D. 、均不是的充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义推理判断作答. 【详解】对于 : 对任意的, 均有， 则，因此为偶函数， 对于 ：对任意的，均有， 则，因此是偶函数， 所以、均是的充分条件，ABD错误，C正确. 故选：C. 【点睛】易错点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；（2）或是定义域上的恒等式． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． (白本P221第17题) 17. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 【答案】（1）证明：在四棱锥中，四边形为正方形， 连接，，交于点，则是中点，连接， 为中点，则为的中位线， ， 在平面外，平面， 平面． （2）证明：在四棱锥中，四边形为正方形， ， 平面，平面， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面． 【解析】 【分析】（1）连接，，交于点，由三角形中位线性质可得，根据线面平行的判定可证得结论； （2）由线面垂直的性质及正方形的性质，结合线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 (蓝本题改编) 18. 已知为常数，函数． （1）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，判断函数在上的单调性，并求它的单调区间． 【答案】（1）分类讨论，答案见解析，理由见解析； （2）函数在上严格单调递增，在上严格单调递减． 【解析】 【分析】（1）根据、两种情况分类讨论，结合奇偶函数的定义即可求解； （2）求出，再进一步求出和的范围即可求解． 【小问1详解】 记，定义域为， ①当时，， 因为，故函数为偶函数， ②当时，， 取，因为且， 即且，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数． 【小问2详解】 ， 因为，所以当时，， 当时，， 所以函数在上严格单调递增，在上严格单调递减． (同周末卷1，19题) 19. 某学校有800名高中学生，其中男生512名，女生288名．按照分层抽样原则抽取了50名学生，被抽取的50名学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组[190,195]，图是频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． （1）求第七组的频率； （2）通过计算得到男生身高样本平均数为，方差为17，女生身高样本平均数为163.83cm，方差为30.03．求该50名高中学生身高的样本平均数和方差，并估计该校学生身高的总体方差．(结果精确到0.01) （3）若从身高属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的身高分别为，记事件，求． 【答案】（1）0.06； （2）样本平均数、方差分别为170.02cm；43.24；该校学生总体方差为43.24； （3）. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图可求出第六组的频率，根据性质即可求第七组的频率； （2）根据平均数和方差的公式直接求解即可； （3）确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率. 【小问1详解】 根据题意可知，第六组的频率为， 则第七组的频率为； 【小问2详解】 由题意，样本总量为50，其中男生样本量为32，女生样本量为18． 记男生样本为，平均数为，方差为； 记女生样本为、，平均数为，方差为， 所有数据样本平均值为，方差为． 由， 所有数据的样本平均数为． 据此可以估计该校学生身高的总体方差为43.24． 【小问3详解】 第六组的人数为4，设为， 第八组的人数为，设为， 则从中随机抽取两名学生有共15种情况， 因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生在同一组， 事件包含的基本事件为共7种情况， ． (蓝本P122，8题改编) 20. 已知抛物线，点为的焦点，为上互异的三点． （1）若，求的坐标； （2）过点的直线交抛物线于、两点，求的值(其中为坐标原点)； （3）若为等腰直角三角形，求面积的最小值． 【答案】（1）或 （2） （3）16 【解析】 【分析】（1）根据焦半径公式求解即可； （2）联立韦达代入即可； （3）利用等腰直角三角形的特点设坐标，代入抛物线方程整理化简，结合基本不等式求最值即可，注意验证取等号条件. 【小问1详解】 不妨设，因为，可得，解得， 则的坐标为 或 ； 【小问2详解】 由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点的直线为，设点， 联立得 则． 【小问3详解】 若三角形为等腰直角三角形， 不妨设，因为，且， 不妨设， 此时， 代入抛物线方程可得：， 解得， 所以 ， 整理得， 由于 ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， 则，即， 当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当，时，三个顶点坐标为， 此时三角形面积的最小值为16． 21. 定义在R上的函数，若对任意的成立，则称函数是函数的“从属函数”． （1）若函数是函数的“从属函数”且是偶函数，求证：是偶函数； （2）若，求证：当时，函数是函数的“从属函数”； （3）设定义在R上的函数与，它们的图像各是一条连续的曲线，且函数是函数的“从属函数”．设：“函数在R上是严格增函数或严格减函数”；：“函数在R上为严格增函数或严格减函数”，试判断是的什么条件？请说明理由． 【答案】（1） 因为是R上的偶函数，故对任意的都有． 又是的“从属函数”，于是恒成立， 即对任意的成立，故是偶函数． （2） 不妨设，当时，在R上是严格增函数， 有． 而 ． 所以， 因此，当时，函数是函数的“从属函数”. （3） 是的必要非充分条件． 充分性，举反例． 令，显然在R上是严格增函数． 因为， 所以函数是函数的“从属函数”，但在R上不是单调函数． 因此不是的充分条件． 必要性证明，即证：函数是函数的“从属函数”， 若函数在R上为严格增函数或严格减函数，则函数在R上是严格增函数或严格减函数． 任取，且，有，即对任意，且，有． 下面证明：对任意的实数，有或成立． 若存在，使得且…①，其中不妨设…②， 当①或②式中有等号成立时，则与（其中）矛盾！ 当①②两式中等号均不成立时，考虑，因为，由连续函数的零点存在定理知， 必存在使得，也与（其中）矛盾！ 同理可证且也不可能． 因此，对任意的实数，有成立或成立． 若成立，则在R上是严格增函数；若成立，在R上是严格减函数．必要性得证． 【解析】 【分析】（1）根据“从属函数”的定义和偶函数的性质可证对任意恒成立，即可证明是偶函数； （2）不妨设，当时，利用放缩法可证，即可得证函数是函数的“从属函数”； （3）充分性，可通过举反例证明非充分，必要性，即证：函数是函数的“从属函数”，若函数在R上为严格增函数或严格减函数，则函数在R上是严格增函数或严格减函数，分情况讨论得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $