江苏省无锡市2025-2026学年苏科版八年级上学期第一次月考数学模拟试卷 范围：《三角形》

江苏省无锡市2025-2026学年苏科版八年级上学期第一次月考 数学模拟试卷 范围:第一章《三角形》 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列三条线段的长度能构成三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D  【解析】略 2.如图，在中，是高，是角平分线，是中线则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 3.如图所示的两个三角形全等，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 由全等三角形的对应角相等得到，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【解答】 解：两个三角形全等， ， ． 故选：． 4.如图，在中，，点在的延长线上，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论正确的是  (    ) A. B. 与是同旁内角 C. D. 【答案】D  【解析】由作图痕迹可知，，，，，故选D． 5.如图，在中，，，，，则的度数是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】在和中，，故选B． 6.如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线交于点，连结若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ．  故选：． 首先根据三角形内角和定理可以求出，由尺规作图可知：是的垂直平分线，所以可得，根据等边对等角可得，根据可求结果． 本题考查了尺规作图、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】如图，过点作于点，  根据题意得，是的平分线，，，，，，故选 B． 8.如图，在等腰中，，与的平分线交于点，过点做，分别交、于点、，若的周长为，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：在中，与的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， 的周长是：， ． 故选：． 先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，，再由等角对等边得，，则的周长，由此即可解决问题； 本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质及角平分线的定义．利用平行线角平分线推出，是解题的关键； 9.如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数(    ) 平分；；；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D  【解析】解：如图，过点作于． 平分平分， ，， ． ，， 点在的角平分线上，故正确，符合题意． ， ， ． 在和中， ， ， 同理：， ， ， 正确，符合题意． 平分平分， ， 正确，符合题意． 由可知，，， ， ，故正确，符合题意． 故选：． 10.如图，，平分，于点，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】提示：如图，延长，交于点，设交于点因为，所以，所以，因为是的平分线，所以，所以，所以因为，所以因为，所以因为，，所以，所以因为为的中点，所以所以，因为，，所以当时，的面积最大，最大面积为． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.在等腰三角形中，若，，则      ． 【答案】  【解析】解：如果， ，不满足三角形三边关系定理； 如果， ，满足三角形三边关系定理， ． 故答案为：． 由三角形三边关系定理判定等腰三角形的腰长只能是，于是得到答案． 本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，关键是要分两种情况讨论． 12.如图，≌，的延长线经过点，交于，，，，则       【答案】  【解析】解：≌，， ， ， 又， ， 故答案为：． 根据全等三角形的性质求出，根据平角定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握其性质是解题的关键． 13.如图，为了测量池塘两端、的距离，小红在地面上选择了点、、，使，，且点、、和点、、分别都在一条直线上，只要量出的长，就可以知道、之间的距离．那么判定≌的理由是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了三角形全等的应用；根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法，题目不难． 已知两边和夹角相等，利用可证两个三角形全等． 【解答】 解：，，， ≌ 所以理由是． 故答案为． 14.如图，中，，，点为中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则           【答案】  【解析】解：连接，， ，为的平分线，   ． 又，   ． 是的垂直平分线， ， ． ． ，，， ≌． ， 点在的垂直平分线上， ． 将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合， ， ． 在中，． 15.如图，中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质  由角平分线的性质可得：，再证明，根据全等三角形的性质，可证，可得的周长，即可得到结论． 【解答】 解：  平分，，， ． 在和中， ， ， 的周长， ， 的周长为． 16.如图，点为等边内一点，若，，，则的度数是          ． 【答案】  【解析】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得，，，， 所以，是等边三角形， 所以，，， ，， ， 是直角三角形，， ， ． 故答案为：． 将绕点逆时针旋转得到，连接，根据旋转的性质可得，，，判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，，然后求出，即可得解． 本题考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等边三角形的判定与性质，利用旋转作辅助线构造出直角三角形和等边三角形是解题的关键． 17. 在中，已知，的平分线与的平分线相交于点，的平分线交于，则下列说法中正确的是___． ；；；． 【答案】  【解析】解：， ， 、分别是和的平分线， ， ， 故正确； 、分别是和的平分线， ，， 无法通过已知条件得到， 不一定成立， 故不正确； ， ， 平分， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 同理得：≌， ， ， 故正确； ≌，≌， ，， ， 故正确； 则正确的是： 故答案为． 正确．根据外角的性质得：； 不正确．，，当时，，才有； 只要证明≌，≌，即可解决问题； 根据中的三角形全等，可得对应边相等，相加可得结论． 本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法解决问题，属于中考常考题型． 18.如图，在锐角中，，，，点是边上的一动点，点关于直线，的对称点分别是，，连接，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】如图，连接，，，，， 点关于直线，的对称点分别是，，垂直平分，垂直平分，，，，，，，是等边三角形，当时，最小，此时最小．，  ，  ，的最小值是  ． 三、解答题：本题共8小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 小明在生活中遇到了这样一个问题：如图，，，表示三个村庄，现在要建一个货物中转站，要求它到三个村庄的距离相等，请确定其位置你能帮助小明解决这个问题吗？简要说明你的思路，不要求作图 通过上述题目的解决，我们在平时的学习中可以解决很多类似的问题，那么请你利用手中的直尺不能使用圆规，在下列正方形网格如图，中找到一点，使它到，，三点的距离相等注意保留作图痕迹 【答案】(1)构造线段AB，AC，分别作两条线段的垂直平分线，交于点P，此时P为所作的货物中转站，原理是线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.  (2)如图①②即为所求.（合理即可）   【解析】 略  略 20.本小题分 如图，是的高，是的角平分线，是的中线． 若，，求的度数； 若，求与的周长之差． 【答案】；     【解析】是的高， ， ， 是的角平分线， ， ； 是的中线， ， ， 与的周长之差为． 由直角三角形的性质求出，由角平分线的定义得到，由三角形的外角性质得到； 由三角形的中线定义得到，因此与的周长之差． 本题考查三角形的角平分线、中线和高，关键是掌握三角形的角平分线和中线的定义． 21.本小题分 如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为边作，其中，，连接． 求证：≌； 与有何位置关系？请说明理由． 【答案】是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌；   ，理由如下： 由  得：≌， ， ， ，   【解析】证明：是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌； 解：，理由如下： 由得：≌， ， ， ， ． 根据等腰直角三角形的性质得到，，然后利用“”可判断≌即可； 由全等三角形的性质得出，由，根据三角形内角和定理得出即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键． 22.本小题分 已知中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点． 如图求证：； 如图，连接，求证：平分． 【答案】平分，平分， 设，， ， ， ；   过作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， 等量代换． 平分  【解析】证明：平分，平分， 设，， ， ， ； 过作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， 等量代换． 平分． 根据角平分线和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； 过作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质得到，，则根据角平分线的判定即可得到结论． 此题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是关键． 23.本小题分 如图，在等腰中，，，分别是，的中点． 如图，用直尺和圆规作的平分线交于点，连接，要求：只保留作图痕迹 已知：如图，等腰中，，平分，，分别是，的中点求证：． 【答案】用直尺和圆规作的平分线交于点，连接，，补全图形如下：   ，分别是，的中点， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ≌．   【解析】解：用直尺和圆规作的平分线交于点，连接，，补全图形如下： 证明：，分别是，的中点， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ≌． ． 用直尺和圆规作的平分线交于点，连接，即可； 用证明≌即可得出结论． 本题考查了作图作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 24.本小题分 已知在中，，，点是边的中点，点分别在射线、上，且． 试说明的理由； 如图，当点在上、点在上时，试说明的理由； 如图，当点在的延长线上、点在的延长线上时，试问、与三者面积间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】解：在中，，， ， ，点是边的中点， ， ， ，即； ， ． 由可知：， ， ， 在和中， ， ； ，理由如下： ，，， ， 同可得， 在和中， ， ，，， ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 25.本小题分 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割称为等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点求证：是的一条等腰分割线； 在中，为的等腰分割线，，，请你画出所有可能的图形并求出的度数． 【答案】(1)∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，即△EAC是等腰三角形，∴∠EAC＝∠C，∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2∠C．∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝∠B，即△EAB是等腰三角形，∴AE是△ABC是一条等腰分割线．  (2)∵线段AD即为所求分割线，∴△ABD和△ACD都是等腰三角形．①如图①，当AD＝CD＝BD时，∠C＝∠CAD＝30°，∴∠ADB＝∠C＋∠CAD＝30°＋30°＝60°．∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝60°；②如图②，当AD＝BD＝AC时，∠ADC＝∠C＝30°．∵AD＝BD，∴∠B＝∠DAB．∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝30°，∴∠B＝15°；③如图③，当AD＝BD，AC＝CD时，，∵∠ B＝∠BAD，∠ADC＝∠B＋∠BAD，∴∠B＝37.5°．综上所述，∠B的度数为60°或15°或37.5°．   【解析】 见答案  见答案 26.本小题分 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型理解】如图，，共顶点，，，，连接，由，得又，，可以推理得到，进而得到           ，           ． 【问题研究】 小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题． 如图，已知直线，及点，与不平行作等腰直角三角形，使得点，分别在直线，上小明同学作法简述如下：如图，过点作，垂足为点，以为直角顶点作等腰直角三角形，过点作，交于点，在上截取，连接．即为所要求作的等腰直角三角形． 请证明小明的作法是正确的． 【深入研究】小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边三角形，使得点，分别在直线，上请你简述作法，并在图中画出示意图不需要尺规作图 【答案】(1)CE  ;  (2)∵是以P为直角顶点的等腰直角三角形，∴，. ∵，，∴， 在和中， ∴，∴，， ∴， ∴即为所要求作的等腰直角三角形.   (3)如图，即为所求. 作法：1.作于点F； 2.以PF为边在PF右侧作等边三角形PFG； 3.以FG为边在FG上方作等边三角形FGH； 4.连接PH交直线a于点I； 5.连接并延长IG交直线b于点B； 6.在射线FI上取一点A，连接PB，PA，使，连接AB.   【解析】  ， ，， 在和中， ，故答案为，．  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $江苏省无锡市2025-2026学年苏科版八年级上学期第一次月考 数学模拟试卷范围：第一章《三角形》 一选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列三条线段的长度能构成三角形的是() A.1,2,3 B.2,2,4 C.2,9,6 D.4,6,9 2.如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线则下列结论错误的是() A.BF=CFB.∠BAE=∠EACC.LC+LCAD=90°D.SABAE=SAEAC 3.如图所示的两个三角形全等，则∠的度数为() A.39° B.47° C.86° D.94 4.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在BC的延长线上，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论正确的是() A.AB/CEB.∠B与∠ACE是同旁内角 C.∠DCE=60°D.∠A=∠DCE 5.如图，在△ABC中，LB=LC,BF=CD,BD=CE,∠FDE=64°，则∠A的度数是（) A.42° B.529 C.62° D.51 6如图，在△ABC中，分别以点A,C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点P、Q,作直线PQ交AB 于点D,连结CD.若LA=36°，LB=94°，则∠BCD的度数为() A.10° B.14° C.20° D.249 人47 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB,AC于点D,E,再分别 以点D,E为圆心，以大于号DE的长为半径作弧，两弧交于点F,作射线AF交BC于点G,若AB=12,CG=3, 则△ABG的面积是() A.12 B.18 C.24 D.36 8.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O做DE//BC 分别交AB、AC于点D、E,若△ADE的周长为18，则AB的长是() A.8 B.9 C.10 D.12 第1页，共7页 9.如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P,延长BA、BC,PM⊥BE,PN⊥BF,则下 列结论中正确的个数() ①CP平分LACF;②LABC+2LACP=180°；③LACB=2LAPB;@SAPAC=SAMAP+SANCP: A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如图，AC=DC=3,AD平分LBAC,AD 1 BD于点D,E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的 最大值为() A.1.5 B.3 C.4.5 D.9 M 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.在等腰三角形ABC中，若AB=3,BC=7,则AC= 12.如图，△ABC≌△ADE,BC的延长线经过点E,交AD于F,∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，则 LAFE=. 13.如图，为了测量池塘两端A、B的距离，小红在地面上选择了点O、C、D,使0A=OC,OB=OD,且点 A、O、C和点B、O、D分别都在一条直线上，只要量出CD的长，就可以知道A、B之间的距离.那么判定 △AOB2△COD的理由是一· 14.如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=54°，点D为AB中点，且OD1AB,∠BAC的平分线与AB的垂直平 分线交于点O,将LC沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC=. 15.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠CAB,交BC于点D,DE1AB于点E,且AB=6cm,则 △DEB的周长为 16.如图，点P为等边△ABC内一点，若PC=3,PB=4,PA=5,则∠BPC的度数是 第2页，共7页 17.在△ABC中，己知∠A=60°，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE相交于点O,∠BOC的平分线交BC 于F,则下列说法中正确的是一 ①LBOE=60°；②LABD=LACE:③OE=OD;④BC=BE+CD A D M. 于N BP 18.如图，在锐角△ABC中，∠A=30°，BC=3,S△ABC=8,点P是边BC上的一动点，点P关于直线AB, AC的对称点分别是M,N,连接MN,则MN的最小值为. 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题8分) (1)小明在生活中遇到了这样一个问题：如图①，A,B,C表示三个村庄，现在要建一个货物中转站P,要求 它到三个村庄的距离相等，请确定其位置你能帮助小明解决这个问题吗？（简要说明你的思路，不要求作 图) A B ① (②)通过上述题目的解决，我们在平时的学习中可以解决很多类似的问题，那么请你利用手中的直尺（不能使 用圆规)，在下列正方形网格（如图②，③中找到一点O,使它到A,B,C三点的距离相等.（注意保留作图痕 迹) B i! B ② ③ 第3页，共7页 20.(本小题8分)如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线. (1)若∠ACB=50°，∠BAD=65°，求LAEC的度数； (2)若BC-AB=9,求△BCF与△BAF的周长之差. E B 21.(本小题8分)如图，在△ABC中，LACB=90°，AC=BC,延长AB至点D,使DB=AB,连接CD,以CD 为边作△CDE,其中LDCE=90°，CD=CE,连接BE, (1)求证：△ACD≌△BCE: (2)BE与AD有何位置关系？请说明理由. D 22.(本小题8分)己知△ABC中，BE平分LABC,BE交AC于点E,CD平分LACB,交AB于点D,BE与CD交于 点0. D D B 图1 图2 (1)如图1.求证：∠B0C=90°+24BAC: (2)如图2，连接0A,求证：OA平分∠BAC. 第4页，共7页 23.(本小题8分) 如图，在等腰△ABC中，AB=AC,E,F分别是AB,AC的中点. (1)如图，用直尺和圆规作LBAC的平分线交BC于点D,连接DE,DF.(要求：只保留作图痕迹) (2)已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,E,F分别是AB,AC的中点求证：DE=DF. A E B C 24.(本小题8分) 己知在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC,点D是AC边的中点，点E、F分别在射线AB、BC上，且DE⊥DF. D 图1 图2 (①)试说明BD=AC的理由： (2)如图1，当点E在AB上、点F在BC上时，试说明DE=DF的理由； (3)如图2，当点E在AB的延长线上、点F在BC的延长线上时，试问△BEF、△DEF与△ABC三者面积间有怎 样的数量关系，并说明理由. 第5页，共7页 25.(本小题8分) 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割称为等腰分割，这条线段称为这个三角 形的等腰分割线.如图①，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线 E 图① 图② (I)如图②，在△ABC中，∠B=2LC,线段AC的垂直平分线ED交AC于点D,交BC于点E.求证：AE是△ABC 的一条等腰分割线； (2)在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，AD=BD,∠C=30°，请你画出所有可能的图形并求出∠B的度 数. 第6页，共7页 26.(本小题8分) 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： ② P. -b ③ ④ (1)【模型理解】如图①，△ABC,△ADE共顶点A,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BD,CE. 由∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,得∠BAD=∠CAE.又AB=AC,AD=AE,可以推理得到△ABD兰△ACE, 进而得到BD=,LABD=· (2)【问题研究】 小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题. 如图②，已知直线a,b及点P,a与b不平行.作等腰直角三角形PAB,使得点A,B分别在直线a,b上小明同 学作法简述如下：如图③，过点P作PDIa,垂足为点D,以P为直角顶点作等腰直角三角形PDE,过点E 作EB 1 PE,交b于点B,在a上截取DA=BE,连接AB.△PAB即为所要求作的等腰直角三角形 请证明小明的作法是正确的， (3)【深入研究】小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边三角形PAB,使得点A,B分别在直 线a,b上.请你简述作法，并在图④中画出示意图.（不需要尺规作图） 第7页，共7页 江苏省无锡市2025-2026学年苏科版八年级上学期第一次月考 数学模拟试卷 范围:第一章《三角形》 一选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列三条线段的长度能构成三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.如图，在中，是高，是角平分线，是中线则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 3.如图所示的两个三角形全等，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在中，，点在的延长线上，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论正确的是  (    ) A. B. 与是同旁内角 C. D. 5.如图，在中，，，，，则的度数是  (    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线交于点，连结若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是  (    ) A. B. C. D. 8.如图，在等腰中，，与的平分线交于点，过点做，分别交、于点、，若的周长为，则的长是(    ) A. B. C. D. 9.如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数(    ) 平分；；；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10.如图，，平分，于点，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.在等腰三角形中，若，，则      ． 12.如图，≌，的延长线经过点，交于，，，，则       13.如图，为了测量池塘两端、的距离，小红在地面上选择了点、、，使，，且点、、和点、、分别都在一条直线上，只要量出的长，就可以知道、之间的距离．那么判定≌的理由是          ． 14.如图，中，，，点为中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则           15.如图，中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为          ． 16.如图，点为等边内一点，若，，，则的度数是          ． 17. 在中，已知，的平分线与的平分线相交于点，的平分线交于，则下列说法中正确的是___． ；；；． 18.如图，在锐角中，，，，点是边上的一动点，点关于直线，的对称点分别是，，连接，则的最小值为          ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 小明在生活中遇到了这样一个问题：如图，，，表示三个村庄，现在要建一个货物中转站，要求它到三个村庄的距离相等，请确定其位置你能帮助小明解决这个问题吗？简要说明你的思路，不要求作图 通过上述题目的解决，我们在平时的学习中可以解决很多类似的问题，那么请你利用手中的直尺不能使用圆规，在下列正方形网格如图，中找到一点，使它到，，三点的距离相等注意保留作图痕迹 20.本小题分如图，是的高，是的角平分线，是的中线． 若，，求的度数； 若，求与的周长之差． 21.本小题分如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为边作，其中，，连接． 求证：≌； 与有何位置关系？请说明理由． 22.本小题分已知中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点． 如图求证：； 如图，连接，求证：平分． 23.本小题分 如图，在等腰中，，，分别是，的中点． 如图，用直尺和圆规作的平分线交于点，连接，要求：只保留作图痕迹 已知：如图，等腰中，，平分，，分别是，的中点求证：． 24.本小题分 已知在中，，，点是边的中点，点分别在射线、上，且． 试说明的理由； 如图，当点在上、点在上时，试说明的理由； 如图，当点在的延长线上、点在的延长线上时，试问、与三者面积间有怎样的数量关系，并说明理由． 25.本小题分 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割称为等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点求证：是的一条等腰分割线； 在中，为的等腰分割线，，，请你画出所有可能的图形并求出的度数． 26.本小题分 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型理解】如图，，共顶点，，，，连接，由，得又，，可以推理得到，进而得到           ，           ． 【问题研究】 小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题． 如图，已知直线，及点，与不平行作等腰直角三角形，使得点，分别在直线，上小明同学作法简述如下：如图，过点作，垂足为点，以为直角顶点作等腰直角三角形，过点作，交于点，在上截取，连接．即为所要求作的等腰直角三角形． 请证明小明的作法是正确的． 【深入研究】小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边三角形，使得点，分别在直线，上请你简述作法，并在图中画出示意图不需要尺规作图 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $